第八章 玻色统计和费米统计(2014)
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归纳第八章_玻色分布和费米分布.ppt
式(8.1.9)中的正号对应于费米分布，负号对应于玻 色分布。
2.热力学公式:
按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分 函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。
优选
6
由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正 则分布的热力学公式相同，所以，这里先给 出其表达式，详细推导在下一章介绍。
⑴ 平均粒子数:
D( )d g 2V (2m)3/21/2d
h3
其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度， D(ε)是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋 投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。
优选
11
系统的总粒子数和总能量为:
l
l
e l
1
N
l
ll
e l
1
U
近似用积分来处理，作对应：
优选
18
Eric A. Cornell 埃里克·康奈尔
Wolfgang Ketterle 沃尔夫冈·克特勒
优选
3
由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。
当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡 到玻耳兹曼分布。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式
1.巨配分函数:
由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统，其配 分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配 分函数（简称巨配分函数）。下面先给出玻色和费米系统 的巨配分函数表达式,其详细推导在下一章给出。
N ln Ξ
(8.1.10)
优选
7
⑵ 内能:
U ln Ξ
⑶ 广义力:
Y 1 ln Ξ
y
上式的一个重要特例是压强:
2.热力学公式:
按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分 函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。
优选
6
由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正 则分布的热力学公式相同，所以，这里先给 出其表达式，详细推导在下一章介绍。
⑴ 平均粒子数:
D( )d g 2V (2m)3/21/2d
h3
其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度， D(ε)是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋 投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。
优选
11
系统的总粒子数和总能量为:
l
l
e l
1
N
l
ll
e l
1
U
近似用积分来处理，作对应：
优选
18
Eric A. Cornell 埃里克·康奈尔
Wolfgang Ketterle 沃尔夫冈·克特勒
优选
3
由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。
当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡 到玻耳兹曼分布。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式
1.巨配分函数:
由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统，其配 分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配 分函数（简称巨配分函数）。下面先给出玻色和费米系统 的巨配分函数表达式,其详细推导在下一章给出。
N ln Ξ
(8.1.10)
优选
7
⑵ 内能:
U ln Ξ
⑶ 广义力:
Y 1 ln Ξ
y
上式的一个重要特例是压强:
玻色统计和费米统计
el1
g 2V (2 m )3 /21 /2 e l(1 e l)d
h 3
0
g 2 h 3 V ( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2h m 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
2、 理解弱简并理想气体的概念，了解统 计方法在玻色气体和费米气体上的应用。
3、了解玻色—Einstein凝聚现象。 4、掌握 金属中的自由电子气体的费米分 布特性及其对固体热容量的贡献。
.
.
U
0
D()a()d2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
相除
U3Nk(1T 1 e)
2
25/2
二、 弱简并条件
利用玻耳兹曼统计的结果
n N V
e N N( h2 )3/2 1 1 Z 1 V 2mkT g
小，稀薄。 T 大，高温。 m大，经典粒子。
0
1/2d
ekT 1
.
T Tc 0
n2h3 (2m)3/2
0
1/2d
ekTc 1
令 x
kT c
n2h3(2mkc)3T/2 0
x1/2dx ex1
Tc
(2.621)22/3
2 n2/3 mk
.
低温 TTc情况 :
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主 要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄 气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹 曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。
al
l
el
1
e 1
g 2V (2 m )3 /21 /2 e l(1 e l)d
h 3
0
g 2 h 3 V ( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2h m 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
2、 理解弱简并理想气体的概念，了解统 计方法在玻色气体和费米气体上的应用。
3、了解玻色—Einstein凝聚现象。 4、掌握 金属中的自由电子气体的费米分 布特性及其对固体热容量的贡献。
.
.
U
0
D()a()d2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
相除
U3Nk(1T 1 e)
2
25/2
二、 弱简并条件
利用玻耳兹曼统计的结果
n N V
e N N( h2 )3/2 1 1 Z 1 V 2mkT g
小，稀薄。 T 大，高温。 m大，经典粒子。
0
1/2d
ekT 1
.
T Tc 0
n2h3 (2m)3/2
0
1/2d
ekTc 1
令 x
kT c
n2h3(2mkc)3T/2 0
x1/2dx ex1
Tc
(2.621)22/3
2 n2/3 mk
.
低温 TTc情况 :
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主 要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄 气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹 曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。
al
l
el
1
e 1
玻色统计和费米统计讲义
y
d ( ln Z ) d ln Z d[ ln Z ] d ( ln Z )
因为 N ln Z
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ] d N
∴ (dU Ydy d N ) d[ln Z ln Z ln Z ]
6
对于闭系： d N 0
y
y
由 Z [1 el ]l 知， Z 是 、 和 y的函数，ln Z 也是 、
l
和 y 的函数
∴ d ln Z ln Z d ln Z d ln Z dy
y
5
∴ (dU Ydy) d ( ln Z ) ln Z dy
y
d ( ln Z ) ln Z d ln Z dy d ( ln Z ) d ln Z ln Z d
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ]
是 dU Ydy的积分因子， dU Ydy同样有积分因子 1
T
∴ 1
kT
∴ dS 1 (dU Ydy) kd[ln Z ln Z ln Z ]
T
积分得：
S k[ln Z ln Z ln Z ] k[ln Z N U ]
度升高时，由于热激发电子有可能跃迁到较高的未被占据的状
态去。但处在低能级的电子要跃迁到未被占据的状态，必须吸
取很大的热运动能量，这是极小可能的，所以绝大多数状态的
1
fd
4V
3
(2m) 2
h3
2 d
e kT 1
10
在给定电子数 N ，温度 T 和体积 V 时，总粒子数为：
1
N
4V
h3
3
(2m) 2
0
2 d
e kT 1
∴化学势 是温度 T 和粒子数密度 n N 的函数。
第八章 玻色统计和费米统计
第八章 玻色统计和费米统计§8.1 热力学量的统计表达式本节推导玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式。
玻色系统：系统的平均总粒子数为 1lll llN a e αβεω+==-∑∑引入巨配分函数Ξ，定义为()1lll lleωαβε---Ξ=Ξ=-∏∏()()ln ln 1ln(1)ln 1llllll llleeeωωαβεαβεαβεω--------Ξ=-=-=--∏∑∑()ln 1sse αβε--=--∑系统的平均总粒子数N 可表为 1ln 11lsllsN e e αβεαβεωα++∂===-Ξ--∂∑∑内能是系统中粒子无规运动总能量的统计平均值 ln 1ll ll l llU a e αβεωεεβ+∂===-Ξ-∂∑∑外界对系统的广义力i Y 是l iy ε∂∂的统计平均值1ln 1ll lli l llii iY a y y ey αβεεεωβ+∂∂∂==⋅=-⋅Ξ∂∂-∂∑∑物态方程特例：对于(,)P V 系统 ,Y P y V =-=1ln P Vβ∂=⋅Ξ∂下面推导玻色系统熵的统计表达式 ln ln i i i i iidU Y dy d dy y βββ⎛⎫∂Ξ∂Ξ⎛⎫-=-+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∑∑（﹡）Ξ和ln Ξ是,αβ与()1,2,i y i = 的函数（l ε 是i y 的函数）， ln Ξ的全微分为ln ln ln ln i iid d d dy y αβαβ∂Ξ∂Ξ∂ΞΞ=++∂∂∂∑，ln ln ln ln i iidy d d d y αβαβ∂Ξ∂Ξ∂Ξ∴=Ξ--∂∂∂∑。
代入（﹡），得 ln ln ln ln i i i dU Y dy d d d d ββαββαβ⎛⎫∂Ξ∂Ξ∂Ξ⎛⎫-=-+Ξ-- ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭∑ ln ln ln d d d βαβα⎛⎫∂Ξ∂Ξ=-+Ξ- ⎪∂∂⎝⎭ ln ln ln ln d d d d βααβαα⎛⎫∂Ξ∂Ξ∂Ξ⎛⎫⎛⎫=-+Ξ-+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ln ln ln d d N αβααβ⎛⎫∂Ξ∂Ξ=Ξ--- ⎪∂∂⎝⎭对于粒子数恒定的闭系（与外界有能量交换，但无物质交换），则0d N =。
热力学与统计物理：第八章 玻色统计与费米统计
CV
U T
V
5U 2T
1.925Nk
T Tc
六、理想玻色气体出现凝聚的临界条件：
3
n
3
n
2
h mkTc
2.612
也就是说在德布罗意波长范围内的原子 数必须大于2个。
七、有关实验
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
23
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
24
§8.4辐射的量子统计理论
l
N
e kTc －1
1
令x
kTc
,
2
h3
3
(2mkTC ) 2
x 2dx 0 ex－1 n
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
17
1
而
x 2dx＝ 0 ex－1
2
2.612＝I
Tc
2
3
(2.612) 2
h2 mk
2
n3
当 T TC 时，要保证 N const ，则 0 ，与前面结论
k
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
6
dU TdS pdV dn, pdV Ydy 又 ：（单位摩尔化学势d）n d N (单位粒子数化学势）
dU Ydy d N TdS
1 , S k(ln Z ln Z ln Z )
kT
以及
kT
2021/3/11
矛盾
三、矛盾的原因
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
18
关键在于当 时，将 0 上的粒子数忽略了
而 T TC 时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略
热力学 统计物理：第八章 玻色统计和费米统计
y
y l
e l • ( ) • ( l )
1
[ y
l
l
ln(1 e l
)]
1
l
l
y 1 e l
l
l l
e l 1 y
Y 1 ln p 1 ln
y
V
N ln
U ln
Y 1 ln
y
dN d ( ln )
dU d ( ln )
Ydy 1 ln dy
U ln ln[ (1 e l )l ]
l
[
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • ( l )
1 e l
l
ll
e l 1
广义力Y是 l 的统计平均值：
y
Y
l
l
y
al
l
l l
e l 1 y
Y也可通过配分函数求得：
Y 1 ln 1 ln[ (1 e l )l ]
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
d ( ln ) ln • d ln • d ln dy d ( ln ) ln • d ln • d
e l 1
在实际应用中，两种分布的区别在于将和看作已知常量（开系条件
的平均分布），还是将N和U看作已知常量（孤立系统的最概然分布）。
说明： 本节推导玻色系统和费米系统热力学量的 统计表达式时，采用平均分布观点，也就
是将、和y（粒子能量含外参量y）看作 已知参量，而将热力学量表达为、和y的
函数。
回顾：
第8章 玻色统计和费米统计 《热力学统计物理》
第八章 玻色统计与费米统计 8
利用
1 U ln Y ln N ln y
ln ln ln (dU Ydy dN ) d ( ) dy d ( ) y
ln ln ln ln d ( ) d ln d d d ( )
12
2 mkT 3 2 1 g( ) Ve [1 3 2 e ] （8.2. 6） 2 h 2
2V x 32 U g 3 (2mkT) x dx h 1 0 e
32
3 2 mkT 3 2 1 g ( ) VkTe [1 5 2 e ] （8.2. 7） 2 2 h 2
第八章 玻色统计与费米统计 14
(2) 费米系统
引入费米系统的配分函数
l [1 e
l l
l l
]
ln l ln(1 e l )
l
通过和玻色系统相似的运算，得到的热力学量的 统计表达式与玻色系统热力学量的统计表达式完全相 同。
第八章 玻色统计与费米统计 15
第八章 玻色统计与费米统计 23
将玻耳兹曼分布所得的结果
e
N h 32 1 ( ) V 2m kT g
2
2
作为零级近似代入上式，表示为经典极限条件的形式
3 1 1N h 32 U NkT [1 ( ) ] 2 4 2 g V 2m kT
3 1 3 U NkT[1 n ] 2 4 2g
1 (dU Ydy dN ) ds T
ln ln (dU Ydy dN ) d (ln ) ln ln dS kd (ln )
利用
1 U ln Y ln N ln y
ln ln ln (dU Ydy dN ) d ( ) dy d ( ) y
ln ln ln ln d ( ) d ln d d d ( )
12
2 mkT 3 2 1 g( ) Ve [1 3 2 e ] （8.2. 6） 2 h 2
2V x 32 U g 3 (2mkT) x dx h 1 0 e
32
3 2 mkT 3 2 1 g ( ) VkTe [1 5 2 e ] （8.2. 7） 2 2 h 2
第八章 玻色统计与费米统计 14
(2) 费米系统
引入费米系统的配分函数
l [1 e
l l
l l
]
ln l ln(1 e l )
l
通过和玻色系统相似的运算，得到的热力学量的 统计表达式与玻色系统热力学量的统计表达式完全相 同。
第八章 玻色统计与费米统计 15
第八章 玻色统计与费米统计 23
将玻耳兹曼分布所得的结果
e
N h 32 1 ( ) V 2m kT g
2
2
作为零级近似代入上式，表示为经典极限条件的形式
3 1 1N h 32 U NkT [1 ( ) ] 2 4 2 g V 2m kT
3 1 3 U NkT[1 n ] 2 4 2g
1 (dU Ydy dN ) ds T
ln ln (dU Ydy dN ) d (ln ) ln ln dS kd (ln )
玻色统计和费米统计
s
第八章 玻色统计和费米统计
复习. Boltzmann 统计，玻色统计和费米统计。
玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒 子数不受限制。 玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数 不受限制。 费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能够容纳一个 粒子。
玻耳兹曼统计是假设系统由大量全同近独立的粒子组成， 具有确 定的粒子数 N ，能量 E ，体积 V . 能级： 简并度: 离子数:
al
ωl
<< 1 ，
又叫做非
简并条件）都遵从玻耳兹曼分布。不满足上述条件的系统遵从玻 色统计分布或者费米统计分布。
玻色统计分布满足
al =
ωl
e
α + β El
−1
， 费米统计分布满足。 al
= E 确定。
=
ωl
e
α + β El
+1
系数 α 与 β 由 ∑ al = N 与
l
∑a E
l l
l
8.1 热力学量的统计表达式
U=
V π 2c3
∞
∫
0
ηω 3 dω e
ηω kT
=
π 2k 4
15c η
3 3
VT 4 。
−1
和热力学结果一致，区别在于热力学中比例系数由实验确定。而 统计物理可以直接求出比例系数。 2．由普朗克公式看出，辐射场的内能密度 U (ω , T ) 随频率 ω 的分布 有一个极大值 ω m ， 用数值计算方法可以求得 出 ω m 与温度成正比，这就是维恩位移定理。
S = k (ln Ζ + βU ) =
U
平衡辐射的通量密度 J u 与内能
第八章 玻色统计和费米统计
复习. Boltzmann 统计，玻色统计和费米统计。
玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒 子数不受限制。 玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数 不受限制。 费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能够容纳一个 粒子。
玻耳兹曼统计是假设系统由大量全同近独立的粒子组成， 具有确 定的粒子数 N ，能量 E ，体积 V . 能级： 简并度: 离子数:
al
ωl
<< 1 ，
又叫做非
简并条件）都遵从玻耳兹曼分布。不满足上述条件的系统遵从玻 色统计分布或者费米统计分布。
玻色统计分布满足
al =
ωl
e
α + β El
−1
， 费米统计分布满足。 al
= E 确定。
=
ωl
e
α + β El
+1
系数 α 与 β 由 ∑ al = N 与
l
∑a E
l l
l
8.1 热力学量的统计表达式
U=
V π 2c3
∞
∫
0
ηω 3 dω e
ηω kT
=
π 2k 4
15c η
3 3
VT 4 。
−1
和热力学结果一致，区别在于热力学中比例系数由实验确定。而 统计物理可以直接求出比例系数。 2．由普朗克公式看出，辐射场的内能密度 U (ω , T ) 随频率 ω 的分布 有一个极大值 ω m ， 用数值计算方法可以求得 出 ω m 与温度成正比，这就是维恩位移定理。
S = k (ln Ζ + βU ) =
U
平衡辐射的通量密度 J u 与内能
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N e Z1
U N ln Z1
1 Y ln y
p 1 ln V
N Y ln Z1 y N p ln Z1 V
S k ln ln ln
1 1 开系的热力学基本方程： dS dQ dU Ydy dN T T 1 , , 7 kT kT
是否还是
dQ
积分因子?
ln ln ln dU Ydy dN d y dy d
, , y 为自然变量的特性函数。
对简单系统就是 T ,V , ，热力学中对应的是巨热力势：
J U TS N kT ln
12
六，当能量为准连续变量时
玻色系统的巨配分函数： 求和转化为积分：
ln ln 1 e
l
l
N ln ln 1 e D d 0 1 N D d 0 e 1
假如分子具有自旋量子态 如自旋引起的简并度为 g ： 弱简并量子气体的压强：
2 U NkT 1 3 p n 1 3V V 4 2g
20
说明：
3 1 3 U NkT 1 n 2 4 2g
第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是全同 性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能；
N
0
2V 3 2 1 2 D d 3 2m e e d 0 e h 1
e d
12 3 2
采用归一化变量，令：x
0
0
3 2 e x dx 2
x 1 2
16
2V 3 2 3 2 2mkT N 3 2m e e V 2 h 2 h
2V 32 A 3 2m h
U Ae
0
e d Ae
32
2
0
e2 3 2 d
弱简并量子统计对 玻耳兹曼统计的修正
e 1 5 2 U 3 2 kT N 2 e 1 3 2 2
e 3 5 2 U Ae 1 5 2 4 2
注意到：
dU Ydy dN
ln ln ln d ln d d dy y
ln ln ln ln d ln d d d d
二，运用玻耳兹曼分布处理理想气体
简单起见，不考虑分子的内部结构，因此只有平动自由度, （相当于单原子分子），运用玻耳兹曼分布：
N
1 e
0
D d
U
e
0
D d
视理想气体分子 为三维自由粒子：
2V 32 12 D d 3 2m d h
NkT 1 3 p n 1 V 4 2g
n3 1
非简并性气体:用玻耳兹曼分布处理 不满足满足经典极限条件 简并性气体:用玻色分布或费米分布处理。 接近于满足经典极限条件呢？
e
n3 比较小但不能忽略 比较大但还不能视作 e 1
弱简并玻色气体或费米气体 适用量子统计，但可以想象在此情形下，统计结果近似 15 于玻耳兹曼分布。
0
当能量为准连续变量时，上式和
N f D d
0
对费米分布和玻耳兹曼分布也同样成立。 事实上求任何一个宏观量的统计平均都可以表为：
b f D d b f D d
0 0
14
§8.2
弱简并理想玻色气体和费米气体
一，什么是弱简并情形 满足经典极限条件 e 1
不满足经典极限条件的气体为简并气体，量子效应明显， 需要用量子（玻色或费米）分布来处理。
微观粒子全同性原理带来的量子统计关联，将对简并气体 的宏观性质产生决定性影响。 这种量子统计关联不仅使得量子气体的性质有别于经典理 论，玻色气体和费米气体的性质也是迥然不同的。
3
§8.1
热力学的统计表达式
近独立粒子的最概然分布：al
e
l
l
1
系统内能：U
平均总粒子数：N 广义力：Y
a
E l al
l
l al l y
l l
定义巨配分函数： 巨配分函数是变量
1 e
l
l l
, , y
l
ln l ln 1 e
S k ln N U k ln
S k ln
玻耳兹曼关系
9
三，费米系统的巨配分函数
玻色系统： l 1 e
l l
l l
费米系统： l 1 e
l
l l
ln l ln 1 e l
e l 1
l
是在孤立系统条件下，并且在一系列假定的基础上推导出的。 系综理论将会在开放系统条件下，避免存在严重缺陷的 假定，推导出表达式相同的近独立粒子的平均分布：
al
e
l
l
1
因此本章的讨论扩展到开放系统。
4
一，玻色系统的巨配分函数
玻色分布：
al
l
l
3 e e 3 e kT 1 1 3 2 kT 1 5 2 5 2 2 2 2 2 2 19
依照同样的方式处理费米气体，我们有：
3 1 U NkT 1 e 2 4 2
l
l
热力学量的统计表达式不变。
N ln
U ln
1 Y ln y
S k ln ln ln
10
四，与玻耳兹曼统计表达式比较
玻色和费米统计 玻耳兹曼统计
N ln U ln
的函数,并取对数
l
下面依次对 , , y 求偏导数。
5
ln l ln 1 e
l
l
l 1 l 1 l ln l e l 1 e 1 l l e
x 1 2
分子平均能量：
U N
3 4 1 2
5 2 3 kT 3 2 2
3 U NkT 2
17
三，弱简并理想气体适用量子统计
对量子气体： N
1 e
0
D d 1
U
e 0D d 1弱简并量子气体，e 很大，但不足以忽略 1，以玻色气体为例：
N Ae
N Ae
0
e d Ae
12
2
0
e2 1 2 d
Ae
3 2 3 2 2 2 Ae 2 2 注意此时的α不同 3 2 e 1 于玻耳兹曼分布 3 2 2 2
d ln ln ln
8
所以
也是
dQ
的积分因子。
dS kd ln ln ln
积分
S k ln ln ln
S Nk ln Z1 ln Z1 11
五，作为特性函数的巨配分函数
U ln 1 Y ln y
S k ln ln ln
巨配分函数是以 如果求得巨配分 函数，据此可以求得 系统内能、物态方程 和熵。从而确定系统 的全部平衡性质。
l l ln e l y l 1 e
l
l l y al y l
1 广义力： Y ln y
1 简单系统： p ln V
二，熵的表达式－玻耳兹曼关系
第八章 玻色统计和费米统计
§8.1 热力学的统计表达式 §8.2 弱简并玻色气体和费米气体 §8.3 玻色—爱因斯坦凝聚
§8.4 光子气体
§8.5 金属中的自由电子气体
1
经典极限条件
e 1 l e 1 al e 1 得出非简并性条件： l al
经典极限条件
系统的平均总粒子数：
N ln
l l l l l l ln e l 1 l 1 e l e
系统内能：
U ln
6
ln l ln 1 e l
1 1 x x e x x x e 1 e 1 e 1 e 1
e
x
1 e e
x
x
e
2 2 x
相当于围绕玻耳兹曼分布展开级数，保留两项。
N、U 的积分化为两部分，第一部分和玻耳兹曼分布相同。18
由此可以解出玻耳兹曼分布的 e
2