热力学统计物理 第八章 玻色统计和费米统计
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玻色统计和费米统计
el1
g 2V (2 m )3 /21 /2 e l(1 e l)d
h 3
0
g 2 h 3 V ( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2h m 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
2、 理解弱简并理想气体的概念，了解统 计方法在玻色气体和费米气体上的应用。
3、了解玻色—Einstein凝聚现象。 4、掌握 金属中的自由电子气体的费米分 布特性及其对固体热容量的贡献。
.
.
U
0
D()a()d2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
相除
U3Nk(1T 1 e)
2
25/2
二、 弱简并条件
利用玻耳兹曼统计的结果
n N V
e N N( h2 )3/2 1 1 Z 1 V 2mkT g
小，稀薄。 T 大，高温。 m大，经典粒子。
0
1/2d
ekT 1
.
T Tc 0
n2h3 (2m)3/2
0
1/2d
ekTc 1
令 x
kT c
n2h3(2mkc)3T/2 0
x1/2dx ex1
Tc
(2.621)22/3
2 n2/3 mk
.
低温 TTc情况 :
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主 要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄 气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹 曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。
al
l
el
1
e 1
g 2V (2 m )3 /21 /2 e l(1 e l)d
h 3
0
g 2 h 3 V ( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2h m 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
2、 理解弱简并理想气体的概念，了解统 计方法在玻色气体和费米气体上的应用。
3、了解玻色—Einstein凝聚现象。 4、掌握 金属中的自由电子气体的费米分 布特性及其对固体热容量的贡献。
.
.
U
0
D()a()d2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
相除
U3Nk(1T 1 e)
2
25/2
二、 弱简并条件
利用玻耳兹曼统计的结果
n N V
e N N( h2 )3/2 1 1 Z 1 V 2mkT g
小，稀薄。 T 大，高温。 m大，经典粒子。
0
1/2d
ekT 1
.
T Tc 0
n2h3 (2m)3/2
0
1/2d
ekTc 1
令 x
kT c
n2h3(2mkc)3T/2 0
x1/2dx ex1
Tc
(2.621)22/3
2 n2/3 mk
.
低温 TTc情况 :
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主 要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄 气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹 曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。
al
l
el
1
e 1
玻色统计和费米统计讲义
y
d ( ln Z ) d ln Z d[ ln Z ] d ( ln Z )
因为 N ln Z
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ] d N
∴ (dU Ydy d N ) d[ln Z ln Z ln Z ]
6
对于闭系： d N 0
y
y
由 Z [1 el ]l 知， Z 是 、 和 y的函数，ln Z 也是 、
l
和 y 的函数
∴ d ln Z ln Z d ln Z d ln Z dy
y
5
∴ (dU Ydy) d ( ln Z ) ln Z dy
y
d ( ln Z ) ln Z d ln Z dy d ( ln Z ) d ln Z ln Z d
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ]
是 dU Ydy的积分因子， dU Ydy同样有积分因子 1
T
∴ 1
kT
∴ dS 1 (dU Ydy) kd[ln Z ln Z ln Z ]
T
积分得：
S k[ln Z ln Z ln Z ] k[ln Z N U ]
度升高时，由于热激发电子有可能跃迁到较高的未被占据的状
态去。但处在低能级的电子要跃迁到未被占据的状态，必须吸
取很大的热运动能量，这是极小可能的，所以绝大多数状态的
1
fd
4V
3
(2m) 2
h3
2 d
e kT 1
10
在给定电子数 N ，温度 T 和体积 V 时，总粒子数为：
1
N
4V
h3
3
(2m) 2
0
2 d
e kT 1
∴化学势 是温度 T 和粒子数密度 n N 的函数。
热力学统计物理 第八章 课件剖析
e
kTC趋于1。
临界温度TC由下式定出
2
h3
2m 3/2
1/2d
0
n
ekTC 1
令x=ε/kTC，上式可表为
由积分
2
h3
2mkTC 3/2
x1/2dx n
0 ex 1
x1/2dx
0 ex 1 2 2.612
可得对于给定的粒子数密度n，临界温度TC为
TC
2
2.612 2/3
➢ 玻色系统
将α、β和y看作已知参量，系统的平均总粒子数
N
l
al
l
l
e l 1
引入一个函数，名为巨配分函数，定义为
l
1 e l l
取对数得
l
l
ln l ln 1 e l
l
由此系统的平均总粒子数可通过lnΞ表示为
N ln
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值，
有能级εl均有
l
e kT 1
以ε0表示粒子的最低能级，这个要求也可以表达为
ε0 > μ
即是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的 能量。如果取最低能级为能量的零点，即ε0 =0，则有
μ< 0
化学势μ由公式
1
V
l
l
l
N n V
e kT 1
确定，为温度T和粒子数密度n=N/V的函数。
由此可知，在TC以下n0与n具有相同的量级，n0随温度的变
化如图。
这一现象称为玻色-爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。TC 称为凝聚温度。凝聚在ε0的粒子集合称为玻色凝聚体。
凝聚体不但能量、动量为零（对压强无贡献），由于 凝聚体的微观状态完全确定，熵也为零。
热力学与统计物理：第八章 玻色统计与费米统计
第八章 玻色统计与费米统计
当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，需 要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子全同性原理 决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。
此时以下条件不再成立
e
V N
2 mkT
h2
1;n3
N V
h2
2 mkT
1
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
V
4 3
dk x dk y dk z
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
27
采用球极坐标，用 k, , 代替 kx , ky , kz
kx k sin cos
ky k sin sin dkxdkydkz k2 sindkdd
kz k cos
令
:0
,
:0
2积分： 2 0
d 0
关于交换作用
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
15
§8.3 玻色-爱因斯坦凝聚
一、理想玻色气体的性质
al
l
e l
1
l
l
e kT 1
l
al 0, e kT >1,不失一般性，假设0＝0，则 0
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
16
二、 N 与基态粒子数
1
N
l
1 e－－x）
e－ 是一个小量，e－－x也是一个小量，将 1
1 e－－x
展开，取前两项
e
1＝ 1 x
2021/3/11
1 e
x（1
e1－－x）＝第八e章－玻－色（x统1计与e费－米统－计x）
13
将展开式代入N、U的表达式中求积分，得：
当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，需 要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子全同性原理 决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。
此时以下条件不再成立
e
V N
2 mkT
h2
1;n3
N V
h2
2 mkT
1
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第八章 玻色统计与费米统计
V
4 3
dk x dk y dk z
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第八章 玻色统计与费米统计
27
采用球极坐标，用 k, , 代替 kx , ky , kz
kx k sin cos
ky k sin sin dkxdkydkz k2 sindkdd
kz k cos
令
:0
,
:0
2积分： 2 0
d 0
关于交换作用
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
15
§8.3 玻色-爱因斯坦凝聚
一、理想玻色气体的性质
al
l
e l
1
l
l
e kT 1
l
al 0, e kT >1,不失一般性，假设0＝0，则 0
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第八章 玻色统计与费米统计
16
二、 N 与基态粒子数
1
N
l
1 e－－x）
e－ 是一个小量，e－－x也是一个小量，将 1
1 e－－x
展开，取前两项
e
1＝ 1 x
2021/3/11
1 e
x（1
e1－－x）＝第八e章－玻－色（x统1计与e费－米统－计x）
13
将展开式代入N、U的表达式中求积分，得：
第八章_玻色分布和费米分布 ppt课件
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
8
⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
3
Ug
2V
h3
(2m)3/2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1
3
Ug2h3V(2mkT)3/2 0 ex2xdx1
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
13
将被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
ZNl VN2hm2kT3/2
1 g
代入前面的公式中，得：
U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
8
⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
3
Ug
2V
h3
(2m)3/2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1
3
Ug2h3V(2mkT)3/2 0 ex2xdx1
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
13
将被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
ZNl VN2hm2kT3/2
1 g
代入前面的公式中，得：
U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2
第八章 玻色统计与费米统计
讨论：
3 ε 2 dε 2πV 2 ( 2m ) ε l n 0 h3 e kTc－ 1 1
ε 2π 令：x , 可得： 3 ( 2mkTC ) kTc h
3
2
0
x 2 dx n x e－ 1
2π h2 2 3 n mk
1
x 2 dx π 积分： ＝ 2.612 0 e x－ 1 2
8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1、弱简并气体： 但不可忽略的玻色气体和费米气体。 e α 或nλ3虽小，
1 2 2 2 ε ＝ ( p p p x y z) 以玻色气体为例，假设分子只有平动自由度： 2m
在体积V内，在ε到ε+dε范围内可能的微观状态数：
3 1 2πV 2 D(ε )dε g 3 ( 2m ) ε 2 dε h
l
l
前面得到的热力学量的表达式完全适用：
N ln α
U ln β
Y
1 ln β y
S k ln
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目 录
退 出
8.1
五、巨热力学势
热力学量的统计表达式
ln 是α、β、y的函数,即T、V、μ的函数
J U TS N ln ln ln ln kT (ln ) kT ln
2πV 系统的总分子数：N g 3 ( 2m ) h
3
2
0
ε 2 dε e α βε 1
3
1
3 ε 2 dε 2πV 2 U g 3 ( 2m ) α βε 0 e h 1
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退 出
3 ε 2 dε 2πV 2 ( 2m ) ε l n 0 h3 e kTc－ 1 1
ε 2π 令：x , 可得： 3 ( 2mkTC ) kTc h
3
2
0
x 2 dx n x e－ 1
2π h2 2 3 n mk
1
x 2 dx π 积分： ＝ 2.612 0 e x－ 1 2
8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1、弱简并气体： 但不可忽略的玻色气体和费米气体。 e α 或nλ3虽小，
1 2 2 2 ε ＝ ( p p p x y z) 以玻色气体为例，假设分子只有平动自由度： 2m
在体积V内，在ε到ε+dε范围内可能的微观状态数：
3 1 2πV 2 D(ε )dε g 3 ( 2m ) ε 2 dε h
l
l
前面得到的热力学量的表达式完全适用：
N ln α
U ln β
Y
1 ln β y
S k ln
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退 出
8.1
五、巨热力学势
热力学量的统计表达式
ln 是α、β、y的函数,即T、V、μ的函数
J U TS N ln ln ln ln kT (ln ) kT ln
2πV 系统的总分子数：N g 3 ( 2m ) h
3
2
0
ε 2 dε e α βε 1
3
1
3 ε 2 dε 2πV 2 U g 3 ( 2m ) α βε 0 e h 1
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退 出
汪志诚热力学统计物理的习题答案（第8章）
第八章 玻色统计和费米统计习题8.1试证明:对于玻色系统或费米系统,玻耳兹曼关系成立，即ln S k =Ω。
解：对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为 !!()!l l l l la a ωωΩ=-∏ 取对数，并应用斯特令近似公式，得()()ln ln ln ln llllllllla a a a ωωωωΩ=----⎡⎤⎣⎦∑另一方面，根据理想费米系统的熵为()ln ln ln ln S k k N U αβαβαβ⎛⎫∂Ξ∂Ξ=Ξ--=Ξ++ ⎪∂∂⎝⎭()ln l l l k a αβε⎡⎤=Ξ++⎢⎥⎣⎦∑其中费米巨配分函数的对数为 ()ln ln 1la l leβεω--Ξ=-+∑由费米分布 1lll a eαβεω+=+得 1ll l lea αβεωω--+=-和 lnl ll la a ωαβε-+=所以 ln lnl l ll la ωωωΞ=--∑()()ln ln ln ln ln l l ll l l l l l l l l l l l l l l aS k a k a a a a a ωωωωωωωωω⎛⎫-=+=----⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭∑∑两式比较可知：ln S k =Ω。
习题8-2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可表示为：()().ln 1ln 1B E s s s s lS k f f f f =--++⎡⎤⎣⎦∑，()().ln 1ln 1F D s s s s lS k f f f f =----⎡⎤⎣⎦∑其中s f 为量子态s 上的平均粒子数，s ∑对粒子的所有量子态求和。
解：我们先讨论理想费米系统的情形。
根据上题有，理想费米系统的熵可表示为 ()().ln ln ln F D lllllllllS ka a a a ωωωω=----⎡⎤⎣⎦∑()ln ln l l l l l l l l l a a ka a ωωωω⎡⎤-=--+⎢⎥⎣⎦∑ 1ln 1ln l l l l l ll l l l a a a a kωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 式中s∑表示对粒子各能级求和。
统计物理课件第八章.ppt
E(r )
y
l是y的函数，因此 ln 是，，y的函数 :
d ln ln d ln d ln dy
y
(dU Ydy) d ( ln ) d ln ln d
d ( ln ) d ln d ( ln ) d ( ln )
N ln
dU
Yd y
玻色的这个观念现在被称为玻色-爱因斯坦统计。 这篇论文在开始时未能发表，他把论文直接寄给爱因斯坦。爱因斯坦意 识到这篇论文的重要性，不但亲自把它翻译成德语，还以玻色的名义把论文 递予名望颇高的《德国物理学刊》发表。爱因斯坦也写了一篇支持玻色理论 的论文，递予《德国物理学刊》发表，并要求把这两篇论文一同发表。 爱因斯坦在他的论文中采取了玻色的观念，并把它延伸到原子去。这为 预测玻色-爱因斯坦凝聚的存在铺好了道路。
J U TS N F N
ln
kT ln
ln
ln
ln
J kT ln
七.费米系统
巨配分函数 ：
[1 e l ]l ; ln l ln(1 e l )
l
l
N ln
U ln
Y 1 ;
y
p 1
V
1 ; kT
S
k
ln
ln
1 e l
l
l ln(1 e l )
U ln
三. 广义力和物态方程
Y
l
al
l
y
l
l
l
y
e l 1 e l
1
y
l
l ln(1 e l )
Y 1
y
p 1
V
四.熵， ,的确定
(dU Ydy) (d ln ) ln dy
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l
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
5
3 广义力
Y
l
al
l
y
ln l ln(1 e l )
l
1 ln 1
y
y
l
l ln(1 e l )
l
l
e l (1) 1 e l
热统
1
§8.1 热力学量的统计表达
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
al le l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l 0
e l
l
al ea
l
l
l
e l 1
U lal
l
l
ll
e l 1
l (1 e l )l
l
l
对比玻耳兹曼分布
热统
ln l ln(1 e l )
l
Z1
e l l
l 0
3
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
l
l
l
e l 1
ln l ln(1 e l )
al
ln(l
al
al
))
热统
k ln B.E 10
对于费米分布
F.D
l
l ! al !(l al )!
ln F.D l lnl al lnal (l al ) ln(l al )
l
l
l
S k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
y
d(
ln)
*
ln d
*
ln dy d(
ln)
*
ln d
y
d( ln ) d( ln ) d(l*n )
d(ln ln ln )
TdS
热统
7
(dU Ydy d N ) d(ln ln ln ) TdS
1
kT
kT
熵 dS kd (ln ln ln )
0
N
g(
2m kT
h2
)3
/
2Ve
(1
1 23/ 2
e )
热统
14
内能
U D( )a( ) d 0
3 2
g
(
2mk
h2
T
)3
/
2Ve
k
T(1
1 25/ 2
S k(ln ln ln )
S k(ln U N )
U ln
N ln
与玻耳兹曼关系比较 S k ln
热统
8
对于玻色分布
B.E
l
(l al 1)! al!(l 1)!
ln B.E (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
总粒子数
6.2.17式
N
0
D( )a( )d
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
1/ 2d
e l 1
g 2V (2m)3/ 2 e 1/ 2 l (1me l )d
h3
0
g
2V
h3
(2m)3/ 2 e (
1/ 2e l d
0
1/ 2e 2 l d )
l
l
l
S k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
热统
9
al
l
e l
1
l 0
e N Z1
Z1
V
(
2m h2
)3
/
2
e
V N
(
2m kT
h2
)3
/
2
1
e N ( h2 )3/2 n3 1 V 2 mkT
热统
2
不满足非简并条件
开放系统，与源达到动态平衡，粒子数在能级上的平均分布。
采用玻色分布或费米分布
al
l
e l
1
二、巨配分函数
费米统计 玻色统计
N al
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
l
热统
11
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l )llFra biblioteklnl
ln
l ln(1 e l )
l
l
l
e l (1) 1 e l
l
l
e l 1
N ln
N
对比玻耳兹曼分布
N Z1e
热统
4
2 内能
U lal
l
l
ll e l 1
ln l ln(1 e l )
l
ln
l ln(1 e l )
l
y
l
l l
e l 1 y
l
al
l
y
Y
Y 1 ln
y
对比玻耳兹曼分布 Y N 1 ln Z1 y
压强
p 1 ln
V
p N ln Z1
V
热统
6
4 其它热力学函数
由开系的热力学公式 dU Ydy dN TdS
(dU Ydy d N ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
l l
al
U lal N al
U N
lal
aal
al (a l )
al
ln(l
al
al
)
S k(ln U N ) k(
l
ln l l al
al
ln(l
al
al
))
k ln F.D
热统
12
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可 区分。但当粒子在空间可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分 粒子系统的理论－玻耳兹曼统计－描述。
al
l
e l
1
一、 弱简并气体
e 1
al l e l e 虽小但不可忽略
1
1
e l 1 e l (1 e l )
1 1 e l
1me l
al
l
e l
1
le l (1 me l )
1 1 ex
1 ex
e2x
热统
13
考虑平动
p2
2m
粒子微观状态数
D(
)d
g
2V
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l ) l
l
ln
l l
al
U lal
N al
U N
lal
aal
al (a l )
al
ln(l
al
al
)
S k(ln U N ) k(
l
ln l l al
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
5
3 广义力
Y
l
al
l
y
ln l ln(1 e l )
l
1 ln 1
y
y
l
l ln(1 e l )
l
l
e l (1) 1 e l
热统
1
§8.1 热力学量的统计表达
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
al le l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l 0
e l
l
al ea
l
l
l
e l 1
U lal
l
l
ll
e l 1
l (1 e l )l
l
l
对比玻耳兹曼分布
热统
ln l ln(1 e l )
l
Z1
e l l
l 0
3
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
l
l
l
e l 1
ln l ln(1 e l )
al
ln(l
al
al
))
热统
k ln B.E 10
对于费米分布
F.D
l
l ! al !(l al )!
ln F.D l lnl al lnal (l al ) ln(l al )
l
l
l
S k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
y
d(
ln)
*
ln d
*
ln dy d(
ln)
*
ln d
y
d( ln ) d( ln ) d(l*n )
d(ln ln ln )
TdS
热统
7
(dU Ydy d N ) d(ln ln ln ) TdS
1
kT
kT
熵 dS kd (ln ln ln )
0
N
g(
2m kT
h2
)3
/
2Ve
(1
1 23/ 2
e )
热统
14
内能
U D( )a( ) d 0
3 2
g
(
2mk
h2
T
)3
/
2Ve
k
T(1
1 25/ 2
S k(ln ln ln )
S k(ln U N )
U ln
N ln
与玻耳兹曼关系比较 S k ln
热统
8
对于玻色分布
B.E
l
(l al 1)! al!(l 1)!
ln B.E (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
总粒子数
6.2.17式
N
0
D( )a( )d
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
1/ 2d
e l 1
g 2V (2m)3/ 2 e 1/ 2 l (1me l )d
h3
0
g
2V
h3
(2m)3/ 2 e (
1/ 2e l d
0
1/ 2e 2 l d )
l
l
l
S k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
热统
9
al
l
e l
1
l 0
e N Z1
Z1
V
(
2m h2
)3
/
2
e
V N
(
2m kT
h2
)3
/
2
1
e N ( h2 )3/2 n3 1 V 2 mkT
热统
2
不满足非简并条件
开放系统，与源达到动态平衡，粒子数在能级上的平均分布。
采用玻色分布或费米分布
al
l
e l
1
二、巨配分函数
费米统计 玻色统计
N al
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
l
热统
11
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l )llFra biblioteklnl
ln
l ln(1 e l )
l
l
l
e l (1) 1 e l
l
l
e l 1
N ln
N
对比玻耳兹曼分布
N Z1e
热统
4
2 内能
U lal
l
l
ll e l 1
ln l ln(1 e l )
l
ln
l ln(1 e l )
l
y
l
l l
e l 1 y
l
al
l
y
Y
Y 1 ln
y
对比玻耳兹曼分布 Y N 1 ln Z1 y
压强
p 1 ln
V
p N ln Z1
V
热统
6
4 其它热力学函数
由开系的热力学公式 dU Ydy dN TdS
(dU Ydy d N ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
l l
al
U lal N al
U N
lal
aal
al (a l )
al
ln(l
al
al
)
S k(ln U N ) k(
l
ln l l al
al
ln(l
al
al
))
k ln F.D
热统
12
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可 区分。但当粒子在空间可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分 粒子系统的理论－玻耳兹曼统计－描述。
al
l
e l
1
一、 弱简并气体
e 1
al l e l e 虽小但不可忽略
1
1
e l 1 e l (1 e l )
1 1 e l
1me l
al
l
e l
1
le l (1 me l )
1 1 ex
1 ex
e2x
热统
13
考虑平动
p2
2m
粒子微观状态数
D(
)d
g
2V
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l ) l
l
ln
l l
al
U lal
N al
U N
lal
aal
al (a l )
al
ln(l
al
al
)
S k(ln U N ) k(
l
ln l l al