矩形的判定和性质讲课稿

矩形的性质和判定
一、基础知识
（一）矩形的定义
有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。

（二）矩形的性质：
1. 矩形具有平行四边形的一切性质；
2. 矩形的对角线相等；
3. 矩形的四个角都是90°;
4. 矩形是轴对称图形；
边角对角线对称性矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称
（三）矩形的判定：
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2. 对角线相等的平行四边形是矩形；
3. 有三个角是直角的四边形是矩形；
4. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

（四）直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（如图：OB U OC U O A J A C）
2
、例题讲解
考点一：矩形的基本性质
例1 :如图，在矩形ABCD中，AE?丄BD, ?垂足为E, ?/DAE=?2之BAE ?那么，？/ BAE= _____________ ,
Z EAO= _______ ,若EO=1,贝y OD= ______ AB= _______ , AD= _______ r
B C
练习1 :矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6, △ OBC勺周长是15,求矩形的对角线的长
度•
练习2 :如图，在矩形ABCD中, CEL BD, E为垂足，/ DCE：/ ECB= 3 ：1,求/ ACD.
例2:如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm那么矩形的周长是多少？
练习1 :矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点0,已知矩形ABCD勺面积是12cm2, AB=4cm求矩形的对角线长。

例3:如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB BC分别长15cm和25cm,内角/ BAD的角平分线与边BC交于点E.试求BE与CE的长度.
练习1 :如图，在矩形ABCD中, E是边AD上的一点•试说明厶BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.
例4: （2009年广西钦州）已知：如图1,在矩形ABCD中, AF= BE求证：DE= CF;
练习1 :如图，矩形ABCD中, E为AD中点，/ BEC为直角，矩形ABCD勺周长是20,求AD AB的长。

练习2: (2009年衢州)如图，四边形 ABCD 矩形，△ PBC^A QC ［都是等边三角形，且点 P 在矩形上方, 点Q 在矩形内. 求证：(1)Z PB/=Z PCQ 30。

；
(2) PA=PQ
考点二：面积法
例1 :如图，在矩形 ABCD 中, AB= 3, BC = 4, BE 丄AC 于E .试求出 BE 的长.
练习1 :如图，矩形ABCD 中, E 点在BC 上，且AE 平分 BAC 若BE =4, AC =15,贝U AEC 面积为(
)
A.
15 B. 30 C. 45 D. 60 。

D
C
(1) 判定△ A0B的形状.
(2) 计算△ BOQ的面积.
练习3:如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点C/处, 求厶BED
的面积。

考点三：矩形对角线平分且相等
例1 :矩形的两条对角线相交成60°角，较短边与一条对角线之和为
cm
练习i:矩形的对角线所成的角之一是
A . 57.5 ° B
65°，则对角线与各边所成的角度是(
.32.5 °
C . 57.5 °、33.5
D . 57.5 °、32.5
练习2:如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC BD相交于点0, AB=4cm ,AD=4 3 cm.
BC 交AD于E, AD=8 AB=4, BE=5,
15cm，则矩形的对角线长为___________
).
D
C'
练习2:矩形两条对角线的夹角是120°,短边长4cm；则矩形的对角线长_____________________________________ 练习
3 :如图，矩形ABCD勺对角线相交于点O / AOB= 120°,AD= 5cm,则AC= ___________________________________
考点四：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1 :如图，△ ABC中，/ A=2/ B,。

是厶ABC的高,
1
E是AB的中点，求证：DE=—AC.
2
练习1 :如图，矩形ABCD勺对角线AC交BD于D, E为CB延长线上一点，连接AE, M为AE中点且BML DM 于点M,
(1)连接0M若AD=8 CD=6求0M勺长。

(2)求证：AD+BE=2A0
考点四：角平分线
例1 :已知，四边形ABCD是矩形，CH L BD, H为垂足,AE是/ BAD的平分线,交HC的延长线于E。

求证：CE=BD
例2:矩形ABCD AC BD相交于点O, AE平分/ BAD交BC于E,若/ CAE=15 ,求/ B0E的度数;
例3: （2009年佳木斯中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD&对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB与CD
交于点E
（1） 试找出一个与△ AED 全等的三角形，并加以证明•
（2） 若AB=8, DE=3, P 为线段AC 上的任意一点，PGL AE 于G PHL EC 于 H,试求PGPH 的值，并说明 理由•
J
匚
A £ .
-JB
练习1 :如图，E 为矩形 ABCD 边AD 上一点，BE=DE P 为BD 上一点，PF L BE 于F , PGL AD 于 G 求证：PF+PG=AB
课后练习：
1、矩形的两条对角线的夹角为 60
° , ?
一条对角线与短边的和为 15, ?对角线长是 ___________________ ，两边长分别
等于 __________
2、 矩形周长为36cm, —边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是
3、 如图，矩形 ABCD 中, E 是 BC 中点，/ BAE=30 , AE=4,贝U AC= ________ :
4、如图，矩形
ABCD中, AB=2BC在CD上取上一点M 使AM=AB则/ MBC= ____________
5、已知：如图，矩形ABCD中, EF丄CE EF=CE DE=2,矩形的周长为16,求AE的长.
6、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB= 3,贝U BC的长为（）
A. 1 B . 2
C. 、2 D . 3
P从点B出发，沿BC, CD DA运动至点A停止.设点P运动的路程为△ ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ ABC的面积是（）
A. 10
B. 16
C. 18
D. 20
7、如图1,在矩形ABCD中，动点
8、（2009年遂宁）如图，已知矩形ABCDK AB=4cm, AD=10cm点P在边BC上移动，点E、F、G H分别是AB AP DP DC的中点.
⑴求证：EF+G片5cm
⑵求当/ APD90。

时，_EL的值.
GH。