集合的并、交、补集(含答案)
2020年新高考数学复习求同存异解决集合的交、并、补运算问题专题解析
2020年新高考数学复习求同存异解决集合的交、并、补运算问题专题解析考纲要求:1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.基础知识回顾:1、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集若全集为U，则集合A的补集为符号表示A∪B A∩B∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A}2、集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A，∁U（A∪B）=∁U A∩∁U B,∁U（A∩B）=∁U A∪∁U B应用举例:类型一：已知集合中的元素，求其交集、并集或补集 例1.已知集合，，则为（ ）A.B.C.D.【答案】C例2.全集{}2,1,0,1,2U =--， {}2,2A =-， 2{|10}B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}1,1-D. {}0 【答案】D【解析】试题分析：根据韦恩图得到表示的是()U C A B ⋃，根据题意求得集合B ，再求集合A 并B ，再求补集即可.详解： {}{}2|1011B x x =-==-，，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃， {}2,1,1,2A B ⋃=--，(){}0U C A B ⋃=故答案为：D.点睛：这个题目考查了韦恩图的应用，一般先读懂韦恩图所代表的集合的含义，再将区域用集合的交并补形式表示出来，最终求解即可.例3．已知全集，集合，，则中元素的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】分析：先解分式不等式得集合U，解绝对值不等式得集合A，解二次不等式得集合B，最后根据并集以及补集定义得结果.详解：因为，所以,因为，所以,因为，所以,因此，元素的个数是3,选D,点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．类型二：已知集合交集、并集或补集中的元素，求其集合中的元素例4．设全集，，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【例5】设全集{}()1,2,3,4,5,U U C A B ==U {}(){}1,A 3U C B =I ，则集合B =（ ）A ．{}1,2,4,5B ．{}2,4,5C ．{}2,3,4D ．{}3,4,5【答案】B【解析】如图，{2,4,5}B =．故选B ．13U ：1，2，3，4，5BA类型三：已知集合关系求参数的值或范围 例6．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】B例7．已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________. 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意， {|12}A B x x ⋃=-＜＜ ， ∵集合{|10}C x mx A B C =+⋃⊆＞， ， ①111102022m x m m m m -∴-≥∴≥-∴-≤＜，＜，，，＜；②m 0= 时，成立；③1101101m x m m m m -∴-≤-∴≤∴≤＞，＞，，，＜，综上所述， 112m -≤≤，故答案为112m -≤≤．例8．已知函数()41log ,,416f x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域是集合A ，关于x 的不等式()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合5|01x C x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->. （1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(),4-∞-；（2）(]0,3.解：（1）因为41>，所以()f x 在区间1416⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()()44min max 1log 2,log 4116f x f x ==-==，所以[]2,1A =-.由()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，可得()322x a x -+>，即3x a x -->，所以4a x <-，所以,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭.又因为A B B ⋃=，所以A B ⊆． 所以14a->，解得4a <-， 所以实数a 的取值范围为(),4-∞-．方法、规律归纳:1、一个性质：要注意应用A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性． 两种方法2、两种方法：韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 实战演练:1．已知集合{}21,1M xN y y x x ⎧⎫=<==-⎨⎬⎩⎭，则()R C M N ⋂= A. (]0,2 B. []0,2 C. ∅ D. []1,2 【答案】B【解析】因为(){}[)212,,10,M xN y y x x ∞⎧⎫=<+==-=+∞⎨⎬⎩⎭＝，则(]R ,2C M =-∞， ()[]0,2R C M N ⋂=.故选B.2．已知全集为，集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C3．已知集合，，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：集合为函数的值域，集合为函数的定义域，分别求出它们后可求出交集及其补集. 详解：，，故，所以，故选C.点睛：本题为集合和函数性质的综合题，一般地，表示函数的值域，表示函数的定义域，解题中注意集合中代表元的含义. 4．设集合，，则的真子集的个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】C5．设集合1|,36k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 2|,63k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A. M N = B. M N ⊂≠C. NM ⊂≠D. M N ⋂=∅【答案】B【解析】 因为()()112121,2,366636k k x k x k k Z =+=+=+=+∈，所以M N ⊂≠，故选B.6．已知集合，，若，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】分析：由可得是方程的两根，再根据韦达定理列方程求解即可.详解： ，由，可得是方程得两根， 由韦达定理可得，即，故选B.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决； （3）注意划归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解． 7．集合,,若只有一个元素，则实数的值为（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2 【答案】B 【解析】因为只有一个元素，而， 所以 或，选B.8．集合，，，则的取值范围是_______．【答案】9．已知集合1{|}2M x x =≥-， 32{|310}A x M x x a =∈-+-=， {|20}B x M x a =∈--=，若集合A B ⋃的子集的个数为8，则a 的取值范围为__________． 【答案】51,11,28⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【解析】作函数()()321131,,2,22h x x x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图像，因为集合A B ⋃的子集的个数为8，所以集合A B ⋃的子集的元素为3，因此()5111112228g a h a f ⎛⎫⎛⎫-=-≤<-=≠=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，即a 的取值范围为51,11,28⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．函数()()2lg f x x ax b =++的定义域为集合A ,函数()243g x kx x k =+++的定义域为集合B ,若(∁R A )∩B =B , (∁R A )∪B ={x |－2≤x ≤3}.求实数,a b 的值及实数k 的取值范围.【答案】1,6a b =-=-, 24,3k ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.。
第7讲 集合的交并补运算
3.常用结论
(1))A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
(2)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
考向一：集合间的基本运算
【例1】(1)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，
解析：由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当 x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．
【变式训练2】(1)已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝ {(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝
【 ＋解 1＝析0】平因行为，A所∩以B＝m＝∅，12 所以直线2x＋y＝0与直线x＋my
(3)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B ＝{1}，则B＝
【解析】由题意可得1－4＋m＝0，解得m＝3，所以B＝ {x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}
考向二：集合间运算的综合问题
【例2】 (1)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，
且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝
【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，
Байду номын сангаас
B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，
A∪B＝(－∞，3] 7．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－
1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是
【解析】因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|
高三数学集合的运算试题答案及解析
高三数学集合的运算试题答案及解析1. [2014·苏北五市模拟]已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】(2,3)【解析】∵集合B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1.又∵集合A中，|x－a|≤1，∴a－1≤x≤1＋a.∵A∩B＝∅，∴a＋1＜4且a－1＞1.∴2＜a＜3.2.已知集合，，则 ( )A．{x｜0＜x＜}B．{x｜＜x＜1}C．{x｜0＜x＜1}D．{x｜1＜x＜2}【答案】B【解析】=，=，所以{x｜＜x＜1}，故选B.【考点】1.集合的运算.2.指数函数的性质.3. (2014·天门模拟)设P和Q是两个集合,定义集合P+Q={x|x∈P或x∈Q且x∉P∩Q}.若P={x|x2-(x2-2x-15)},那么P+Q等于()3x-4≤0},Q={x|y=log2A．[-1,4]B．(-∞,-1]∪[4,+∞)C．(-3,5)D．(-∞,-3)∪[-1,4]∪(5,+∞)【答案】D【解析】由题意可知P={x|-1≤x≤4},Q={x|x<-3或x>5}.所以P+Q={x|x<-3或-1≤x≤4或x>5}.4.已知集合A＝{x|}，B＝{x|}，则集合＝（）A．{x| 0＜x＜4}B．{x| 0＜x＜5}C．{x| 1＜x ≤ 4}D．{x| 4≤x＜5}【答案】C【解析】，.选C.【考点】集合的基本运算.5.已知集合，，则．【答案】【解析】求两集合的交集，就是求它们共同元素的集合.集合A为无限集，集合B为有限集，所以将集合B中元素逐一代入集合A验证，得.【考点】集合基本运算．6.已知a≤1时，集合[a，2－a]中有且只有3个整数，则a的取值范围是________．【答案】－1<a≤0【解析】因为a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a<0适合题意．综上，a的取值范围是－1<a≤0.7.已知非空集合和，规定，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一：设集合，，根据定义，则，因此，故选B.解法二：根据定义，则对任意，且，则，因此，所以，故选B.【考点】1.新定义；2.集合的运算8.设集合则( )A．{x|x<－2或x>2}B．{x|x>2}C．{x|x>1}D．{x|x<1}【答案】B【解析】由，即可得或.又因为.所以.【考点】1.绝对值不等式的解法.2.集合的交集的运算.9.设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围.【答案】a=1或a≤-1【解析】由A∩B=B得B⊆A,而A={-4,0},Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8,当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=⌀,符合B⊆A;当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B⊆A;当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而B⊆A={-4,0};∴B={-4,0}得a=1.∴a=1或a≤-1.10.设集合若，则的范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据题意，，而，在数轴上表示可得，必有，故选B．【考点】集合与集合之间关系．11.已知全集U＝{y|y＝log2x，x>1}，集合P＝，则∁UP＝()．A．B．C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪【答案】AP＝.【解析】集合U＝{y|y>0}，P＝{y|0<y<}，∴∁U12.己知全集，集合，，则 .【答案】【解析】本题首先求出集合A，B，再求它们的运算，这两个集合都是不等式的解集，故解得，，因此.【考点】集合的运算.13.已知全集U，A，B，那么 __．【答案】【解析】这是基本题型，考查集合的运算，，即B的补集由全集U中不属于B的元素所组成.两个集合的并集简单地讲就是把两个集合的元素合在一起，相同的只写一个即可．【考点】集合的运算．14.已知全集=N，集合Q=则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由于P中含1、2、3、4、6，Q中含有1、2、3，而没有4、6，所以求就应将P中的1、2、3排除，而只留4和6，即.【考点】集合的基本运算.A)∩B=（）15.已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(CUA. {x|-1＜x≤3}B. {x|2≤x﹤3}C. {x|x=3}D.【答案】B【解析】∵，，∴.【考点】1.对数不等式的解法；2.集合的交、补运算.16.设全集是实数集，，N＝{x|}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|－2≤x＜1B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2D．{x|x＜2}【答案】C.【解析】从韦恩图可知阴影部分是扣除了集合M与N的公共部分的那部分.由，所以，所阴影部分的集合为{x|1＜x≤2故填C.【考点】1.二次不等式的解法.2.补集的概念.3.韦恩图的应用.17.设函数．（1）在区间上画出函数的图象；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明.【答案】（1）详见解析; （2）.【解析】（1）根据函数的具体特点采用列表描点的基本方法，区间的端点要单独考虑，另外还要考虑到函数的零点，含有绝对值函数的图象的规律：轴上方的不变，轴下方的翻到轴上方，这样就可画出函数在区间上的图象; （2）由不等式可转化为求出方程的根，再结合（1）中所作函数的图象，利用函数图象的单调性，即可确定出不等式的解集，借助于数轴可分析出的关系．试题解析：（1）函数在区间上画出的图象如下图所示：5分（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此. 8分由于. 10分【考点】1.函数的图象和性质;2.集合的运算18.已知全集，集合,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，则.【考点】集合的运算19.已知全集，集合，，那么（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，，故选D.【考点】1.集合的基本运算；2.一元二次不等式的解法20.已知集合，集合，则 ( )A．(-)B．(-]C．[-)D．[-]【答案】B．【解析】解：，故选B．【考点】1．简单不等式的解；2．集合的运算（交集、补集）．21.设,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以.【考点】集合的运算.22.设集合，，则 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，由图知：．【考点】1.集合的运算；2.一元二次不等式的解法.23.已知集合，，则．【答案】【解析】分别在数轴上表示集合A和B，取并集.【考点】集合的运算24.已知集合则集合=________.【答案】[4,6]【解析】根据题意，由于集合可知，B={x| },A=[-5,6]，那么根据交集的定义可知=[4,6]，故答案为[4,6]。
高一数学集合与函数的概念试题答案及解析
高一数学集合与函数的概念试题答案及解析1. 设，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，所以． 【考点】集合交集，并集，补集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．在求交集时注意区间端点的取舍．熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目．2. 下列命题正确的是（ ） A ．∁U （∁U P ）={P}B ．若M={1，∅，{2}}，则{2}⊆MC ．∁R Q=QD ．若N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，则N ∈S【答案】D【解析】根据集合的定义和补集运算法则，集集合子集的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断；解：A 、∁U （∁U P ）=p ，∵{P}，∴p ∈{P}，故A 错误；B 、集合M 中的元素，有1和，∅，{2}，知1是数，∅，{2}是集合，∴1和，∅，{2}，不能构成集合B ，故B 错误；C 、∵∁R Q 为无理数集，而Q 为有理数集，故C 错误；D 、∵N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，∴N 的所有子集构成集合S ，∴N ∈S ，故D 正确； 故选D ．点评：此题主要考查集合的定义及其元素与集合的关系，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．3. 已知M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}，则M∩N=（ ） A ．{0，1} B ．{（0，1）} C ．{1} D ．以上均不对【答案】C【解析】根据函数值域求得集合M=[1，+∞），N}=（﹣∞，1]，根据集合交集的求法求得M∩N ． 解；集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}=[1，+∞）， N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}=（﹣∞，1]， ∴M∩N={1} 故选C ．点评：此题是个基础题．考查交集及其运算，以及函数的定义域和圆的有界性，同时考查学生的计算能力．4. 若U={x|x 是三角形}，P={x|x 是直角三角形}则∁U P=（ ） A ．{x|x 是直角三角形} B ．{x|x 是锐角三角形} C ．{x|x 是钝角三角形}D ．{x|x 是钝角三角形或锐角三角形}【答案】D【解析】根据三角形的分类得到三角形为锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，即可求出P的补集．解：∵U={x|x是三角形}，P={x|x是直角三角形}，∴∁P={x|x是钝角三角形或锐角三角形}．U故选D点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．5.已知集合P={x|x2+x﹣6=0}，M={x|mx﹣1=0}，若M⊊P，求实数m的取值范围．【答案】{0，，﹣}．【解析】由题设得P={﹣3，2}，根据M⊆P，根据集合中元素个数集合B分类讨论，P=∅或{2}或{﹣3}，由此求解实数m的取值范围．解：对于P：由x2+x﹣6=0得，x=﹣3或x=2，即P={﹣3，2}，∵M⊊P，∴M是P的真子集，则M=∅或{2}或{﹣3}，当M=∅时，mx﹣1=0无解，则m=0；当M={2}时，2m﹣1=0，解得m=；当M={﹣3}时，3m﹣1=0，解得m=﹣，综上得，实数m的取值范围是：{0，，﹣}．点评：本题考查了集合的包含关系，用列举法求出已知集合的子集，以及二次方程的解法等，体现了分类讨论思想．6.设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P⊕Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊕Q的真子集个数（）A．23﹣1B．27﹣1C．212D．212﹣1【答案】D【解析】由所定义的运算先求出P⊕Q中元素的个数，然后再求集合P⊕Q的所有真子集的个数．解：由所定义的运算可知，集合P⊕Q中元素（x，y）中的x取自3，4，5三个的一个，y取自4，5，6，7四个的一个，故根据乘法原理，P⊕Q中实数对的个数是：3×4=12，∴P⊕Q的所有真子集的个数为212﹣1．故选D．点评：若集合中有n个元素，则集合中有2n﹣1真子集．7.在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；③方程的实数解”中，能够表示成集合的是A．②B．③C．②③D．①②③【答案】C【解析】①不满足集合元素的确定性，②③能构成集合，③为.故选C．【考点】集合的含义．8.函数的定义域为，且对其内任意实数均有：，则在上是A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数【答案】B【解析】当时，则即当时，则即所以函数在上是减函数。
人教版数学高一单元测试卷第6课时集合的并集、交集、补集的综合运算含解析
(1)求A∪B，(A)∩B；
(2)若C⊆B，求实数a的取值范围．
解：(1)A∪B＝{x|2<x<10}．
∵A＝{x|x≤2或x≥7}，
∴(A)∩B＝{x|7≤x<10}．
(2)①当C＝∅时，满足C⊆B，此时5－a≥a，得a≤；
答案：{x|x≤－2或x≥6}
解析：(A∪B)＝{x|－2<x<6}
又U＝R，所以可得∁U(A∪B)＝{x|x≤－2或x≥6}．
8．如图所示，阴影部分表示的集合为________．
答案：(A∪B)∪(A∩B)解析：阴影部分有两类：(1)(A∪B)；(2)A∩B.
9．设集合M＝{x|x>1，x∈R}，N＝{y|y＝2x2，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R，y∈R}，则(M)∩N＝________，M∩P＝________.
答案：{x|0≤x≤1}∅
解析：因为M＝{x|x>1，x∈R}，所以M＝{x|x≤1，x∈R}，又N＝{y|y＝2x2，x∈R}＝{y|y≥0}，所以(M)∩N＝{x|0≤x≤1}．因为M＝{x|x>1，x∈R}表达数集，而P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R，y∈R}表示点集，所以M∩P＝∅.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
3．设全集U＝Z，集合A＝{－1,1,2}，B＝{－1,1}，则A∩(B)为()
A．{1,2} B．{1}
C．{2} D．{－1,1}
答案：C
解析：因为U＝Z，B＝{－1,1}，所以B为除－1,1外的所有整数的集合，而A＝{－1,1,2}，所以A∩(B)＝{2}．
第10讲 集合的运算 (解析版)
第10讲 集合的基本运算一、 集合的运算 (一)交集文字语言对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }图形语言阴影部分为A ∩B .例如(1){}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,8A B ==,{}3,4,5AB =(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}32|{<<=x x B A性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A【例1】交集（1）已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{－1,2}，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{2}C ．{－1,2}D ．{1,2,3} 【答案】B【解析】由题得A ∩B ＝{}2（2）已知A ＝{y |y ≤1}，B ＝{x|x ≥0}，则集合A ∩B 等于( )A ．∅B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1} 【答案】C,利用数轴，容易得到答案。
这里注意，不少同学会认为是A 答案，为什么不对？ （3）已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A ∩B ＝________. 【答案】{(0,1)，(－1,2)}【解析】A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．(4)集合A ＝{x |2k <x <2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |1<x <6}，求A ∩B ； (4)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}．【变式1】(1)设集合{1,2,3,4}A =，{2,4}B =，则集合A B = .答案：(1)AB ={2,4}(2)集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≤0或x >5}，求A ∩B ； 答案：(2)A ∩B ＝{x |－2<x ≤0}．(3)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，求A ∩B . 答案：(3)A ∩B ＝∅.(4)设集合{}{}290,30A x x B x x a =-≤=+≥，且{}13A B x x ⋂=≤≤，则a =（ ）A ．1-B ．3-C ．1D ．3【答案】B 【分析】求出集合A ，B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】{}{}29033A x x x x =-≤=-≤≤，3a B x x ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭,由{}13A B x x ⋂=≤≤，所以13a-=，即3a =-. 故选：B.（二）并集，阴影部分为A ∈B例如(1){}{}{}1,3,52,3,4,62,3,4,5,6=(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}41|{<<=x x B A性质A ∈B ＝B ∈A ，A ∈A ＝A ，A ∈∅＝∅∈A ＝A ，如果A ∈B ，则A ∈B ＝B .【例2(1) 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B =( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4} D ．{1,3,4} 【答案】A【解析】∈A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，∈A ∈B ＝{1,2,3,4}．故选A. (2) A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≤1或x >3}，求A ∈B . 【解析】如图：由图知A ∈B ＝{x |x <2或x >3}．(3)已知集合2{|20}A x x x =-≥，{|}B x x a =<，且A B =R ，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≥ 【分析】先求出集合A ，然后由条件A B =R 结合数轴可得答案. 【详解】由220x x -≥解得0x ≤或2x ≥，则{|0,A x x =≤或}2x ≥，又{|}B x x a =<，若A B =R ， 则2a ≥.故选：D .(4)A ＝{(x ，y )|x ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝2}．求A ∈B ，并说明其几何意义．【解析】A ∈B ＝{(x ，y )|x ＝2或y ＝2}，其几何意义是直线x ＝2和直线y ＝2上所有的点组成的集合．【变式2】(1)已知集合{}=23A x x -≤≤，{}240B x x x =-≤，则AB = .A ．[]2,4-B ．[]2,0-C ．[]0,3D ．[]4,3-【答案】A 【分析】先解出集合B ,再求A B .【详解】由{}240B x x x =-≤解得：{}04B x x =≤≤，所以A B =[]2,4-.故选：A(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B .解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1得m <2， 则B ＝{m |m <2}．用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．（三）补集 （1）全集定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U . （2）补集例如(1)}{1,2,3,4,5=U ，{3,4}=A ，{1,2,5}=A C U(2)}51|{<<=x x U ,}32|{<<=x x B ,,21|{≤<=x x A C U 或}53<≤x性质A ∈∈A ＝U ；A ∩∈A ＝∈；∈(∈A )＝A .【例3】(1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则A C U ＝________. 【答案】{3,4,5}(2)若全集U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}，求A C U 【解析】∈U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}， ∈A C U ＝{x ∈R|0<x ≤2}.(3)设全集U ＝{x |x 是三角形}，A ＝{x |x 是锐角三角形}，B ＝{x |x 是钝角三角形}，求A ∩B ，)(B A C U ． 【解析】根据三角形的分类可知，A ∩B ＝∈，A ∈B ＝{x |x 是锐角三角形或钝角三角形}，)(B A C U ＝{x |x 是直角三角形}．【变式3】(1)设U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3，4,5,6}，求A C U ，B C U .【解析】根据题意可知，U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以A C U ＝{4,5,6,7,8}，B C U ＝{1,2,7,8}． (2)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2≥0}，则A C R ＝________. 【答案】{x |－1<x <2}（四）集合运算的综合【例4】（1）已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝______，(∁U A )∩(∁U B )＝________. 答案 {x |0<x <1} {x |0<x <1}解析 A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．∁U A ＝{x |x >0}，∁U B ＝{x |x <1}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{x |0<x <1}．（2）设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－1 【答案】D【解析】因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a >－1.故选D 。
集合间的基本运算(交集,并集,补集)非常全面的题型分类
集合间的基本运算一、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.二、交集交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.三、并集与交集的运算性质题型一 并集及其运算例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于( ) A.{x |－1≤x ＜3} B.{x |－1≤x ≤4} C.{x |x ≤4}D.{x |x ≥－1} (3).已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（ ）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x变式练习1 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个题型二 交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}变式练习2(1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________.（3）.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1-（4）.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.题型三已知集合的交集、并集求参数例3已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围变式练习3设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.例4设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a 的取值范围.变式练习4设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的取值范围.例5 (1)设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B 等于( )A.∅B.{53，13}C.{(53，13)} D.{x＝53，y＝13}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.变式练习5（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；（2）设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．课后练习 一、选择题1.设集合A ＝{－1,0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}2.已知集合M ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A.{1} B.{－1,1} C.{0,1}D.{－1,0,1}3.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}三、解答题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.6.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.7.(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.四、全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.五、补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言为六、补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ).题型一 补集运算例1 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.变式练习 1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则A C U ＝________.2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.题型二 补集的应用例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.变式练习2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.题型三并集、交集、补集的综合运算例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).变式练习3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.题型四利用Venn图解题例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.变式练习4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.变式练习5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.课后作业一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于( )A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁N)等于( )UA.∅B.{d }C.{a ，c }D.{b ，e }4.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤1}B.{a |a <1}C.{a |a ≥2}D.{a |a >2}5.设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N 等于( )A.{x |x <－2}B.{x |－2<x <1}C.{x |x <1}D.{x |－2≤x <1}6.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________.7.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________.8.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎨⎧ 3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).9.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}.(1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.10.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }.(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.11.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.12.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．。
交集、并集、补集、全集
交集、并集、补集、全集一、学习内容：1.理解交集、并集、全集与补集的概念。
2.熟悉交集、并集、补集的性质，熟练进行交、并、补的运算二、例题第一阶梯例1、什么叫集合A、B的交集？并集？答案：交集：A∩B={x | x∈A , 且x∈B}并集：A∪B={x | x∈A , 或x∈B}说明：上面用描述法给出的交集、并集的定义，要特别注意逻辑联结词"且"、"或"的准确意义，在交集中用"且"在并集中用"或交、并运算有下列推论：例2、什么叫全集？补集？答案：在研究集合与集合的关系时，相对于所研究的问题，存在一个集合I，使得问题中的所有集合都是I的子集，我们就把集合I看作全集，全集通常用I表示。
补集：。
说明：全集和补集都是相对的概念。
全集相对于所研究的问题，我们可以适当地选取全集，而补集又相对于全集而言。
如果全集改设了，那么补集也随之而改变。
为了简化问题可以巧设全集或改设全集，"选取全集"成为解题的巧妙方法。
补运算有下列推论：①；②；③。
例3、(1)求证：，。
(2)画出下列集合图（用阴影表示）：①；②；③；④。
提示：(1)证明两个集合M和P相等可分两步完成：第一步证明"由x∈M T x ∈P"；第二步证明"由x∈PTx∈M "。
(2)利用（1）的结果画③、④。
答案：说明：(1)中的两个等式是集合的运算定律，很容易记住它，解题时可以应用它。
这个证明较难，通常不作要求。
但其证明是对交、并、补运算及子集的很好练习。
(2)中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习。
图(1)叫做"左月牙"，图2叫做"右月牙"。
画图3、图4时要利用集合的两个运算律来画。
第二阶梯例1、已知A={x | 2x4＋5x3－3x2=0}，B={x | x2＋2|x|－15=0}，求A∩B，A∪B。
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集合的并、交、补集
一、单选题(共12道，每道8分)
1.设集合，，则=( )
A.{0}
B.{0，2}
C.{-2，0}
D.{-2，0，2}
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：并集及其运算
2.若集合，，则=( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：交集及其运算
3.已知集合，，若={2，5}，则a+b的值为( )
A.10
B.9
C.7
D.4
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：交集及其运算
4.设集合，，若，则a的值为( )
A.0
B.1
C.-1
D.±1
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：交集及其运算
5.已知全集，集合，则( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：补集及其运算
6.若集合，集合，则( )
A.)
B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：补集及其运算
7.设集合，，则满足的集合有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：交集及其运算
8.满足，且的集合M有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：子集与真子集
9.若，则满足条件的集合共有( )个．
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：并集及其运算
10.如图，U是全集，A，B，C是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：Venn图表达集合的关系及运算
11.已知全集，，那么下列结论中不成立的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：子集与交集、并集运算的转换
12.已知集合，，若，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：交集及其运算。