高考数学复习辅导资料专题数形结合
【专题一】数形结合思想
【考情分析】
在高考题中,数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上,把图象作为工具、载体,以此寻求解题思路或制定解题方案,真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看,涉及数形结合的题目略少,预测2012年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查,是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查,是对学生思维品质和数学技能的考查,是新课标高考明确的一个命题方向。
1.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质,是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化。“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2.数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位,考纲指出“数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想思想方法的考查,注重对数学能力的考查”,灵活运用数形结合的思想方法,可以有效提升思维品质和数学技能。
3.“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查,考查时要与数学知识相结合”,用好数形结合的思想方法,需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示,为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4.函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等,是“以形示数”,而解析几何的方程、斜率、距离公式,向量的坐标表示则是“以数助形”,还有导数更是数形形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5.在数学学习和解题过程中,要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径,制定解题方案,养成数形结合的习惯,解题先想图,以图助解题。用好数形结合的方法,能起到事半功倍的效果,“数形结合千般好,数形分离万事休”。
纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。
【知识交汇】
数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.。
应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化:
数形结合思想解决的问题常有以下几种:
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系;
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;
(5)构建立体几何模型研究代数问题;
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;
(7)构建方程模型,求根的个数;
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 常见适用数形结合的两个着力点是:
以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方法.
以数助形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.这种思想方法体现在解题中,就是指在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索,促使抽象思维和形象思维的和谐复合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到简捷解决。
1.数形结合的途径 (1)通过坐标系形题数解
借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的);值得强调的是,形题数解时,通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用,可以大大缩短代数推理)
实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。4)1()2(2
2=-+-y x 如等式。
常见方法有:
(1)解析法:建立适当的坐标系(直角坐标系,极坐标系),引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。 (2)三角法:将几何问题与三角形沟通,运用三角代数知识获得探求结合的途径。
(3)向量法:将几何图形向量化,运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。
(2)通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数与形进行巧妙地转化.例如,将a >0与距离互化,将a 2与面积互化,将a 2+b 2+ab=a 2+b 2-2)12060(cos ?=?=θθθ或b a 与余弦定理沟通,将a≥b≥c >0且b+c >a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通,将有序实数对(或复数)和点沟通,将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)。另外,函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一,正是基于此,函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。 常见的转换途径为:
(1)方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题,并借助函数的图象和性质解决相关的问题。
(2)利用平面向量的数量关系及模AB 的性质来寻求代数式性质。
(3)构造几何模型。通过代数式的结构分析,构造出符合代数式的几何图形,如将2
a 与正方形的面积互
化,将abc
(4)利用解析几何中的曲线与方程的关系,重要的公式(如两点间的距离22
1212()()x x y y -+-,点到直线的距离002
2
d A B
=
+,直线的斜率,直线的截距)、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。
2.数形结合的原则 (1)等价性原则
在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
(2)双向性原则
在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的。
例如,在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来研究几何问题,但是在许多时候,若能充分地挖掘利用图形的几何特征,将会使得复杂的问题简单化。
(3)简单性原则
就是找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程,则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法,几何问题寻找代数方法。
【思想方法】
题型1:利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题
例1.(1)(2011山东文1)
设集合 M ={x|(x+3)(x ―2)<0},N ={x|1≤x≤3},则M ∩N =( )
A .[1,2)
B .[1,2]
C .( 2,3]
D .[2,3] (2)(2011湖南文1)设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M
N M
C N ===则N =( )
A .{1,2,3}
B .{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4}
解析:(1)A ;解析;因为{}|32M x x =-<<,所以{}|12M N x x ?=≤<,故选A 。
点评:不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行,解题时注意验证区间端点是否符合题意。 (2)B ;解析:画出韦恩图,可知N ={1,3,5}。
点评:本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。
例2.(1)(2011陕西理3)设函数()f x (x ∈R )满足()()f x f x -=,(2)()f x f x +=,则函数()y f x =的图像是( )
(2)(2010年天津卷)设函数2
()2()g x x x R =-∈,()4,(),
(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域
是( )
A .9,0(1,)4??-
?+∞???? B .[0,)+∞ C .9[,)4-+∞D .9,0(2,)4??
-?+∞????
解析:(1)B ;根据题意,确定函数()y f x =的性质,再判断哪一个图像具有这些性质.选由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数,所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称,可知B ,D 符合;由(2)()f x f x +=得
()y f x =是周期为2的周期函数,选项D 的图像的最小正周期是4,不符合,选项B 的图像的最小正周
期是2,符合,故选B .
(2)D ;依题意知2222
2(4),2
()2,2x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??,2
22,12()2,12
x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或
点评:数学中考查创新思维,要求必须要有良好的数学素养,考查新定义函数的理解、解绝对值不等式,中档题,借形言数。 题型2:解决方程、不等式问题
例3.若方程()
()lg lg -+-=-x x m x 233在()
x ∈03,内有唯一解,求实数m 的取值范围。
解析:(1)原方程可化为()()--+=< 设()()y x x y m 12 22103=--+<<=, 在同一坐标系中画出它们的图象(如图)。由原方程在(0,3)内有唯一解,知y y 12与的图象只有一个公共点,可见m 的取值范围是-<≤10m 或m =1。 例4.已知u v ≥≥11,且()()()()()log log log log a a a a u v au av a 2 2 2 2 1+=+>,求()log a uv 的最 大值和最小值。 解析:令x u y v a a ==log log ,, 则已知式可化为()()()x y x y -+-=≥≥114002 2 ,, 再设()() t uv x y x y a ==+≥≥log 00,,由图3可见,则当线段y x t =-+() x y ≥≥00,与圆弧 ()()()x y x y -+-=≥≥1140022,相切时,截距t 取最大值t max =+22 2(如图3中CD 位置);当 线段端点是圆弧端点时,t 取最小值t min =+13(如图中AB 位置)。因此log ()a uv 的最大值是222+, 最小值是13+。 点评:数形结合的思想方法,是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点,有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型3:解决三角函数、平面向量问题 例5.(1)(2010年江西理)E ,F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点,则tan ECF ∠=( ) A.1627 B.23 C.3 D.34 (2)(2007年陕西15)如图,平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=32,若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R ),则λ+μ的值为。 解析:(1)考查三角函数的计算、解析化应用意识。 解法1:约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦定理得4 cos 5 ECF ∠= ,解得3tan 4 ECF ∠= 解法2:坐标化。约定AB=6,AC=BC=32(0,3)利用向量的夹角公式得:4cos 5ECF ∠= ,解得3 tan 4 ECF ∠=。 (2)6;解析:(OC )2=(λ+μOB )2=λ2OA 2+μ2OB 2+2 λμ?=12;注意与OC 的夹角为30°,OA 与OB 的夹角为 120°,结合图形容易得到OB 与OC 的夹角为90°,得μ=0;这样就得到答案。 点评:综合近几年的高考命题,平面向量单纯只靠运算解题是不够的,需要结合几何特征。 例6.(2010全国卷1文数)已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为两切点,那么PA PB ?的最小值为( ) A .42-+.32-+ C .422-+.322-+答案:D ; 【解析1】如图所示:设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α,21x +,2 sin 1x α= +, ||||cos 2PA PB PA PB α?=?=2 2 (12sin )x α-=222 (1) 1 x x x -+=422 1 x x x -+,令PA PB y ?=,则4221x x y x -=+,即42(1)0x y x y -+-=,由2 x 是实数,所以 2[(1)]41()0y y ?=-+-??-≥,2610y y ++≥,解得32y ≤--或32y ≥-+.故 min ()322PA PB ?=-+此时21x = -【解析2】设,0APB θθπ∠=<<,()()2 cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ? ??== ?? ? 222 2221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22 θθθ θθθ????-- ?????????=?-= ???换元: 2 sin ,01 2 x x θ =<≤, ()()1121232 23 x x PA PB x x x --?= =+-≥ 【解析3】建系:园的方程为22 1x y +=,设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -, ()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥??-=?-+=?= ()22222222110011011022123223PA PB x x x x y x x x x x ?=-+-=-+--=+-≥- 点评:本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 题型4:解析几何问题 例7.(1)(2011广东理5)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ?≤≤? ≤?? ≤?给定.若M(x , y)为D 上动点,点A 的坐标为(2,1).则z OM OA =?的最大值为( ) A.42 B.32 C.4 D.3 (2)(2011 江苏 14)设集合 },,)2(2 | ),{(222R y x m y x m y x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠?B A 则实数m 的取值范围是______________ 解析:(1)如图,区域 D 为四边形 OABC 及其内部区域, . ,42)2(z ,z ,)2,2(2y ,2y z ,2)1,2(),(2max C B z x z x y x y x z 故选从而取到最大值时经过点显然当直线的纵截距为直线则即=+=+-=+-=+=?= (2)(数形结合)当0m ≤时,集合A 是以(2,0)为圆心,以m 为半径的圆,集合B 是在两条平 行线之间, 2 (12)02 m m +=+> ,因为,φ≠?B A 此时无解;当0m >时,集合A 是 以(2,0)为圆心,以 2 m 和m 为半径的圆环,集合B 是在两条平行线之间,必有 ()()22 210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ?=-?--=-+- m 1m ≤≤. 又因为2m 1,122m m ≤∴≤≤。 点评:线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式,最终借助图形的性质解决问题;对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题,往往要转化为点到线的距离问题来解决。 例8.(1)(2011上海22)已知平面上的线段l 及点P ,在l 上任取一点Q ,线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离,记作(,)d P l 。 ⑴ 求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ; ⑵ 设l 是长为2的线段,求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积; ⑶ 写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==,其中12,l AB l CD ==, ,,,A B C D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①2分,②6分,③8分; 若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。 ① (1,3),(1,0),(1,3),(1,0) A B C D --。② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2) A B C D ---。③ (0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。 解析:⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点,则 ||5)PQ x ==≤≤,当3x = 时,min (,)||d P l PQ == ⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ,以直线AB 为x 轴,AB 的中点为原点建立直角坐标系, 则(1,0),(1,0)A B -,点集D 由如下曲线围成 12:1(||1),:1(||1)l y x l y x =≤=-≤,222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥ 其面积为4S π=+。 ⑶① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --,{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。 2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=> ③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。 {(,)|0,0}{(,)|,01}x y x y x y y x x Ω=≤≤=<≤ 2{(,)|21,12}{(,)|4230,2}x y x y x x y x y x =-<≤--=> ; (2)(2011福建理17)(福建理17)已知直线l :y=x+m ,m ∈R 。 (I )若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切与点P ,且点P 在y 轴上,求该圆的方程; (II )若直线l 关于x 轴对称的直线为l ',问直线l '与抛物线C :x2=4y 是否相切?说明理由。 解析:本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。 解法一: (I )依题意,点P 的坐标为(0,m ) 因为MP l ⊥,所以011 20m -?=--, 解得m=2,即点P 的坐标为(0,2) 从而圆的半径 22||(20)(02)22,r MP ==-+-= 故所求圆的方程为 22 (2)8.x y -+= (II )因为直线l 的方程为,y x m =+ 所以直线'l 的方程为.y x m =-- 由22 ', 4404y x m x x m x y =--?++=?=?得 244416(1)m m ?=-?=- (1)当1,0m =?=即时,直线'l 与抛物线C 相切 (2)当1m ≠,那0?≠时,直线'l 与抛物线C 不相切。 综上,当m=1时,直线'l 与抛物线C 相切; 当1m ≠时,直线'l 与抛物线C 不相切。 D B=C A 1 2 2.5 y x -2 x y -1 1 3 A B C D O O D C B A 3 1 -1 y x 解法二: (I )设所求圆的半径为r ,则圆的方程可设为 22 (2).x y r 2-+= 依题意,所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P (0,m ), 则224, ,2m r r ?+=? = 解得2,2 2.m r =??? =?? 所以所求圆的方程为 22 (2)8.x y -+= (II )同解法一。 题型5:导数问题 例9.(06天津卷)函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导 函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间 ),(b a 内有极小值点( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 解析:函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个,选A 。 点评:通过函数图像分解导函数的正负,对应好原函数的单调递增、单调递减。 例10.(06浙江卷)已知函数f(x)=x 3 + x 3 ,数列|x n |(x n >0)的第一项x n =1,以后各项按如下方式取定:曲线x=f(x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过(0,0)和(x n ,f (x n ))两点的直线平行(如图) 求证:当n * N ∈时, (Ⅰ)x ;2312 12+++=+n n n n x x x (Ⅱ)21)2 1()21(--≤≤n n n x 。 证明:(I )因为' 2 ()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率12 1132.n n n k x x +++=+ 因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2 ,n n x x +所以221132n n n n x x x x +++=+. a b x y ) (x f y ?=O (II )因为函数2 ()h x x x =+当0x >时单调递增, 而221132n n n n x x x x +++=+2 1142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+, 所以12n n x x +≤,即 11,2n n x x +≥因此1121211 ().2 n n n n n n x x x x x x x ----=??????≥ 又因为12212(),n n n n x x x x +++≥+令2 ,n n n y x x =+则 11 .2 n n y y +≤ 因为2 1112,y x x =+=所以12111()().2 2 n n n y y --≤?= 因此2 21(),2n n n n x x x -≤+≤故1211()().22 n n n x --≤≤ 点评:切线方程的斜率与函数的导数对应,建立了几何图形与函数值的对应。 题型6:平面几何问题 例11.已知ABC ?三顶点是(4,1),(7,5),(4,7)A B C -,求A ∠的平分线AD 的长。 解析:第一步,简单数形结合,在直角坐标系下,描出已知点,,A B C ,画出ABC ?的边及其A ∠的平分线AD 。(如图) 第二步,观察图形,挖掘图形的特性(一般性或特殊性),通过数量关系证明(肯定或否定)观察、挖掘出来的特性。特性有: (1)AB AC ⊥;(2)45BAD CAD ∠=∠=?; (3)2CD DB =,(4)260ABC ACB ∠=∠=?等等。 证明:∵(4,1),(7,5),(4,7)A B C -∴(3,4),(8,6)AB AC ==-,5,10AB AC == ∵38460AB AC ?=-?+?= ∴(1)AB AC ⊥,∵AD 是A ∠的平分线; ∴(2)45BAD CAD ∠=∠=?,∵1025 CD AC DB AB ===(角平分线定理) ; ∴(3)2CD DB =,∵tan tan 6032ABC ∠=∠?= ≠, ∴(4)260ABC ACB ∠=∠=?不正确, 第三步,充分利用图形的属性,创造性地数形结合,完成解题。过点D 作DE AB ⊥,交AB 于点E , 则有BDE ?∽BCA ?或110 33 DE AC = =等等。又在Rt ADE ?中,(可以口答出)10223 AD DE == 。 点评:数形结合的基础是作图要基本准确,切忌随手作图!数形结合的关键是挖掘图形的几何属性,切忌只重数量关系忽视位置关系!如果把本题的图形随手作成如下一般平面图形,则失去了数形结合的基础,很难挖掘出图形的几何属性,是很失败的。 例12.已知A ={(x,y )||x |≤1,|y |≤1},B ={(x,y )|(x –a )2+(y –a )2≤1,a ∈R },若A ∩B ≠?,则a 的取值范围是。 解析:如图,集合A 所表示的点为正方形PQRS 的内部及其边界,集合B 所表示的点为以C (a ,a )为圆心,以1为半径的圆的内部及其边界.而圆心C (a ,a )在直线y=x 上,故要使A ∩B ≠?, 则2 2 1221+≤≤- -a 为所求。 点评:应用几何图象解决问题时,尤其要注意特殊点(或位置)的情况,本题就是按照这样的思路直接求出实数a 的取值范围。 【思维总结】 从目前高考“注重通法,淡化特技”的命题原则来看,对于数形结合的数学思想方法,我们在复习时,应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。 数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。 专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从形的直观和数的严谨两方面思考问题,拓宽了解题思路,是数学的规律性与灵活性的有机结合. (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种: ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围; ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围; ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系; ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式; ⑤构建立体几何模型研究代数问题; ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题; ⑦构建方程模型,求根的个数; ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等. (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点: ①准确画出函数图像,注意函数的定义域; ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图像,由图求解. (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点: ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征; ②要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化; ③要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏; ④精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解. 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。 进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组: 1.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3|≤a,x∈R},若A?B,那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1,p=log a (a3+a+1),q=log a (a2+a+1),则p、q的大小关系是 _____。 A. p=q B. p 高考数学思想方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想 等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 第十三专题 数形结合思想 考情动态分析: 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维结合,通过“以形助数”或“以数解形”,可使复复杂问题简单化、抽象总是具体化,从而起到优化解题途径的目的. 一般地说,“形”具有形象、直观的特点,易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路,化难为易;“数”则具有严谨、准确的特点,能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法. 纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题,可起到事半功倍的效果. 数形结合的重点是研究“以形助数”,但以数解形在近两年高考试题中也得到了加强,其发展趋势不容忽视. 数形结合在解题过程中应用十分广泛,如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域和最值问题中,在三角函数问题中都有充分体现.运用数形结合思想解题,不仅直观易于寻找解题途径,而且能避免繁杂的计算和推理,简化解题过程,这在选择题、填空题解答中更显优越. 第一课时 方程、函数中数形结合问题 一、考点核心整合 利用“形”的直观来研究方程的根的情况,讨论函数的值域(或最值),求解变量的取值范围,运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力,能使烦琐的数量运算变得简捷. 二、典例精讲: 例1 方程的实根的个数有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无穷多个 例 2 已知函数x x x g x x f 2)(|,|23)(2 -=-=,构造函数)(x F ,定义如下:当)()(x g x f ≥时,)()(x g x F =;当)()(x g x f <时,)()(x f x F =.那么)(x F ( ) A 、有最大值3,最小值1- B 、有最大值727-,无最小值 C 、有最大值,无最小值 D 、无最大值,也无最小值 例3 已知0>x ,设:P 函数x c y =在R 上单调递减;:Q 不等式1|2|||>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确,试求c 的取值范围. 例 4 已知0>a ,且方程022 =++b ax x 与方程022 =++a bx x 都有实数根,求b a +的最小值. 三、提高训练: (一)选择题: 1.函数||x a y =和a x y +=的图象恰有两个公共点,则实数a 的取值范围是( ) A 、),1(+∞ B 、)1,1(- C 、),1[]1,(+∞--∞ D 、),1()1,(+∞--∞ 2.已知],0(π∈x ,关于x 的方程a x =+)3 sin(2π 有两个不同的实数解,则实数a 的 取值范围为( ) 高中数学专题练习:分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法,其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素: (1)由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负数,对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式中两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域,等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论:如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论:如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若B?A,求实数a的取值范围. 第一部分 二 27 一、选择题 1.已知f (x )=2x ,则函数y =f (|x -1|)的图象为( ) [答案] D [解析] 法一:f (|x -1|)=2|x - 1|. 当x =0时,y =2.可排除A 、C . 当x =-1时,y =4.可排除B . 法二:y =2x →y =2|x |→y =2|x - 1|,经过图象的对称、平移可得到所求. [方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题,即对函数图象的掌握有三方面的要求: ①会画各种简单函数的图象; ②能依据函数的图象判断相应函数的性质; ③能用数形结合的思想以图辅助解题. 2.作图、识图、用图技巧 (1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换. 描绘函数图象时,要从函数性质入手,抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系. (3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究. 3.利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换: y =f (x )――→h >0,右移|h |个单位 h <0,左移|h |个单位y =f (x -h ), y =f (x )――→k >0,上移|k |个单位k <0,下移|k |个单位y =f (x )+k . ②伸缩变换: y =f (x )错误!y =f (ωx ),2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题15 数形结合思想(原卷版)
高中数学解题思想之分类讨论思想
q D.当a>1时,p>q;当0
高考数学思想方法汇总(80页)
高三数学教案 数形结合思想
高中数学专题练习:分类讨论思想
2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:27转化与化归思想、数形结合思想