江苏省苏州市五市三区届高三期中考试数学试题

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2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2≤x ≤3}，N ={x|log 2x ≤1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0，b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx ，ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为( )A. α≥βB. a >βC. α≤βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得b k<a k<b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1<⋯<a k−1<a k<⋯<a n和b1<⋯<b k−1<b k<⋯<b n<b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N∗C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1,π)单调递增C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =me x +xlnx 在x =1处的切线方程为y =3x +n ，则n =______． 14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为______．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为______平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；若对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)≤sinπx 在区间[−32,32]上的解集为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)≥1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD=2AD，求△ABC的面积．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．−alnx(a>0)．21.已知函数f(x)=ax−1x(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M={x|−2≤x≤3}=[−2,3]，N={x|log2x≤1}=(0,2]，则M∩N= (0,2]．故选：C．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a>0，b>0，⇒∵ab<1，令a=4，b=18，则a+b>1，∴充分性不满足．⇐当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，∴a>0，b>0，ab<1a+b<1的必要不充分条件，故选：B．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．本题考查了充分、必要条件的判断，可以列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan 2α+1+2tanα1−tan 2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7．故选：D ．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin 2α用tanα表示，再求值即可．本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=(−3x +x 3)sin(−x)=(3x −x 3)sinx =f(x)， ∴f(x)为偶函数，排除选项C ；当0<x <√3时，3x −x 3>0，sinx >0，∴f(x)>0，当√3<x <π时，3x −x 3<0，sinx >0，∴f(x)<0，故选：A ．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B ，再对比剩下选项，需考虑0<x <√3和√3<x <π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18．故选：C ．6.【答案】D【解析】解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ，由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)，则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0，所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在性定理，α∈(1,e)．另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s′(x)=3x 2−6x ，令s′(x)>0得：x >2或x <0，令s′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值，故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0，由零点存在性定理：β∈(3,4) 所以α<β．故选：D ．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，得到答案．本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．7.【答案】B【解析】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ，令顶点为(m,A)，所以m −a 2k−1=T6，所以a 2k−1到左边零点的距离为T12，将y =sinx 与y =Asin(ωx −π6)相对比，确定1与A 两个最大值的比例，当x ∈[0,π2]时，π2×T 12T 6+T 12=π6，所以1A =sinπ6sin π2=12，所以A =2，故选：B ．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ．本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，数列{b 5}：2，4，8，16，32，数列{a 4}：3，7，12，24，因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以b k<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则b k+1<a k+1<b k+2，所以b k<a k<b k+1<a k+1，故b k<b k+1，a k<a k+1，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4<2，则q=b4b3<0，产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故选：C．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．9.【答案】ACD【解析】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确，∴z2=(−2i)2=−4，为实数，故选项B错误，∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确，∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确，故选：ACD．利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2+4(b−1)=0，即a2=1−b≥0，∴b≤1，故选：AD．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|x+2π|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，此时f(x)的最小值为1，当x∈(π2,32π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，此时f(x)的最小值为−1，当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，此时f(x)的最小值为−1，所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当x ∈[0,π2]时，f(x)={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π，令f(x)=0，可得x =5π4，7π4，又f(x)为偶函数，所以f(x)[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx|，则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)，当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f(x)在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误；故选：ABC ．利用奇偶性定义可判断A ；由f(x +2π)=sin|x +2π|+|cos(x +2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B ；由于函数为偶函数，故研究x ∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C ；确定(π2,π)上函数的解析式，可判断D ．本题考查了分段函数的奇偶性，单调性，周期性，最值等相关知识，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径为√32，外接球表面积为3π，故D 正确．故选：BD ．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ．本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．13.【答案】−1【解析】解：由y =me x +xlnx ，得y′=me x +lnx +1，则y′|x=1=me +1=3，即me =2，又me =3+n ，∴3+n =2，即n =−1．故答案为：−1．求出原函数的导函数，再由函数在x=1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.【答案】10【解析】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，∵d<0，n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】400【解析】解：由题意，扇形的弧长AB为l=θr，扇形的面积为S=12θr²，由题意400×12θr²+1000(2r+θr)≤24×104；化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗)；又θr+2r≥2√2θr2，所以θr2+10√2θr2≤1200；设t=√2θr2，t>0，则t 22+10t ≤1200，解得−60≤t ≤40，所以当θr =2r =40时，面积S =12θr²的最大值为400．故答案为：400．求出扇形的面积，得到关于θ，r 的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值．本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了基本不等式运用以及最值的计算问题，是中档题．16.【答案】2 [−1,0]∪[1,32]【解析】解：因为f(1−x)=f(x)，且f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，则f(1−x)=−f(−x)，则f(2−x)=−f(1−x)=f(−x)，所以f(x)的最小正周期为2；因为对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，则f(x 1)−f(x 2)>πx 1−πx 2，故f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2，故函数y =f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，所以当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0，令g(x)=sinπx ，则y =sinπx −πx ，因为y′=πcosπx −π≤0，所以y =sinπx −πx 是单调递减函数，当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤g(0)−0=0，即当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ，故f(x)≥g(x)，由对称性以及周期性作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，所以f(x)≤sinπx在区间[−32,32]上的解集为[−1,0]∪[1,32]．利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f(2−x)=f(−x)，利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y=f(x)−πx在[0,12]上为增函数，从而f(x)−πx≥0，令g(x)=sinπx，由y=sinπx−πx是单调递减函数，得到g(x)−πx≤0，从而f(x)≥g(x)，作出f(x)与g(x)的图像，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用，函数单调性定义的应用，利用导数研究函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a⃗=(2sinx,2sin(x+π4))，b⃗ =(cosx,√62(cosx−sinx))，f(x)=a⃗⋅b⃗ =(2sinx,2sin(x+π4))⋅(cosx,√62(cosx−sinx))=2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx)=2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由(1)得2sin(2x+π3)≥1，所以sin(2x+π3)≥12，即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,(k∈Z)，所以不等式解集为[−π12+kπ,π4+kπ],(k∈Z)．【解析】(1)由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f(x)的表达式； (2)由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．本题考查了三角函数的恒等变换，解三角不等式，属于基础题．18.【答案】解：(1)选条件①时，数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2−a n }为常数列，所以a n 2−a n =a 12−a 1=2，解得a n =2或a n =−1；所以数列{a n }为2，−1，2，−1，2，−1，.......，所以a n +a n−1=1(n ≥2)，即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件②时，S n =12(a n +n +1)，所以S n−1=12(a n−1+n −1+1)，上面两式相减得：a n =12a n −12a n−1+12，整理得a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件③时，a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，转换为S n+1−S n−1=1(常数)，即a n+1+a n =1，所以所以a n +a n−1=1(n ≥2)，即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．(2)由(1)得：S 2k =3+2×2k4+34⋅(−1)2k−1=k ，S 2k+1=3+2×(2k+1)4+34⋅(−1)2k+1−1=k +2，所以：b k =1S2k ⋅S 2k+1=1k(k+2)=12(1k −1k+2)，所以T n =12(1−13+12−14+13−15+...+1k −1k+2)=12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)<34．【解析】(1)选条件①时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件②时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件③时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，角平分线，高线，∴CD⊥AB，CD=AD，∴S△BCD=12×4×4=8，又S△CDE=4=12S△BCD，∴E为CB中点．解：(2)作CF⊥AB于F，∴∠AFC=∠BCF=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=BF=AF=12AB，在直角三角形CFD中，CD2=CF2+DF2=CF2+(AF−AD)2，设AD=x，∴BD=2AD=2x．∴AB=AD+BD=3x，∴CF=AF=BF=12AB=32x，∴CD2=CF2+(AF−AD)2，∴42=(32x)2+(32x−x)2，解得x=4√105，则AB=12√105，CF=6√105，∴S△ABC=12AB⋅CF=12×12√105×6√105=725．【解析】(1)由等腰三角形的性质证明即可，(2)设出AD的长，再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD，再求AB及面积即可．本题考察等腰三角形的性质的应用，及勾股定理，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AC=2，BC=1，∠ACB=60°，AC=2，所以AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos60°，整理得AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，因为CD=1，∠CAD=30°，AC=2，所以CDsin30∘=ACsin∠ADC，所以sin∠ADC=1，所以∠ADC=90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD=∠ACB=60°，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD内投影是AC，所以PC⊥BD．(2)解：由(1)知BD⊥平面PAC，设点M到平面PAC距离为ℎ，因为BO=BC⋅sin60°=√32，又因为PB=3MB，所以ℎ=BO⋅23=√33，因为PB在平面ABCD内的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，所以∠PBA=45°，所以PA=AB=AC⋅sin60°=√3，V C−AMN=V M−ANC=13⋅S ANC⋅ℎ=13⋅12⋅S PAC⋅ℎ=13⋅12⋅12⋅AC⋅AP⋅ℎ=16．【解析】(1)只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可；(2)用等体积法求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了四面体体积问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2，令f′(x)=0，则ax2−ax+1=0，①当△=a2−4a≤0，即0<a≤4时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，无递减区间；②当△=a2−4a>0，即a>4时，方程ax2−ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a，且当0<x<a−√a2−4a2a 和x>a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，f(x)递增，当a−√a2−4a2a<x<a+√a2−4a2a时，f′(x)<0，f(x)递减，综上，当0<a≤4时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>4时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−4a2a ),(a+√a2−4a2a)，单调递减区间为(a−√a2−4a2a ,a+√a2−4a2a)；(2)若f(x)有两个极值点，由(1)知，a>4，且x1，x2是方程ax2−ax+1=0的两个不等的实数根，∴x1+x2=1,x1x2=1a，∴不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22>12a−2−aln12+am，∴a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)>a−4+2aln2+2am，∴a−a−aln1a >a−4+2aln2+2am，即2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1，则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2>0，∴ℎ(a)在(4,+∞)上单调递增，则ℎ(a)>ℎ(4)=0，∴m≤0，即实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)对函数f(x)求导，令f′(x)=0，然后分0<a≤4及a>4讨论导函数与零的关系，进而得到单调性情况；(2)依题意，x1+x2=1,x1x2=1a ，则原不等式可转化为2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1，求出ℎ(a)的最小值即可得到实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分离参数思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈(0,π)时，g′(x)=−2sinx−1x2<0，所以g(x)在(0,π)上单调递减，又因为g(π3)=3π−1+1>0，g(π2)=2π−1<0，所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α，即f′(x)在(0,π)上存在唯一的零点α；(2)①由(1)可知，当x∈(0,α)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x∈(0,π)上存在唯一的极大值点α，且α∈(π3,π2 )，所以f(α)>f(π2)=lnπ2−π2+2>2−π2>0，又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2<−2−1e2+2<0，所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点，又因为f(π)=lnπ−π<2−π<0，所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点；②当x∈[π,2π)时，sinx≤0，f(x)≤lnx−x，设ℎ(x)=lnx−x，则ℎ′(x)=1x−1<0，故ℎ(x)在[π,2π)上单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(π)<0，故当x∈[π,2π)时，f(x)≤ℎ(x)≤ℎ(π)<0恒成立，所以ℎ(x)在[π,2π)上没有零点；③当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤lnx−x+2，令m(x)=lnx−x+2，则m′(x)=1x−1<0，故m(x)在[2π,+∞)上单调递减，所以m(x)≤m(2π)<0，则当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤m(x)≤m(2π)<0恒成立，所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点．综上所述，f(x)有且仅有两个零点．【解析】(1)设g(x)=f′(x)，利用导数研究函数g(x)的单调性，然后由零点的存在性定理证明即可；(2)分x∈(0,π)，x∈[π,2π)，x∈[2π,+∞)三种情况，分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，结合零点的存在性定理进行分析证明即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，利用导数研究函数单调的运用，函数零点存在性定理的运用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．。

江苏省苏州市部分重点中学届高三期中考试数学试卷[1]

江苏省苏州市部分重点中学届高三期中考试试卷数学 .11本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知平面向量(2,1)=a ，(,2)x =-b ，且//a b ，则x 的值为()A ．4-B ．1-C ．1D ．4(2)已知集合{}lg(3)A x y x ==-，{}2x y y =，则AB =() A ．(0,)+∞B ．(3,)+∞C ．RD ．∅(3)已知函数()3sin()12f x x =--，则下列命题正确的是() A ．()f x 是周期为1的奇函数 B ．()f x 是周期为2的偶函数 C ．()f x 是周期为1的非奇非偶函数D ．()f x 是周期为2的非奇非偶函数(4)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25815a a a ++=，则9S 等于( )A ．18B ．36C ．45D ．60(5)函数1()31)3f x x x =-+≥-的反函数( )A ．在1[,)3-+∞上单调递增B ．在1[,)3-+∞上单调递减C ．在(,0]-∞上单调递增D ．在(,0]-∞上单调递减(6)设A B U 、、均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误．．的是 ()A ．()U AB U =B ．()U A B =∅C ．()()U U A B U =D ．()()U U UA B B =(7)命题p ：3x <-是12x +>的充分不必要条件；命题q ：在ABC △中，如果sin cos A B =，那么ABC △为直角三角形．则 ()A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 假q 真D ．p 真q 假(8)设函数1(0)()0(0)1(0)x f x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，则当a b ≠时，()()2a b a b f a b ++-⋅-的值应为( )A ．aB ．bC ．,a b 中的较小数D ．,a b 中的较大数(9)函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是()A B C D(10)在ABC △中，2,7,3AB BC AC ===，则AC 边上的高为()A 3B 332C ．1D ．32(11)已知函数(1)f x +为奇函数，函数(1)f x -为偶函数，且(0)2f =，则(4)f ＝()A ．2B ．2-C ．4D ．4-(12)为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购价格有关，且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：月份 1 2 3 4 5 6 7 价格(元/担)68 78 67 71 72 70则7月份该产品的市场收购价格应为 ()A ．69元B ．70元C ．71元D ．72元第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应的位置上． (13) 若tan 2=-，则tan()4+= ▲ ．(14) 函数21()log (2)3x y x =-+在区间[1,1]-上的最大值为 ▲ ．(15) 已知平面向量(2,1),(3,)k ==a b ，若(2)-⊥a b b ，则实数k = ▲ ．(16) 已知集合220(1)x a A x x a ⎧⎫-⎪⎪=<⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭，{}57B x x a =<+，若A B B =，则实数a 的取值范围是 ▲ ．(17) 已知tan ,cot 分别是关于x 的二次方程20(0,0)x px q p q ++=>>的两实根的等差中项和等比中项，则,p q 满足的关系式为 ▲ ．(18) 若()f n 为21n +的各位数字之和()n *∈N ．如：因为2141197,19717+=++=，所以(14)17f =．记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，……，1()(())k k f n f f n +=，k *∈N ，则2005(8)f ＝ ▲ ．三．解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (19) (本小题满分12分)设函数()f x =⋅a b ，其中向量(2cos ,1),(cos ,32)x x x ==a b ，x ∈R ．(Ⅰ)求函数()f x 的单调减区间； (Ⅱ)若[,0]4x ∈-，求函数()f x 的值域；(Ⅲ)若函数()y f x =的图象按向量(,)m n =c ()2m <平移后得到函数2sin 2y x =的图象，求实数,m n 的值．(20) (本小题满分12分)在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=． (Ⅰ)求22AB AC +的值；(Ⅱ)当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．(21) (本小题满分14分)设函数()()()(,)f x x x a x b a b =--∈R ．(Ⅰ)若2b =，证明函数()f x 有两个不同的极值点12,x x ，并且221253x x +≥； (Ⅱ)若(0)a b a =≠，且当0,1x a ∈⎡+⎤⎣⎦时，2()2f x a <恒成立，求a 的取值范围．(22) (本小题满分14分)某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制（限60小时） 50元 0.05元/分钟（无上限）丙有限包月制（限30小时） 30元 0.05元/分钟（无上限）假定每月初可以和电信部门约定上网方案．(Ⅰ)若某用户每月上网时间为66小时，应选择 ▲ 方案最合算；(Ⅱ)王先生因工作需要在家上网，所在公司预测其一年内每月的上网时间T (小时)与月份n的函数关系为3237()(112,4n T f n n n +==≤≤∈N)．若公司能报销王先生全年上网费用，问公司最少会为此花费多少元？(Ⅲ)一年后，因公司业务变化，王先生每月的上网时间T (小时)与月份n 的函数关系为3()10()30,5n T g n n *==+∈N ．假设王先生退休前一直从事此项业务，公司在花费尽量少的前提下，除为其报销每月的基本费用外，对于所有的超时费用，公司考虑一次性给予补贴a 元，试确定最合理的a 的值，并说明理由．(23) (本小题满分14分)已知函数2()(,)x a f x b c bx c *+=∈-N ，并且(0)0f =，(2)2f =，1(2)2f -<-．(Ⅰ)求,,a b c 的值；(Ⅱ)是否存在各项均不为零的数列{}n a ，满足14()1n nS f a =(n S 为数列{}n a 的前n 项和)．若有，写出数列的一个通项公式n a ，并说明满足条件的数列{}n a 是否唯一确定；若无，请说明理由．江苏省苏州市部分重点中学届高三期中考试试卷数学参考答案及评分标准说明：1.本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则．2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：每小题5分，满分60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBCDCDCDABC二．填空题：每小题4分，满分24分．(13)13-(14)3 (15)3或1- (16)[1,6]-(17)1q =(18)11三．解答题：(19)本小题满分12分．解：(Ⅰ)2()2cos 32f x x x =- ……………………………………………………………1分3sin 2cos21x x =++52sin(2)16x =++．……………………………………………………………2分令 53222,262k x k k +≤+≤+∈Z ，…………………………………………3分得 ,63k x k k -≤≤+∈Z ．因此，函数()f x 的单调减区间为[,],63k k k -+∈Z ．………………………5分(Ⅱ)当[,0]4x ∈-时，552[,]636x +∈，………………………………………………6分∴ 51sin(2)[,1]62x +∈．……………………………………………………………7分因此，函数()f x 的值域为[2,3]．……………………………………………………8分 (Ⅲ)函数()y f x =的图象按向量(,)m n =c ()2m <平移后得到的图象对应的函数是5()2sin(22)16y f x m n x m n =-+=-+++．……………………………………10分令 520,106m n -+=+=，得 5,112m n =-=-．…………………………………12分(20)本小题满分12分．解：(Ⅰ)由已知得222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩……………………………………………………………3分因此，228AB AC +=．……………………………………………………………… 4分 (Ⅱ)2cos AB AC A AB ACAB AC⋅==⋅⋅，…………………………………………………………6分1sin 2ABC S AB AC A =⋅△ 211cos 2AB AC A =⋅-222221cos 2AB AC AB AC A =⋅-⋅ 22142AB AC ⋅- (8)分2221422AB AC ⎛⎫+ ⎪≤- ⎪ ⎪⎝⎭3=．…………………………………………………10分（当且仅当2AB AC ==时，取等号）…………………………………………11分当ABC △31cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅，3A ∠=．………………12分(21)本小题满分14分．解：(Ⅰ)当2b =时，32()()(2)(2)2f x x x a x x a x ax =--=-++．2()32(2)2f x x a x a '=-++．……………………………………………………………1分∵ 2224(2)244(24)4(1)120a a a a a =+-=-+=-+>，∴ 方程()0f x '=有两个不等的实数根12,x x ．…………………………………………3分不妨设12x x <，则 12()3()()f x x x x x '=--．当1x x <时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0f x '>． ∴ 1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点．……………………………………4分并且，2222221212124444155()2(2)(4)()9399233x x x x x x a a a a a +=+-=+-=++=++≥．因此，函数()f x 有两个不同的极值点12,x x ，并且221253x x +≥（当且仅当12a =-时取等号）．…………………………………………………………………………………7分 (Ⅱ)当(0)a b a =≠时，232()()2f x x x a x ax ax =-=-+．21()343()()3f x x ax a x a x a '=-+=--．………………………………………………8分①若0a >，则()f x 在1[0,]3a 上增函数，在1[,]3a a 上为减函数，在[,1]a a +上为增函数．()f x 在[0,1]a +上的最大值为1()3f a 与(1)f a +中的较大者．而314()327f a a =，(1)1f a a +=+．由2()2f x a <在[0,1]a +上恒成立，得320,42,2712.a a a a a >⎧⎪⎪<⎨⎪⎪+<⎩ ……………………………………………………………………………9分即2712a <<．……………………………………………………………………………11分②若0a <，则()f x 在[0,1]a -上为增函数．()f x 在[0,1]a -上的最大值为2(1)(1)(12)f a a a -=--．∵ 0a <，∴ 222211,(12)(2)42a a a a a ->->-=>．∴2(1)2f a a ->．因此，0a <不可能．…………………………………………………………………13分综上所述，a 的取值范围是27(1,)2．…………………………………………………14分(22)本小题满分14分．解：(Ⅰ) 乙．……………………………………………………………………………2分(Ⅱ)当30T ≤时，选择丙方案合算；当30T >时，由303(30)50T +-≤，得230363T <≤，此时选择丙方案合算；当236603T ≤≤时，选择乙方案合算；当60T >时，由603(30)70T +-≤，得260663T <≤，此时选择乙方案合算；当2663T ≥时，选择甲方案合算．综上可得：当2(0,36]3T ∈，选择丙方案合算；……………………………………3分当22[36,66]33T ∈时，选择乙方案合算；……………………………………………4分当2[66,)3T ∈+∞时，选择甲方案合算．……………………………………………5分∵3(1)()4f n f n +-=，∴{}()f n 是首项为(1)60f =，公差为34d =的等差数列，且每月上网时间逐月递增．令323726643n T +=≥，得899n ≥．∴前9个月选择乙方案，最后3个月选择甲方案上网花费最少．……………………7分此时，一年的上网总费用为 913237[503(60)]3704n n =++-+⨯∑ 919450(1)2104n n ==+-+∑45081210741=++=．答：一年内公司最少会为王先生花费上网费741元．……………………………………9分(Ⅲ)由3()10()30()5n T g n n *==⨯+∈N 知，(1)36,()30g g n =>，且{}()g n 是递减数列，∴选择丙方案合算．……………………………………………………………………10分若上网n 个月，王先生的超时总费用为 333[()30]30()45[1()]55n nn n k kg n -==-∑∑．……………………………………………13分答：公司考虑一次性给予补贴a 元，最合理的a 的值为45元．……………………14分(23)本小题满分14分．解：(Ⅰ)由(0)0f =，得0a =．由(2)2f =，1(2)2f -<-，得22,(,)41,22b c b c b c *-=⎧⎪∈⎨-<-⎪+⎩N ，即22,(,)28,b c b c b c *-=⎧∈⎨+<⎩N ．……………………………3分解得 2b c ==．因此，0a =，2b c ==．……………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得2()22x f x x =-．当0x ≠且1n a ≠时，2122()f x x x =-，21221()x x f x=-．设存在各项均不为零的数列{}n a ，满足14()1n nS f a =．则2422n n n S a a =-，即22n n n S a a =-（0n a ≠且1n a ≠）．…………………………6分首先，当1n =时，111a S ==-；……………………………………………………7分由 21112n n n S a a +++=-，22n n n S a a =-，得221111222n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=--+，即11()(1)0n n n n a a a a +++-+=．……………………………………………………………9分若 10n n a a ++=，则由11a =-，得21a =，这与1n a ≠矛盾．………………………10分若 110n n a a +-+=，则 11n n a a +-=-．因此，{}n a 是首项这1-，公差为1-的等差数列．通项公式为 n a n =-．综上可得，存在数列{}n a ，n a n =-符合题中条件．…………………………………11分由上面的解答过程可知，数列{}n a 只要满足条件11()(1)0n n n n a a a a +++-+=即可．因此，可以数列一部分满足11n n a a +-=-，另一部分满足10n n a a ++=，且保证0n a ≠且1n a ≠．例如：数列 1,2,2,2,2,2,2,----；数列 1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,-------因此，满足条件的数列不唯一．………………………………………………………14分。

2022-2022学年江苏省苏州市五市三区高三(上)期中数学模拟试卷(一

2022-2022学年江苏省苏州市五市三区高三(上)期中数学模拟试卷(一2022-2022学年江苏省苏州市五市三区高三（上）期中数学模拟试卷（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）命题“ x∈R，x＞x”的否定是_________ ．2．（5分）已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={y|﹣5＜y ＜5}，则M∩N= 3．（5分）设a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的条件．4．（5分）函数5．（5分）求函数y=x+的值域．6．（5分）设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的定义域为_________ ．2的是_________ ．7．（5分）已知函数8．（5分）设a=6﹣0.7则f（log32）的值为，b=log0.70.6，c=log0.67，则a，b，c从小到大的排列顺序为_________ ．9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，x∈[1，2]，则f（x ﹣1）= _________ ．10．（5分）函数的单调减区间为_________ ．11．（5分）设直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为_________ ．12．（5分）下列说法：①当x＞0且x≠1时，有；②函数y=ax的图象可以由函数y=2ax（其中a＞0且a≠1）平移得到；③若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则f（x）的周期为2；④“若x2+x﹣6≥0，则x≥2”的逆否命题为真命题；⑤函数y=f（1+x）与函数y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．其中正确的命题的序号_________ ．13．（5分）若函数y=ax2﹣2ax（a≠0）在区间[0，3]上有最大值3，则a的值是_________ ．14．（5分）已知△ABC的面积为1，点D在AC上，DE∥AB，连接BD，设△DCE、△ABD、△BDE中面积最大者的值为y，则y的最小值为_________ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）（1）已知a＞b＞1且（2）求16．（14分）已知集合A={x|y=（1）求A∩B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．17．（14分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k 2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．18．（16分）已知奇函数y=f（x）定义域是[﹣4，4]，当﹣4≤x≤0时，y=f（x）=﹣x2﹣2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求函数f（x）的单调递增区间．19．（16分）如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少（平方百米）？．}，集合B={x|y=lg（﹣x2﹣7x﹣12）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．的值．，求logab﹣logba的值．20．（16分）已知函数f（x）=e+ax，g（x）=elnx．（其中e为自然对数的底数），（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+（e﹣1）y=1垂直，求a的值；（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=﹣1时，是否存在实数x0∈[1，，e]，使曲线C：y=g（x）﹣f（x）在点x=x0 处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．xx2022-2022学年江苏省苏州市五市三区高三（上）期中数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）命题“ x∈R，x＞x”的否定是x∈R，x222．（5分）已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={y|﹣5＜y ＜5}，则M∩N= （﹣3，5）．3．（5分）设a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的4．（5分）函数的定义域为．5．（5分）求函数y=x+的值域（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．6．（5分）设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是④ ．7．（5分）已知函数则f（log32）的值为．8．（5分）设a=60.7，b=log0.70.6，c=log0.67，则a，b，c从小到大的排列顺序为．﹣9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，x∈[1，2]，则f （x﹣1）= x2﹣4x+3，x∈[2，3] ．10．（5分）函数的单调减区间为．11．（5分）设直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为．12．（5分）下列说法：①当x＞0且x≠1时，有；②函数y=ax的图象可以由函数y=2ax（其中a＞0且a≠1）平移得到；③若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则f（x）的周期为2；④“若x+x﹣6≥0，则x≥2”的逆否命题为真命题；⑤函数y=f（1+x）与函数y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．其中正确的命题的序号②③ ．213．（5分）若函数y=ax﹣2ax（a≠0）在区间[0，3]上有最大值3，则a的值是1或﹣3 ．214．（5分）已知△ABC的面积为1，点D在AC上，DE∥AB，连接BD，设△DCE、△ABD、△BDE中面积最大者的值为y，则y的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）（1）已知a＞b＞1且（2）求，求logab﹣logba的值．的值．16．（14分）已知集合A={x|y=（1）求A∩B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．}，集合B={x|y=lg（﹣x2﹣7x﹣12）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．17．（14分）已知函数g（x）=ax﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k 2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．2．18．（16分）已知奇函数y=f（x）定义域是[﹣4，4]，当﹣4≤x≤0时，y=f（x）=﹣x﹣2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求函数f（x）的单调递增区间．。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题1. 集合A ={−1,0,1}，B ={y|y =sinx,x ∈R}则（）A ． A ∩B =BB ． A =BC ． A ∪B =BD ． C R A =B2. 复数z =11+i （i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=A ． 725B ． 15C ． −15D ． −7254. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0∘~90∘之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值，则tan1600∘的值为（）（小数点后保留2位有效数字）5. 定义在区间(0,π2)上的函数y =3cosx 与y =8tanx 的图象交点为P(x 0,y 0)，则sinx 0的值为（）A ． 13 B ． √33C ． 23D ． 2√236. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 均为单位向量，且满足12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（） A ． 38B ． 58C ． 78D ． 1987. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +2)=2−f(x)，f(2−3x)为偶函数，若f(0)=0，∑n k=1f(k)=123，则n 的值为（） A ．117B ．118C ．122D ．1238. 已知锐角ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a 2=b 2+bc ，则tanAtanB 的取值范围为（）A ． (1,+∞)B ． (1,√3)C ． (0,1)D ． (√3,+∞)9. 若z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是（）A ． |z 1−z 2|2=(z 1+z 2)2−4z 1z 2B ． z 1−z 1̅ 是纯虚数或零C ． |z 1−z 2|≤|z 1|+|z 2| 恒成立D ．存在复数 z 1 ， z 2 ，使得 |z 1z 2|<|z 1||z 2|10. 函数f(x)=tan(sinx +cosx)，则下列说法正确的是（）A ． f(x) 的定义域为 RB ． f(x) 是奇函数C ． f(x) 是周期函数D ． f(x) 既有最大值又有最小值11. 在ΔABC 中，AC =3,AB =5,∠A =120∘，点D 是BC 边上一点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAC⃗⃗⃗⃗⃗ +yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列说法正确的是（）A ． BC =7B ．若 x =y =0.5 ，则 AD =√192C ．若 AD =√192 ，则 x =y =0.5D ．当 AD 取得最小值时， x =519812. 已知函数f(x)={x +2x ≤0|lgx|x >0，方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（）A ．函数 f(x) 的零点的个数为2B ．实数 m 的取值范围为 (−∞,32]C ．函数 f(x) 无最值D ．函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增13. 已知向量a =(4,−3)， b ⃗ =(x,6)，且a //b ⃗ ，则实数x 的值为_____ 14. 若函数f(x)=sin(ωx +π6),(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0),(x 0>0)成中心对称，则x 0的最小值为______.15. 函数f(x)=2ax 2−ax ，若命题“∃x ∈[0,1],f(x)≤3−a ”是假命题，则实数a 的取值范围为___________．16. 设ΔABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若b 2+3a 2=c 2，则tanCtanB =______，tanA 的最大值是______.17. 设α∈(0,π)，已知向量a =(√3sinα,1)，b ⃗ =(2,2cosα)，且a ⟂b⃗ ． (1)求sinα的值； (2)求cos(2α+7π12)的值．18. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2⟩的最小正周期为π，且点P(π6,2)是该函数图象上的一个最高点.(1)求函数f(x)的解析式；)个单位长度，得到函数g(x)的图象，g(x)在(2)把函数f(x)的图象向右平移θ(0<θ<π2]上是增函数，求θ的取值范围.[0,π419.已知z是复数，z+i和z都是实数，1−i（1）求复数z；（2）设关于x的方程x2+x(1+z)−(3m−1)i=0有实根，求纯虚数m.20.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB=60∘，点Q在OA上，点M,N在OB上，点P 在弧AB上，设∠POB=θ.（1）若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA,OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PS⟂OA，PT⟂OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT 最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由.21.ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a=3√2,bsin B+C2=√52asinB．(1)求sinA；(2)如图，点M为边AC上一点，MB=MC,∠ABM=π2，求ΔABC的面积．22.已知二次函数y=f(x)的图象与直线y=−6只有一个交点，满足f(0)=−2且函数f(x−2)是偶函数．g(x)=f(x)x（1）求二次函数y=f(x)的解析式；（2）若对任意x∈[1,2],t∈[−4,4],g(x)≥−m2+tm恒成立，求实数m的范围；（3）若函数y=g(|x|+3)+k·2|x|+3−11恰好三个零点，求k的值及该函数的零点．。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题(含答案解析)

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，32,sin 2B a b +=(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC 22．已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点，满足(2)f x -是偶函数．()()f x g x x=（1）求二次函数()y f x =的解析式；（2）若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立，求实数m （3）若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点，求k 的值及该函数的零点．参考答案：【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确；0=.5，则()1,2AD AB AC =+∴ 正确；由图知函数()f x 有2个零点，故函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时，0x =；当24n =时，1;7x k =±∴=，函数的零点为0,1±。

2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．下列条件中，使得“a ＞b ”成立的充分不必要条件是（） A ．|a |＞|b |B ．1a ＞1bC ．a 2＞b 2D ．lna ＞lnb2．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}，B ＝{x |x ＜a }，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围为（） A ．（1，+∞）B ．[3，+∞）C ．[5，+∞）D ．（5，+∞）3．已知cos(α−π3)=45，则sin(π6+α)的值为（）A ．−45B ．−35C ．35D ．454．已知a →，b →是两个单位向量，且〈a →，b →〉=60°，若c →=2a →−b →，则cos〈a →，c →〉=（） A ．12B ．√32 C ．13D ．√335．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则sin C ＝（）A ．√714B ．√2114C ．3√714D ．3√21146．已知曲线y ＝ae x +xlnx 在点（1，ae ）处的切线方程为y ＝2x +b ，则（） A ．a ＝e ，b ＝﹣1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e ﹣1，b ＝1D ．a ＝e ﹣1，b ＝﹣17．满足{x |m ≤x ≤n }＝{y |y ＝x 2，m ≤x ≤n }的实数对m ，n 构成的点（m ，n ）共有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．无数个8．已知a =sin π13+cos π13，b =314+3−12，c ＝log 32+log 43，则（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．已知复数z 满足z(√3+i)=−2i ，则（） A ．|z |＝1 B ．z 的虚部为√32C ．z 3+1＝0D ．z 2=z10．函数f(x)=tan(2x −π4)，则（）A ．f （x ）的一个周期为π2B ．f （x ）是增函数C ．f （x ）的图象关于点(3π8，0)对称 D ．将函数y ＝tan2x 的图象向右平移π4个单位长度可得到f （x ）的图象11．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，AA 1的中点，点P 在对角线A 1B 上，则（）A ．三棱锥P ﹣CEF 体积为16B ．点P 到平面CEF 的距离为23C ．AP +D 1P 的最小值为2√2+√2D ．四面体BCEF 外接球的表面积为14π12．对于数列{a n }，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有|a n |≤M ，则称数列{a n }为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{a n }为无界数列．下列说法正确的有（） A ．等比数列{a n }的公比为q ，若|q |＜1，则{a n }是有界数列 B ．若数列{a n }的通项a n =∑ n k=11k2，则{a n }是有界数列 C ．若正项数列{a n }满足：a n =a n−13a n−2(n ≥3)，则{a n }是无界数列 D ．若数列{a n }满足：1a 1+1a 2+⋯+1a n=1a 1a 2⋯a n，且a 1∈（0，1），则{a n }是有界数列三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，5S 6﹣6S 5＝30，则a 10＝．14．如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若AF ＝3，sin ∠ACF =3√314，则△DEF 的面积为．15．如图，一个半径为3的半圆，C 、D 两点为直径AB 的三等分点，E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，则CF →⋅DE →= ．16．已知函数f（x）＝|3﹣x2|﹣3，若|m|＜n，且f（m）＝f（n），则m的取值范围为，mn的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=2sin x4cosx4+√3cosx2．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合；（2）若f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m的最小值．18．（12分）在①∠BAC的平分线长为65；②D为BC中点，AD=√72；③AH为BC边上的高，AH=3√5719，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知b＝2，2cos A＝3﹣a cos B．（1）求c；（2）若_____，求∠BAC的大小．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC，∠DAB＝90°，平面PDB⊥平面ABCD，AC⊥BD，AB⊥PD，BC＝1，PD=√2．（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）满足f（x）＝e x﹣x2+2x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）＞（2﹣a）x+1在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n+1+S n=2n2+2n+1．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b 1＝1，b n+1+(−1)n b n =a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 22．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ．（1）若f （x ）在区间（1，2）上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当0＜a ＜1时，求证：f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1≠x 2），且f ′（x 1）+f ′（x 2）＜0．2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．下列条件中，使得“a ＞b ”成立的充分不必要条件是（） A ．|a |＞|b |B ．1a ＞1bC ．a 2＞b 2D ．lna ＞lnb解：对于A ：当a ＝﹣3，b ＝2时满足|a |＞|b |，此时不满足a ＞b ，所以A 错误；对于B ：当a ＝2，b ＝3时满足1a ＞1b，此时不满足a ＞b ，所以B 错误；对于C ：当a ＝﹣3，b ＝2时满足a 2＞b 2，此时不满足a ＞b ，所以C 错误；对于D ：lna ＞lnb ⇒a ＞b ＞0，所以lna ＞lnb 是a ＞b 的充分不必要条件．故选：D ．2．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}，B ＝{x |x ＜a }，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围为（） A ．（1，+∞）B ．[3，+∞）C ．[5，+∞）D ．（5，+∞）解：A ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}＝（1，5），因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，则a ≥5，即实数a 的取值范围为[5，+∞）．故选：C ．3．已知cos(α−π3)=45，则sin(π6+α)的值为（）A ．−45B ．−35C ．35D ．45解：因为cos(α−π3)=45，所以sin(π6+α)=cos[π2−(π6+α)]=cos(π3−α)=cos(α−π3)=45．故选：D ．4．已知a →，b →是两个单位向量，且〈a →，b →〉=60°，若c →=2a →−b →，则cos〈a →，c →〉=（） A ．12B ．√32 C ．13D ．√33解：已知a →，b →是两个单位向量，a →⋅b →=1×1×cos60°=12，因为c →=2a →−b →，所以a →⋅c →=a →⋅(2a →−b →)=2a →2−a →⋅b →=2−12=32， |c →|=√4a →2−4a →⋅b →+b →2=√3，所以cos〈a →，c →〉=a →⋅c →|a →|⋅|c →|=√32．故选：B ．5．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则sin C ＝（）A ．√714B ．√2114C ．3√714D ．3√2114解：如图所示：AD 为边AB 上的高，设AB ＝m ，则CD =√33m ，所以三角形ABC 的面积为S =12AB ⋅AC ⋅sinA =12AB ⋅CD ，即12×m ×AC ×√32=12×m ×√33m ，解得AC =23m ，在直角三角形ACD 中，因为A =π3，CD ⊥AB ，所以∠ACD =π6，则AD =12AC =13m ，所以BD ＝AB ﹣AD =23m ，在直角三角形BCD 中，BC =√CD 2+BD 2=√(√33m)2+(23m)2=√73m ，所以由12AC ⋅BC ⋅sin∠ACB =12AB ⋅CD 可得：12×23m ×√73m ⋅sin∠ACB =12×m ×√33m ，解得sin ∠ACB =3√2114．故选：D ．6．已知曲线y ＝ae x +xlnx 在点（1，ae ）处的切线方程为y ＝2x +b ，则（） A ．a ＝e ，b ＝﹣1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e ﹣1，b ＝1D ．a ＝e ﹣1，b ＝﹣1解：y ′＝ae x +lnx +1，k ＝y ′|x ＝1＝ae +1＝2，∴a ＝e ﹣1 将（1，1）代入y ＝2x +b ，得2+b ＝1，b ＝﹣1．故选：D ．7．满足{x|m≤x≤n}＝{y|y＝x2，m≤x≤n}的实数对m，n构成的点（m，n）共有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个解：由{x|m≤x≤n}＝{y|y＝x2，m≤x≤n}，又y＝x2≥0，则m≥0，所以y＝x2在[m，n]单调递增，故值域为[f（m），f（n）]，即m，n是x2＝x的两根，解得x1＝0，x2＝1，当m＝n＝0时，点（m，n）为（0，0），当m＝n＝1时，点（m，n）为（1，1），当m＝0，n＝1时，点（m，n）为（0，1）．故选：C．8．已知a=sinπ13+cosπ13，b=314+3−12，c＝log32+log43，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：因为a=sin π13+cosπ13=√2sin(π4+π13)＜√2sin(π4+π12)=√2sinπ3=√62，a=√2sin(π4+π13)＞√2sinπ4=1，所以1＜a＜√62，又b=314+3−12，可得b＝（√3)12+√33＞（1.69)12+1.713=1.3+0.57＝1.87，所以b＞1.87；因为23＜32，所以2＜323，可得log3√3＜log32＜log3323，此时12＜log32＜23，因为34＝81＞43＝64，所以3＞43 4，因为35＝243＜44＝256，所以3＜445，此时log4434＜log43＜log4445，即34＜log43＜45，则12+34＜c=log32+log43＜23+45，所以c∈(54，2215)，易知√62=√244＜54＜2215＜1.87，则a＜c＜b．故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．已知复数z满足z(√3+i)=−2i，则（）A．|z|＝1B．z的虚部为√3 2C．z3+1＝0D．z2=z解：由z(√3+i)=−2i，得z=−12−√32i，|z|=√(−12)2+(−32)2=1，A正确；由复数虚部的定义可知，z的虚部为−√32，B错误；z3+1=(−12−√32i)3=1+1=2，C错误；z2=(−12−√32i)2=−12+√32i=z，D正确．故选：AD．10．函数f(x)=tan(2x−π4)，则（）A．f（x）的一个周期为π2B．f（x）是增函数C．f（x）的图象关于点(3π8，0)对称D．将函数y＝tan2x的图象向右平移π4个单位长度可得到f（x）的图象解：对于A：f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2，故A正确；对于B：f（x）的单调递增区间满足：kπ−π2＜2x−π4＜kπ+π2，即增区间为(kπ2−π8，kπ2+3π8)，k∈Z，故B错误．对于C：f（x）的对称中心满足：2x−π4=π2+kπ2，即中心为(3π8+kπ4，0)，k∈Z，故C正确；对于D：将函数y＝tan2x的图象向右平移π4个单位长度可得到y=tan2(x−π4)≠tan(2x−π4)，故D错误．故选：AC．11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AA1的中点，点P在对角线A1B上，则（）A．三棱锥P﹣CEF体积为16B．点P到平面CEF的距离为23C．AP+D1P的最小值为2√2+√2D．四面体BCEF外接球的表面积为14π解：根据题意，可作图如下：对于A，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CB⊥AB，CB⊥平面ABB1A1，在三棱锥P﹣CEF中，以△PEF为底面，则CB为其高，因为P∈A1B，易知△ABA1为等腰直角三角形，且E，F分别为AA1，AB的中点，所以EF∥A1B，且P到EF的距离为14|A1B|=14⋅√2|AB|=√22，V P−CEF=13⋅|CB|⋅S△PEF=13×2×12×√2×√22=13，故A错误；对于B，在Rt△BCE中，易知|BE|＝1，|BC|＝2，则|CE|=√|CB|2+|BE|2=√5，在Rt△AEF中，易知|AE|＝|AF|＝1，则|EF|=√2，在Rt△ACF中，易知|AC|=2√2，|AF|＝1，则|CF|=√|AF|2+|AC|2=3，在△CEF中，由余弦定理，cos∠CEF=|CE|2+|EF|2−|CF|22⋅|CE|⋅|EF|=−√1010，则sin∠CEF=3√1010，所以S△CEF=12⋅|EF|⋅|CE|⋅sin∠CEF=32，点P到平面CEF的距离为3V P−CEFS△CEF=3×1332=23，故正确；对于C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易知A1D1⊥平面ABB1A1，因为A1B⊂平面ABB1A1，所以A1D1⊥A1B，将D1绕A1旋转得到D1′使得A，P，D1′共面，如下图：易知D1P＝D1'P且AP+D1'P≥AD1'，在△AA1D1'中，易知∠AA1D1′＝135°，由余弦定理，|AD1′|2=|AA1|2+|A1D1′|2−2⋅|AA1|⋅|A1D1′|cos∠AA1D1′=4+4−2×2×2×(−√22)=8+4√2，则|AD1′|=2√2+√2，故C正确；对于D，取EC的中点M，易知M为Rt△BCE为外接圆圆心，连接AM，作NM∥AA1，FN∥AM，取O∈MN，连接OE，OF，如下图：因为MN∥AA1，所以MN⊥平面BCE，由M为Rt△BCE为外接圆圆心，则可设O为三棱锥F﹣BCE的外接球球心，即OE＝OF＝R，因为FN∥AM，所以易知四边形AMNF为矩形，则AM＝FN，MN⊥FN，在Rt△BCE中，cos∠CEB=BECE=√55，易知∠AEC＝π﹣∠CEB，则cos∠AEC=−√55，在△AEM中，由余弦定理，|AM|2=|AE|2+|EM|2−2|AE||EM|cos∠AEM=13 4，在Rt△MOE中，|OE|2＝|ME|2+|MO|2，OM|=√|OE|2−|ME|2=√R2−54，在Rt△FOM中，|OF|2＝|ON|2+|FN|2，|OF|2＝|FN|2+（1﹣|OM|）2，则R2=134+(1−√R2−54)2，解得R2=72，则球的表面积为4πR2＝14π，故D正确．故选：BCD．12．对于数列{a n}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|a n|≤M，则称数列{a n}为有界数列；若这样的正数M不存在，则称数列{a n}为无界数列．下列说法正确的有（）A．等比数列{a n}的公比为q，若|q|＜1，则{a n}是有界数列B．若数列{a n}的通项a n=∑n k=11k2，则{a n}是有界数列C．若正项数列{a n}满足：a n=a n−13a n−2(n≥3)，则{a n}是无界数列D．若数列{a n}满足：1a1+1a2+⋯+1a n=1a1a2⋯a n，且a1∈（0，1），则{a n}是有界数列解：对于A：不妨令首项为a1，则a n=a1q n−1，因为0＜|q|＜1，则|a n|=|a1q n−1|=|a1||q n−1|＜|a1|，所以此时{a n}为有界数列，所以A正确；对于B：当n≥2时，1n2＜1n(n−1)=1n−1−1n，又a n=112+122+⋯+1n2＜11+11−12+12−13+⋯+1n−1−1n=2−1n，所以0＜a n＜2，当n＝1时，a1＝1＜2，所以{a n}是有界数列，B正确；对于C：不妨令a1＝p，a2＝q（p＞0，q＞0），则a3=a23a1=q3p，a4=a33a2=19p，a5=a43a3=19q，a6=a53a4=p3q，a7=a63a5=p，a8=a73a6=q，所以数列{a n}是周期数列，所以数列{a n}是有界数列，C错误；对于D：由1a1+1a2+⋯+1a n=1a1a2⋯a n，得1a1+1a2+⋯+1a n−1=1a1a2⋯a n−1(n≥2)，两式相减得1a n=1a1a2⋯a n−1(1a n−1)，化简可得a1a2⋯a n﹣1＝1﹣a n，即a n＝1﹣a1a2⋯a n﹣1，当n＝1时由题知a1∈（0，1）；假设n＝k时结论成立，即a k＝1﹣a1a2⋯a k﹣1∈（0，1），此时a1a2⋯a k﹣1＝1﹣a k；则当n＝k+1时，a k+1=1−a1a2⋯a k=1−(1−a k)a k=a k2−a k+1=(a k−12)2+34，又因为a k∈（0，1），所以a k+1=(a k−12)2+34∈(0，1)，所以n＝k+1时成立，根据①和②可知，该结论成立，故a n∈（0，1），所以{a n}是有界数列，所以D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，5S6﹣6S5＝30，则a10＝20．解：设等差数列{a n}的公差为d，由5S6﹣6S5＝30，得5(S6−S5)−5(a1+a5)2=30，即有5a6﹣5a3＝30，于是3d＝a6﹣a3＝6，解得d＝2，所以a10＝a1+9d＝20．故答案为：20．14．如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形ABC，若AF＝3，sin∠ACF=3√314，则△DEF的面积为√3．解：因为△EFD为等边三角形，所以∠EFD＝60°，则∠EF A＝120°，在△AFC 中，由正弦定理，则AF sin∠ACF =AC sin∠AFC，解得AC =AF sin∠ACF ⋅sin∠AFC =33√314×√32=7，由余弦定理，则AC 2＝AF 2+FC 2﹣2•AF •FC cos ∠AFC ，整理可得：49＝9+FC 2﹣2×3×FC ×（−12），即FC 2+3FC ﹣40＝0，解得FC ＝5或﹣8（舍去），等边△EFD 边长为5﹣3＝2，其面积为12×2×2⋅sin60°=√3．故答案为：√3．15．如图，一个半径为3的半圆，C 、D 两点为直径AB 的三等分点，E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，则CF →⋅DE →= 12．解：取CD 的中点O ，连接OE ，OF ，因为C 、D 两点为直径AB 的三等分点，所以CF →=OF →−OC →，DE →=OE →−OD →=OE →+OC →，因为E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，所以|OE →|=|OF →|=3，＜OE →，OF →＞=π3，|OC →|=|OD →|=1，＜OC →，OE →＞=π3，＜OC →，OF →＞=23π，所以CF →⋅DE →=(OF →−OC →)⋅(OE →+OC →)=OF →⋅OE →+OF →⋅OC →−OC →⋅OE →−OC →2=|OF →||OE →|cos π3+|OF →||OC →|cos 23π−|OC →||OE →|cos π3−|OC →|2 =3×3×12+3×1×(−12)−1×3×12−1=12．故答案为：12．16．已知函数f （x ）＝|3﹣x 2|﹣3，若|m |＜n ，且f （m ）＝f （n ），则m 的取值范围为 (−√3，√3) ，mn的取值范围为（﹣3，3）．解：f(x)=|3−x 2|−3={−x 2，x ∈[−√3，√3]x 2−6，x ∈(−∞，−√3)∪(√3，+∞)，画出函数图像，如图所示：根据图像知：|m |＜n 且f （m ）＝f （n ），故m ∈(−√3，√3)，n ∈(√3，√6)，故﹣m 2＝n 2﹣6，即m 2+n 2＝6≥2|mn |，﹣3≤mn ≤3，|m |≠|n |，等号不成立，故﹣3＜mn ＜3，即mn ∈（﹣3，3）．故答案为：(−√3，√3)；（﹣3，3）．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=2sin x 4cos x 4+√3cos x 2．（1）求f （x ）的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．解：（1）因为f(x)=sin x 2+√3cos x 2=2sin(x 2+π3)，所以当x 2+π3=−π2+2kπ，k ∈Z 即x =4kπ−5π3，k ∈Z 时，f （x ）取得最小值﹣2，所以f （x ）的最小值为﹣2，此时x 的取值集合为{x|x =4kπ−5π3，k ∈Z}；（2）设f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位后得到函数g （x ），则g(x)=2sin(x−m 2+π3)，因为g （x ）为偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），即sin(x 2−m 2+π3)=sin(−x 2−m 2+π3)，展开可得sin x 2cos(−m 2+π3)=0，所以sin x 2cos(−m 2+π3)=0恒成立，所以−m 2+π3=π2+kπ，k ∈Z ，所以m =−π3−2kπ，k ∈Z ，又因为m ＞0，所以m min =5π3． 18．（12分）在①∠BAC 的平分线长为65；②D 为BC 中点，AD =√72；③AH 为BC 边上的高，AH =3√5719，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知b ＝2，2cos A ＝3﹣a cos B ．（1）求c ；（2）若 _____，求∠BAC 的大小．解：（1）由b ＝2及2cos A ＝3﹣a cos B ，得b cos A ＝3﹣a cos B ，即b cos A +a cos B ＝3，由余弦定理得b ×b 2+c 2−a 22bc +a ×a 2+c 2−b 22ac =3，所以c ＝3．（2）若选①，记∠BAC ＝2θ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，即12bcsin2θ=12b ⋅ADsinθ+12c ⋅ADsinθ，即6sin2θ=125sinθ+185sinθ，即sin2θ＝sin θ，所以2sin θcos θ＝sin θ，因为θ∈(0，π2)，所以sin θ≠0，从而cosθ=12，即θ=π3，所以∠BAC =2π3；若选②，由于D 为BC 中点，所以AD →=12(AB →+AC →)，即4AD →2=AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →，又因为|AD →|=√72，|AB →|=3 |AC →|=2，所以AB →⋅AC →=−3，即|AB →|⋅|AC →|⋅cos∠BAC =−3，所以cos ∠BAC =−12，又因为∠BAC ∈（0，π），所以∠BAC =2π3，若选③，由于AH 为BC 边上的高，在Rt △BAH 中，BH 2=AB 2−AH 2=9−9×5719×19=14419，所以BH =12√1919，在Rt △CAH 中，CH 2=AC 2−AH 2=4−9×5719×19=4919，所以CH =7√1919，所以BC =BH +CH =√19，由余弦定理得cos ∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC =9+4−192×3×2=−12，又因为∠BAC ∈（0，π），所以∠BAC =2π3．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，∠DAB ＝90°，平面PDB ⊥平面ABCD ，AC ⊥BD ，AB ⊥PD ，BC ＝1，PD =√2．（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值．解：（1）证明：因为平面PDB ⊥平面ABCD ，又平面PDB ∩平面ABCD ＝BD ，AC ⊥BD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面PDB ，又PD ⊂平面PDB ，所以AC ⊥PD ，又AB ⊥PD ，AC ∩AB ＝A ，AC ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，过A 作AZ ∥PD ，则有AZ ⊥AD ，AZ ⊥AB ，又因为∠DAB ＝90°，即AB ⊥AD ，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AZ 所在直线为z 轴，建系如图，设AB ＝t （t ＞0），则A （0，0，0），B （t ，0，0），C （t ，1，0），D （0，2，0），P(0，2，√2)，所以AC →=(t ，1，0)，BD →=(−t ，2，0)，DP →=(0，0，√2)，由于AC ⊥BD ，所以AC →⋅BD →=0，所以t 2＝2，即t =√2，从而C(√2，1，0)，则DC →=(√2，−1，0)，PB →=(−√2，2，√2)，PC →=(−√2，1，√2)，设平面PDC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅DP →=0n →⋅DC →=0，即{√2z =0√2x −y =0，取n →=(1，√2，0)，设平面PBC 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅PB →=0m →⋅PC →=0，即{−√2a +2b +√2c =0−√2a +b +√2c =0，取m →=(1，0，1)，所以|cos ＜m →，n →＞|=1√3⋅√2=√66，设二面角D ﹣PC ﹣B 的平面角为θ，则由图可知θ为钝角，所以二面角D ﹣PC ﹣B 的平面角余弦值为−√66．20．（12分）已知函数f （x ）满足f （x ）＝e x ﹣x 2+2x ．（1）求f （x ）的单调区间；（2）若关于x 的不等式f （x ）＞（2﹣a ）x +1在（0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因为f （x ）＝e x ﹣x 2+2x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣2x +2，令m （x ）＝e x ﹣2x +2，则m ′（x ）＝e x ﹣2，当x ∈（﹣∞，ln 2）时，m ′（x ）＜0，当x ∈（ln 2，+∞）时，m ′（x ）＞0，所以m （x ）在（﹣∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，+∞）上单调递增，所以m （x ）min ＝m （ln 2）＝2（2﹣ln 2）＞0，即f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间．（2）由题意f （x ）＞（2﹣a ）x +1在区间（0，+∞）上恒成立，即e x ﹣x 2+2x ＞2x ﹣ax +1恒成立，即a ＞1x +x −e x x在区间（0，+∞）上恒成立，令g(x)=1x +x −e x x，x ∈（0，+∞），只需a ＞g （x ）max ，因为g ′(x)=−1x 2+1−e x ⋅x−e x x 2=(x−1)(x+1−e x )x 2，令h （x ）＝x +1﹣e x ，x ∈（0，+∞），有h ′（x ）＝1﹣e x ＜0，所以函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以h （x ）＜h （0）＝0，即x +1﹣e x ＜0，所以当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，所以函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝2﹣e，即a＞2﹣e，所以实数a的取值范围为（2﹣e，+∞）．21．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n+1+S n=2n2+2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b1＝1，b n+1+(−1)n b n=a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）法一：当n＝1时，S2+S1＝5，即a2+2a1＝5，由a1＝1，得a2＝3，由S n+1+S n=2n2+2n+1，得S n+S n−1=2(n−1)2+2(n−1)+1（n≥2），两式相减得：a n+1+a n＝4n（n≥2）．又a2+a1＝4，满足上式．所以当n∈N*时，a n+1+a n＝4n，又当n≥2时，a n+a n﹣1＝4（n﹣1），两式相减得：a n+1﹣a n﹣1＝4（n≥2），所以数列{a n}的奇数项是以a1＝1为首项，4为公差的等差数列，所以a n=a1+n−12×4=2n−1（n为奇数），数列{a n}的偶数项是以a2＝3为首项，4为公差的等差数列，所以a n=a1+n−12×4=1+2(n−1)=2n−1（n为偶数），所以a n＝2n﹣1，即{a n}的通项公式是a n＝2n﹣1．法二：因为S n+1+S n=2n2+2n+1，所以S n+1−(n+1)2=−(S n−n2)，故S n+1−(n+1)2=−(S n−n2)=⋯=(−1)n(S1−12)，因为S1−12=0，所以S n−n2=0，即S n=n2，当n≥2时，a n=n2−(n−1)2=2n−1，当n＝1时，a1＝1适合上式，所以{a n}的通项公式是a n＝2n﹣1．（2）因为b n+1+(−1)n b n=a n，故当n＝2k﹣1（n∈N*）时，b2k﹣b2k﹣1＝a2k﹣1＝2（2k﹣1）﹣1＝4k﹣3①，当n＝2k（n∈N*）时，b2k+1+b2k＝a2k＝2×2k﹣1＝4k﹣1②，①、②两式相减得：b2k+1+b2k﹣1＝2（k≥1），因为b 1＝1，b 3+b 1＝2，所以b 3＝1，因为b 2k +1+b 2k ﹣1＝2（k ≥1），所以当n 为奇数时，b n ＝1，当n 为偶数时，b n ﹣b n ﹣1＝a n ﹣1＝2（n ﹣1）﹣1＝2n ﹣3，所以b n ＝a n ﹣1+1＝2n ﹣3+1＝2n ﹣2，所以b n ={1，n =2k −1，k ∈N ∗2n −2，n =2k ，k ∈N∗；当n 为偶数时，T n =(b 1+b 3+⋯+b n−1)+(b 2+b 4+⋯+b n )=12n 2+12n ，当n 为奇数时，T n =T n+1−b n+1=[12(n +1)2+12(n +1)]−[2(n +1)−2]=12n 2−12n +1，综上，T n ={12n 2−12n +1，n =2k −1，k ∈N ∗12n 2+12n ，n =2k ，k ∈N ∗． 22．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ．（1）若f （x ）在区间（1，2）上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当0＜a ＜1时，求证：f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1≠x 2），且f ′（x 1）+f ′（x 2）＜0．解：（1）已知f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ，函数定义域为（1，2），可得f ′(x)=2ax +a −2−1x =2ax 2+(a−2)x−1x =(2x+1)(ax−1)x．当a ≤0时，f ′（x ）＜0在（1，2）上恒成立，所以函数f （x ）在（1，2）上单调递减，则函数f （x ）在（1，2）上无极值点；当a ＞0时，当x ∈(0，1a)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈(1a，+∞)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）的极小值点为1a，无极大值点．因为f （x ）在（1，2）上有极值，所以1a ∈(1，2)，解得12＜a ＜1，综上，当12＜a ＜1时，f （x ）在区间（1，2）上有极值；（2）证明：易知函数f （x ）定义域为（0，+∞），当0＜a ＜1时，f ′(x)=(2x+1)(ax−1)x，x ＞0，由（1）知f(x)极小=f(1a)=−ln1a−1a+1，因为0＜a＜1，所以1a＞1，不妨令t=1a，t＞1，此时f（t）＝﹣lnt﹣t+1，因为f′(t)=−1t−1＜0在t∈（1，+∞）上恒成立，所以f（t）在（1，+∞）上单调递减，此时f（t）＜f（1）＝0，即f(x)极小=f(1a)＜0，因为f(1e)=ae2+a−2e−ln1e=ae2+ae+1−2e＞0，由（1）知函数f（x）在(0，1a)上单调递减，且f(1e)⋅f(1a)＜0，由零点存在定理可得函数f（x）在(1e，1a)，即(0，1a)上存在唯一的零点x1，使得f（x1）＝0，因为f(3a)=9a+3(a−2)a−ln3a=3+3a−ln3a，不妨令g（x）＝lnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），可得g′(x)=1x−1=1−xx，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）在x＝1处取得唯一极大值，也是最大值g（1）＝0，因为0＜a＜1，所以3a＞3，可得g(3a)＜0，即ln3a−3a−1＜0，此时3a−ln3a+1＞0，所以f(3a)＞3+1=4＞0，由（1）知函数f（x）在(1a，+∞)上单调递增，且f(1a)⋅f(3a)＜0，所以函数f（x）在(1a，+∞)上存在唯一的零点x2，使得f（x2）＝0，所以函数f（x）有两个零点x1，x2（x1≠x2），不妨设0＜x1＜x2，此时{f(x1)=ax12+(a−2)x1−lnx1=a(x12+x1)−2x1−lnx1=0f(x2)=ax22+(a−2)x2−lnx2=a(x22+x2)−2x2−lnx2=0，两式相减得a[(x12−x22)+(x1−x2)]−2(x1−x2)−(lnx1−lnx2)=0，即a(x1−x2)(x1+x2+1)−2(x1−x2)−ln x1x2=0，所以a=2(x1−x2)+ln x1x2(x1−x2)(x1+x2+1)，易知f′(x)=2ax2+(a−2)x−1x=2ax−1x+a−2，所以f′(x1)+f′(x2)=2a(x1+x2)−(1x1+1x2)+2(a−2)=2a(x1+x2+1)−(1x1+1x2)−4=2(x1+x2+1)2(x1−x2)+ln x1x2(x1−x2)(x1+x2+1)−(1x1+1x2)−4=2ln x1x2(x1−x2)−(1x1+1x2)，要证f′（x1）+f′（x2）＜0，即证2ln x1x2(x1−x2)−(1x1+1x2)＜0(0＜x1＜x2)，要证2ln x1x2−(1x1+1x2)(x1−x2)＞0，即证2lnx1x2−x1x2+x2x1＞0，不妨令t=x1x2，t∈(0，1)，即证2lnt−t+1t＞0，t∈（0，1），不妨设m(t)=2lnt−t+1t，函数定义域为（0，1），可得m′(t)=2t−1−1t2=−(t−1)2t2＜0恒成立，所以m（t）在（0，1）上单调递减，此时m（t）＞m（1）＝0．即2ln x1x2−x1x2+x2x1＞0成立，故f（x）有两个零点x1，x2（x1≠x2），且f′（x1）+f′（x2）＜0．。

数学-苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题

数学-苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题江苏省苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题(1)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 命题“x x R x >∈?2,”的否定是 .2. 已知集合}55|{},53|{<<-=≤<-=y y N x x M ，则=N M .3. 设b a ,都是实数，那么“22b a >”是“b a >”的条件． 4. 函数x x f ln 1)(-=的定义域为 .5. 函数xx y 1+=的值域为 . 6. 设集合}20|{≤≤=x x M ，}20|{≤≤=y y N ，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 .7. 已知函数?>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x 则)2(log 3f 的值为 .8. 设7.06-=a ，6.0log 7.0=b ，7log 6.0=c ，则c b a ,,从小到大的排列顺序为 .9. 已知函数]2,1[,2)(2∈-=x x x x f ，则=-)1(x f . 10. 函数x xy ln 21+=的单调减区间为 . 11. 设直线a y =分别与曲线x y =2 和xe y =交于点M 、N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为 . 12. 下列说法：xyO图②22xyO图③2 2xyO图①21 xyO图④2211DA CEB(第14题图)①当0>x 且1≠x 时，有2ln 1ln ≥+xx ；②函数xy a =的图象可以由函数2xy a =（其中0>a 且1≠a ）平移得到；③若对R x ∈，有),()1(x f x f -=-则)(x f 的周期为2；④ “若062≥-+x x ，则2≥x ”的逆否命题为真命题；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称. 其中正确的命题的序号 .13. 若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是 . 14. 已知ABC ?的面积为1，点D 在AC 上，AB DE //，连结BD ，设DCE ?、ABD ?、BDE ?中面积最大者的值为y ，则y 的最小值为 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15. （本小题满分14分）（1）已知1>>b a 且310log log =+a b b a ，求a b b a log log -的值. （2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg --+的值.16. （本小题满分14分）已知集合}145|{2--==x x y x A ，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C . （1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围.17. （本小题满分14分）已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设xx g x f )()(=．（1）求a 、b 的值；（2）若不等式02)2(≥?-xxk f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围.18. （本小题满分16分）已知奇函数)(x f y =定义域是]4,4[-，当04≤≤-x 时，x x x f 2)(2--=. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 的值域；（3）求函数)(x f 的单调递增区间.AB045 PQDCθ 第19题图19. （本小题满分16分）如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD 。

2021届江苏省苏州市普通高中高三年级上学期期中考试数学试题及答案

绝密★启用前江苏省苏州市普通高中2021届高三年级上学期期中教学质量检测数学试题2020年11月一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题給出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1.已知集合}4|{},06|{22>=≤--=x x B x x x A ，则B A ={-2}[2,3] D.(2.3] C.[2,3] B.(2,3) A.2.角α的终边经过点)cos ,sin -(3αα,则αsin 的值为43D.31C.41. B 51A. 3.等差数列{}n a 中，78,24201918321=++=++a a a a a a ,则此数列的前20项和等于D.220C.200B.180A.1604.函数“a x x x f +++=12)(2的定义城为R ”是“1≥a ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要的条件5.函数~)csx (e^-e =ff(x)()()2cos x x e e x f x x --=的部分图象大致是6.已知函数()x x x f ln =, 若直线l 过点()e -,0, 且与曲线()x f y C =:相切,则直线l 的斜率为.e D.e - C.B.22- A.7.衣柜里的樟脑丸,随着时间的推移会因挥发而使体积缩小,刚放进去的新丸体积为a ,经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为: kt e a V -⋅= ".已知新丸经过50天后,体积变为a 94,若一个新丸体积变为a 278,则需经过的天数为 D.50C.75 B.100A.1258.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若2,12,01<=>n n S a a ,则等比数列{}n a 的公比的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛32,0.43,0.32,0.43,0:D C B A二、多项选题: 本题共4小题, 每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题.目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知函数()()()x f x g x x x f '=-=,sin 3cos ,则( )A.()x g 的图象关于点)0,6(π对称 B.()x g 的图象的一条对称轴是6π=xC.8(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛-6,65ππ上递减 D. ()x g 在)3,3(ππ-值域为)1,0( 10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若01>a ,公差0≠d ,则( )A.若95S >S ,则015>SB.若95S >S ,则7S ,是n S 中最大的项.C.若76S S >, 则87S S >D.若76S S >则65S S >。

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苏州市五市三区2013届高三期中考试试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 集合},1{t A =中实数t 嘚取值范围是 .2. 若不等式032≤-x x 嘚解集为M ，函数)1lg ()(x x f -=嘚定义域为N ，则=N M .3. 如果p 和q 是两个命题，若p ⌝是q ⌝嘚必要不充分条件，则p 是q 嘚条件.4. 将函数)63cos(2)(π+=x x f 嘚图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g 嘚图象，则)(x g 嘚解析式为 . 5. 已知向量a 与b 嘚夹角为3π，2||=a ，则a 在b 方向上嘚投影为 . 6. 若3tan =α，则=-++5cos sin 2sin cos 3sin 222ααααα . 7. 设变量y x ,满足1||||≤+y x ，则y x 2+嘚最大值为 .8. 函数xxy +-=11嘚单调递减区间为 . 9. 已知关于x 嘚不等式0)1)(1(<+-x ax 嘚解集是),1()1,(+∞--∞ a，则实数a 嘚取值范围是 .10. 已知函数bx x x f +=2)(嘚图象在点))1(,1(f A 处嘚切线l 与直线023=+-y x 平行，若数列})(1{n f 嘚前n 项和为n S ，则2013S 嘚值为 . 11. 在锐角ABC ∆中，若B A 2=，则ba嘚取值范围是 . 12. 已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ，都有2]1)([=-xx f f ,则)51(f 嘚值是 .13. ABC ∆内接于以P 为圆心，半径为1嘚圆，且=++PC PB PA 5430，则ABC ∆嘚面积为 .O BxyCA14. 若已知0,,>c b a ，则bcab c b a 2222+++嘚最小值为 .二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15. （本小题满分14分）已知函数]4,161[,log )(4∈=x x x f 嘚值域为集合A ，关于x 嘚不等式)(2)21(3R a x a x ∈>+嘚解集为B ，集合}015|{≥+-=x xx C ,集合}121|{-<≤+=m x m x D )0(>m（1）若B B A = ,求实数a 嘚取值范围；（2）若C D ⊆,求实数m 嘚取值范围.16. （本小题满分14分）如图，在直角坐标系xOy 中，锐角ABC ∆内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴，AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ，记角A 、B 、C 所对嘚边分别是a 、b 、c .（1）若,23222b c a ac k -+=求B C A 2sin 2cos 2++嘚值；（2）若,2=k 记),23(),20(πβπβπαα<<=∠<<=∠xOB xOA 求)sin(βα+嘚值。

17. （本小题满分14分）某企业有两个生产车间分别在A 、B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工。

现要在公路AC 上找一点D ,修一条公路BD ，并在D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐。

已知A 、B 、C 中任意两点间嘚距离均有km 1，设α=∠BDC ，所有员工从车间到食堂步行嘚总路程为s .（1）写出s 关于α嘚函数表达式，并指出α嘚取值范围；（2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程s 最少18. （本小题满分16分）已知函数||ln )(2x x x f =，（1）判断函数)(x f 嘚奇偶性；（2）求函数)(x f 嘚单调区间；（3）若关于x 嘚方程1)(-=kx x f 有实数解，求实数k 嘚取值范围．A BCD第17题图19. （本小题满分16分）已知数列}{n a 嘚相邻两项n a ，1+n a 是关于x 嘚方程*)(022N n b x x n n ∈=+-嘚两根，且11=a . （1）求证：数列}231{n n a ⨯-是等比数列；（2）设n S 是数列}{n a 嘚前n 项和，问是否存在常数λ，使得0>-n n S b λ对任意*N n ∈都成立，若存在，求出λ嘚取值范围；若不存在，请说明理由．20. （本小题满分16分）已知函数a x ax ax x x f ax x <≥⎩⎨⎧⨯-+-=-,,2441)(2, （1）若a x <时,1)(<x f 恒成立，求实数a 嘚取值范围；（2）若4-≥a 时，函数)(x f 在实数集R 上有最小值，求实数a 嘚取值范围.苏州市五市三区2013届高三期中考试试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. }1|{≠t t2. ]3,(-∞3.充分不必要.4. 1)43cos(2)(-+=πx x g 5.226. 3512-7. 2 8. ),1(),1,(+∞---∞ 9. )0,1[- 10.2014201311. )3,2( 12. 6 13.56 14. 552二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15.（本小题满分14分）解：（1）因为14>，所以)(x f 在]4,161[上，单调递增，所以=A )]4(),161([f f ]1,2[-=，--------------------------2分又由)(2)21(3R a x ax ∈>+可得：x a x 22)3(>+-即：x a x >--3，所以4ax -<，所以)4,(aB --∞=，--------------------------4分又B B A = 所以可得：B A ⊆，--------------------------5分所以14>-a，所以4-<a 即实数a 嘚取值范围为)4,(--∞.--------------------------6分（2）因为015≥+-x x ,所以有015≤+-x x ,所以21≤<-x ,所以]5,1(-=C ,--------------------8分对于集合C m x m x D ⊆-<≤+=}121|{有:①当121-≥+m m 时,即20≤<m 时∅=D ,满足C D ⊆.--------------------10分②当121-<+m m 时,即2>m 时∅≠D ,所以有:⎩⎨⎧≤-->+51211m m 32≤<-⇒m ,又因为2>m ,所以32≤<⇒m --------------------13分综上：由①②可得：实数m 嘚取值范围为]3,0(.--------------------14分 16.（本小题满分14分）解：（1）变式得：2222cos sin 3b c a ac B B -+=解得31sin =B ，--------------------4分原式18229cos sin 22cos 12sin 2sin 2+=+-=+=B B B B B ；--------------------7分（2）方法一：αβ-=∠AOB ，作AB OD ⊥于D ，22βααβα+=-+=∠∴xOD ,211)2tan(-=-==+∴k kOD βα--------------------11分 54)2(tan 1)2tan(2)sin(2-=+++=+∴βαβαβα--------------------14分方法二：0145212222=-++⇒⎩⎨⎧+==+m mx x m x y y x ，设51,54),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A ， )2()2(sin cos cos sin )sin(21212121m x x x m x y x x y +++=+=+=+βαβαβα54)(42121-=++=x x m x x --------------------14分 17. （本小题满分14分）解：（1）在BCD ∆中，)120sin(sin 60sin 00αα-==CDBC BD，--------------------2分 ,sin 23α=∴BD ααsin )120sin(0-=CD ，则ααsin )120sin(10--=AD 。

--------------------4分]sin )120sin(1[100sin 234000ααα--+⋅=s ααsin 4cos 35050-⋅-=，其中323παπ≤≤。

……..6分（2）ααααααα22sin cos 41350sin cos )4(cos sin sin 350'-⋅=--⋅-⋅-=s 。

--------------------8分令0'=s 得41cos =α。

记)32,3(,41cos 00ππαα∈=当41cos >α时，0'<s ，--------------------.9分当41cos <α时，0'>s ，--------------------10分所以s 在),3(0απ上，单调递减，--------------------11分在)32,(0πα上，单调递增，…………..…...12分所以当0αα=，即41cos =α时，s 取得最小值。

--------------------13分此时，415sin =α，ααsin )120sin(10--=AD αααsin sin 21cos 231+-= ααsin cos 2321⋅-=10521415412321-=⋅-= 答：当10521-=AD 时，可使总路程s 最少。

--------------------14分 18. （本小题满分16分）解：（1）函数)(x f 嘚定义域为R x x ∈|{且}0≠x 关于坐标原点对称.--------------- 1分)(ln ||ln )()(22x f x x x x x f ==--=-)(x f ∴为偶函数.--------------- 4分（2）当0>x 时，)1ln 2(1ln 2)('2+=⋅+=x x xx x x x f --------------- 5分令0)1ln 2()('>+=x x x f 01ln 2>+⇒x 2101ln 2->⇒>+⇒e x x ee x >⇒ 令0)1ln 2()('<+=x x x f 01ln 2<+⇒x 21001ln 2-<<⇒<+⇒e x x ee x <<⇒0 -------------------------------------------- 6分所以可知：当),0(e e x ∈时，)(x f 单调递减，当),(+∞∈eex 时，)(x f 单调递增，---------- 7分又因为)(x f 是偶函数，所以在对称区间上单调性相反，所以可得：当)0,(e e x -∈时，)(x f 单调递增，当),(ee x --∞∈时，)(xf 单调递减，---------- 8分综上可得：)(x f 嘚递增区间是:)0,(e e -,),(+∞ee； )(x f 嘚递减区间是: ),0(e e ,),(ee--∞--------------------------- 9分（3）由1)(-=kx x f ，即1||ln )(2-==kx x x x f ,显然,0≠x可得：k x x x =+1||ln --------------------- 10分令x x x x g 1||ln )(+=，当0>x 时,xx x x g 1ln )(+=211ln ')('x x x x x x g -⋅+=211ln xx -+=221ln x x x -+=----------- 12分显然0)1('=g ，当10<<x 时，0)('<x g ,)(x g 单调递减，当1>x 时，0)('>x g ,)(x g 单调递增，0>∴x 时, 1)1()(min ==g x g ----------- 14分又)()(x g x g -=-，所以可得)(x g 为奇函数，所以)(x g 图像关于坐标原点对称所以可得:当0<x 时，1)1()(max -=-=g x g ----------- 15分∴)(x g 嘚值域为),1[]1,(+∞--∞ ∴k 嘚取值范围是),1[]1,(+∞--∞ .----------- 16分 19. （本小题满分16分）解：(1) n a ，1+n a 是关于x 嘚方程*)(022N n b x x n n∈=+-嘚两根，⎩⎨⎧==+∴++nn n n n n b a a a a 112...................4分。