感生电动势.
产生感生电动势的非静电场感生电场麦克斯韦尔假设变化的磁场在其周围空间激发一种电场,这个电场叫感生电场.kE v 闭合回路中的感生电动势tFl E L d d d ki −=⋅=∫v v E ∫∫⋅=S sB F v v d ∫∫∫⋅−=⋅SL s B t l E v v v v d d d d k ∫∫∫⋅∂∂−=⋅=S L stB l E vvv v d d k i E §10.3 感生电动势涡电流0d d d k≠−=⋅∫tF l E L v v 感生电场是非保守场和均对电荷有力的作用.k E v静E v 感生电场和静电场的对比d =⋅∫Ll E v v 静静电场是保守场静电场由电荷产生；感生电场是由变化的磁场产生.例4 设有一半径为R ,高度为h 的铝圆盘, 其电导率为. 把圆盘放在磁感强度为的均匀磁场中, 磁场方向垂直盘面.设磁场随时间变化, 且为一常量.求盘内的感应电流值.（圆盘内感应电流自己的磁场略去不计）γB v k t B =d d RBvhrrd r rd h已知, R , h , γ, B vkt B =d d 求I解如图取一半径为,宽度为,高度为的圆环.r r d h 则圆环中的感生电动势的值为∫∫∫⋅−=⋅=S L stB l E vvv v d d d d k i E 代入已知条件得2i p d d d |rk s t B S==∫∫E |又r h r R d p 21 d γ=所以r r kh I d 2d γ=rrd rrd hrr kh I d 2d γ=由计算得圆环中电流于是圆盘中的感应电流为∫∫==Rr r kh I I 0d 2d γh R k 241γ=rrd rrd h涡电流感应电流不仅能在导电回路内出现，而且当大块导体与磁场有相对运动或处在变化的磁场中时，在这块导体中也会激起感应电流.这种在大块导体内流动的感应电流,叫做涡电流, 简称涡流.应用热效应、电磁阻尼效应.穿过闭合电流回路的磁通量LIF =一自感IF L =若线圈有N 匝，IL NF ψψ==自感磁通链数BvI无铁磁质时, 自感仅与线圈形状、磁介质及N 有关.注意§10.4 自感0d d =tL当时，tI LL d d −=E )d d d d (d d tLI t I L t F L +−=−=E 二自感电动势自感tI L Ld d E −=单位：1亨利（H ）=1 韦伯/ 安培（1Wb / A ）H10H µ1,H 10mH 163−−==三自感的计算方法nIH B µµ==lN n =NBSNF ==ψISlN N µ=L 例1 如图的长直密绕螺线管,已知,求其自感.（忽略边缘效应）µ,,,N S l lS µE解先设电流I根据安培环路定理求得HBFL .tI LL d d −=E （一般情况可用下式测量自感）lS µEIS lN N µψ=l N n =lSV =Vn L 2µ=∴SlN I L 2µψ==4）自感的应用稳流, LC 谐振电路, 滤波电路, 感应圈等.1R I 例2 有两个同轴圆筒形导体, 其半径分别为和, 通过它们的电流均为,但电流的流向相反.设在两圆筒间充满磁导率为的均匀磁介质, 求其自感.1R 2R I µL 解两圆筒之间rI B p 2µ=如图在两圆筒间取一长为的面, 并将其分成许多小面元.l PQRS 则S B F vv d d ⋅=rBl d =r l rI F F R R d p 2d 21∫∫==µSPRQ2R lIrrd r l rI F F R R d p 2d 21∫∫==µ即12ln p 2R R Il F µ=由自感定义可求出12ln p 2R Rl I F L µ==单位长度的自感为12ln p 2R R µ1R I SPRQ2R lIrrd在电流回路中所产生的磁通量1I 2I 12121I M F =在电流回路中所产生的磁通量1I 2I 21212I M F =1B v 2B v 2I 1I 互感仅与两个线圈形状、大小、匝数、相对位置以及周围的磁介质有关（无铁磁质时为常量）.注意一互感系数（理论可证明）2121212112I FI F M M M ====§10.5 互感tI t I M d d d d 212121EE −=−=Ø互感系数问：下列几种情况互感是否变化？1）线框平行直导线移动；2）线框垂直于直导线移动；3）线框绕OC 轴转动；4）直导线中电流变化.OC二互感电动势tI Md d 212−=E tI Md d 121−=E 例1 两同轴长直密绕螺线管的互感有两个长度均为l ,半径分别为r 1和r 2（r 1<r 2）,匝数分别为N 1和N 2的同轴长直密绕螺线管.求它们的互感.M 解先设某一线圈中通以电流I 求出另一线圈的磁通量F M 设半径为r 2的线圈中通有电流I 2, 则220222I n I lN B µµ==)p (2121r lB n =221210121)p (I r l n n F N µψ==代入B 2计算得则)p (212102121r l n n I F N M µ==则穿过半径为r 1的线圈的磁通匝数为)p (2121121r B N F N ==ψ220222I n I lN B µµ==若两个螺线管直径一样，即r 1=r 2，则Vn n lS n n M 210210µµ==考虑到单一螺线管的自感系数为Vn L V n L 22022101µµ==可以得到两个密绕螺线管之间的互感系数为21L L M =]1,0[21∈=k L L kM 一般情况下两个回路之间的互感系数为k 称为耦合系数.若在一个大螺线管（N 1,l 1,S 1）中心处有一个小螺线管（N 2,l 2,S 2），则应设大螺线管中的电流为I ，则在小螺线管处的磁场和磁通量分别为I l N B 11µ=221121S N I l N ?⋅=µ则两个螺线管的互感系数为212121S l N N I?M µ==bd lIxo x I B p 2µ=xl x I s B F d p 2d d µ=⋅=v v ∫+=b d d xl xI F d p 2µ解设长直导线通电流Ixd x例2 在磁导率为的均匀无限大的磁介质中, 一无限长直导线与一宽长分别为和的矩形线圈共面,直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为. 求二者的互感系数.d l b µ)ln(p 2dd b l I F M +==µ∫+=bd dx l xIF d p 2µ)ln(p 2d d b Il +=µ2b lI2b 若导线如左图放置, 根据对称性可知0=F xd bdlxIxo 0=M 得自感线圈磁能2m 21LI W =回路电阻所放出的焦耳热RI tIL=−d d E ∫∫+=tttRI LI t I 0220d 21d E t RI I LI t I d d d 2=−E 电源作功电源反抗自感电动势作的功lr 2µER§10.6 磁场的能量nIB V n L µµ==,2222m )(2121n B V n LI W µµ==V B µ221=V w m =磁场能量密度BHH B w 2121222m ===µµ磁场能量∫∫∫∫∫∫==VVV B V w W d 2d 2m m µ自感线圈磁能2m21LI W =µLI12R IµI例如图同轴电缆,中间充以磁介质,芯线与圆筒上的电流大小相等、方向相反. 已知, 求单位长度同轴电缆的磁能和自感. 设金属芯线内的磁场可略.µ,,,21I R R 解由安培环路定律可求HrIH R r R p 2,21=<<0,1=<H R r 0,2=>H R r 2m 21H w µ=2)p 2(21r I µ=则21R r R <<2R 1R µ12R IµIm w 2)p 2(21r I µ=222p 8r I µ=21R r R <<∫∫∫∫∫∫==V V Vr IV w W d p 8d 222m m µ2R 1R rd r 单位长度壳层体积1d p 2d ⋅=r r V r rI W R R d p 4212m ∫=µ122ln p 4R R I µ=2m 21LI W =12ln p 2R R L µ=。
感生电动势符号
感生电动势符号
感生电动势符号是指在电路中由于电磁感应现象而产生的电动势的表示方式。
它通常用字母“e”表示，表示感生电动势的大小和方向。
当一个导体在磁场中运动或者磁场发生变化时，就会产生感生电动势。
根据楞次定律，感生电动势的方向总是使得电流的方向尽可能地阻碍电动势的产生。
感生电动势的大小和方向取决于磁场的强度和变化率，以及导体的运动速度和方向。
在电路中，感生电动势常常与电源电动势一起作用，影响电路的运行和表现。
因此，准确地表示和理解感生电动势符号是进行电路分析和设计的重要基础。
- 1 -。
感生电动势
E涡
B t
5
9-3 感生电动势 B 线圈在磁场中不动 B
B 若 0， t 则Er 沿顺时针方向。
方 向 说 明
Er 的方向就是感生电动势 的方向。 一般地，感生电场或感生电动势的方 向直接用楞次定律判断。
B 若 0， t 则Er 沿逆时针方向。
E感 只有以螺线管轴线为中心的圆周切向分量
B r R L
12
9-3
感生电动势
感生电场线是在垂直于轴线平面内， 以轴线为中心的一系列同心圆。 作如图环路
B r d d 2 E dl ( B S ) ( B r ) l 涡 R L dt dt
Байду номын сангаас
rR
9-3
感生电动势
dB 2 R E d l 涡 L dt dB 2 E涡 2r R dt
B
S S
L
R
r
B t
R 2 dB E涡 2r d t
方向：逆时针方向
15
E涡
9-3
感生电动势
E涡
R 2 dB 2r d t
rR rR
6
B ε E感 dl dS L s t
9-3
感生电动势
上式表明感生电场的环流不等于0，说 明感生电场是有旋场。 感生电场的性质和稳恒电流的磁场的 性质十分相似。 如果说，电流是磁场的涡旋中心，那么 变化的磁场就是感生电场的涡旋中心。 感生电场的电力线类似于磁力线，是无 头无尾的闭合曲线，呈涡旋状，所以称之为 涡旋电场。 感生电场也是无源场。
d l E涡 dl dt
感生电动势
b
3、如图所示，竖直向上的匀强磁场磁感应强度 B0=0.5T，并且以=1T/s在变化，水平导轨的电阻和摩 擦阻力均不计，导轨宽为0.5m。在导轨上l=0.8m处搁 一金属棒，其电阻R0=0.1Ω，并用水平细绳通过定滑 轮吊着质量为M = 2kg 的重物，电阻R= 0.4Ω。问： （1）感应电流的方向以及感应电流的大小； （2）经过多长时间能吊起重物(g = 10m/s2)
B R l
4、将一个矩形金属线框折成直角框架abcdef,并置于 倾角为=370的斜面上,ab边与斜面底边MN平 行.ab=bc=cd=de=ef=fa=0.2m,框架总电阻R= 0.02， ab边和de边的质量均为m=0.01kg,其余四边的质量忽 略不计.框架可绕过cf点的固定轴转动.现从t=0时刻 开始沿斜面向上加一随时间均匀增加的、范围足够大 的匀强磁场，磁感强度与时间的关系为B=0.5t,磁场 方向与cdef面垂直. (1)求线框中感应电流大小，并 在ab段导线上标出电流方向. e (2)t为何值时,框架将开始 d f 绕其固定轴转动? M a B c 1A b 1.4s N
R2 B
v
R1 370
单匝导体线圈在磁感强度B的ห้องสมุดไป่ตู้强磁场中绕轴oo’以角 速度ω匀速转动， V
a
o a b d B o’ c V o
dB
S//B时， Φ=0 ，
△Φ/△t(最大)=BSω V d
B o
V S垂直B时, Φ (最大)= BS ,
△Φ/△t =0
a
1、如图所示，一个有80匝的环形线圈的总电阻为2Ω， 两端连接有6Ω的用电器，线圈包围的面积为0.015m2。 当有与环面垂直的匀强磁场穿过（磁感应强度B按图 示变化，设垂直纸面向里为正）， (1)求出0.15s和0.45s时线圈中的感应电动势的大小; (2)画出0~1.5s时间内,线圈中的电流与时间的图象 B/T 1.6V 3.2v (设逆时针为正)
感生电动势
动势那部分导体相当于电源，哪一种作用扮演了非静电力的角色呢？
感生电动势
磁场对静止电荷不会有洛伦兹力;静电 力是电荷间的相互作用力,与磁场无关.
磁场 变强
猜想:可能是变化的磁场对电荷产生作用力
创新微课
感生电动势
〔英〕麦克斯韦认为，
磁场变化时会在周围空间激发 一种电场-----感生电场
闭合导体中的自由电荷在这种 电场下做定向运动
Ek 感生电场为无源场
创新微课
感生电动势
创新微课
例题：半径为r、电阻为R的金属环通过某直径的轴OO’以角速度ω 做匀速转动，如图所示。匀强磁场的磁感应强度为B，从金属环的平面 的磁场方向重合时开始计时，则在转过30º的过程中。求： (1)环中产生的感应电动势的平均值是多大？
(2)金属环某一横截面内通过的电荷量是多少？
的 来 源
非静电力是 感生电场力
同学，下节再见
创新微课 现在开始
感生电动势
感生电动势
△回顾电荷在外电路和内电路中的运动。
创新微课
adc b
化学作用就是我们所说 的非静电力
△电源电动势的作用是某种 非静电力对自由电荷的作用
感生电动势
创新微课
磁场变化引起
N
的电动势
S 感生电动势
电源
线圈相当于 电源
穿过闭合回路磁通量发生了变化，回路中产生感应电动势。产生感应电
产生感应电流（感生电动势）
创新微课
感生电动势的非 静电力是感生电 场对电荷的作用 力。
感生电场的方向类 似感应电流方向的 判定----安培定则
感生电动势
起源
感生电场与静电场的区别
静电场 E0 由静止电荷激发
感生电场 Ek 由变化的磁场激发
动生电动势与感生电动势
【解】由于金属棒处在通电导线的非均匀磁场中，因此必
须将金属棒分成很多长度元dx，规定其方向由A指向B。这样 在每一dx处的磁场可以看作是均匀的，其磁感应强度的大小为
B 0I
2x
根据动生电动势的公式可知，dx小段上的动生电动势为
d动
(v
B)
dl
Bv
cos
dx
0I
2x
vdx
由于所有长度元上产生的动生电动势的方向都相同，所以金
d
dt
d dt
S
B
dS
又根据电动势的定义可得
L EK dl
式中，EK为感生电场的电场强度。感生电场的电场强度是 非静电性场强。
则有
L EK
dl
d dt
B dS B dS
s
s t
dB
s
S t
若闭合回路是静止的，即所包围面积S不随时间变化，即
S 0 ，则上式可写成
t
B L EK dl s t dS
性场强为
Ek
fL (e)
vB
根据电动势的定义可得，动生电动势为
a
动
L Ek
dl
(v B) dl
b
上式是动生电动势的一般表达式。由上式可知，动生电动势
的方向是非静电性场强 Ek v B 在运动导线上投影的指向。
【例9-2】如下图所示，长直导线 中通有电流I＝10A，有一长l＝0.1m的 金属棒AB，以v＝4m·s-2的速度平行于 长直导线作匀速运动，棒离导线较近的 一端到导线的距离a＝0.1m，求金属棒 中的动生电动势。
1861年，英国物理学家麦克斯韦提出感生电场的假设，认为 由于磁场变化而产生一种电场，是这个电场使导体中自由电子作 定向运动而形成电流。麦克斯韦还认为，即使没有导体，这种电 场同样存在。这种由变化磁场激发的电场称为感生电场。
感生电动势
感生电动势一、感生电动势当一个相对静止的导体闭合回路处于随时间变化的磁场中时，穿过导体闭合回路的磁通量也会发生变化，导体中产生感应电动势，称为感生电动势。
二、感生电场1、麦克斯韦假设相对静止的导体闭合回路因磁场变化能产生感生电动势，这说明回路中的电荷由于磁场的变化受到了某种力的作用。
电荷受力的作用分为两种，一种是静电场所施的库仑力，另一种是施于运动电荷的洛仑兹力。
然而，在产生感生电动势的过程中，即没有静电场也没有电荷的运动。
因此，感应电动势的非静既不是静电场的静电力，也不是洛仑兹力，我们用以前学过的知识已无法解释感生电动势的微观机制。
为了解释感生电动势非静电力的起源，英国科学家麦克斯韦提出一个假设：变化磁场在其周围空间会激发一种电场，这种电场称为感生电场或涡旋电场。
这种电场不管空间有无导体或导体回路，不管是介质还是真空它都存在。
这种感生电场对导体中电荷的作用力就是构成感应电动势的非静电力。
麦克斯韦的这一假设已被许多实验所证实。
2、感生电场的性质电场从起源上分为两种：一种是由电荷激发的静电场（库仑电场），用表示；另一种是由变化磁场激发的感生电场，用表示。
这两种电场有一个共同的特点，即对处于电场中的电荷有作用力。
但感生电场的电场力不同于库仑电场的电场力，它是一种非静电力。
如果在感生电场中放入导体，则导体中的在感生电场力的作用下将发生定向运动，在导体中形成电动势；如果导体构成闭合回路，就产生感应电流。
因此，感生电动势的非静电力就是感生电场力，它是形成感生电动势的起因和本质。
根据定义，感生电动势等于感生电场沿某一闭合曲线的线积分，即根据法拉第电磁感应定律，有其中是穿过闭合曲线所包围曲面上的磁通量，即则由于和静止不动，故上式右边对曲面的积分和对时间的积分次序可以互换，因而有感生电场沿的积分方向就是感生电动势是正方向，它与回路法线矢量构成右手螺旋关系。
一般情况下，空间可能既存在电荷，又存在变化的磁场，因而它们激发的两种电场也就可能同时存在。
2、感生电动势
v v v E = E库 + E感
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二,感生电动势与涡旋电场的关系 v v 由电动势的定义: 由电动势的定义: ε = ∫ E感 dl
dΦ 由法拉第电磁感应定律: 由法拉第电磁感应定律: ε = dt r r dΦ ∫L E感 dl = dt r r r dΦ d B r = ∫ B dS = ∫ dS S dt dt S t r r r B r dS ε = ∫ E感 dl = ∫S L t
方向: 方向:逆时针方向
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在圆柱体外,由于 在圆柱体外,由于B=0 故 上 于是 虽然 上 在 但在 上每点为0, 上每点为 ,
r B ×××× R××
S′ S ×××× v
L′ ××××
r B t
上则并非如此. 上则并非如此.
由图可知,这个圆面积包括柱体内部分的面积, 由图可知,这个圆面积包括柱体内部分的面积, 而柱体内
1
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当合上电键使N 中的电流增大时,它在 解: 当合上电键使 1中的电流增大时 它在 铁环中产生的磁场也增强,因而 因而N 铁环中产生的磁场也增强 因而 2线圈中有感生 电动势产生.以 表示环的截面积 表示环的截面积,以 表示环内磁 电动势产生 以S表示环的截面积 以B表示环内磁 感应强度,则 感应强度 则 φ = BS .而N2中的感生电动势的大 而 小为
应减少涡流
1,选择高阻值材料 , 减少涡流的途径
(电机变压器的铁芯 材料是硅钢而非铁) 材料是硅钢而非铁) 2,多片铁芯组合 ,
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五,感生电场的计算
例1:局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场, : 的圆柱形空间内分布有均匀磁场, 方向如图. 方向如图.磁场的变化率 B t > 0
动生电动势和感生电动势的相对性和统一性
动生电动势和感生电动势的相对性和统一性
动生电动势（也称为发电机电动势）是指通过磁场运动而产生
的电动势，如发电机中电线在通过磁场运动时产生的电动势。
而感
生电动势则是指当磁场变化时，导体内产生的电动势，如变压器中
的感应电动势。
这两种电动势的相对性在于它们都是由磁场和运动（或变化）
导致的电动势。
一方面，动生电动势是一种主动性的过程，需要有
电力来驱动电线在磁场中运动产生电动势；另一方面，感生电动势
是一种被动性的过程，当磁场发生变化时，导体内就会产生电动势。
因此，动生电动势和感生电动势是相对的。
但是，在物理上，动生电动势和感生电动势也有一定的统一性。
它们都遵循法拉第电磁感应定律，即磁通量变化率与感应电动势成
正比。
此外，动生电动势和感生电动势都是由磁场和运动（或变化）导致的电动势，它们的本质都是由电子在磁场中运动和受力产生的。
因此，在一定程度上，动生电动势和感生电动势也具有一定的统一性。
§13.4感生电动势
oa
dm r 2 dB
dt
dt
r＞R，管外B=0,
5）由
L E旋 dl
当r≤R时, E旋
m
dm dt
2 r
B R2，dm
dt
,可得
dB r2，
dt
E旋
R2 dB dt
r dB 2 dt
当r＞R时,
E旋 2 r
dB dt
R2，E旋
§13.4 感生电动势
一、感生电动势
导体或导体回路不动，磁场随时间变化而产 生的感应电动势，称为感生电动势.
1.感生电场（Ei或E旋）
•麦克斯韦假设:变化的磁场 在其周围空间产生电场——
感或生E旋电表场示（。涡旋电场）,用Ei
B
增 大
I感 --e
感 Ei
设B随t增大
太原理工大学大学物理
B
电动势应为逆时针，即A由指向B。 太原理工大学大学物理
四、涡电流 当大块金属处在变化的磁场中时，由于通过金属
块的磁通量发生变化，因此在金属块中产生感应电 动势。大块金属电阻特别小，可以产生极强的电流， 这些电流在金属内部形成一个个闭合回路，所以称 作涡电流，又叫涡流。
～
太原理工大学大学物理
应用： 高频感应炉：利用金属块中产 生的涡流所发出的热量使金属 块熔化。具有加热速度快、温 度均匀、易控制、材料不受污 染等优点。
o
R
r
Ei - r关系曲线
太原理工大学大学物理
二、涡旋电场的性质 感生电场与静电场比较： 1.相同点：对静止电荷有力的作用。 2.不同点： 1）产生原因不同 • 静电场——静止电荷产生； • 感生电场——变化磁场产生。 2）性质不同 太原理工大学大学物理
感生电动势
二. 电磁感应定律
ei =
d Φ dt
感应电动势和B 矢量通量的变化率成正比 (而不是和H 矢量通量的变化率有关)
式中的“ ”号是楞次定律的数学表达。
右旋符号系统：
绕行方向L和法线方向 n
dS
n
构成一个右旋符号系统。
L
dS 的方向：和绕行方向 L 构成右旋关系的
×
C
B t
E × 感 r h θ × × × × θ D × × × l dl L
( r cos θ =h)
解二：作一假想的回路oabo d Φ . E dl = dt a l R2 l 2 dB ( ) dt =2 2
× × ×
B
× × × × ×
× × × × × × × ×
o h l
感应电量和磁通量变化快慢无关的说明
ω
线圈转 过900
t2
Ii
B
快
慢 o
△ta △tb
t
1 (Φ 1 Φ 2 ) q = t I i dt = 1 R
快速转动： e
I 相等。
e 慢速转动：
§2 动生电动势 动生电动势：由于导线和磁场作相对运动所 产生的电动势。
ε ε
ε
ε
Φ
i
n
绕 行方向
L
ε
ε
Φ
i
n
绕 行方向
L
dΦ ＞ 0 (同学自证) 3. Φ ＜ 0， dt Φ d 4. Φ ＜ 0， ＜ 0 (同学自证) dt 若有N 匝导线 ψ d (NΦ ) d dΦ = = i= N dt dt dt
ε
ψ = NΦ