动生电动势和感生电动势

§6-2 动生电动势和感生电动势动生电动势：回路或其一部分在磁场中的相对运动所产生的感应电动势。

感生电动势：仅由磁场的变化而产生的感应电动势。

一 动生电动势图6 - 5 动生电动势动生电动势的产生可以用洛伦兹力来解释。

长为l 的导体棒与导轨构成矩形回路abcd 平放在纸面内，均匀磁场B 垂直纸面向里。

当导体棒ab 以速度v 沿导轨向右滑动时，导体棒内自由电子也以速度v 随之一起向右运动。

每个自由电子受到的洛伦兹力为B v F ⨯-)(=e ,方向从b 指向a ，在其作用下自由电子向下运动。

如果导轨是导体，在回路中将形成沿着abcd 逆时针方向的电流。

如果导轨是绝缘体，则洛伦兹力将使自由电子在a 端累积，从而使a 端带负电，b 端带正电，在ab 棒上产生自上而下的静电场。

当作用在自由电子上的静电力与洛伦兹力大小相等时达到平衡，ab 间电压达到稳定值，b 端电势比a 端高。

这一段运动导体相当于一个电源，它的非静电力就是洛伦兹力。

电动势定义为单位正电荷从负极通过电源内部移到正极的过程中，非静电力K 所作的功，即B v F K ⨯=-=e.动生电动势为ε⎰⎰+-⋅⨯=⋅=l B v l K d )(d ba .(6.4)均匀磁场情况：若v ⊥ B , 则有ε = B l v ；若导体顺着磁场方向运动，v // B ，则有 v ⨯ B = 0，没有动生电动势产生。

因此，可以形象地说，只有当导线切割磁感应线而运动时，才产生动生电动势。

普遍情况：在任意的恒定磁场中，一个任意形状的导线线圈L (闭合的或不闭合的)在运动或发生形变时，各个线元d l 的速度v 的大小和方向都可能是不同的。

这时，在整个线圈L 中产生的动生电动势为ε l B v d )()(⋅⨯=⎰L .(6.5)图6 - 6 洛伦兹力不作功洛伦兹力对电荷不作功：洛伦兹力总是垂直于电荷的运动速度，即v ⊥F v ，因此洛伦兹力对电荷不作功。

然而，当导体棒与导轨构成回路时会有感应电流出现，这时感应电动势却是要作功的。

感应电动势作功能量的来源：在运动导体中的自由电子不但具有导体本身的运动速度v ，而且还具有相对于导体的定向运动速度u ，与此相应的洛伦兹力u ⊥F u . 自由电子所受到的总的洛伦兹力为B v u F ⨯+-)(= ev u F F +=,它与合成速度v u +垂直，总的洛伦兹力不对电子作功，即0)(=+⋅v u F .利用0=⋅v F v和0=⋅u F u ，由上式可得)(v u F +⋅0)()(=⋅+⋅=+⋅+=v F u F v u F F u v u v ,或u F v F ⋅=⋅-v u .实际上，为了使导体棒能够在磁场中以速度v 匀速运动，必须施加外力F 0，以克服洛伦兹力的一个分力u =F e -⨯u B . 利用上式的结果可以看到，F 0克服u F 所作的功为u F v F v F ⋅⋅-⋅v u ==0.外力克服洛伦兹力的一个分量u F 所作的功0⋅F v ，通过洛伦兹力的另一个分量v F 对电子的定向运动作了正功v ⋅F u ，从而全部转化成了感应电流的能量。

因此，洛伦兹力并不提供能量，而只是传递能量。

洛伦兹力在这里起了能量转化作用，其前提是运动物体中必须有能够自由移动的电荷。

二 感生电动势在磁场变化而产生感生电动势的情况下，导体回路不动，其非静电力不可能是洛伦兹力。

人们发现，不论回路的形状以及导体的性质和温度如何，只要磁场变化导致穿过回路的磁通量发生了变化，就会有数值等于/d d t Φ的感生电动势在回路中产生，说明感生电动势的产生只是由变化的磁场本身引起的。

麦克斯韦在电磁感应现象分析的基础上提出：变化的磁场在其周围空间激发一种新的电场，称为感生电场或有旋电场，用E r 表示，以区别于库仑场E c ，后者是电荷按库仑定律激发的电场。

有旋电场与库仑场都是一种客观存在的物质，它们对电荷都有作用力。

与库仑场不同的是，有旋电场不是由电荷激发的，而是由变化的磁场激发的；描述有旋电场的电场线是闭合的，从而有⎰≠⋅0d r l E ,因此有旋电场不是保守场或势场。

实际上，产生感生电动势的非静电力K 正是这一有旋电场E r ，即ε⎰-⋅=td d =d r Φl E . (6.6)三 电磁感应定律的普遍形式在普遍情况下，电场E 是库仑场E c 和有旋电场E r 的叠加，即r c E E E +=.由于库仑场是势场，⎰⋅0=d c l E ，因此感生电动势为ε⎰⎰⋅⋅+=)()(r c d =d )(L L l E l E E .(6.7)另一方面，按照法拉第电磁感应定律，有ε⎰⎰⋅-=-=)(d d d d d S ttS B Φ,式中S 是以环路L 为周界的曲面。

当环路L 不动时，可将对时间的微商与对曲面的积分的顺序颠倒，得SB l E d d )()(⋅∂∂-=⋅⎰⎰⎰S L t. (6.8)此即电磁感应定律的普遍(积分)形式，它是麦克斯韦方程组的一个方程。

根据矢量分析中的斯托克斯公式，利用导出安培环路定理的微分形式类似的方法，可以由式(6.8)得到t∂∂-⨯∇B E =, (6.9)这就是电磁感应定律的微分形式。

上式表明，即使没有导体存在，变化的磁场也会在空间激发涡旋状的感生电场。

在式(6.9)中代入磁矢势A 的定义式A B ⨯∇=，可得0)+(=∂∂⨯∇tA E .对于任何标量函数ϕ，总有0)(=∇⨯∇ϕ，所以由上式0)+(=∂∂⨯∇tA E,可得ϕ∇-∂∂-tA E =, (6.10)这就是用矢势A 和标势ϕ 表示电场强度E 的普遍表达式。

当电磁场与时间无关时，有0=∂∂ tA ，V ∇-=∇-=ϕE ，于是ϕ还原为静电势V .为了使矢势A 有确定值，对于随时间变化的电磁场，可采用 0+00=∂∂⋅∇tϕμεA(6.11)作为附加条件来限制矢势A 和标势ϕ，该条件称为洛伦兹条件或洛伦兹规范。

矢势A 和标势 ϕ 的重要性：① 四维电磁矢势)/i ,,,(c A A A z y x ϕ；② 有心力场中运动粒子的薛定谔方程为 ψϕμψ])ˆ(21[i 2q q t+-=∂∂A P,或ψϕμψ])i ()i (21[i q q q t +-∇-⋅-∇-=∂∂A A .③ 1959年，阿哈罗诺夫和玻姆从理论上指出，即使在电子的运动路径上不存在电场E 和磁场B ，但只要存在标势ϕ 和矢势A ，也会使电子波函数的相位发生变化，而这种相位变化可以通过电子波的干涉效应加以观测，这就是著名的A - B 效应。

A - B 效应表明，ϕ 和A 是比E 和B 更为基本的物理量。

四 电磁感应与相对性原理按照以上关于动生电动势和感生电动势的讨论，似乎在这两种物理情况之间存在着深刻的差异。

为了弄清它们之间的内在联系，我们现在从三个惯性系S ，'S 和"S 中静止的观测者的角度出发，考察以速度v 相对运动着的闭合回路和磁铁。

1 ) 对于S 系中的观测者来说，建立磁场B 的磁铁是静止的，导体回路以速度v 运动着，所测得的动生电动势来源于磁场B 作用于运动导体的自由电荷上的洛伦兹力，且有ε⎰⋅⨯=l B v d )(. 2 ) 对于'S 系来说，磁铁以速度 - v 运动着，使磁场B 的空间分布随时间改变，所测得的感生电动势来源于导体回路中产生的感生电场E ，且有ε⎰⋅=l E d .3 ) 对于"S 系来说，磁铁和导体回路都在运动，因而以上二者兼而有之，即导体回路中的感应电动势为ε⎰⎰⋅⋅⨯=l E l B v d '+d )''(.根据电场和磁场的相对论性变换的讨论，在不同的惯性系中所观测到的电场和磁场可以是不同的，即'B 与B ，'E 与E 都可能不同。

上述表面上看起来有着明显差异的物理情况，却有着共同的规律，它们都遵从法拉第电磁感应定律及其推广的形式，即εtd d Φ-= 和⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅SB l E d d t.不管磁通量Φ 变化的原因是什么，它们都是成立的。

只要磁铁和导体回路之间的相对运动相同，导体回路中的感应电动势 ε 就相同。

实际上，这是相对性原理的必然结果。

这一结果说明，磁场和电场并不是彼此无关的，它们的划分是相对的，是与惯性系的选择有关的。

1905年爱因斯坦在关于狭义相对论的著名论文“论运动物体的电动力学”中，对此作了精辟的论述。

[例题6.2] 在均匀恒定磁场B 中，一根长为L 的导体棒ab ，在垂直于磁场的平面内绕其一端作匀速转动，角速度为ω. 试求这导体棒两端的电势差U ab .[解] ( 1 ) 解法一：由于导体棒ab 在均匀磁场中匀速转动，所以棒上各处的线速度v 不同。

若在距中心为l 处取一线元d l ，则其线速度的方向既垂直于棒，又垂直于B ，大小为 v = ω l . 利用式(6.5)，导体棒ab 上所产生的动生电动势为ε⎰⋅⨯=b al B v d )(B L l l v B baω221d -=-=⎰,式中的负号来源于v ⨯B 的方向与积分路径的方向相反，表示感应电动势从b 指向a 的。

于是，ab 两点间电势差为U ab = - εB L ω221=.图6 - 7 旋转的导体棒( 2 ) 解法二：为直接用式 εtd d Φ-= (6.1)来求解，设想(这种设想是有条件的！)有一回路'abb a ，'ab 是导体棒在t = 0的位置，2/2θ∆=∆L S是∆t 时间内导体棒扫过的面积。

由于回路'abb a 的绕行方向确定的面元矢量∆S 的方向与B 一致，所以回路磁通量为θΦ∆=∆=∆⋅=∆221L B S B S B ,代入式(6.1)可得εωθΦB L tLB t2221d d 21d d -=-=-=,式中的负号表示电动势 ε 的方向由b 指向a.[例题6.3 ] 交流发电机的基本原理。

[解] 一个单匝线圈abcd 可以绕固定轴在磁极N 和S 所激发的近似均匀的磁场中转动；线圈的两端分别接在两个与线圈一起转动的铜环上，铜环通过两个带有弹性的金属触头与外电路接通。

当线圈在汽轮机或水轮机的带动下在均匀磁场中匀速转动时，线圈的ab 和cd 两边切割磁感应线而产生感应电动势。

如果外电路是闭合的，则在线圈和外电路所组成的闭合回路中就会出现感应电流。

图6 - 8 交流发电机的基本原理考虑某一瞬间，线圈平面的法向n e 与B 间的夹角为θ. 由式(6. 5)可得，在边长为l的ab 和cd 两边中产生的感应电动势分别为：εab ⎰⎰=⋅⨯=lb a l B v 0d sin d )(θl B v = θsin l B v ,εcd ⎰⋅⨯=d c l B v d )(⎰-π=ll B v 0d )(sin θθsinl B v =.线圈回路中这两个电动势的方向相同，因此整个回路中的感应电动势为ε = εab + εcd = 2 vB l sin θ .设线圈旋转的角速度为ω，并取线圈平面的法线刚好处在水平位置时作为计时零点，则θ = ω t ，又因v ='l ω /2，代入上式可得ε sin BS t ωω=,式中'S l l =为线圈的面积，'l 为线圈的bc 和da 边长。