带电粒子在交变电磁场中的运动
带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题
带电粒子在磁场中的运动是一个充满深度和广度的问题，涉及到物理学中的许多重要概念和原理。
从宏观到微观，从经典到量子，这一主题的探讨可以帮助我们更深入地理解粒子在磁场中的行为，以及相关的物理规律。
一、带电粒子在磁场中的受力和运动1.受力分析当带电粒子进入磁场时，它会受到洛伦兹力的作用，这个力会使粒子发生偏转，并导致其在磁场中运动。
洛伦兹力的大小和方向取决于粒子的电荷大小、速度方向以及磁场的强度和方向。
2.运动轨迹在磁场中，带电粒子的运动轨迹通常是圆形或螺旋形的，具体取决于粒子的速度和磁场的强度。
这种运动旋转圆问题是研究带电粒子在磁场中行为的重要内容之一。
二、经典物理学对带电粒子运动的描述1.运动方程根据洛伦兹力和牛顿定律，可以建立带电粒子在磁场中的运动方程。
通过对这个方程的分析，可以得到粒子在磁场中的运动轨迹和运动规律。
2.圆周运动对于静止的带电粒子，它会在磁场中做匀速圆周运动；而对于具有初始速度的带电粒子，它会做螺旋运动。
这种经典的描述为我们理解带电粒子在磁场中的运动提供了重要参考。
三、量子物理学对带电粒子运动的描述1.量子力学效应在微观尺度下，带电粒子在磁场中的运动会受到量子力学效应的影响，比如磁量子效应和磁旋效应等。
这些效应对带电粒子的运动规律产生重要影响，需要通过量子力学来描述。
2.自旋和磁矩带电粒子除了具有电荷和质量外，还具有自旋和磁矩。
这些特性在磁场中会影响粒子的运动，使得其运动规律更加复杂和微妙。
四、个人观点和理解对于带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题，我认为它不仅具有重要的理论意义，还在许多实际应用中发挥着关键作用。
比如在核磁共振成像技术中，正是利用了带电粒子在外加磁场中的运动规律，实现了对人体组织和器官进行高分辨率成像。
深入理解这一问题，不仅可以帮助我们认识自然界的规律，还有助于科学技术的发展和进步。
总结回顾一下，带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题是一个充满深度和广度的物理学问题，涉及到经典物理学和量子物理学的交叉领域。
带电粒子在交变电场或磁场中运动规律
带电粒子在交变电场或磁场中运动规律带电粒子在交变电场或磁场中运动的情况较复杂，运动情况不仅取决于场的变化规律，还与粒子进入场的的时候的时刻有关，一定要从粒子的受力情况着手，分析出粒子在不同时间间隔内的运动情况，若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，那么粒子在穿越电场的过程中，可看做匀强电场。
注意：空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点。
交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场，磁场或叠加的场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽。
（1） 仔细确定各场的变化特点及相应时间，其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联。
（2） 把粒子的运动过程用直观的草图进行分析。
如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀 强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L 的平行金属极板MN 和PQ ，两极板中心各有一小孔1S 、2S ，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为0U ，周期为0T 。
在0t =时刻将一个质量为m 、电量为q -（0q >）的粒子由1S 静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在02T t =时刻通过2S 垂直于边界进入右侧磁场区。
（不计粒子重力，不考虑极板外的电场） （1）求粒子到达2S 时德 速度大小v 和极板距离d 。
（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在03t T =时刻再次到达2S ，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小如图甲所示，一对平行放置的金属板M、N的中心各有一小孔P、Q，PQ的连线垂直于金属板，两板间距为d。
（1）如果在板M、N之间加上垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间变化如图乙所示。
T=0时刻，质量为m、电量为－q的粒子沿PQ方向以速度0υ射入磁场，正好垂直于N板从Q孔射出磁场。
已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间恰为一个周期，且与磁感应强度变化的周期相同，求0υ的大小。
带电粒子在磁场中的运动 动量
带电粒子在磁场中的运动与动量有关。
在匀强磁场中，如果粒子所受合外力为零，则粒子作匀速直线运动；合外力充当向心力时，粒子作匀速圆周运动；其余情况，粒子作的是一般的变速曲线运动。
同时，带电粒子在磁场中的运动也与速度有关，速度方向与磁场方向平行时不受洛伦兹力作用，速度方向与磁场方向垂直时洛伦兹力充当向心力。
此外，带电粒子在磁场中的运动还具有周期性，其周期T=2πm/qB或者T=2πr/v，其中m为动量，q为电量，B为磁感应强度。
在处理带电粒子在磁场中的运动问题时，可以采用力的观点（牛顿运动定律、运动学公式）、能量观点（动能定理、能量守恒定律）和动量观点（动量定理、动量守恒定律）等多种方法进行分析。
以上内容仅供参考，如需更全面准确的信息，可查阅物理专业书籍或咨询物理专业人士。
2022年高考物理命题猜想与仿真押题——专题09 带电粒子在复合场中的运动(命题猜想)(解析版)
【考向解读】1.2022年主要考试热点：(1)带电粒子在组合复合场中的受力分析及运动分析．(2)带电粒子在叠加复合场中的受力分析及运动分析．(3)带电粒子在交变电磁场中的运动．2.带电粒子在复合场中的运动应当是2022年高考压轴题的首选．(1)复合场中结合牛顿其次定律、运动的合成与分解、动能定理综合分析相关的运动问题．(2)复合场中结合数学中的几何学问综合分析多解问题、临界问题、周期性问题等．【命题热点突破一】带电粒子在组合场中的运动磁偏转”和“电偏转”的差别电偏转磁偏转偏转条件带电粒子以v⊥E进入匀强电场带电粒子以v⊥B进入匀强磁场受力状况只受恒定的电场力只受大小恒定的洛伦兹力运动状况类平抛运动匀速圆周运动运动轨迹抛物线圆弧物理规律类平抛学问、牛顿其次定律牛顿其次定律、向心力公式基本公式L＝vt，y＝12at2，a＝qEm，tan θ＝atvr＝mvqB，T＝2πmqB，t＝θ2πT例1．如图所示，静止于A处的离子，经加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从P点垂直CN 进入矩形区域的有界匀强电场，电场方向水平向左．静电分析器通道内有均匀辐射分布的电场，已知圆弧虚线的半径为R，其所在处场强为E、方向如图所示；离子质量为m、电荷量为q；QN＝2d、PN＝3d，离子重力不计．(1)求加速电场的电压U；(2)若离子恰好能打在Q点上，求矩形区域QNCD内匀强电场场强E0的值；(3)若撤去矩形区域QNCD内的匀强电场，换为垂直纸面对里的匀强磁场，要求离子能最终打在QN上，求磁场磁感应强度B的取值范围．(3)离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力供应向心力，依据牛顿其次定律，有qBv＝mv2r则r＝1BEmRq离子能打在QN上，则既没有从DQ边出去也没有从PN边出去，则离子运动径迹的边界如图中Ⅰ和Ⅱ.由几何关系知，离子能打在QN上，必需满足：32d<r≤2d则有12dEmRq≤B<23dEmRq.答案(1)12ER(2)3ER2d(3)12d EmRq≤B ＜23dEmRq【变式探究】如图所示的坐标系中，第一象限内存在与x轴成30°角斜向下的匀强电场，电场强度E＝400 N/C；第四象限内存在垂直于纸面对里的有界匀强磁场，x轴方向的宽度OA＝203cm，y轴负方向无限大，磁感应强度B＝1×10－4T.现有一比荷为qm＝2×1011 C/kg的正离子(不计重力)，以某一速度v0从O点射入磁场，α＝60 °，离子通过磁场后刚好从A点射出，之后进入电场．(1)求离子进入磁场B的速度v0的大小；(2)离子进入电场后，经多少时间再次到达x轴上；(3)若离子进入磁场B后，某时刻再加一个同方向的有界匀强磁场使离子做完整的圆周运动，求所加磁场磁感应强度的最小值．解析离子的运动轨迹如图所示离子沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a，位移为l2Eq＝ma l2＝12at2由几何关系可知tan 60°＝l2l1代入数据解得t＝3×10－7s(3)由Bqv＝mv2r知，B越小，r越大．设离子在磁场中最大半径为R由几何关系得R＝12(r1－r1sin 30°)＝0.05 m由牛顿运动定律得B1qv0＝mv20R得B1＝4×10－4T则外加磁场ΔB1＝3×10－4T答案(1)4×106 m/s(2)3×10－7s(3)3×10－4T【感悟提升】带电粒子在组合场中的运动问题，一般都是单物体多过程问题，求解策略是“各个击破”：(1)先分析带电粒子在每个场中的受力状况和运动状况，抓住联系相邻两个场的纽带——速度(一般是后场的入射速度等于前场的出射速度)，(2)然后利用带电粒子在电场中往往做类平抛运动或直线运动，在磁场中做匀速圆周运动的规律求解．【命题热点突破二】带电粒子在叠加复合场中的运动例2.如图所示，水平线AC和竖直线CD相交于C点，AC上开有小孔S，CD上开有小孔P，AC与CD间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面对里，∠DCG＝60°，在CD右侧、CG的下方有一竖直向上的匀强电场E(大小未知)和垂直纸面对里的另一匀强磁场B1(大小未知)，一质量为m、电荷量为＋q的塑料小球从小孔S处无初速度地进入匀强磁场中，经一段时间恰好能从P孔水平匀速飞出而进入CD右侧，小球在CD右侧做匀速圆周运动而垂直打在CG板上，重力加速度为g.(1)求竖直向上的匀强电场的电场强度E的大小；(2)求CD右侧匀强磁场的磁感应强度B1的大小；(3)若要使小球进入CD右侧后不打在CG上，则B1应满足什么条件？解析(1)因小球在CD右侧受重力、电场力和洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，所以有mg＝qE，即E＝mgq.(2)小球进入磁场后，由于重力作用，速率不断增大，同时在洛伦兹力的作用下小球右偏，当小球从小孔P水平匀速飞出时，受力平衡有Bqv ＝mg ，即v ＝mgBq从S 到P 由动能定理得mg CP ＝12mv 2，即CP ＝m 2g2q 2B2因小球从小孔P 水平飞入磁场B 1后做匀速圆周运动而垂直打在CG 上，所以C 点即为小球做圆周运动的圆心，半径即为r ＝CP 又因B 1qv ＝m v 2r联立得B 1＝2B .答案 (1)mgq(2)2B (3)B 1≥4.3B【变式探究】如图所示，离子源A 产生的初速度为零、带电荷量为e 、质量不同的正离子被电压为U 1的加速电场加速后进入一电容器中，电容器两极板之间的距离为d ，电容器中存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场和匀强电场．正离子能沿直线穿过电容器，垂直于边界MN 进入磁感应强度大小也为B 的扇形匀强磁场中，∠MNQ ＝90°.(不计离子的重力)(1)求质量为m 的离子进入电容器时，电容器两极板间的电压U 2； (2)求质量为m 的离子在磁场中做圆周运动的半径；(3)若质量为4m 的离子垂直打在NQ 的中点S 1处，质量为16m 的离子打在S 2处．求S 1和S 2之间的距离以及能打在NQ 上正离子的质量范围．解析 (1)设离子经加速电场后获得的速度为v 1，应用动能定理有U 1e ＝12mv 21离子进入电容器后沿直线运动，有U 2ed ＝Bev 1得U 2＝Bd2U 1em又ON ＝R 2－R 1由几何关系可知S 1和S 2之间的距离ΔS ＝R 22－ON 2－R 1联立解得ΔS ＝2(3－1)2U 1mB 2e由R ′2＝(2R 1)2＋(R ′－R 1)2 解得R ′＝52R 1再依据12R 1≤R x ≤52R 1解得m ≤m x ≤25m 答案 (1)Bd 2U 1em(2)2U 1mB 2e(3)m ≤m x ≤25m【命题热点突破三】带电粒子在交变电磁场中的运动及多解问题例3、如图甲所示，宽度为d 的竖直狭长区域内(边界为L 1、L 2)，存在垂直纸面对里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E 0，E ＞0表示电场方向竖直向上．t ＝0时，一带正电、质量为m 的微粒从左边界上的N 1点以水平速度v 射入该区域，沿直线运动到Q 点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N 2点．Q 为线段N 1N 2的中点，重力加速度为g .上述d 、E 0、m 、v 、g 为已知量．(1)求微粒所带电荷量q 和磁感应强度B 的大小． (2)求电场变化的周期T .(3)转变宽度d ，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T 的最小值．(2)设微粒从N 1运动到Q 的时间为t 1，做圆周运动的周期为t 2，则d2＝vt 1⑤(1分)qvB ＝m v 2R⑥(2分)2πR ＝vt 2⑦(1分)联立③④⑤⑥⑦得t 1＝d 2v ；t 2＝πvg⑧(2分)电场变化的周期T ＝t 1＋t 2＝d 2v ＋πvg⑨(1分)【感悟提升】空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点．交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场、磁场或叠加的场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽，应留意以下两点：(1)认真确定各场的变化特点及相应时间，其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联． (2)把粒子的运动过程用直观草图进行分析．【变式探究】如图甲所示，两竖直线所夹区域内存在周期性变化的匀强电场与匀强磁场，变化状况如图乙、丙所示，电场强度方向以y 轴负方向为正，磁感应强度方向以垂直纸面对外为正．t ＝0时刻，一质量为m 、电量为q 的带正电粒子从坐标原点O 开头以速度v 0沿x 轴正方向运动，粒子重力忽视不计，图乙、丙中E 0＝3B 0v 04π，t 0＝πm qB 0，B 0已知．要使带电粒子在0～4nt 0(n ∈N)时间内始终在场区运动，求：(1)在t 0时刻粒子速度方向与x 轴的夹角； (2)右边界到O 的最小距离； (3)场区的最小宽度．解析 (1)由牛顿其次定律，得E 0q ＝ma v y ＝qE 0mt 0(2分)E 0＝3B 0v 04πtan θ＝v yv 0(1分) θ＝37°(1分)(2)x 1＝v 0t 0(1分)如图所示，由几何关系得x 2＝R 1－R 1cos 53°(1分)B 0qv ＝m v 2R 1(1分) v ＝v 0cos 37°(1分)x ＝x 1＋x 2＝(π＋0.5)mv 0qB 0(1分)答案 (1)37° (2)(π＋0.5)mv 0qB 0(3)(1.5n ＋1.5＋π)mv 0qB 0【高考真题解读】1．(2021·福建理综，22，20分)如图,绝缘粗糙的竖直平面MN 左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E ，磁场方向垂直纸面对外，磁感应强度大小为B .一质量为m 、电荷量为q 的带正电的小滑块从A 点由静止开头沿MN 下滑，到达C 点时离开 MN 做曲线运动．A 、C 两点间距离为h ，重力加速度为g .(1)求小滑块运动到C 点时的速度大小v C ；(2)求小滑块从A 点运动到C 点过程中克服摩擦力做的功W f ；(3)若D 点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置,当小滑块运动到D 点时撤去磁场,此后小滑块连续运动到水平地面上 的P 点．已知小滑块在D 点时的速度大小为v D ，从D点运动到P 点的时间 为t ，求小滑块运动到P 点时速度的大小v P .(3)如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直．撤 去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g ′g ′＝（qE m）2＋g 2⑥ 且v 2P ＝v 2D ＋g ′2t 2⑦解得v P ＝v 2D ＋⎣⎡⎦⎤（qE m ）2＋g 2t 2⑧ 答案 (1)E B (2)mgh －mE 22B 2(3)v 2D＋⎣⎡⎦⎤（qE m ）2＋g 2t 22．(2021·重庆理综，9，18分)如图为某种离子加速器的设计方案．两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面对外的匀强磁场．其中MN 和M ′N ′是间距为h 的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O 和O ′，O ′N ′＝ON ＝d ，P 为靶点，O ′P ＝kd (k 为大于1的整数)．极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U .质量为m 、带电量为q 的正离子从O 点由静止开头加速，经O ′进入磁场区域．当离子打到极板上O ′N ′区域(含N ′点)或外壳上时将会被吸取．两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过，忽视相对论效应和离子所受的重力．求：(1)离子经过电场仅加速一次后能打到P 点所需的磁感应强度大小； (2)能使离子打到P 点的磁感应强度的全部可能值；(3)打到P 点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间． 解析 (1)粒子经电场加速一次后的速度为v 1，由动能定理得 qU ＝12mv 21①粒子能打到P 点，则在磁场中的轨道半径r 1＝kd2②对粒子在磁场中由牛顿其次定律得qv 1B 1＝mv 21r 1③联立①②③式解得B 1＝22Uqmqkd④答案 (1)22Uqm qkd (2)22nUqmqkd(n ＝1，2，3，…，k 2－1)(3)（2k 2－3）πkmd22Uqm （k 2－1）h 2（k 2－1）mUq3．(2021·天津理综，12,20分)现代科学仪器常利用电场、磁场把握带电粒子的运动．真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d .电场强度为E ，方向水平向右；磁感应强度为B ，方向垂直纸面对里，电场、磁场的边界相互平行且与电场方向垂直．一个质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射．(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v 2的大小与轨迹半径r 2；(2)粒子从第n 层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn ， 试求sin θn ；(3)若粒子恰好不能从第n 层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的状况 下，也进入第n 层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之．(2)设粒子在第n 层磁场中运动的速度为v n ,轨迹半径为r n (各量的下标均代表 粒子所在层数，下同)． nqEd ＝12mv 2n ⑤qv n B ＝m v 2nr n⑥图1粒子进入第n 层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn ，从第n 层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn ，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度重量不变，有v n －1sin θn －1＝v n sin αn ⑦ 由图1看出r n sin θn －r n sin αn ＝d ⑧由⑥⑦⑧式得r n sin θn －r n －1sin θn －1＝d ⑨由⑨式看出r 1sin θ1，r 2sin θ2，…，r n sin θn 为一等差数列，公差为d ，可得r n sin θn ＝r 1sin θ1＋(n －1)d ⑩图2粒子穿出时的速度方向与水平方向的夹角为θn ，由于 q ′m ′＞q m ⑮则导致 sin θn ′＞1⑯说明θn ′不存在，即原假设不成立．所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界．答案 (1)2qEd m 2BmEdq(2)B nqd2mE(3)见解析4．(2021·江苏单科，15，16分)一台质谱仪的工作原理如图所示， 电荷量均为＋q 、质量不同的离子飘入电压为U 0的加速电场，其初速度几乎为零．这些离子经加速后通过狭缝O 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场，最终打在底片上．已知放置底片的区域MN ＝L ，且OM ＝L .某次测量发觉MN 中左侧23区域MQ 损坏，检测不到离子，但右侧13区域QN 仍能正常检测到离子．在适当调整加速电压后，原本打在MQ 的离子即可在QN 检测到．(1)求原本打在MN 中点P 的离子质量m ；(2)为使原本打在P 的离子能打在QN 区域，求加速电压U 的调整范围；(3)为了在QN 区域将原本打在MQ 区域的全部离子检测完整，求需要调整U 的最少次数．(取lg 2＝0.301，lg 3＝0.477，lg 5＝0.699) 解析 (1)离子在电场中加速： qU 0＝12mv 2在磁场中做匀速圆周运动：qvB ＝m v 2r解得r ＝1B2mU 0q打在MN 中点P 的离子半径为r 0＝34L ，代入解得m ＝9qB 2L 232U 0(2)由(1)知，U ＝16U 0r 29L 2离子打在Q 点时r ＝56L ，U ＝100U 081 离子打在N 点时r ＝L ，U ＝16U 09，则电压的范围 100U 081≤U ≤16U 09 (3)由(1)可知，r ∝U由题意知，第1次调整电压到U 1，使原本Q 点的离子打在N 点L 56L ＝U 1U 0此时，原本半径为r 1的打在Q 1的离子打在Q 上56L r 1＝U 1U 0解得r 1＝⎝⎛⎭⎫562L答案 (1)9qB 2L 232U 0 (2)100U 081≤U ≤16U 09(3)3次5．(2022·浙江理综，25,22分)离子推动器是太空飞行器常用的动力系统．某种推动器设计的简化原理如图1所示，截面半径为R 的圆柱腔分为两个工作区．Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L ，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度v M 从右侧喷出．Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，在离轴线R /2处的C 点持续射出肯定速率范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图2所示(从左向右看)．电子的初速度方向与中心O 点和C 点的连线成α角(0<α≤90°)．推动器工作时，向Ⅰ区注入淡薄的氙气．电子使氙气电离的最小速率为v 0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M ；电子质量为m ，电荷量为e .(电子遇到器壁即被吸取，不考虑电子间的碰撞)(1)求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；(2)为取得好的电离效果,请推断Ⅰ区中的磁场方向(按图2说明是“垂直纸面对里”或“垂直纸面对外”)；(3)α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v 的范围；(4)要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率v max 与α角的关系． 解析 (1)由动能定理得12Mv 2M＝eU ①U ＝Mv 2M2e②a ＝eE M ＝e U ML ＝v 2M 2L③(4)电子运动轨迹如图所示， OA ＝R －r ，OC ＝R2，AC ＝r依据几何关系得r ＝3R4（2－sin α）⑨由⑥⑨式得v max ＝3eBR4m （2－sin α）答案 (1)Mv 2M 2e v 2M2L (2)垂直纸面对外(3)v 0≤v ＜3eBR 4m (4)v max ＝3eBR4m （2－sin α）6．(2022·重庆理综，9，18分)如图所示，在无限长的竖直边界NS 和MT 间布满匀强电场，同时该区域上、下部分分别布满方向垂直于NSTM 平面对外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，KL 为上、下磁场的水平分界线，在NS 和MT 边界上，距KL 高h 处分别有P 、Q 两点，NS 和MT 间距为1.8h .质量为m 、带电荷量为＋q 的粒子从P 点垂直于NS 边 界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g .(1)求电场强度的大小和方向．(2)要使粒子不从NS 边界飞出，求粒子入射速度的最小值．(3)若粒子能经过Q 点从MT 边界飞出，求粒子入射速度的全部可能值． 解析 (1)设电场强度大小为E . 由题意有mg ＝qE得E ＝mgq，方向竖直向上．(2)如图1所示,设粒子不从NS 边飞出的入射速度最小值为V min ，对应的粒子 在上、下区域的运动半径分别为r 1和r 2，圆心的连线与NS 的夹角为φ. 由r ＝mvqB有r 1＝mv min qB ，r 2＝12r 1由(r 1＋r 2)sin φ＝r 2 r 1＋r 1cos φ＝hv min ＝(9－62)qBhm答案 (1)mg q ，方向竖直向上 (2)(9－62)qBhm(3)见解析7．(2022·大纲全国，25，20分)如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面(xy 平面)向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x 轴负向．在y 轴正半轴上某点以与x 轴正向平行、大小为v 0的速度放射出一带正电荷的粒子,该粒子在(d ，0)点沿垂直于x 轴的方向进入电场．不计重力．若该粒子离开电场时速度方向与Y 轴负方向的夹角为θ，求(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值； (2)该粒子在电场中运动的时间．解析 (1)如图，粒子进入磁场后做匀速圆周运动．设磁感应强度的大小为B ，粒子质量与所带电荷量分别为m 和q ,圆周运动的半径为R 0.由洛仑兹力公式 及牛顿其次定律得qv 0B ＝m v 20R 0①由题给条件和几何关系可知R 0＝d ②答案 (1)12v 0tan 2θ (2)2dv 0tan θ。
2025年高考人教版物理一轮复习专题训练—带电粒子在叠加场和交变电磁场中的运动 附答案解析
2025年⾼考⼈教版物理⼀轮复习专题训练—带电粒⼦在叠加场和交变电、磁场中的运动（附答案解析）1.如图所⽰，⼀带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度⼤⼩为E、⽅向竖直向下；该磁场的磁感应强度⼤⼩为B、⽅向垂直纸⾯向⾥，不计空⽓阻⼒，设重⼒加速度为g，则( )A．液滴带正电B．液滴⽐荷＝C．液滴沿顺时针⽅向运动D．液滴运动速度⼤⼩v＝2．(多选)(2024·吉林长春市外国语学校开学考)如图所⽰，在竖直平⾯内的虚线下⽅分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度⼤⼩为10 N/C，⽅向⽔平向左；磁场的磁感应强度⼤⼩为2 T，⽅向垂直纸⾯向⾥。
现将⼀质量为0.2 kg、电荷量为＋0.5 C的⼩球，从该区域上⽅的某点A以某⼀初速度⽔平抛出，⼩球进⼊虚线下⽅后恰好做直线运动。
已知重⼒加速度为g＝10 m/s2。
下列说法正确的是( )A．⼩球平抛的初速度⼤⼩为5 m/sB．⼩球平抛的初速度⼤⼩为2 m/sC．A点距该区域上边界的⾼度为1.25 mD．A点距该区域上边界的⾼度为2.5 m3．(2023·⼴东梅州市期末)如图甲所⽰，在竖直平⾯内建⽴xOy坐标系(y轴竖直)，在x>0区域有沿y轴正⽅向的匀强电场，电场强度⼤⼩为E＝；在x>0区域，还有按图⼄规律变化的磁场，磁感应强度⼤⼩为B0，磁场⽅向以垂直纸⾯向外为正⽅向。
t＝0时刻，有⼀质量为m、带电荷量为＋q的⼩球(可视为质点)以初速度2v0从原点O沿与x轴正⽅向夹⾓θ＝的⽅向射⼊第⼀象限，重⼒加速度为g。
求：(1)⼩球从上往下穿过x轴的位置到坐标原点的可能距离；(2)⼩球与x轴之间的最⼤距离。
4．(多选)(2024·重庆西南⼤学附中⽉考)如图甲所⽰的平⾏⾦属极板M、N之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场，取垂直纸⾯向外为磁场正⽅向，磁感应强度B随时间t周期性变化的规律如图⼄所⽰，取垂直极板向上为电场正⽅向，电场强度E随时间t周期性变化的规律如图丙所⽰。
带点粒子在周期性变化的电场-磁场中的运动规律
带点例子在周期性的电场，磁场中的运动带电粒子在交变电场或磁场中运动的情况较复杂，运动情况不仅取决于场的变化规律，还与粒子进入场的的时候的时刻有关，一定要从粒子的受力情况着手，分析出粒子在不同时间间隔内的运动情况，若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，那么粒子在穿越电场的过程中，可看做匀强电场。
注意：空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点。
交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场，磁场或叠加的场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽。
（1） 仔细确定各场的变化特点及相应时间，其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联。
（2） 把粒子的运动过程用直观的草图进行分析。
如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀 强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L 的平行金属极板MN 和PQ ，两极板中心各有一小孔1S 、2S ，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为0U ，周期为0T 。
在0t =时刻将一个质量为m 、电量为q -（0q >）的粒子由1S 静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在02T t =时刻通过2S 垂直于边界进入右侧磁场区。
（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）（1）求粒子到达2S 时德 速度大小v 和极板距离d 。
（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在03t T =时刻再次到达2S ，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小如图甲所示，一对平行放置的金属板M 、N 的中心各有一小孔P 、Q ，PQ 的连线垂直于金属板，两板间距为d 。
（1）如果在板M 、N 之间加上垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间变化如图乙所示。
T=0时刻，质量为m 、电量为－q 的粒子沿PQ 方向以速度0υ射入磁场，正好垂直于N 板从Q 孔射出磁场。
带点粒子在周期性变化的电场磁场中的运动规律
带点例子在周期性的电场，磁场中的运动带电粒子在交变电场或磁场中运动的情况较复杂，运动情况不仅取决于场的变化规律，还与粒子进入场的的时候的时刻有关，一定要从粒子的受力情况着手，分析出粒子在不同时间间隔内的运动情况，若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，那么粒子在穿越电场的过程中，可看做匀强电场。
注意：空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点。
交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场，磁场或叠加的场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽。
（1）仔细确定各场的变化特点及相应时间，其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联。
（2）把粒子的运动过程用直观的草图进行分析。
如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ两极板中心各有一小孔S<!、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U0,周期为T0。
在t 0时刻将一个质量为m、电量为q （q0 ）的粒子由S i静止释放，粒子在电场力的作用（不计粒子重力，不考下向右运动，在t 0时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区。
2虑极板外的电场）（1）求粒子到达S2时德速度大小v和极板距离d。
（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t 3T0时刻再次到达S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小如图甲所示，一对平行放置的金属板M、N的中心各有一小孔P、Q, PQ的连线垂直于金属板，两板间距为d o（1）如果在板M、N之间加上垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间变化如图乙所示。
T=0时刻，质量为m、电量为一q的粒子沿PQ方向以速度O u射入磁场，正好垂直于N板从Q孔射出磁场。
已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间恰为一个周期，且与磁感应强度变化的周期相同，求O u的大小。
带电粒子在磁场中的运动
带电粒子在磁场中的运动因为洛伦兹力F始终与速度v垂直，即F只改变速度方向而不改变速度的大小，所以运动电荷非平行与磁感线进入匀强磁场且仅受洛伦兹力时，一定做匀速圆周运动，由洛伦磁力提==2/。
带电粒子在磁场中运动问题大致可分两种情况：1. 做供向心力，即F qvB mv R完整的圆周运动（在无界磁场或有界磁场中）；2. 做一段圆弧运动（一般在有界磁场中）。
无论何种情况，其关键均在圆心、半径的确定上。
1. 找圆心方法1：若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心。
方法2：若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向，则可作出此两点的连线（即过这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已知点v的垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心。
2. 求半径圆心确定下来后，半径也随之确定。
一般可运用平面几何知识来求半径的长度。
3. 画轨迹在圆心和半径确定后可根据左手定则和题意画出粒子在磁场中的轨迹图。
4. 应用对称规律带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。
临界点是粒子轨迹发生质的变化的转折点，所以只要画出临界点的轨迹就可以使问题得解。
一、由两速度的垂线定圆心例1. 电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。
当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。
为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感强度B应为多少？图1解析：如图2所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。
做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。
图2设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有=22/eU mv对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有=2/evB mv R由图可知，偏转角θ与r、R的关系为θ2=r Rtan(/)/联立以上三式解得θ122=(/)/tan(/)B r mU e二、由两条弦的垂直平分线定圆心例2. 如图3所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，方向向里。
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带电粒子在交变电、磁场中的运动解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路[多维探究](一)交变磁场[典例1] (2014·高考)如图837甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q 间存在匀强磁场。
取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。
t＝0时刻，一质量为m、带电量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。
当B0和T B取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)。
上述m、q、d、v0为已知量。
图837(1)若Δt ＝12T B ，求B 0；(2)若Δt ＝32T B ，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；(3)若B 0＝4mv 0qd，为使粒子仍能垂直打在P 板上，求T B 。
[思路点拨](1)若Δt ＝12T B 时，试画出粒子在PQ 板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图甲，半径R 1＝d(2)若Δt ＝32T B 时，试画出粒子在PQ 板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图乙，半径R 2＝d3乙(3)若B 0＝4mv 0qd，则半径为多大？试画出粒子在一个周期的运动轨迹，并说明在哪些位置可能击中B 板。
提示：如图丙，由R ＝mv 0qB 0得R ＝14d 在A 、B 两点可能击中B 板[解析] (1)设粒子做圆周运动的半径为R 1，由牛顿第二定律得qv 0B 0＝mv 02R 1①据题意由几何关系得R 1＝d ②联立①②式得B 0＝mv 0qd③(2)设粒子做圆周运动的半径为R 2，加速度大小为a ，由圆周运动公式得a ＝v 02R 2④据题意由几何关系得 3R 2＝d ⑤ 联立④⑤式得 a ＝3v 0 2d⑥甲丙(3)设粒子做圆周运动的半径为R ，周期为T ，由圆周运动公式得T ＝2πRv 0⑦由牛顿第二定律得qv 0B 0＝mv 02R⑧由题意知B 0＝4mv 0qd，代入⑧式得d ＝4R ⑨粒子运动轨迹如图所示，O 1、O 2为圆心，O 1O 2连线与水平方向的夹角为θ，在每个T B ，只有A 、B 两个位置粒子才有可能垂直击中P 板，且均要求0＜θ＜π2，由题意可知π2＋θ2πT ＝T B2⑩ 设经历完整T B 的个数为n (n ＝0,1,2,3…)若在A 点击中P 板，据题意由几何关系得R ＋2(R ＋R sin θ)n ＝d ⑪当n ＝0时，无解⑫ 当n ＝1时，联立⑨⑪式得θ＝π6(或sin θ＝12)⑬联立⑦⑨⑩⑬式得T B ＝πd 3v 0⑭ 当n ≥2时，不满足0＜θ＜π2的要求⑮ 若在B 点击中P 板，据题意由几何关系得R ＋2R sin θ＋2(R ＋R sin θ)n ＝d ⑯当n ＝0时，无解⑰ 当n ＝1时，联立⑨⑯式得θ＝arcsin 14(或sin θ＝14)⑱联立⑦⑨⑩⑱式得 T B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋arcsin 14d 2v 0⑲当n ≥2时，不满足0＜θ＜π2的要求⑳ [答案]见解析 [方法规律]分析周期性变化磁场中的运动时，重点是明确在一个周期的运动，化变为恒是思维根本，其技巧是画出轨迹示意图，结合带电粒子在电磁场和重力场组合与叠加场中的运动知识列方程解答。
(二)交变电场＋恒定磁场[典例2] (2015·模拟)如图838甲所示，带正电粒子以水平速度v 0从平行金属板MN 间中线OO ′连续射入电场中。
MN 板间接有如图乙所示的随时间t 变化的电压U MN ，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场。
紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B ，分界线为CD ，EF 为屏幕。
金属板间距为d ，长度为l ，磁场的宽度为d 。
已知：B ＝5×10－3T ，l ＝d ＝0.2 m ，每个带正电粒子的速度v 0＝105 m/s ，比荷为qm＝108 C/kg ，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间，电场可视作是恒定不变的。
试求：图838(1)带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径； (2)带电粒子射出电场时的最大速度； (3)带电粒子打在屏幕上的围。
[审题指导] 第一步：抓关键点第二步：找突破口(1)要求圆周运动的最小半径，由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式可知，应先求最小速度，后列方程求解。
(2)要求粒子射出电场时的最大速度，应先根据平抛运动规律求出带电粒子能从极板间飞出所应加的板间电压的围，后结合动能定理列方程求解。
(3)要求粒子打在屏幕上的围，应先综合分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹，后结合几何知识列方程求解。
[解析] (1)t ＝0时刻射入电场的带电粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小。
粒子在磁场中运动时qv 0B ＝mv 02r min则带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径r min ＝mv 0qB ＝105108×5×10－3m ＝0.2 m其运动的径迹如图中曲线Ⅰ所示。
(2)设两板间电压为U 1，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有d 2＝12at 2＝12·U 1q dm (l v 0)2代入数据，解得U 1＝100 V在电压低于100 V 时，带电粒子才能从两板间射出电场，电压高于100 V 时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出。
带电粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为v max ，则有12mv 2max ＝12mv 20＋q · U 12解得v max ＝2×105m/s ＝1.414×105m/s(3)由第(1)问计算可知，t ＝0时刻射入电场的粒子在磁场中做圆周运动的半径r min ＝d ＝0.2 m径迹恰与屏幕相切，设切点为E ，E 为带电粒子打在屏幕上的最高点， 则O ′E ＝r min ＝0.2 m带电粒子射出电场时的速度最大时，在磁场中做圆周运动的半径最大，打在屏幕上的位置最低。
设带电粒子以最大速度射出电场进入磁场中做圆周运动的半径为r max ，打在屏幕上的位置为F ，运动径迹如图中曲线Ⅱ所示。
qv max B ＝mv 2maxr max则带电粒子进入磁场做圆周运动的最大半径r max ＝mv max qB ＝2×105108×5×10－3 m ＝25m 由数学知识可得运动径迹的圆心必落在屏幕上，如图中Q 点所示，并且Q 点必与M 板在同一水平线上。
则O ′Q ＝d 2＝0.22m ＝0.1 m带电粒子打在屏幕上的最低点为F ，则O ′F ＝r max －O ′Q ＝(25－0.1)m ＝0.18 m 即带电粒子打在屏幕上O ′上方0.2 m 到O ′下方0.18 m 的围。
[答案] (1)0.2 m (2)1.414×105m/s (3)O ′上方0.2 m 到O ′下方0.18 m 的围 (三)交变磁场＋恒定电场[典例3] 电视机显像管中需要用变化的磁场来控制电子束的偏转。
图839(a)为显像管工作原理示意图，阴极K 发射的电子束(初速不计)经电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，磁场方向垂直于圆面(以垂直圆面向里为正方向)，磁场区的中心为O ，半径为r ，荧光屏MN 到磁场区中心O 的距离为L 。
当不加磁场时，电子束将通过O 点垂直打到屏幕的中心P 点。
当磁场的磁感应强度随时间按图(b)所示的规律变化时，在荧光屏上得到一条长为23L 的亮线。
由于电子通过磁场区的时间很短，可以认为在每个电子通过磁场区的过程中磁感应强度不变。
已知电子的电荷量为e ，质量为m ，不计电子之间的相互作用及所受的重力。
求：图839(1)电子打到荧光屏上时速度的大小；(2)磁感应强度的最大值B 0。
[解析](1)电子打到荧光屏上时速度的大小等于它飞出加速电场时的速度大小，设为v ，由动能定理eU ＝12mv 2；解得v ＝2eUm。
(2)当交变磁场为峰值B 0时，电子束有最大偏转，在荧光屏上打在Q 点，PQ ＝3L 。
电子运动轨迹如图所示，设此时的偏转角度为θ，由几何关系可知，tan θ＝3LL，θ＝60°。
根据几何关系，电子束在磁场中运动路径所对的圆心角α＝θ，而tan α2＝rR。
由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得evB 0＝mv 2R ；解得B 0＝6meU3er。
[答案](1)v ＝2eU m (2)B 0＝6meU3er(四)交变电、磁场[典例4] 某空间存在着一个变化的电场和一个变化的磁场，电场方向向右(如图8310甲中由B 到C 的方向)，电场变化如图乙中E t 图像，磁感应强度变化如图丙中B t 图像。
在A 点，从t ＝1 s(即1 s 末)开始，每隔2 s ，有一个相同的带电粒子(重力不计)沿AB 方向(垂直于BC )以速度v 射出，恰能击中C 点，若A C ＝2B C 且粒子在AB 间运动的时间小于1 s ，求：(1)图线上E 0和B 0的比值，磁感应强度B 的方向；(2)若第1个粒子击中C 点的时刻已知为(1＋Δt ) s ，那么第2个粒子击中C 点的时刻是多少？图8310[解析] 设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为R 。
在第2秒只有磁场。
轨道如图所示。
(1)因为A C ＝2B C ＝2d 所以R ＝2d 。
第2秒，仅有磁场：qvB 0＝m v 2R ＝m v 22d。
第3秒，仅有电场：d ＝12·qE 0m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫3d v 2。
所以E 0B 0＝43v 。
粒子带正电，故磁场方向垂直纸面向外。
(2)Δt ＝T 6＝16×2πm qB ＝π3·m qB ＝π3·2d v ，Δt ′＝3d v ＝332πΔt 。
故第2个粒子击中C点的时刻为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋332πΔt s 。
[答案](1)E 0B 0＝43v ，磁场方向垂直纸面向外(2)第2个粒子击中C 点的时刻为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋332πΔt3．图3(a)所示的xOy 平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy 平面(纸面)垂直，磁感应强度B 随时间t 变化的周期为T ，变化规律如图(b)所示。
当B 为＋B 0时，磁感应强度方向指向纸外。
在坐标原点O 处有一带正电的粒子P ，其电荷量与质量之比恰好等于2πTB 0。
不计重力。
设P 在某时刻t 0以某一初速度沿y 轴正方向自O 点开始运动，将它经过时间T 到达的点记为A 。