空间解析几何常见的曲面共68页
合集下载
第三章_第一节 空间解析几何,李养成(新版),
它们的图像都是一条直线，z轴！
x y z a , 例3.1.4 讨论方程组 a 的图像. x y ax
x y z a 解：方程组的图像是球面 a a 与母线平行于z轴的圆柱面 x y 的交线
F x, y, z , G x, y, z
称为空间曲线的一般方程 注： (1)表示同一条曲线的方程不唯一。 (2)曲线上点的坐标都满足方程，
z
S1 S2
o
C
y
满足方程的点都在曲线上， x试考察方程
第3章 常见的曲面
本章在初步介绍空间图形与方程之间的一般关系 后，对柱面、锥面、旋转曲面以及二次曲面(包括椭球 面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛 物面)进行讨论.
对于前三种曲面具有明显的几何特征,我们着重从 这些曲面的几何特性来建立它们的方程.
对于五种二次曲面，我们则从曲面的标准方程出 发来讨论它们的几何性质, 描述它们的几何形状.
z
点P 在该圆锥面上
L
cos OP, k cos
OP k OP k
cos
y
x
x y tan z , 整理得二次齐次方程
圆锥面的坐标式方程
习题8（1） 已知圆锥面的顶点为P0 (1, 2,3)，轴垂直于 平面 x y z ，半顶角为 ,求这圆锥面的 方程. 解 圆锥面的轴过点 P0 , 方向向量 v 2,2, 1.
特别地,当 C0 是原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
C0
第七章第四节常见曲面及其方程
2
z 2 3x 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为：_________
z 2 3 x y
2
2
3y
2
2
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
反过来， 已知旋转曲面的方程，
可以看出它的旋转轴及它是由哪条曲线旋转得来的？
如： 已知旋转曲面的方程为： 3 x 2 3 y 2 z 2 , 则
所以，在空间中方程(1)就表示以C为准线，母线平行于z轴的柱 面.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
同理，
方程
G( y , z ) 0 在空间中表示柱面，
zl 2
y
其母线平行于 x 轴，准线为 yoz 面上的曲线 l2. 方程
H ( z, x) 0
在空间中表示柱面，
则所求的旋转曲面方程为
x 2 y 2 ( z 4)2 (4z 12)2
即
x y 17z 104z 160 0 .
2 2 2
若由方程 x 1 y z 3
1
4
1
解出
2
y 4 x 4, z x 4,
则
y z ( 4 x 4) ( x 4)
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
建立 yoz 面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: 设
F ( y, z ) 0 ,ห้องสมุดไป่ตู้
则有
M ( x, y, z )
z
M1 (0, y1 , z1 ) C ,
z 2 3x 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为：_________
z 2 3 x y
2
2
3y
2
2
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
反过来， 已知旋转曲面的方程，
可以看出它的旋转轴及它是由哪条曲线旋转得来的？
如： 已知旋转曲面的方程为： 3 x 2 3 y 2 z 2 , 则
所以，在空间中方程(1)就表示以C为准线，母线平行于z轴的柱 面.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
同理，
方程
G( y , z ) 0 在空间中表示柱面，
zl 2
y
其母线平行于 x 轴，准线为 yoz 面上的曲线 l2. 方程
H ( z, x) 0
在空间中表示柱面，
则所求的旋转曲面方程为
x 2 y 2 ( z 4)2 (4z 12)2
即
x y 17z 104z 160 0 .
2 2 2
若由方程 x 1 y z 3
1
4
1
解出
2
y 4 x 4, z x 4,
则
y z ( 4 x 4) ( x 4)
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
建立 yoz 面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: 设
F ( y, z ) 0 ,ห้องสมุดไป่ตู้
则有
M ( x, y, z )
z
M1 (0, y1 , z1 ) C ,
第三章 常见曲面
f ( x , y ) = 0, z = 0.
在此柱面上当且仅当C上有一点 点M(x,y,z)在此柱面上当且仅当 上有一点 在此柱面上当且仅当 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),使M在过 M 0且方向为 v = (0,0,1) 的母线上 的母线上, 在过
F1 ( x − lu, y − mu, z − nu) = 0, F2 ( x − lu, y − mu, z − nu) = 0. (1.2)
再消去参数u,得到 的一个方程,就是所求柱面 再消去参数 得到x,y,z的一个方程 就是所求柱面 得到 的一个方程 的方程。 的方程。 如果柱面的准线方程用向量参数形式表示为 r1 ( s ) = ( x1 ( s ), y1 ( s ), z1 ( s )), s ∈ I1 , 则柱面方程的向量参 数形式为 r ( s, t ) = r1 ( s ) + tv , s ∈ I1 , t ∈ ( −∞ , +∞ ). 中的例2知道 母线平行于z轴的圆柱面方 由§1中的例 知道 母线平行于 轴的圆柱面方 中的例 知道,母线平行于 程中不含z,这个结论对于一般的柱面也成立 这个结论对于一般的柱面也成立。 程中不含 这个结论对于一般的柱面也成立。
F1 ( x0 , y0 , z0 ) = 0, F2 ( x0 , y0 , z0 ) = 0, x = x0 + lu, y = y + mu, 0 z = z 0 +nu.
(2.1)
M0(x0, y0, z0)
C
v
M(x, y, z)
图3.3
消去 x0 , y0 , z0 , 得
M R
θ ϕ
N
图3.1
则有
高等数学常用二次曲面图形.ppt
围成的图形如下：
y 0,
y2
12024/9/27
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
z x2 y2 , z x2 y2
22024/9/27
图31：由 z x2 y2 , x2 y2 1, z 0
围成的图形：
图32： 32024/9/27
图14：函数 函
z
1 ey
cos x yey
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 ey cos x yey
图15： 62024/9/27
抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
图16： 72024/9/27
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 在
点
3 a, 3
x2 y2 2x
02024/9/27
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
12024/9/27
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
图41： 22024/9/27
62024/9/27
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
图2： 72024/9/27
（2）、曲线
xyz 1
y
21
处的切线
图3： 82024/9/27
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
图46：曲线 x2 y2 z2 1 y z 0
的图形如下：
几何常见曲面以及用途
几何常见曲面以及用途几何中的曲面是指由曲线移动而产生的曲面。
几何常见的曲面有球面、圆锥曲面、圆柱曲面、双曲面、抛物面、椭球面、超曲面等。
每种曲面都有其独特的几何特性和应用领域。
首先，球面是最常见的曲面之一。
球面是以一个点为中心，到该点的距离相等的所有点组成的曲面。
球面在几何学中是最重要和最基本的曲面之一。
在现实生活中，球面具有广泛的应用，比如地球就是一个近似球面，球体在地理学中被用来描述地球的形状和表面特征。
此外，球面也广泛应用于建筑设计、光学、计算机图形学等领域。
第二，圆锥曲面是由一条直线沿着固定点不断旋转所生成的曲面。
具体来说，圆锥曲面是由一条生成线和一个顶点组成的，例如圆锥体的表面就是一个圆锥曲面。
在现实中，圆锥曲面广泛应用于建筑设计、航空航天工程等领域。
比如，高速公路的交叉口通常会设计成圆锥形状，以实现车辆的平稳转弯。
第三，圆柱曲面是由一条直线沿着与其垂直的固定直线不断平移所生成的曲面。
圆柱曲面可分为无限高圆柱曲面和有限高圆柱曲面两种。
无限高圆柱曲面在几何学中是最基本的曲面之一，有许多重要的应用。
在现实中，圆柱曲面广泛应用于建筑设计、工程制图等领域。
比如，很多建筑物的柱子、水管等都可以近似看作圆柱曲面。
第四，双曲面是一类重要的曲面，它由两个嵌入空间的直线族所生成。
双曲面具有许多独特的几何特性，如双曲面上的任意两点之间的最短曲线是双曲线。
双曲面广泛应用于物理学、工程学等领域。
比如，太阳能反射器就常常采用双曲面的形状，以实现对太阳光的聚集。
第五，抛物面是由一条直线沿着固定点不断平移所生成的曲面。
抛物面在几何学中具有重要的地位，有许多重要的应用。
比如，卫星天线常常采用抛物面的形状，以实现对信号的接收和发送。
第六，椭球面是由一个椭圆沿着两个垂直于其平面的固定直线不断旋转所生成的曲面。
椭球面在几何学和物理学中都有着重要的应用。
在几何学中，椭球面是椭球的表面，广泛应用于建筑设计、航空航天工程等领域。
理学解析几何常见的曲面
r
o
R
x
5环面
圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
o z
x
.
5环面
圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
( x2 z 2 R)2 . y2 r 2
.
或 (x2 y2 z2 R2 r 2 )2 4R2(x2 z2 )
（1）xOz
面上双曲线 x 2 a2
z2 c2
1分别绕x
轴和
z 轴；
x
x
绕x 轴旋转
x2 y2 z2 a2 c2 1
oz
o
z
旋转双叶双曲面 y
y
（1）xOz
面上双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕x
轴和 z 轴；
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
z
z
y
y
o
x
o
x
y2 （2）yOz 面上椭圆 a 2
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
定义3.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
例 1 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
几种常见的曲面和曲线
2
x y 2 pz
旋转抛物面
第四节 二次曲面
一、基本内容
二次曲面的定义：三元二次方程 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的平面截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
y z 2 2 1 （2）椭圆 a 绕 y 轴和 z 轴； c 2 2 2 x 0 y x z （长形） 绕 y 轴旋转
2 2
旋 2 2 转 a c 椭 x2 y2 z2 球 （短形） 2 1 绕 z 轴旋转 2 面 a c
1
y 2 pz （3）抛物线 绕 z 轴； x0 2 2
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x2 z2 （1）双曲线 2 2 1分别绕 x 轴和 z 轴； a c
x2 y2 z2 （单叶） 旋 绕 x 轴旋转 2 1 转 a c2
双 x y z 曲 （双叶） 1 绕 z 轴旋转 面 a2 c2
2 2 2
例4、将圆
( y b) 2 z 2 a 2 (b a 0) x 0 绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。 解：所求旋转曲面的方程为：
( x 2 y 2 b) 2 z 2 a 2
即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)
该曲面称为圆环面。
x y 2 pz
旋转抛物面
第四节 二次曲面
一、基本内容
二次曲面的定义：三元二次方程 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的平面截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
y z 2 2 1 （2）椭圆 a 绕 y 轴和 z 轴； c 2 2 2 x 0 y x z （长形） 绕 y 轴旋转
2 2
旋 2 2 转 a c 椭 x2 y2 z2 球 （短形） 2 1 绕 z 轴旋转 2 面 a c
1
y 2 pz （3）抛物线 绕 z 轴； x0 2 2
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x2 z2 （1）双曲线 2 2 1分别绕 x 轴和 z 轴； a c
x2 y2 z2 （单叶） 旋 绕 x 轴旋转 2 1 转 a c2
双 x y z 曲 （双叶） 1 绕 z 轴旋转 面 a2 c2
2 2 2
例4、将圆
( y b) 2 z 2 a 2 (b a 0) x 0 绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。 解：所求旋转曲面的方程为：
( x 2 y 2 b) 2 z 2 a 2
即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)
该曲面称为圆环面。
空间解析几何向量曲面曲线等59页PPT
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之Байду номын сангаас
易
安
。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
空间解析几何向量曲面曲线等
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散