高一数学直线与圆的方程的应用
高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，
高一数学直线与圆位置关系的应用PPT优秀课件
4.由点Ｐ（１，1/3）向圆x2+y2+2x-2y-2=0 引的切线方程是 4x-3y-3=0或x=1
例1. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上， 且被直线x-y=0截得的弦长为2 7 的圆的方程.
y
c
o
x
例1. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上， 且被直线x-y=0截得的弦长为2 7 的圆的方程.
y A
C
y A
C
O x
O x
C1
A1 4x+3y+3=0 或 3x+4y-2=0
变式:已知点A(-1,1)和圆C:x2+y2-10x14y+70=0,一束光线从A出发,求经过x轴 反射到圆周C的最短路径.
y c
A
x A1
小结：
交、切、离 数形
数形结合思想
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演讲人: XXX
直线与圆的 位置关系应用
包钢五中 吕欣
直线与圆 数 形
位置关系 图形关系 交点个数 判断方法
代数法 几何法
相离 d
0 △<0 d>r
相切 d
1 △=0 d=r
相交
d
2 △>0 d<r
相离
d+r
C
d-r
d
相切
C d P
1.圆心与切点的 连线与切线垂直 2.d=r 3.△=0
相交
C dM
B
A
1.圆心C与交点A、B的连线构成等腰三角形 2.圆心C与A、B中点M的连线与AB垂直
所求圆方程是(x -1)2+(y -3)2=9或
(x+1)2+(y+3)2=9.
2019高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系(第2课时)圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用讲义
第2课时圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P129～P132，回答下列问题．(1)如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？判断步骤如何？提示：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当l>r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；②当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；③当|r1－r2|<l<r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；④当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；⑤当l<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．判断步骤为：①将两圆的方程化为标准方程；②求两圆的圆心坐标和半径R、r；③求两圆的圆心距d；④比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论．(2)已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？提示：联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．2．归纳总结，核心必记(1)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2)圆与圆位置关系的判定①几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程消元，一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[问题思考]将两个相交的非同心圆的方程x 2＋y 2＋D i x ＋E i y ＋F i ＝0(i ＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)圆与圆有哪些位置关系？ ；(2)怎样判断圆与圆的位置关系？ .下图为在某地12月24日拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．[思考1] 根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5种，即内含、内切、相交、外切、外离．[思考2] 能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断．[思考3] 直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？提示：可以．讲一讲1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？(链接教材P129－例3)[尝试解答] 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝50－k(k＜50)，从而|C1C2|＝－2－2＋－2＝5.当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，即50－k＝6，即k＝14时，两圆内切．当|50－k－1|＜5＜1＋50－k，即k∈(14,34)时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即k∈(34,50)∪(－∞，14)时，两圆相离．(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆圆心的距离d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．练一练1．两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含解析：选C 法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，所以两圆圆心为C 1(1,0)，C 2(2，－1)，半径为r 1＝2，r 2＝2，则连心线的长|C 1C 2|＝－2＋＋2＝2，r 1＋r 2＝2＋2，r 1－r 2＝2－2，故r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，两圆相交．法二：(代数法)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －3＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝0，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．讲一讲2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[尝试解答] 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解，①－②得： 3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程． 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋－2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．练一练2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．解：联立两圆的方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程． 法一：设两圆相交于点A ，B ， 则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝－4－2＋－2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－－＋4|1＋－2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.讲一讲3．有一种大型商品，A ，B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A ，B 两地相距10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？[思路点拨] 建系后利用居民选择在A 地购买商品建立不等关系后化简作出判断． [尝试解答]以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示， 设A (－5,0)，则B (5,0)．在坐标平面内任取一点P (x ，y )，设从A 运货到P 地的运费为2a 元/km.则从B 运货到P 地运费为a 元/km.若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2ax ＋2＋y 2<ax －2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫2032，即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2032的内部． 也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物． 同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物． 圆C 上的居民可随意选择A 、B 两地之一购物．解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤练一练3．台风中心从A 地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B 以台风中心A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y ＝x 上移动，又B (40,0)到y ＝x 的距离为d ＝202，由|BE |＝|BF |＝30知|EF |＝20，即台风中心从E 到F 时，B 城市处于危险区内，时间为t ＝20千米20千米/时＝1小时．故选B.———————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题，能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两圆位置关系的方法及应用，见讲1. (2)求两圆公共弦长的方法，见讲2.(3)解决直线与圆的方程的实际应用问题的步骤，见讲3.3．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解，如讲1.课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 圆与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析：选B 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2; 1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交．2．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d ＝＋2＋－2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.3．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．答案：外切4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝05．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则a－2＋b＋12＝1. ①(1)若两圆外切，则有a－2＋b＋2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有a－2＋b＋2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.题组2 直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km和2 2 km，且A、B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A (2，2)，B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)， ∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．(2016·日照高一检测)为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[能力提升综合练]1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36 D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ∵圆C 1的圆心C 1(－2,2)，半径为r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,5)，半径r 2＝4，∴C 1C 2＝＋2＋－2＝5＝r 1＋r 2，∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．3．(2016· 衡水高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15 C ．(x －5)2＋(y －7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则x －2＋y ＋2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x －2＋y ＋2＝4－1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.4．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝a －b2＋a －b2＝32×2＝8.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________. 解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－32＝1，解得a ＝1.答案：16．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y 4＝1， 即4x ＋7y －28＝0.圆心(0,0)到航线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径r ＝3，∴d >r ， ∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。
2022-2023学年高一数学：直线与圆的位置关系的实际应用
故所求圆的方程为x 2 ＋y 2 ＋2x－4y－8＋x＋y＝0，
即x 2 ＋y 2 ＋3x－3y－8＝0.
最长弦、最短弦问题
(1) 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为
|AB| 2r .
(2) 当直线与过圆心的弦垂直时，被圆截得的弦长最短，即为
|PQ| 2 r 2 d 2 .
围．
y
练一练
D
.C(0,1)B
设点 P(x, y)在圆 C：x2＋(y－1)2＝1 上运动，求：
(1)
x－22＋y2的最值；
分析： x－22＋y2表是点 P(x,y)与定点(2,0)的距离．
解： x－22＋y2表示圆上的动点 P(x, y)与定点(2,0)的距离．
∵圆心 C(0,1)与定点(2,0)的距离是 2－02＋0－12＝ 5，
x－a
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的
平方的最值问题．
2.过直线与圆的交点
的圆系方程
典例3
已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝4的交点，且圆C的圆心在
直线2x－y－3＝0上，求圆C的方程．
圆的半径是 1，
∴ x－22＋y2的最小值是 5－1，最大值是 5＋1.
O
.
A(2,0) x
y
练一练
设点 P(x, y)在圆 C：x2＋(y－1)2＝1 上运动，求：
(2)
y＋2
的最小值；
x＋1
y＋2
分析：
表示点 P(x, y)与定点(－1,－2)连线的斜率.
高一数学：4.2.1《直线与圆的位置关系》学案
2 A. −2 2， 2
(
)
B. − 2，2
(
)
2 2 C. − 4 ，4
1 1 D. − ， 8 8
5．★过点 P (1,3) 引圆 x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 10 = 0 的弦， 则所作的弦中最短的弦长为
A. 2 2 B. 4 C. 8 D. 4 2 2 2 4．★★圆 x + y + 2 x + 4 y − 3 = 0 上到直线 x + y + 1 = 0 的距离为 2 的点共有
A. x + 3 y − 2 = 0
B. x + 3 y − 4 = 0
C. x − 3 y + 4 = 0
D.
x − 3y + 2 = 0
3．★过点 P ( 2,3) 的圆 x 2 + y 2 = 4 的切线方程是 4 ． ★ 已 知 直 线 l 过 点 − 2， ， 当 直 线 l 与 圆 x 2 + y 2 = 2 x 有 两 个 交 点 时 ， 其 斜 率 k 的 取 Ax + By + C = 0 2 2 2 ( x − a ) + ( y − b) = r
消元得到一元二次方程的 判别式△ 2．圆的切线方程及求法
3．圆的弦长的求法：
合作探究： 合作探究： 例 1 直线 y = x 与圆 x 2 + ( y − 1) = r 2 相切,求 r 的值 。
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人：王凤传 审阅人：聂永红 时间：09 年 12 月 23 日
4.2 直线与圆的位置关系学案 圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系学案
高一直线和圆的方程知识点
高一直线和圆的方程知识点在高中数学课程中，直线和圆是两个基本的几何图形。
了解和掌握直线和圆的方程知识点，对于解决几何问题和理解数学概念都非常重要。
本文将介绍高一直线和圆的方程知识点，并通过具体的例子来说明。
一、直线的方程直线是平面上一组点的集合，可以通过不同的方式来表示其方程。
在高一数学中，主要学习两种直线方程：截距式和一般式。
1. 截距式方程截距式方程由直线在坐标轴上的截距表示。
这个方程的形式为：x/a + y/b = 1。
其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截距。
通过截距式方程，我们可以直观地了解直线在坐标轴上的截距情况，进而确定直线的位置。
例如，一条直线在x轴上截距为2，在y轴上截距为3，那么它的截距式方程为x/2 + y/3 = 1。
通过这个方程，我们可以知道直线与x轴和y轴的交点分别为(2,0)和(0,3)，并且研究直线的斜率等性质。
2. 一般式方程一般式方程是直线的一种标准表示形式。
它的一般形式为Ax + By + C = 0。
其中A、B和C是常数，A和B不能同时为0。
通过一般式方程，我们可以进行一些直线的运算和性质的验证。
例如，一条直线的一般式方程为2x - 3y + 4 = 0。
通过这个方程，可以得到直线的斜率为2/3，根据斜率的正负以及与坐标轴的交点可以判断直线在平面上的位置。
二、圆的方程圆是平面上一组等距离于圆心的点的集合，圆的方程也有多种形式。
在高一数学中，主要学习直径式和一般式两种圆的方程。
1. 直径式方程直径式方程是圆的一种直观表示方法，通过圆心和半径来表达圆的性质和位置。
直径式方程的一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²。
其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
例如，一个以坐标原点为圆心，半径为5的圆的直径式方程为：x²+ y² = 25。
通过这个方程，可以得知圆与坐标轴的交点和圆在平面上的位置。
高一数学第3章知识点例题
高一数学第3章知识点例题第一节直线与圆的位置关系1. 已知平面直角坐标系中，点A(3, 4)和圆C：x^2 + y^2 = 25，请判断点A与圆C的位置关系，并解释推理过程。
解析：将点A的坐标代入圆的方程，得到 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25，符合圆的方程。
因此，点A在圆C上。
2. 已知平面直角坐标系中，点B(5, -2)和圆D：(x - 2)^2 + (y +3)^2 = 16，请判断点B与圆D的位置关系，并解释推理过程。
解析：将点B的坐标代入圆的方程，得到 (5 - 2)^2 + (-2 + 3)^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10，不符合圆的方程。
因此，点B不在圆D 上。
第二节多值函数1. 函数y = √x 在定义域[0, +∞)上是单值函数还是多值函数？解析：对于函数y = √x，如果定义域上任意一个x对应唯一一个y值，则为单值函数；如果存在一个或多个x对应多个y值，则为多值函数。
在[0, +∞)上，x对应的√x值唯一，因此函数y = √x 在该定义域上为单值函数。
2. 函数y = √(x - 3) 在定义域[3, +∞)上是单值函数还是多值函数？解析：对于函数y = √(x - 3)，在定义域[3, +∞)上，只有当x - 3= 0 时，即x = 3时，函数值存在，对应y = √0 = 0，其他x值都对应两个y值，因此函数y = √(x - 3)在定义域[3, +∞)上为多值函数。
第三节多项式的根与系数之间的关系1. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，若m是其一个根，则m满足的关系式是什么？解析：根据二次函数的性质，如果m是二次函数f(x)的一个根，那么f(m) = am^2 + bm + c = 0。
因此，m满足的关系式是 am^2 + bm + c = 0。
2. 已知一元三次函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，若n是其一个根，则n满足的关系式是什么？解析：根据一元三次函数的性质，如果n是一元三次函数f(x)的一个根，那么f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d = 0。
【三维设计】高一数学人教版必修2课件：4.2 4.2.2
从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5. 当1＋ 50－k＝5，即k＝34时，两圆外切． 当| 50－k －1|＝5，即 50－k ＝6，即k＝14时， 两圆内切． 当| 50－k－1|＜5＜1＋ 50－k， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当1＋ 50－k＜5或| 50－k－1|＞5， 即k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．
线段AB的垂直平分线为y轴，建立 直角坐标系，如图所示，设A(－5 ,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A运货到P 地的运费为2a元/km，则从B运货到P地运费为a 元/km. 若P地居民选择在A地购买此商品， 则2a x＋52＋y2＜a x－52＋y2， 25 2 2 20 2 整理得(x＋ ) ＋y ＜( ) . 3 3 25 2 2 20 2 即点P在圆C：(x＋ ) ＋y ＝( ) 的内部． 3 3 也就是说，圆C内的居民应在A地购物． 同理可推得圆C外的居民应在B地购物． 圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．
3 3λ 其圆心为 －1＋λ，－1＋λ ，代入x－y－4＝0，求得λ
＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
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[类题通法] 1．圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2： x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋ y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1) 然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
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[活学活用] 1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位 置关系是( A．相离 C．相交 ) B．相切 D．内含
解析：法一：(几何法) 把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4， (x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－ 1)，半径为r1＝2，r2＝ 1－22＋0＋12＝ 2， r1＋r2＝2＋ 2 ，r1－r2＝2－ 2 ，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2， 两圆相交．
直线和圆的方程教材分析
一．地位和作用
本章是在学习了平面向量的基础上，以向量为主要工具之一，利用坐标法来研究直线和圆有关的几何问题。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程等联系起来，达到了形和数的结合，蕴含了对应思想、数形结合思想。本章在一定程度上综合地运用了一些三角知识、平面几何知识、平面向量知识等。直线和圆的方程是最基本的曲线方程，是后继学习圆锥曲线及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等知识的基础。直线方程的简单运用----简单线性规划，通过学习，使学生能了解实际问题中线性规划的应用，能培养学生解决实际问题的能力。历年高考中，本部分内容也是常考的热点问题之一，多以选择题、填空题形式出现，但与圆锥曲线或代数有关知识结合在一起成为解答题时，则往往是试卷中的中等题或难题，故要切实教好、教透、教活！
（三）教学要求：
1．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系
3．会用二元一次不等式表示平面区域
线性规划问题就是求目标函数在线性约束条件下的最值。所谓目标函数就是表示所求问题的解析式，满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。解决实际线性规划问题，需从题意中建立起目标函数和相应的约束条件，即建立数学模型。
§7.5研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用
重点：培养学生解决实际问题的能力。
作为直线方程的一个简单应用，介绍了简单的线性规划问题.首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个实例，介绍了线性规划问题及有关的几个基本概念及一种基本的图象解法，并利用几道例题说明线性规划在实际中的应用.安排了一个研究性课题和实习作业，使学生了解身边实际问题中线性规划的应用
高一数学 直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案)
专题二 直线与圆的位置关系教学目标：直线和圆的位置关系的判断 教学重难点：直线和圆的位置关系的应用 教学过程：第一部分 知识点回顾考点一：直线与圆的位置关系的判断：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax ，消元得到一元二次方程，计算判别式∆， ①0∆>⇔相交；②0∆<⇔相离；③0∆=⇔相切； （2）几何方法如果直线l 和圆C 的方程分别为：0=++C By Ax ，222)()(r b y a x =-+-. 可以用圆心),(b a C 到直线的距离=d 22||Aa Bb C A B+++与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:①d r <⇔相交；②d r >⇔相离；③d r =⇔相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
例1 直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B 解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ所以直线与圆相切．例2 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18)答案C 设l 的方程y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k ＋2k |k 2＋1<1，∴－24<k <24.例3 圆(x －3)2+(y －3)2=9上到直线3x +4y －11=0的距离为1的点有几个？解：圆(x －3)2+(y －3)2=9的圆心为O 1(3，3)，半径r =3， 设圆心O 1(3，3)到直线3x +4y －11=0的距离为d ，则d =22|334311|2334⨯+⨯-=<+如图1，在圆心O 1的同侧，与直线3x +4y －11=0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意，又r －d =3－2=1，所以与直线3x +4y －11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. 所以符合题意的点共有3个。
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2.2.5直线与圆的方程的应用
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题。
2、过程与方法：用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。
3、情态与价值观：让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学方法：学导式
四、教学过程
五、教后反思：。