河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学(文)试题(一)Word版含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合{}1,2lg<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x N x x y x M ，则=⋂N C M R A.)2,0( B.(]2,0 C.[)2,1 D. ()+∞,02. 已知复数()z a i a R =+∈，若4z z +=，则复数z 的共轭复数z = A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81126a a =+，则9S =A ．27B ．36 C.45 D ．544. 已知命题p ：“a b >”是“22ab>”的充要条件；q ：x R ∃∈，ln x e x <，则A ．￢p ∨q 为真命题B ．p ∧￢q 为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题5.已知角α的终边经过点()12,5--P ,则⎪⎭⎫⎝⎛+απ23sin 的值等于 A ．513- B ．1213- C ．513 D ．12136．某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为A ．8πB ．323πC ．283π D ．12π 7. 若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是 A ．5 B ．6 C.7 D ．88.一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为 A. 11- B. 3 C. 9 D. 17 9. 函数2()(3)ln f x x x =-⋅的大致图象为10. 正方体的棱长为1,点P,Q,R 分别是棱,,的中点,以为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上,则这个正三棱柱的高为 A.11. 已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆x 2+（y ﹣4）2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是 A ．B ．C ．D ．12. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ∈时，均有()()32f x f x +=-，()28f x ≤≤，则满足条件的()f x 可以是A ．()2,8,Rx Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩ B ．()53cos 5xf x π=+C. ()263cos5xf x π=+ D ．()2,08,0x f x x ≤⎧=⎨>⎩ 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若,x y 满足2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，则该学校今年计划招聘教师最多 人.14.已知双曲线﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，焦距为8，左顶点为A ，在y 轴上有一点B （0，b），满足•=2a ，则该双曲线的离心率的值为 ．15. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是a b c 、、，且222()a b c +-(cos cos )a B b A ⋅+abc =，若2a b +=，则c 的取值范围为 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S tn =()t ∈R ，且81215,1n n a b a +==+，若不等式512n b n p p a +>+恒成立，则正实数p 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分） 已知向量()1cos 3sin cos 22a x b x x x R ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭，，，，，设函数()f x a b =.（I ）求()f x 的表达式并完成下面的表格和画出()f x 在[]0π，范围内的大致图象；（II ）若方程()0f x m -=在[]0π，上有两个根α、β，求m 的取值范围及αβ+的值． 18.（本小题满分12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查．抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人．（I ）在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；（II ）在地理成绩及格的学生中，已知a ≥10，b ≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．19．(本小题满分12分)如图，三棱柱111ABC A B C -中， AB ⊥平面11AAC C ， 1AA AC =.过1AA的平面 交11B C 于点E ，交BC 于点F .（I ）求证： 1A C ⊥平面1ABC ； （II ）求证： 1//AA EF ；（III ）记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BFBC的值．20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0），圆O ：x 2+y 2=r 2（0＜r＜b ）．当圆O 的一条切线l ：y=kx+m 与椭圆E 相交于A ，B 两点． （I ）当k=﹣21，r=1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程； （II ）若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 是否满足222r 1b 1a 1=+，并说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()ln x x f x =,()g x x a =+．（I ）设()()()h f x x g x =-，求函数()y h x =的单调区间； （II ）若10a -<<，函数()()()x g x M x f x ⋅=，试判断是否存在0(1,)x ∈+∞，使得0x 为函数()M x 的极小值点．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为2,4x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（I ）若直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，求弦长||AB ,若点()4,2P ,求||||PB PA ⋅的值；（II ）以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos ρθθ=+，圆O 和圆C 的交点为P ，Q ，求弦PQ 所在直线的直角坐标方程．23．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分） 已知函数()2222f x x x =+--，x ∈R . （Ⅰ）求不等式()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若方程()2f x a x +=有三个实数根，求实数a 的取值范围.2018届高三文科数学模拟卷（一）答案 一、CBDDC BACCD CA二、13．10 14．2 15．[1,2) 16．11(,)3+∞ 16解析：由条件可得11a S t ==；当2n ≥时，221(1)(21)n n n a S S tn t n n t -=-=--=-. 故81515a t ==，故1t =，则11,21n a a n ==-．则1n b n =+，由512n b n p p a +>+及0p >可得12921n n p ++>-对任意正整数恒成立，设129()21n n f n ++=-， 则1122(27)2(1)()0(21)(21)n n n n f n f n +++-+-+-=<--，故(1)()f n f n +<， 故{()}f n 是递减数列，最大值为11(1)3f =，故只需113p >． 17．（1）()11cos 3sin cos 22cos 2sin 2226f x a b x x x x x x π⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭，…………3分……………………………………(9分)（2）由图可知111122m ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，4212αβπ+=或1012π， ∴23αβπ+=或53π． ………………………………(12分)18．【答案】（1）∵该样本中，数学成绩优秀率是30%，∴，解得a=14，b=100﹣30﹣（20+18+4）﹣（5+6）=17…（2）在地里及格学生中，a+b=100﹣（7+20+5）﹣（9+18+6）﹣4=31… ∵a≥10，b≥7，∴a ，b 的搭配有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15）， （17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）， （24，7）（22，9），（23，8），（24，7），共有15种…记“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A ，可得7+9+a ＜5+6+b ，即a+5＜b ． 事件A 包括：（10，21），（11，20），（12，19），共3个基本事件； 所以，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率P （A ）==．19．【答案】（1） 因为 AB ⊥平面11AAC C ，所以 1AC AB ⊥． 在三棱柱111ABC A B C -中，因为 1AA AC =，所以 四边形11AAC C 为菱形，所以 11AC AC ⊥． 所以 1A C ⊥平面1ABC ． （2）在 三棱柱111ABC A B C -中， 因为 11//A A B B ， 1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BBC C ． 因为 平面1AA EF ⋂平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． （3）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V . 因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高，所以2313V V =， 所以 1233213V V V V =-=. 因为 116V V =， 所以 3131624V V =⨯=. 因为 三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高， 所以 △ABF 与△ABC 的面积之比为14，所以14BF BC =．20．【答案】（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，则切线l ：y=﹣x+m ，即2y+x ﹣2m=0，由圆心到l 的距离d==1，解得：m=±，点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，则m ＞0，∴直线l ：y=﹣x+，∴A （0，），B（，0），∴B 为椭圆的右顶点，A 为椭圆的上顶点，则a=，b=，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）a ，b ，r满足+=成立，理由如下：设点A 、B 的坐标分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线l 与圆x 2+y 2=r 2相切，则=r ，即m 2=r 2（1+k 2），①则，（b 2+a 2k 2）x 2+2a 2kmx+a 2m 2﹣a 2b 2=0．则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，所以y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=，AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则∠AOB=90°，则⊥=0，∴x 1x 2+y 1y 2=+==0，则（a 2+b 2）m 2=a 2b 2（1+k 2），②将①代入②，=，∴+=．21．解（I ）由题意可知：()ln h x x x x a =--，其定义域为()0,+∞，则x x x h ln 11ln )(=-+='．令0)(>'x h ，得1x >，令()0h x '<，得01x <<．故函数()y h x =的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1．（II ）由已知有()ln x aM x x+=，对于(1)x ∈+∞，，有2)(ln 1ln )(x x a x x M --='． 令()ln 1((1,))a q x x x x =--∈+∞，则221()a x a q x x x x+'=+=． 令0)(>'x q ，有a x ->．而10a -<<，所以01a <-<，故当1x >时，0)(>'x q ．∴ 函数()q x 在区间(1)+∞，上单调递增．注意到(1)10q a =--<，()0aq e e=->．故存在∈0x ()1,e ，使得0'()=0M x ，且当0(1,)x x ∈时，'()0M x <，当0(,)x x e ∈'()0M x >，当0(1,)x x ∈时，()M x 单调递减，当0(,)x x e ∈时()M x 单调递增，故存在0(1,)x ∈+∞，使得0x 为函数()M x 的极小值点．22.解法一：（1）由直线l的参数方程为2,4x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）消去参数t ，可得20x y -+=，即直线l 的普通方程为20x y -+=．圆O 的参数方程为2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），根据22sin cos 1θθ+=消去参数θ，可得224x y +=，所以圆心O 到直线l 的距离d ==，故弦长||AB ==16||||=⋅PB PA （过程略）（2）圆C 的极坐标方程为2cos ρθθ=+，利用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得圆C 的普通方程为222x y x +=+．∵圆O 方程为224x y +=，∴弦PQ 所在直线的直角坐标方程为42x =+，即20x -=．23. （1）原不等式等价于143x <-⎧⎨-≤⎩或1143x x -≤≤⎧⎨≤⎩或143x >⎧⎨≤⎩， 得1x <-或314x -≤≤∴不等式()3f x ≤的解集为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）由方程()2f x a x +=可变形为11a x x x =+--+， 令()11h x x x x =+--+2,1,,11,2,1,x x x x x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，作出图象如右：于是由题意可得11a -<<.。