山西大学附属中学2020届高三上学期第二次模块诊断数学(文)试题

山西大学附属中学2019~2020学年高三第一学期（总第二次）模块诊断数学试题（文）考试时间：120分 满分：150分一、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合2{|20}A x Z x x =∈--…，则(z A =ð ) A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1，2}2．复数11z i =+，2z i =，其中为虚数单位，则12z z 的虚部为( ) A ．1-B ．1C ．D ．3．已知向量(3,1)a =，(3,3)b =-，则向量b 在向量方向上的投影为( )A ．B C ．1-D ．14．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号， 编号分别为001，002，，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号( ) A ．522 B ．324C ．535D ．5785．函数6()22x xxf x -=+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．116π B ．73πC ．136πD ．83π 7．已知1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A. 78-B. 78C. 18D. 18- 8．下列说法正确的是( )A ．设为实数，若方程22112x y m m+=--表示双曲线，则2m >．B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件．C ．命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++>”．D ．命题“若0x 为()y f x =的极值点，则()0f x '=”的逆命题是真命题．9．在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，2AB BC ==，1CC =面直线1AC 与11A B 所成的角为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是()A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称 B ．()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称 C．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移2π个单位得到函数()f x 的图象 D ．若方程()f x m =在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(2,-11．设奇函数()f x 的定义域为(,)22ππ-，且()f x 的图象是连续不间断，(,0)2x π∀∈-，有()c o s ()s i n f x x f x x '+<，若()2()cos 3f m f m π<，则的取值范围是( ) A ．(,)23ππ-B ．(0,)3πC ．(,)23ππ--D ．(,)32ππ12．已知11,10(1)(),01x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪<⎩…，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数的取值范围是( ) A ．2(,)3+∞B ．2[,)3+∞C ．2{8}[,)3-+∞D ．2{8}(,)3-+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若曲线()x x f x ae e -=+在点(0，(0))f 处的切线与直线30x y +=垂直，则a = ． 14．已知0220x y x y -⎧⎨--⎩……，且z x y =+，则的最小值为 ．15．已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的左焦点为，右顶点为，上顶点为，若点到直线AB ，则该椭圆的离心率为 ．16．在锐角ABC ∆中，角，，的对边分别为，，，若2a =，cos cos tan sin sin A C A A C +=+，则sin sin b cB C++的取值范围是 ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前项和为*234(),2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log ||n n b n a =-+，求数列1{}nb 的前项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，为11A C 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥， （1）求证：AB BC ⊥；（2）若1//C F 平面ABE ，且12C F =，求点到平面BCE 的距离．19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，是椭圆上的一个动点，且△12PF F（1）求椭圆的方程；（2）设斜率存在的直线2PF 与椭圆的另一个交点为Q ，是否存在点(0,)T t ，使得||||TP TQ =？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测6月份该商场空调的销售量； （2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率．参考公式与数据：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x ynxy b xnx==-=-∑∑，5121.2i i i x y ==∑．21．（本小题满分12分）己知函数()()()f x x a lnx a R =-∈，它的导函数为()f x '． （1）当1a =时，求()f x '的零点；（2）若函数()f x 存在极小值点，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，(t 为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，2:2cos()3C πρθ=-．（1）求1C 与2C 交点的直角坐标；（2）若直线与曲线1C ，2C 分别相交于异于原点的点M ，，求||MN 的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||3|()f x x a x a R =+--∈． （1）若1a =-，求不等式()10f x +>的解集；（2）已知0a >，若()32f x a +>对于任意x R ∈恒成立，求的取值范围．山西大学附属中学2019~2020学年高三第一学期（总第二次）模块诊断数学试题（文）参考答案考试时间：120分 满分：150分二、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CAACCCABCDDD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．4a =． 14．4-． 15．23． 16．，4)． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．解：（1）等比数列{}n a 的公比为，1q ≠，前项和为*234(),2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，可得342242S S S =-，即为342111(1)(1)(1)242111a q a q a q q q q---=----，化为2210q q --=，解得12q =-，2341216a a a ++=，即为1111111224816a a a -+-=，解得112a =-，则1()2n n a =-，*n N ∈；（2）221(2)log ||(2)log (2)2n n nb n a n n n =-+=-+=+，可得11111()(2)22n b n n n n ==-++， 即有前项和11111111(1)2324112n T n n n n =-+-+⋯+-+--++11113111(1)()22124212n n n n =+--=-+++++． 18．解：（1）证明：1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，1CC AB ∴⊥，又1A B C F ⊥，111CC C F C =，AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，AB BC ∴⊥．（2）过做//FM AC 交AB 于M ，连接EM ，1//EC AC ，1//FM EC ∴， 1//C F 平面ABE ，1C F ⊂平面1EMFC ，平面1EMFC ⋂平面ABE EM =， 1//C F EM ∴，四边形1EMFC 是平行四边形，112FM EC AC ∴==，FM ∴是ABC ∆的中位线．112CF BC ∴==，1CC =2EB EC BC ∴===，22EBC S ∆∴==EBC 的距离为，则13A BEC V d -==112232A BEC E ABCV V--==⨯⨯⨯，2d∴=，即到平面EBC的距离为2．19．解：（Ⅰ）椭圆离心率为12，当为的上顶点时，△12PF F22212122cac ba b c⎧=⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a∴=，b1c=．故椭圆的方程为：22143x y+=．（Ⅱ）设直线PQ的方程为(1)y k x=-，当0k≠时，(1)y k x=-代入22143x y+=，得：2222(34)84120k x k x k+-+-=；设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，线段PQ的中点为(N x，)y，212024234x x kxk+==+，120023(1)234y y ky k xk+-==-=+，即22243(,)3434k kNk k-++，||||TP TQ=，直线TN为线段PQ的垂直平分线；TN PQ∴⊥，则1TN PQk k=-．所以2223431443ktk kkk--+=-+，213434ktk kk⇒==++，当0k>时，因为34kk+…t∈．当0k<时，因为34kk+-…[t∈．当0k=时，0t=符合题意．综上，的取值范围为[．20．解：（1）1(12345)35x=++++=，1(0.60.8 1.2 1.6 1.8) 1.25y=++++=，221.253 1.2ˆ0.325553b-⨯⨯==-⨯，则ˆ1.20.3230.24a=-⨯=，于是关于的回归直线方程为ˆ0.320.24y x=+．当6x=时，ˆ0.3260.24 2.16y=⨯+=（百台）；（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为，，，，购买意愿为12月份的抽2人记为，．从这6人中随机抽取3人的所有情况为(a，，)c、(a，，)d、(a，，)A、(a，，)B、(a，，)d、(a，，)A、(a，，)B、(a，，)A、(a，，)B、(a，，)B、(b，，)d、(b，，)A、(b，，)B、(b，，)A、(b，，)B、(b，，)B、(c，，)A、(c，，)B、(c，，)B、(d，，)B，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有(a，，)B、(b，，)B、(c，，)B、(d，，)B，共4种，故所求概率为41205P==．21．解：（1）()f x的定义域为(0,)+∞，当1a=时，()(1)f x x lnx=-，1()1f x lnxx'=+-．易知1()1f x lnx x'=+-为(0,)+∞上的增函数，又f '（1）1110ln =+-=，所以1x =是()f x '的零点． （2）()1x a a f x lnx lnx x x -'=+=-+，令()1a g x lnx x =-+，则221()a x ag x x x x+'=+=． ①当0a =时，()1f x lnx '=+，令()0f x '>，得1x e >；令()0f x '<，得10x e<<， 所以()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，符合题意．②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增．又1()0g ae e =-<，1()11(1)0aa a a g e a a e e =-+=+->，所以()g x 在(0,)+∞上恰有一个零点0x ，且当0(0,)x x ∈时，()()0f x g x '=<；当0(x x ∈，)+∞时，()()0f x g x '=>，所以0x 是()f x 的极小值点，符合题意．③当0a <时，令()0g x '=，得x a =-．当(0,))x a ∈-时，()0g x '<；当(,)x a ∈-+∞时，()0g x '>，所以()()2()min g x g a ln a =-=+-．若()2()0g a ln a -=+-…，即当2a e --…时，()()()0f x g x g a '=-厖恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点，不符合题意． 若()2()0g a ln a -=+-<，即当20e a --<<时，(1)1(1)01ag a ln a a-=-+->-， 所以()(1)0g a g a --<，即()g x 在(,)a -+∞上恰有一个零点1x ，且当1(,)x a x ∈-时，()()0f x g x '=<；当1()x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，所以1x 是()f x 的极小值点，符合题意．综上，可知2a e ->-，即的取值范围为2(e --，)+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.解：（Ⅰ）由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，则曲线1C 的直角坐标方程为222x y x +=， 由2cos()3πρθ=-，得2cos sin ρρθρθ=+，则曲线2C的直角坐标方程为220x y x +-=．由222220x y x x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故1C 与2C 交点的直角坐标为(0,0)，3(2；（Ⅱ）不妨设0απ<…，点M ，的极坐标分别为1(ρ，)α，2(ρ，)α． 12|||||2cos 2cos()|3MN πρραα=-=--|2cos (cos )||cos |2|cos()|3παααααα=-==+．当23πα=时，||MN 取得最大值2． 23．解：(1)当1a =-吋，函数()|21||3|f x x x =---， 当12x …时，()12(3)2f x x x x =-+-=--， 不等式()10f x +>化为210x --+>，解得1x <-； 当132x <<时，()21(3)34f x x x x =-+-=-， 不等式()10f x +>化为3410x -+>，解得1x >，取13x <<；当3x …时，()21(3)2f x x x x =---=+， 不等式()10f x +>化为210x ++>，解得3x >-，取3x …； 综上所述，不等式()10f x +>的解集为{|1x x <-或1}x >； （2）当0a >吋，若2ax -…，则()2(3)3f x x a x x a =--+-=---， 此时()()322min a a f x f =-=--，则5()3322f x a a +->…，解得1a >；若32ax -<<，则()2(3)33f x x a x x a =++-=+-，此时1()()322a f x f a >-=--，则5()3322f x a a +>->，解得1a >；若3x …，则()2(3)3f x x a x x a =+--=++， 此时()min f x f =（3）6a =+，则()3462f x a a ++>…恒成立； 综上所述，不等式()32f x a +>对任意x R ∈恒成立时，的取值范围是1a >．。