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向量知识
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•向量的相等 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是 相等的, 记为a=b. •向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、 a 、 AB 的模分别记为|a|、 | a | 、 |AB | . •单位向量 模等于1的向量叫做单位向量. •零向量
r = OM = xi + yj + zk . •上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z 之间有一一对应的关系
→
M ↔ r = OM = xi + yj + zk ↔ (x, y, z) .
•有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z); •有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z).
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二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b. 三角形法则 平行四边形法则
c=a+b
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2.向量与数的乘法 向量a与实数λ的乘积记作λa, 规定λa是一个向量, 它的模 |λa|=|λ||a|, 它的方向当λ>0时与a相同, 当λ<0时与a相反. 当λ=0时, |λa|=0, 即λa为零向量. 当λ=1时, 有1a=a; 当λ=−1时, 有(−1)a =−a.
向量知识点
向量知识点向量是数学中的一个重要概念，它具有许多应用领域，包括物理学、工程学和计算机科学等。
在这篇文章中，我将介绍向量的基本概念、运算规则以及一些常见的应用。
一、向量的基本概念向量是一个有大小和方向的量。
它可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在数学中，向量通常用加粗的小写字母（例如a）表示。
一个向量可以在坐标系中表示为一个有序的数字组合，这些数字称为向量的分量。
例如，在二维平面上，一个向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别是向量在x和y方向的分量。
在三维空间中，一个向量可以表示为(a, b, c)。
二、向量的运算规则1.向量的加法：向量的加法是按照分量进行的。
对于两个向量a=(a1,a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的和为(a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
2.向量的数乘：向量的数乘是将向量的每个分量乘以一个标量。
对于向量a=(a1, a2, a3)和标量c，它们的数乘为(c a1, c a2, c*a3)。
3.向量的点积：向量的点积是将两个向量对应分量相乘后相加得到的结果。
对于向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的点积为a1b1 + a2b2 + a3*b3。
4.向量的叉积：向量的叉积是只适用于三维空间的一种运算。
对于向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的叉积为(a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
三、向量的应用1.物理学中的向量：在物理学中，速度、加速度和力等都是向量。
通过使用向量，我们可以更好地描述和计算物体的运动。
2.工程学中的向量：在工程学中，向量可以用于表示力的合成、电路中的电流和电压以及机器人的运动轨迹。
3.计算机科学中的向量：在计算机图形学中，向量常用于表示点、线、面和体素等几何对象。
此外，向量在机器学习和数据挖掘中也有广泛的应用，例如在聚类、分类和回归分析中。
向量知识点大全
向量的各个知识点及对应分析向量的基本概念与运算 一、基本理论 1、向量概念（1）向 量：既有方向，又有大小的量叫做向量（2）向量的模：向量的大小称为向量的模，向量的大小即，记作|AB |或｜a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
（3）零 向 量：长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的，记为0。
（4）单位向量：长度等于单位1的向量叫单位向量，向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
2、共线向量（1）基 线：通过有向线段AB 的直线，叫做向量AB 的基线（2）共线向量第一定义：如果向量的基线平行或重合，则称这些向量共线或平行。
共线向量第二定义：方向相同或相反的向量 （3）零向量与任何向量共线。
（4）共线向量可以分为以下四种：()A 方向相同，模相等 ()B 方向相同，模不等 ()C 方向相反，模相等 ()D 方向相反，模不等注意：向量的共线与平行是等价的，要注意与直线的平行与共线相区别。
3、向量的表示（1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如AB 。
（2）整体法：用一个小写的英文字母来表示，如a 。
（3）坐标法：用坐标来表示向量。
4、向量的向量加法（1）平行四边形法则：使两个已知向量始点重合，和向量就是两向量所夹的对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则：其特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；当两个向量的起点公共时，用平行 四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
ACB COAC（1）平行四边形法则示意图 （2）三角形法则示意图*几点需要注意的问题：（1）两个向量的和仍是一个向量（2）当两个非零向量a 与b 不共线时，a b +的方向与a 、b 的方向都不同，且 a b a b +<+5、向量的减法（1）、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a - （1）()a a --= （2）()0a a +-=（2）、向量减法：两个向量a 与b 的差为a 与b 的相反向量的和，即：()a b a b -=+- （3）、向量减法的作图法：（A ）先将两个向量的起点重合（B ）在两个终点中，以被减向量的终点为终点。
向量
向 量一、向量的概念1.向量的表示： a 或者 AB 或(,)=a x y2.向量的模：||== a ||||||||||||-≤±≤+ a b a b a b (注意等号成立的条件)3.向量的相等：+=xa yb c (其中,,a b c 是已知向量)可以求两个未知数,x y 的确定值。
类似的知识还有 .4.单位向量：非零 a 的单位向量0||=aa a ，它与 a 方向相同。
5.零向量：大小为0，方向任意的向量。
在判断两个向量的关系时，往往把它单独考虑。
6.向量的平行：方向相同或相反的两个向量。
若非零向量a b ，那么它们所在的直线平行或重合，也叫它们为共线向量。
7.向量的夹角：两个非零向量的夹角范围：[0,]π且必需在二者共始点的前提下度量. 二、向量的运算1.几个重要的结论：①应注意到,,,+-a b a b a b 通常组成的图形是平行四边形，常用于解选择题或填空题；②||||cos ⋅=⋅a b a b θ，据此求两条直线夹角的大小；③两个非零向量1221||0||||||a b a b x y x y a b a b λ⇔=⇔-=⇔⋅=⋅ ；④两个非零向量0⊥⇔⋅=a b a b12120||||⇔+=⇔+=- x x y y a b a b ；⑤,,OA OB OC 的终点共线的充要条件为：存在非零实数x ，使等式(1)=+-OA xOB x OC 成立.例1.非零向量, a b 满足：||||||==+a b a b ，求① a 与 b 的夹角② a 与+ a b 的夹角.例2.O 为凸四边形ABCD 所在平面内任意一点，若+=+OA OC OB OD 恒成立，判断四边形ABCD 的形状.例3.设00,a b 分别为, a b 的单位向量，且 a 和 b 的夹角为60，求向量002=- m a b 与向量0023=-+n a b 的夹角θ.例4.已知 a 与 b 是非零向量，且满足(3)(75),(4)(72)+⊥--⊥-a b a b a b a b ，求 a 与 b 的夹角的大小.例5.在∆ABC 中，记,,===AB c BC a CA b ①若∆ABC 为等边三角形，求⋅+⋅+⋅ a b b c c a 的值；②若3,4,5===AB AC BC ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值；③若,==AB c AC b ，=BC a 求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值.例6.已知||10= a ，(3,4)=b ，且⊥ a b ，求 a .例7.已知|||3== a b ， a 和 b 的夹角为45，求使向量+ a b λ与+ a b λ的夹角为锐角时λ的取值范围.例8.O 为∆ABC 所在平面内任意一点，且OP 分别满足下列条件，则P 点一定经过∆ABC的()A 重心()B 外心()C 垂心()D 内心。
向量
平面向量1、向量的物理背景与概念了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.3、向量的几何表示带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.4、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.5、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6、向量加法运算及其几何意义 三角形法则和平行四边形法则. b a +≤b a +.7、向量数乘运算及其几何意义规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反.8、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.9、平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.10、平面向量的正交分解及坐标表示()y x j y i x a ,=+=. 11、平面向量的坐标运算设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=，12、平面向量共线的坐标表示 设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y yy x x x ++++. 13、平面向量数量积的物理背景及其含义 θcos b a b a =⋅.a 在b 方向上的投影为：θcos a . 22a a =. 2a a =. 0=⋅⇔⊥b a b a .设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=14、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()()212212y y x x AB -+-=.提炼： 1 θcos b a b a =⋅ b a ba ⋅=θcos2设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += 212122y x a a +== 22)(b a b a +=+ ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 练习。
向量的概念
1.1向量的概念 一、向量的定义、几何表示、记法 1．既有大小又有方向的量。
简称为式。
例如力、速度等。
注：在中学也学过向量，不过是平面上的向量，我们这里所讲的向量一般是空间中的向量。
2．用有向线段表示向量。
也就是说，在几何中，我们把向量看成有向线段。
有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。
有向线段的始点与终点分别叫向量的始点与终点。
3．始点为A ，终点为B 的向量记作AB 。
有时用a ,b ,x 或黑体字母a ，b ，x 表示向量。
4. 向量的模：向量的大小称为向量的模。
向量AB 与a 的模分别记为|AB |与|a |。
二、几种特殊向量1．单位向量：模为1的向量称为单位向量。
与a 有同一方向的单位向量称为a 的单位向量，记为0a 。
2．零向量：模等于零的向量，记为0或0 ，即起点与终点重合，方向不确定（方向任意），否则为非零向量。
3．向量的平行与相等：向量a 与b 相互平行：表示它们的有向线段所在的直线平行，记为a ∥b ，类似有一个向量与一条直线或一个平面平行的概念等等。
注：（i ）平行的两向量不一定同向。
（ii ）位于同一直线上的两个向量不叫平行（因重合的直线不叫平行）。
a 与b 相等：若a 与b 的模相等且方向相同，记为a =b ，规定：所有零向量都相等。
注：(i)模相等的两向量不一定相等，因为她们的方向可能不同。
(ii)设AB 与B A ''为不在同一直线上的非零向量，则AB =B A ''当且仅当四边形ABB /A /为平行四边形。
证 根据两向量相等的定义，对于不在同一直线上的两个相等的非零向量aAB 与B A ''，若用两线段分别连接它们的一对起点A 与A /，一对终点B 与B /，那么显然得到一个平行四边形ABB /A /。
反之，对两个向量，若用这种作图法得到一个平行四边形，那么由向量相等的定义知这两向量相等。
向量数学知识点总结
向量数学知识点总结1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量。
通常用一个箭头或者是一段有方向的线段来表示。
向量的大小称为模，用符号||a||来表示。
向量的方向通常通过箭头所指的方向来表示。
一个向量通常用加粗的小写字母或者是在上方加一个箭头来表示，如 a 或者是→a。
2. 向量的表示在数学中，向量通常用坐标表示。
如果在一个二维空间中，一个向量可以表示成 (x, y) 的形式。
在三维空间中，一个向量可以表示成 (x, y, z) 的形式。
3. 向量的运算向量的加法：向量a 和向量 b 的和记作 a+b，它的定义是 a+b=(a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)向量的数量乘法：数与向量相乘，记作k∙a，即k∙a=(k∙a_1,k∙a_2,...,k∙a_n)点积：向量a和向量b的点积表示为a∙b=a_1∙b_1+a_2∙b_2+...+a_n∙b_n，也可以表示为“a⋅b=│a││b│cosθ”其中θ为a与b的夹角叉积：在三维空间中，向量a和向量b的叉积表示为a×b=(a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1)4. 向量的线性相关性向量a和b线性相关的充分必要条件是存在不全为0的实数λ和μ，使得λa+μb=05. 向量的线性无关性若存在一组向量{a_1, a_2, …, a_n}使得只有λ_1 a_1+λ_2 a_2+。
λ_n a_n=0 当且仅当λ_1=λ_2=…=λ_n=0，则称向量{a_1, a_2, …, a_n}线性无关6. 向量的基底和维度一个线性空间的基底就是一个线性无关的极大集合，即这个集合中的向量不能再添进任何一个可以由这个集合张成的向量空间。
一个向量空间的维度就是这个向量空间的一组基底中有多少个向量。
一个n维的向量空间能被n维向量张成，任意向量可以被这n个向量线性表示。
7. 向量的投影向量的投影是向量在另一个向量上的投影，向量a在向量b上的投影的长度为|a|cosθ，与b同向8. 向量的夹角两个非零向量a和b夹角的cosθ= a∙b／(|a||b|)夹角的范围是[0, π]，当cosθ>0时夹角在[0, π/2]上，当cosθ<0时夹角在(π/2, π]上，当cosθ=0时，a和b垂直。
向量基本概念
向量基本概念
向量是一个包含大小和方向的量，通常用箭头表示。
在二维空间中，向量可以表示为一个有序的二元组(x,y)，其中x和y分别代表向量在水平和竖直方向的分量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序的三元组(x,y,z)，其中x，y和z分别代表向量在x，y和z轴上的分量。
向量的长度通常用向量的大小(或者称为模)来表示，用两个竖线表示，例如||v||代表向量v的大小。
向量的方向可以用一个单位向量来表示，它的大小为1。
单位向量通常表示为小写字母u或者e，例如u表示向量v的单位向量，u = v / ||v||。
向量的基本运算包括向量加法、向量减法、向量数乘、点积和叉积。
向量加法表示将两个向量的分量相加，得到一个新的向量。
向量减法表示将一个向量的分量减去另一个向量的分量，得到一个新的向量。
向量数乘表示将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。
点积表示将两个向量的对应分量相乘，然后相加，得到一个标量。
叉积表示将两个向量的叉积得到一个新的向量，它的大小等于两个向量的大小相乘，并且垂直于这两个向量所在的平面。
向量在物理学、几何学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，向量被用来描述物体的运动和力的作用。
在几何学中，向量被用来描述平面和空间中的图形。
在计算机图形学中，向量被用来描述3D模型的位置和方向，以及光线的传播方向。
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一、向量有关概念：
①向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，向量可以平移；
②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；
作用:１、解决矛盾；２、零向量和任何非零向量平行；３、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量； ③单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||
AB AB ± )；单位化 ④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；大小和方向有关，与位置无关； ⑤相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－；
⑥平行向量（共线向量）： １、方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量； ２、记作：a ∥b 零向量和任何非零向量平行；
３、两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ４、平行向量无传递性！（因为有0
)；
５、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； ⑦相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
a 、向量的运算及其几何意义：
例１、下列命题： ①若a b = ，则a b = ；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；
③若AB DC = ，则ABCD 是平行四边形；④若ABCD 是平行四边形，则AB DC = ； ⑤若,a b b c == ，则a c = ；⑥若//,//a b b c ，则//a c ；其中正确的是_______
例２、下列命题正确是： ①若0a = ，则0a -= ； ②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a b + 与,a b 之一的方向相同； ③若0a = ，则0a = ； ④若a b = ，则a b = 或a b =- ；
⑤若a b ，则a b = ；
⑥若a b c ，则a c ； ⑦a b a b +=+⇔ a 与b 方向相同；
⑧向量b 与向量a 共线的充要条件是有且仅有只有一个实数λ，使得b a λ= ； ⑨0AB BA += ；⑥若a b λλ= ，则a b = ；
6.向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
平行四边形法则：
AC a b =+ DB a b =-
三角形法则
,---⎧⎨---⎩加法首尾相连减法终点相连方向指向被减数
——加法法则的推广：
112n AB AB B B =++ ……1n n B B -+ 即n 个向量12,,a a ……n a 首尾相连成一个封闭图形，则有1
2a a ++ ……0n a += ②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a (b = a + ((b )；
差向量的意义： = a , =b , 则=a (b
③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b + ),(2121y y x x ++=，a b
- ),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ= 。
④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )
⑤常用结论： （1）若1()2AD AB AC =+ ，则D 是AB 的中点（2）或G 是△ABC 的重心，则0GA GB GC ++=
7．向量的模：
(1)定义：向量的大小，记为 |a | 或 |AB |
（2)模的求法：若 (,)a x y = ，则 |a
|=若1122(,),(,)A x y B x y ， 则 |AB
|=（3）性质：
（1）、
22||a a = ； 22||(0)||a b b a b =≥⇒= （实数与向量的转化关系） （2）、22||||a b a b =⇒= ，反之不然
（3）、三角不等式：||||||||||a b a b a b -≤±≤+
（4）、||||||a b a b ≤ （当且仅当,a b
共线时取“=”）
即当,a b 同向时 ，||||a b a b =
； 即当,a b 同反向时 ，||||a b a b =- （5）、平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即22222||2||||||a b a b a b +=++-
例3设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：
①AB BC CD ++ ，②DB AC BD ++ ③OA OC OB CO --+-
例4、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若=, =,则=（）
A．11
42
a b
+
B.
21
33
a b
+
C.
11
24
a b
+
D.
12
33
a b
+
例5、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC的高为AD，求点D和向量
→
--
AD坐标。
例6、求与向量→
a=3
(，-1）和
→
b=（1，3）夹角相等，且模为2的向量
→
c的坐标。
例7、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|
→
--
OM|∶|
→
--
OA|=1∶3，|
→
--
ON|∶|
→
--
OB|=1∶4，设线段AN与
BM交于点P，记
→
--
OA=
→
a，
→
--
OB=
→
b，用
→
a，
→
b表示向量
→
--
OP。