图形变换相似三角形综合应用

相似三角形综合应用内容基本要求略高要求相似三角形 了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题模型一 角分线模型1、内角平分线AD 是ABC ∆的角平分线，则AB BDAC CD =【证明】过C 作CE AD ∥交直线AB 于E .∵CE AD ∥，∴1E ∠=∠，23∠=∠ 又∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∴3E ∠=∠，∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BD AECD=，∴AB BDACCD =2、外角平分线BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，则AB BDAC CD=自检自查必考点2014年中考怎么考 321EDCB A DCBADC BA【证明】过C 作CE AD ∥交直线AB 于E .∵CE AD ∥，∴13∠=∠，24∠=∠ 又∵AD 平分CAF ∠， ∴12∠=∠， ∴34∠=∠， ∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BD AECD=，∴AB BD ACCD=模型二 梯形模型若AD BC a b =∶∶，则22ADE ABE BEC DEC S S S S a ab b ab =∶∶∶∶∶∶△△△△EDC BA考点一 与公共边有关的相似问题【例1】 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若90BFA ∠=︒，则下列四对三角形：①BEA △与ACD △；②FED △与DEB △；③CFD △与ABG △；④ADF △与CFB △，其中相似的为（ ）GABCDEFA ．①④B ．①②C ．②③④D ．①②③【答案】D【解析】②2AE EF EB =⋅，∴2DE EF EB =⋅，故FED DEB △∽△中考满分必做题F 4321E DCBA【例2】 如图，矩形ABCD 中，BE AC ⊥于F ，E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）FE DCB AA ．2212BF AF = B ．2213BF AF = C ．2212BF AF > D ．2213BF AF <【答案】A【例3】 如图，ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F，交BE 于G ，FD 、AC 的延长线交于点H ，求证：2DF FG FH=⋅.HG DF E C BA【解析】可通过射影定理转化成证明AF BF FG FH ⋅=⋅，证明BFG ∆∽HFA ∆即可.【例4】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D E ，为BC 的中点，DE AC ，的延长线交于F ． 求证：AC FABC FD=． 321FD E C BA【答案】∵CD BC ⊥，E 为BC 中点，∴ED EC =，∴12∠=∠，又∵290390B B ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，又∵F F ∠=∠，FCD FDA ∆∆∽，∴FA ADFDCD=，又∵3390ACB ADC ∠=∠∠=∠=︒，，∴ABC ACD ∆∆∽，∴AD AC CDBC=，∴AC FA BCFD=．【巩固】在Rt ABC △中，过直角顶点B 作斜边AC 的垂线BD ，取BC 的中点E ，连接ED 并延长交BA 的延长于点F ，求证：FD ABFB BC= F EDCBA【解析】FAD FDB △∽△，FD AD ABFB BD BC==【例5】 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ， 求证：2FD FB FC =⋅．E FD C B A4321AEB DC F【答案】连接AF ∵EF 垂直平分AD ，∴AF DF =，∴4DAF ∠=∠，即423∠=∠+∠，又∵41B ∠=∠+∠，∴231B ∠+∠=∠+∠，∵AD 平分BAC ∠，∴12∠=∠，∴3B ∠=∠，又∵CFA AFB ∠=∠，∴CFA AFB ∆∆∽，∴2FA FC FB =⋅．又∵AF DF =，∴2FD FB FC =⋅【巩固】如上图，在ABC ∆中，2FD FB FC =⋅，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：AD 平分BAC ∠．EFD C B A【答案】连接AF ，∵EF 垂直平分AD ，∴AF DF =，∵2DF FC FB =⋅，∴2AF FC FB=⋅∴AF FB FCAF=，又∵AFC BFA ∠=∠∴AFC BFA ∆∆∽，∴3B ∠=∠，∵423∠=∠+∠，41B ∠=∠+∠，∴231B ∠+∠=∠+∠，∴12∠=∠，即AD 平分BAC ∠．【例6】 已知，如图，ABC ∆为等边三角形，120DAE ∠=︒且DAE ∠的两边交直线BC 于D E ，两点，求证：2BC BD CE =⋅．EC B A321EC B A 【解析】∵12060DAE BAC ∠=︒∠=︒，，∴1260∠+∠=︒．又∵360∠=︒，∴160E ∠+∠=︒，∴2E ∠=∠，∵360ABC ∠=∠=︒，∴120ABD ACE ∠=∠=︒∴ABD ECA ∆∆∽，∴AB CE BDAC=，即AB AC BD CE ⋅=⋅，∵AB AC BC ==，∴2AB BD CE =⋅．考点二 与旋转有关的相似问题【例7】 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD BC ∥，BC CD =，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒，将BEC ∆绕C 点旋转90︒使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连EF 交CD 于M ．已知53BC CF ==，，则:DM MC 的值为（ ） A ．5:3 B ．3:5 C ．4:3 D ． 3:4MFEDCB A【答案】C ．【例8】 如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，求::AG DF CE =.ABCDEFGGFEDCBA【答案】连接BD BF ，。

∵,AB BC BG BE ABG CBE ⊥⊥⇒∠=∠，,AB BC BG BE ==∴ABG CBE ∆∆≌∴AG CE =∵,EF BE EF BE ⊥=∴45,EBF BF ∠=︒=∵,BC CD BC CD ⊥=∴45,CBD BD ∠=︒=∴,BD BFFBD CBE BC BE∠=∠==FBD EBC ∆∆∽∴DF BDEC BF ==::AG DF CE =【例9】 （1）如图1，等边ABC △中，D 为AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边EDC △，连接AE ，求证：AE BC ∥．（2）如图2，将（1）中的等边ABC △改为以BC 为底边的等腰三角形，所作的EDC △改成相似于ABC △，请问：是否有AE BC ∥？证明你的结论．EDCBA D EBCA【答案】（1）由ACE BCD △∽△，得EAC ACB ∠=∠，故AE BC ∥．（2）由ACE BCD △∽△，得EAC B ACB ∠=∠=∠，故AE BC ∥．考点三 与三角形有关的相似综合题【例10】 如图，ABC △内有一点P ，过P 作各边的平行线，把ABC △分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积123S S S ，，分别为112，，，则ABC △的面积是．P S 3S 2S 1I HGFE D CBA【解析】设ABC △的面积为S ，1PD PE HG BH HG GCBC BC BC BC+++=++==，故(22116S ==++=+．【答案】6+【例11】 如图所示，ABCDEF 是一个凸六边形，P 、Q 、R 分别是直线BA 与EF 、FE与CD 、DC 与AB 的交点，S 、T 、U 分别是BC 与ED 、DE 与AF 、FA 与CB 的交点，如果AB PR CD =∶∶RQ EF QP =∶，求证：BC US DE ST FA TU ==∶∶∶．TSURQPFEDCBA【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且AB 、CD 、EF 构成一个与PQR ∆相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将AB 、CD 、EF 集中到一起构成一个与PQR ∆相似的三角形． 如图所示，将CD 平移至OE 位置，则OE CD ∥，且OE CD =，TSURQPOFEDCBA所以FEO Q ∠=∠，且EO QR CD QR EF QP ==∶∶∶，因此FEO PQR ∆∆∽，从而OFE P ∠=∠，且FO PR EF QP AB PR ==∶∶∶． 这说明FO AB ∥，且FO AB =，进而FA OB ∥，且FA OB =． 又因为CO DE ∥，于是COB STU ∆∆∽，所以BC US CO ST OB TU ==∶∶∶， 注意到CO DE =，OB FA =，故BC US DE ST FA TU ==∶∶∶．【例12】 已知：ABC ∆的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F．（1）如图l ，若ABC ∆为锐角三角形，且45ABC ∠=︒，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，求证：FG DC AD +=；（2）如图 2，若135ABC ∠=︒，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，则FG DC AD 、、之间满足的数量关系是； （3）在（2）的条件下，若AG =，3DC =，将一个45︒角的顶点与点B 重合并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于M N ，两点（如图3），连接CF ，线段CF 分别与线段BM 、线段BN 相交于P Q ，两点，若32NG =，求线段PQ 的长．图1GF E D CBA图2GFEDCBA图3NQ PABCD E FG M【答案】（1）证明：∵9045ADB ABC ∠=︒∠=︒，∴45BAD ABC ∠=∠=︒，∴AD BD = ∵90BEC ∠=︒，∴90CBE C ∠+∠=︒∵90DAC C ∠+∠=︒，∴CBE DAC ∠=∠ ∵90FDB CDA ∠=∠=︒，∴FDB CDA ∆≅∆∴DF DC =∵GF BD ∥∴45AGF ABC ∠=∠=︒，∴AGF BAD ∠=∠∴FA FG =，∴FG DC FA DF AD +=+= （2）FG DC AD -= （3）如图，∵135ABC ∠=︒，∴45ABD ∠=︒∵90ADB ∠=︒，∴45DAB DBA ∠=∠=︒，∴AD BD =∵FG BC ∥，∴G DBA DAB ∠=∠=∠，∴AF FG =∵222AG FG AF AG =+=∴5FG AF ==∵3CD =，由（2）知FG DC AD -=，∴2AD BD ==∴13BC DF ==，， ∴FDC ∆为等腰直角三角形∴GC ==分别过B ，N 作BH FG ⊥于点H NK BG ⊥于点K ∴四边形DFHB 为矩形∴23HF BD BH DF ====，∴3BH HG ==，∴BG =∵sin NK G NG∠=∴NK =∴BK∵45MBN HBG ∠=∠=︒∴MBH NBK ∠=∠∵90MHB NKB ∠=∠=︒ ∴MBH NBK ∆∆∽∴MH BH NKBK=∴1MH =∴1FM =∵BC FG ∥∴BCF CFN ∠=∠∵BPC MPF CB FM ∠=∠=， ∴BPC MPF ∆∆≌∴12PC PF FC ===K HM GFEDCBAPQ N∵BQC NQF ∠=∠∴BCQ NFQ ∆∆∽∴BC CQ NFFQ=，∴27CQ FQ=∴22993CQ FC ==⨯=∴6PQ CP CQ =-=考点四 与相似有关的动点问题【例13】 如图，ABC ∆中，39085AC C BC AB ∠=︒==，，，点P 从B 出发，沿BC 方向以2/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向也以1/s 的速度移动，若P Q ，分别从B C ，出发，经过多少时间CPQ ∆与CBA ∆相似？QPCBA【答案】∵39085AC C BC AB∠=︒==，，，设35AC k AB k ==，，∴222AC BC AB +=，即222(3)8(5)k k +=，解得2k =（负值已舍去） ∴6AC =设经过s t 后CPQ ∆与CBA ∆相似．此时282BP t PC t CQ t ==-=，， 本题需分两种情况： （1）当CAB CQP ∆∆∽时， CQ CPCACB=，即8268t t -=，解得 2.4t = （2）当CAB CPQ ∆∆∽时， CQ CPCBCA=，即8286t t -=，解得3211t =． 综上，当 2.4t =秒或3211秒时，CPQ ∆与CBA ∆相似【例14】 如图，在矩形ABCD 中，126AB BC ==，，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2/秒的速度移动，点Q 沿DA 边以1/秒的速度从点D 开始移动，如果P Q ，同时出发，用t （秒）表示移动的时间(06)t ≤≤．（1）当t 为何值时，QAP ∆为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC 面积，提出一个与计算结果相关的正确结论． （3）当t 为何值时，以点Q A P ，，为顶点的三角形与ABC ∆相似．QPD CBA【答案】（1）当QAP ∆为等腰直角三角形时，AP AQ =，∴26t t =-，2t =（2）11(6)12263622QAC APC QAPC S S S t t ∆∆=+=-⨯+⨯⨯=四边形，即四边形QAPC 的面积为定值．（3）分2种情况①当APQ BAC ∆∆∽时，2AP BA AQ BC ==，即226tt=-，解得3t =．② 当AQP BAC ∆∆∽时，2AQ BA AP BC ==，即622t t -=，解得65t =．综上当3t =或65时，以点Q A P ，，为顶点的三角形与ABC ∆相似．【例1】 如图，已知在等腰△中，∠A ＝∠B ＝30°，过点C 作⊥交于点D ．若过A ，D ，C 三点的圆O 的半径为3，则线段上是否存在一点P ，使得以P ，D ，B 为顶点的三角形与△相似，若存在，则的长为．（09年浙江丽江中考试题）【解析】∵∠＝∠－∠＝120°－90°＝30°∴∠＝∠B ，∴＝．又∵在△中，＝·30°＝3，∴＝3．①过点D 作1∥，交于点P 1，则△P 1∽△，∴OC DP1＝OB DB．∵＝＋＝32∴1＝OB DB·＝323×3＝23②过点D 作2⊥，交于点P 2，则△2∽△，∴OC DP2＝BC BD．∵＝22OC BO －＝22332)(－)(＝3∴2＝BC BD ·＝33×3＝1中考满分必做题ACDAC DO P 1P 2【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，2），点P 是线段上的一个动点（不与O ，A 重合），过点P 作⊥x 轴于Q ，以为边向右作正方形．连接并延长交x 轴于点B ，连接．设＝t ，△与△相似时，则△的面积为．（09年甘肃中考试题）【答案】91或259【解析】当0＜ t ≤1时，如图1．若△∽△，则NM BM ＝OM NM．即tt t t －－2222＝t t2，∴t ＝32．∴＝32，＝t 21＝31．∴S △ ＝21·＝21×31×32＝91．当1＜ t ＜2时，如图2．若△∽△，则NM BM＝OM NM．即tt tt －－2222＝t t 2，∴t ＝56．∴＝56，＝t 21＝53． ∴S △ ＝21·＝21×53×56＝259．【例3】 如图，∠＝90°，是∠的平分线，点P 在上，＝．将三角板的直角顶点放置在点P 处，绕着点P 旋转，三角板的一条直角边与射线交于点E ，另一条直角边与直线、直线分别交于点F 、点G ．图2（1）当点F 在射线上时 ①求证：＝．②设＝x ，＝y ，求y 与x 的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接，当△与△相似时，求的长．（12年中考模拟试题）【解析】（1）①证明：过点P 作⊥，⊥，垂足分别为M 、N∵是∠的平分线，∴＝由∠＝∠＝∠＝90°，得∠＝90°∴∠1＋∠＝90°∵∠2＋∠＝90°，∴∠1＝∠2 ∴△≌△，∴＝ ②解：∵＝，∴＝＝1 ∵＝x ，△≌△，∴＝＝1－x ∴＝2－x∵∥，∴, ) ＝ , ) ，即 x , 1 ) ＝ , ＋1 ) ∴＝ x , 1－x )∴y ＝ x , 1－x ) ＋2－x （0≤ x ＜1） （2）当△与△相似时，点F 的位置有两种情况：①当点F 在射线上时 ∵∠＝∠＝90°，∠1≠∠ ∴∠G ＝∠1，∴＝，∴＝＝ACB F P D G E 备用图A C BFP G E 1DACBF PDE M N 21G在△中，＝2＝2 ②当点F 在延长线上时∵∠＝∠＝90°，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2 ∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2，∴∠5＝∠2易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4 ∴＝＝，∴＝＋1 易证△≌△，∴＝＝＋1 ∵∥，∴, ) ＝ , ) ，即 , 1 ) ＝ 1－ , )∴＝－1∴＝－1＋ ＋1＝2【例4】 如图，在△中，∠＝90°，是斜边上的中线，＝10，＝ 3 ) ．点P 是延长线上的一动点，过点P 作⊥，交延长线于点Q ．设＝x ，＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）连接，当平分∠时，求的长；（3）过点B 作⊥交于F ，当△和△相似时，求x 的值．（2012年上海模拟试题）A CBM P FG NE 15 234DAPEAE AE【解析】（1）在△中，∠＝90°，＝10，＝ , ) ＝ 3 )∴＝6，＝8∵是斜边上的中线，∴＝＝ 2 ) ＝5 ∴∠＝∠又∠＝∠＝90°，∴△∽△∴ , ) ＝ , ) ＝ 5 ) ，即 8＋y , 5＋x ) ＝ 5 ) ∴y ＝ 5 ) x －4（x ＞5） （2）过点B 作⊥于H ∵平分∠，⊥，∴＝＝y ∵＝ 5 ) ＝ 5 ) ，∴5 ) x －4＝ 5 ) ∴x ＝11（3）∵∠＝∠＝90°，∠＝∠A ∴△∽△当△和△相似时，则△和△也相似 有两种情况： ①当∠＝∠A 时在△中，∠＝90°，＝5，＝ 3 ) y ∴3 )（ 5 ) x －4）＝ 3 )×5，解得x ＝10 ②当∠＝∠时在△中，∠＝90°，＝5，＝ 3 ) y ∴3 )（ 5 ) x －4）＝ 4 )×5，解得x ＝ 16 )∴当△和△相似时，求x 的值为10或 16 )【例5】 如图1，在△中，⊥，点B 在边上，＝6，＝12，∠＋∠C ＝90°，动点M 和N 分别在线段和边上．（1）求证：△∽△，并求的值；A BPCQEH ABPCQE FAB P CQE F（2）当＝4时，△与△相似，求△与△的面积之比；（3）如图2，当∥时，以所在直线为对称轴将△作轴对称变换得△．设＝x ，△与四边形重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2012年上海模拟试题）【解析】（1）∵⊥，∴∠＋∠＝90°∵∠＋∠C ＝90°，∴∠＝∠C ∵∠＝∠，∴△∽△ ∴ : ＝ :∵＝6，＝12，∴6 : ＝ : 18 ∴＝6∴＝2＋ 2)＝18 2＋(6) 2)＝12 ∴＝ , ) ＝ 18 , 12 )＝ , 2 ) （2）∵＝ , 2 )，∴∠C ＝30° ∵∠＝ , ) ＝ 6 , 6 )＝，∴∠＝60° ∴∠＝30°，∴＝＝12①当∠＝∠时（如图1），△∽△∵＝4，∴S △ : S △ ＝ 2: 2＝4 2:12 2＝1 : 9 ②当∠＝∠C 时（如图2），△∽△ ∵＝4，∴S △ : S △ ＝ 2 : 2＝4 2 :（12）2＝1 : 27（3）易得S △ ＝ 2 ) ·＝ 2 )×12×6＝36 ∵∥，∴△∽△A ON C图1M AO N C BM 图1 A ON E CBM 图2A ON BC图2M∴S △ : S △ ＝ 2 : 2，∴S △ : 36＝x 2 : 12 2 ∴S △ ＝ , 4 ) x 2①当与线段相交时，设与交于点F （如图3） ∵∥，∴∠＝∠C ＝30° ∴∠＝∠，∴＝＝x∵以所在直线为对称轴将△作轴对称变换得△∴∠＝∠＝30°，∴∠＝90° ∴＝ 2 ) ＝ 2 ) ＝ 2 ) x ∴S △ : S △ ＝ :∴y : , 4 ) x 2＝ 2 ) x : x ＝1 : 2 ∴y ＝ , 8 ) x 2（0＜x ≤8） ②当与线段不相交时，设与交于点G （如图4）∵∥，∴ : ＝ :∴ : 12＝（12－x ）: 12，∴＝12－ x ∵△∽△，∴S △ : S △ ＝ 2: 2∴S △ : 36＝（12－ x ）2 : 12 2 ∴S △ ＝ , 4 ) （12－ x ）2∴S 阴影＝S △ － S △ － S △ ＝36－ , 4 ) x 2－ , 4 ) （12－ x ）2 即y ＝－ x 2＋18x －72（8＜x ＜12）【例6】 如图，△中，∠＝90°，＝＝4，点O 为边的中点，点M 是边上一动点（不与点B 、C 重合），⊥，垂足为点A ．连接，将△沿直线翻折，点B 落在点B 1处，直线1与、分别交于点F 、N ．（1）当∠＝120° 时，求的长；（2）设＝x ，y ＝ 的周长, △ 的周长 ) ，求y 关于x 的函数关系式。