广东省揭阳第一中学2021届高考压轴卷数学试卷含解析《加14套高考模拟卷》

广东省揭阳第一中学2021届高考压轴卷数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，

，则（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

2．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．

14

B ．

13

C ．

532

D ．

316

3．已知函数2(0)

()ln (0)

x x f x x x ?≤=?>?，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的

取值范围（ ）． A ．[0,)+∞

B ．(1,)+∞

C ．(0,)+∞

D ．[,1)-∞

4．已知集合{}

2

|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()

R A B 等于( )

A ．[)5,7-

B ．[)3,7-

C ．()3,7-

D ．()5,7-

5．10

23

1

2x x ? ?

的展开式中有理项有（ ） A ．3项

B ．4项

C ．5项

D ．7项

6．己知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C 上，且

30MF NF +=，直线MN 交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '?的面积为243F 到l 的

距离为（ ） A ．12 B ．10

C ．8

D ．6

7．函数cos ()22x x x x f x -=

+在

,22ππ??

-????

上的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．已知集合{}

2

|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则

()A B ?=R

（ ）.

A ．(,1)[3,)-∞+∞

B ．(,1][3,)-∞+∞

C ．(,1)

(3,)-∞+∞

D ．(1,3)

9．设M 是ABC ?边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( ) A ．1

B ．

12

C ．

13

D ．

14

10．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h 的频率分别为（ ）

A ．300，0.25

B ．300，0.35

C ．60，0.25

D ．60，0.35

11．若()5

211x a x ??+- ???

的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ）

A ．-2

B ．-3

C ．2

D ．3

12．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他

的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）

A ．4π

B ．16π

C ．36π

D ．

643

π

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2

214

x y -=的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为

______.

14．若5(3)n

x x

-的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为_____

15．已知数列{}n a 满足123232n

n a a a na +++?+=，则n a =________． 16．已知多项式(2)(1)m n x x ++=2

012m n m n a a x a x a x +++++

+满足01416a a ==，，则

m n +=_________，012m n a a a a +++++=__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知2

()2(01)f x ax x x =-≤≤，求()f x 的最小值.

18．（12分）己知ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设23sin 3sin 3sin 42sin sin sin sin B C A C B B C

+=+（1）求tan A 的值；

（223sin B C =，且Δ22ABC S =a 的值. 19．（12分）已知函数()1f x x =-． （1）求不等式()1f x x x ++＜的解集；

（2）若函数()()()22[]3g x log f x f x a =++-的定义域为R ,求实数a 的取值范围．

20．（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间[

)20,40内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表. 图：设备改造前样本的频率分布直方图

表：设备改造后样本的频率分布表 质量指标值 [)15,20

[)20,25

[)25,30

[)30,35

[)35,40

[)40,45

频数

2

18

48

14

16

2

（1）求图中实数a 的值；

（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间[)25,30内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间[)20,25或[)30,35内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望. 21．（12分）已知函数21()2x

f x xe a x x ??

=-+ ???

(0,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）曲线()f x 在点()()

22f ,处的切线斜率为()

2

31e -.

（i ）求a ；

（ii ）若2

()()(1)x k f x x '-≥-+，求整数k 的最大值. 22．（10分）设函数()|2||22|f x x x =+--. （1）解不等式()21f x x ≥-；

（2）记()f x 的最大值为M ，若实数a 、b 、c 满足a b c M ++=，求证：

22222232a b b c c a +++≥

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

【分析】

先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可．

【详解】

由题意得，

∵，

∴．

故选C．

【点睛】

本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题．

2、A

【解析】

【分析】

首先求出样本空间样本点为5232

=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】

样本空间样本点为5232

=个，

具体分析如下：

记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，

有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．

剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224

?=，

但合并计算时会有重复，重复数量为224

+=，

事件的样本点数为：444228

++--=个．

故不同的样本点数为8个，81 324

=.

故选：A

【点睛】

本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题

3、B 【解析】 【分析】

根据条件可知方程()0f x x a +-=有且只有一个实根等价于函数()y f x =的图象与直线y x a =-+只有一个交点，作出图象，数形结合即可． 【详解】

解：因为条件等价于函数()y f x =的图象与直线y x a =-+只有一个交点，作出图象如图，

由图可知，1a >， 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题． 4、B 【解析】 【分析】

解不等式确定集合A ，然后由补集、并集定义求解． 【详解】

由题意{}

2

|2150A x x x =-->{|3x x =<-或5}x >，

∴

{|35}R

A x x =-≤≤，

()

{|37}R A B x x =-≤<．

故选：B. 【点睛】

本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型． 5、B 【解析】

【分析】

由二项展开式定理求出通项，求出x 的指数为整数时r 的个数，即可求解. 【详解】

72010

3

110

(1)2

r r r r r T C x

-

-+=-，010r ≤≤，

当0r =，3，6，9时，1r T +为有理项，共4项. 故选:B. 【点睛】

本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题. 6、D 【解析】 【分析】

作MM l '⊥，垂足为M '，过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，设(0)NF m m =>，则3MF m =，结合图形可得2MG m =，||4MN m =，从而可求出60NMG ∠=?，进而可求得6MP m =，

3N P m '=，由MN P '?的面积1

2

△MN P S MM N P '''=??243=即可求出m ，再结合F 为线段MP 的

中点，即可求出F 到l 的距离． 【详解】 如图所示，

作MM l '⊥，垂足为M '，设(0)NF m m =>，由30MF NF +=，得3MF m =，则3MM m '=，

NN m '=.

过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，则M G m '

=，2MG m =， 所以在Rt MNG ?中，2MG m =，||4MN m =，所以||1

cos ||2

MG GMN MN ∠=

=，

所以60NMG ∠=?，在Rt PMM '?中，||3MM m '=，所以6cos60

MM MP m '

==，

所以2NP m =，N P '=，

所以 11

322

MN P S MM N P m '''=

??=?=△4=m ， 因为||||||3||FP FN NP m FM =+==，所以F 为线段MP 的中点， 所以F 到l 的距离为||3622

MM m

p '===． 故选：D 【点睛】

本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题． 7、C 【解析】 【分析】

根据函数的奇偶性及函数在02

x π

<<时的符号，即可求解.

【详解】 由cos ()()22x x

x x

f x f x --=-

=-+可知函数()f x 为奇函数.

所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02

x π

<<

时，cos 0x >，

cos ()22

0x x

x x

f x -∴=

+＞，排除选项D ， 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 8、A 【解析】 【分析】

算出集合A 、B 及A B ，再求补集即可.

【详解】

由2230x x --<，得13x

，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥，

所以{|13}A B x x ?=≤<，故()A B ?=R

{|1x x <或3}x ≥.

故选：A. 【点睛】

本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

9、B 【解析】 【分析】

设BM tBC =，通过12AN AM =，再利用向量的加减运算可得122

t t AN AB AC -=+，结合条件即可得解. 【详解】 设BM tBC =， 则有()()

11111122222222

t t t

AN AM AB BM AB tBC AB AC AB AB AC -=

=+=+=+-=+. 又AN AB AC λμ=+，

所以12

2t t λμ-?=????=??

，有11222t t λμ-+=

+=. 故选B. 【点睛】

本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题. 10、B 【解析】 【分析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，

的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】

由频率分布直方图得：

在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，

的频率为0.0650.3?=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，

的车辆数为：0.31000300?=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+?=． 故选：B ． 【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11、C

【解析】 【分析】

先研究5

11x ??- ???

的展开式的通项，再分()2x a +中，取2x 和a 两种情况求解.

【详解】

因为5

11x ??- ???

的展开式的通项为()5

151r r r r T C x -+=-，

所以()5

211x a x ??+- ???

的展开式中的常数项为：()32320

551112(1)0x C C x a a -+--=--=-，

解得2a =， 故选：C. 【点睛】

本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12、C 【解析】 【分析】

设球的半径为R ，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+?=，解得球的半径

3R =，再代入球的体积公式求解.

【详解】 设球的半径为R ，

根据题意圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+?=， 解得3R =， 所以该球的体积为3344

33633

V R πππ==??= . 故选：C 【点睛】

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、

24

13

【解析】 【分析】

求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积．