西南科技大学本科期末考试试卷高等数学B1第十四套题
西南科技大学高数B1第八套题
《高等数学B1》（第8套）
课程代码
1
6
1
9
9
0
0
2
1
命题单位
理学院：公共数学教研室
一
二
三、1
2
3
4
5
6
7
四
五பைடு நூலகம்
总分
一、填空题（每小题3分，共15分）
1、微分方程 的通解是__________.
2、计算反常积分 __________.
3、 __________.
4、设 ，则 __________.
五、应用题(共7分)
求曲线 上相应于 的一段弧的长度.
A、 和 B、 和 C、 D、
三、解答题(每小题8分，共56分)
1、求极限 .
2、求曲线 在 处的切线方程和法线方程.
3、在抛物线 上求与直线 距离最近的点.
4、计算不定积分 .
5、设函数 满足 ，求 .
6、求微分方程 的通解.
7、设函数 ，确定 的值，使 在 处连续.
四、证明题(共7分)
证明不等式 .
5、设有平面光滑曲线L: ，则弧微分 __________.
二、选择题（每小题3分，共15分）
1、 ( ).
A、 B、
C、 D、
2、极限 等于( ).
A、 B、
C、 D、
3、设 ，则有( ).
A、 B、 C、 D、
4、 在 处( ).
A、可导B、连续但不可导C、极限不存在D、不连续
5、函数 的单调增加区间是( ).
[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]四川省专升本高等数学模拟14
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B.r(A+B)=2r(A)
C.r(A-B)=2r(A)
D.r(A+B)≤r(A)+r(B)
答案:D
二、填空题
问题:1. 设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则方程f'(x)=0实根的个数为______．
答案:3
问题:2.
答案:0
问题:3. 平面-x+2y+3z+1=0与平面2x-y+z+2=0的位置关系为______(填“平行”、“重合”、“垂直”或“斜交”)．
问题:6. 求幂级数的和函数s(x)．
答案:所给级数的收敛半径
故收敛区间为(-1，1)．
当x=1时，级数为交错级数，由莱布尼茨审敛法可知级数收敛；
当x=-1时，级数为，级数发散；
故级数的收敛域为(-1，1]．
问题:7. 曲线过点(1，0)，且曲线上任一点(x，y)处的切线垂直于该点与原点的连线，求曲线方程．
A.f'(x)=φ'(x)
B.f'(a)=φ(a)
C.f'(a)=φ'(a)
D.f'(x)=φ(x)+(x-a)φ(x)
答案:B
问题:5. ，则f(x)=______
A．
B．
C．e2x
D．
答案:C
问题:6. 设直线则L1与L2的夹角为______
A．
B．
C．
D．
答案:C
问题:7. 设，则级数______
答案:C
问题:2. 当x→1时，函数的极限是______
A.等于2
B.等于0
C.为∞
D.不存在但不为∞
西南科技大学本科期末考试试卷高等数学B1第九套题
西南科技大学本科期末考试试卷(1)+n⎰B、22lnx处连续，则下列结论不成立的是( ) .4、函数()f x在点A 、()f x 在0x 处有定义B 、()f x 在0x 处左极限存在C 、()f x 在0x 处右极限存在D 、()f x 在0x 处可导 5、函数23++=x x y 在其定义域内( ) .A 、 单调减少B 、 单调增加C 、 图形下凹D 、 图形上凹三、解答题(每小题8分，共56分)1、求极限 12312lim(1+)nn x n x dx →∞⎰.2、设方程2650.y e xy x ++-=求dxdy .3、设直线y ax =与抛物线2y x =围成图形面积为1S ，它们与1x =围成面积为2S ，并且01a <<，确定a 的值，使得12S S +最小，并求出最小值.4、计算不定积分53tan sec x xdx ⎰.5、计算定积分dx x x x ⎰+-20232.6、求微分方程32x y y y xe '''-+=的通解.………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………7、设函数sin 1()(1)11axx f x a x x <⎧=⎨--≥⎩，确定a 的值，使()f x 在1x =处连续.四、证明题(共7分)设)()(x g x f ，在),0[∞+内有二阶连续导数，且当0>x 时，有)()(x g x f ''>'', )0()0(,)0()0(g f g f '='=．证明当0>x 时，)()(x g x f >.五、应用题(共7分) 计算抛物线212y x =被圆 223x y +=所截下的有限部分的弧长.。
2014级高等数学第二学期期末试卷(B类)
3.
交换二次积分
1 0
dx
2 x2
x
x2
f
(x, y)dy 的积分次序，结果为
（
）
（
）
(A)
1dy y 0 1 1 y2
f (x, y)dx ；
(B)
1dy y
0
1 1 y2
f (x, y)dx ；
(C)
1 0
dy
1 y
1 y2
f (x, y)dx ；
(D)
1dy 0
2 y y2 y2
f (x, y)dx 。
n1
(2)
若级数 xn
n1
收敛，且级数
an
n1 xn
收敛，请猜测级数 an 是否收敛，
n1
并证明（或说明）你的猜测结论。
第2页
2014 级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类) （多元微分学部分试题）
1.
设
f
(x,
y)
2x2 y4 x2 y2
，则 lim x0
f (x, y)
y0
（A） 等于 0 ； （B）等于1； （C）等于 2 ；
2014 级高等数学第二学期期末试卷(B 类)
注 1：下面划去部分试题内容，不是 15 级(本次)期末考试范围。 注 2：后面增加的试题是本次期中考试范围内容。 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 设向量 a, b 满足| a b || a b |，则必有
（
）
(A) a 0 ； (B) b 0 ； (C) a b 0 ； (D) a b 0 .
n1
n1
n1
（A） 0 ；
（B）1；
高数AB半期考试参考答案及评分细则
参考答案及评分细则西南科技大学2007—2008学年第2学期《 高等数学A[2]、B[2] 》半期考试试卷说明：本试卷共三大题，其中第一、二大题为学习高等数学A[2]和B[2]的同学的必作题，第三大题为学习高等数学A[2]的同学的选作题。
一、填空题与选择题（每小题4分，共40分）1、 6 。
2、 （0，-2，4） 。
3、022=+'-''y y y 。
4、)(cos c x x y +=。
5、 充分 。
6、4π。
7、C 。
8、A 。
9、D 。
10、B 。
二、解答下列各题（共60分）1、（8分）解：原式=)11)((22222200lim +++→→y x y x y x y x ————— 4分=0。
————— 4分2、（8分）证明：)()(u F xy u F y x z '-+=∂∂ ————— 3分 )(u F x yz '+=∂∂ ————— 3分 则有 xy z y z y x z x+=∂∂+∂∂ ————— 2分3、（8分）解：令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x y x x 得驻点 ,1,21⎪⎭⎫ ⎝⎛- —————2分 而 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++=x yy x xy x xx e y x f y e y x f y y x e y x f 22222),()22(2),()2422(2),( 则在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处，,04,2,0,0222>=-==>=e B AC e c B e A————— 4分则有极小值 .2)1,(21e f =- ————— 2分 4、（8分）解： 2214f x f x yz '+'=∂∂ ————— 4分 2z x y∂∂∂2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'= ————— 4分 5、（10分）证明：函数z =(0,0)处有 ,0)0,0()0,0(==y x f f则 y x y f x f z y x ∆∆=∆+∆-∆])0,0()0,0([ ————— 4分 而 22y x yx ∆+∆∆∆ 当 ),(y x ∆∆ 沿y=x 趋于（0，0）时极限不为0，————— 4分则函数在（0，0）不可微分。
河科大高数B1试卷13,14(1)
2013至2014学年第一学期试卷（高等数学B1） 填空题和单项选择题答题区一．填空题(每题3分，共30分)1. _________2.3.________4. _______5._________6. _________7. _________8. _________9._________ 10._________二．单项选择题（每题3分，共15分）1._________2. _________3. _________4. _________5. _________※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※一、填空题(每题3分，共30分). 1. nn n arctan lim +∞→= . 2. 设2 0 () 0x e x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在0x =处连续,则b =____. 3. 若()02f x '=，则()()000lim h f x f x h h→--=______. 4. 设函数cos()x y e -=, 则()0y '=________.5. 曲线2(sin )2(sin )x t t y t t =-⎧⎨=+⎩上相应于2t π=点处的切线斜率是_______. 6. 设某产品的需求函数为()122P Q f P ==-，则6P =时的需求弹性为____. 7. 曲线3y x =的拐点为_______.8.210x d e dx dx =⎰_____. 9. 20sin x dx π=⎰_____.10. 反常积分1201dx x ⎰的敛散性是 （收敛或发散）. 二、单项选择题（每题3分，共15分）.1. 当0x →时,下列变量中与x 为等价无穷小量的是（ ）（A ）2sin x （B ）()ln 12x + （C ）sin x x （D ）2x x + 2. 设()1x e f x x-=，则0x =是()f x 的 ( ) （A ）连续点 （B ）可去间断点（C ）跳跃间断点 （D ）无穷间断点3. 设()(),0,0a x b f x f x '''<<<<，则在区间(,)a b 内函数()y f x =的图形（ ）（A ）沿x 轴正向下降且为凹的（B ）沿x 轴正向下降且为凸的（C ）沿x 轴正向上升且为凹的（D ）沿x 轴正向上升且为凸的4. 若()()F x f x '=，则()dF x =⎰（ ）（A ）()f x （B ）()F x （C ）()f x c + （D ）()F x c + 5. 120x e dx ⎰与2120x e dx ⎰相比，有关系式 ( ) （A)2112200x x e dx e dx >⎰⎰ （B) 2112200x x e dx e dx <⎰⎰ （C) 2112200x x e dx e dx =⎰⎰ （D) 两个积分值不能比较三、求解下列各题（每题5分，共20分）1. 求极限21lim 1x x →-2. 求极限x x x 20lim +→. 3. 设02cos t x y e tdt =⎰，求y ''.4. 求由方程sin cos x y y x x +=所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx . 四、求下列积分(每题5分，共20分)1. sin x e xdx ⎰.2.⎰. 3.21(ln )ex dx x ⎰. 4. 21dx x⎰. 五. (8分) 求由曲线2=xy 与2=x ，4=x 及0=y 所围图形的面积S 以及该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积x V .六. (7分) 某厂生产某种商品x 单位时,总成本为()5200C x x =+,收益为2()100.01R x x x =-,问应生产多少单位时,才能使利润最大？2014至2015学年第一学期试卷（高等数学B1） 填空题和单项选择题答题区一．填空题(每题3分，共30分)1. _________2.3.________4. _______5._________6. _________7. _________8. _________9._________ 10._________二．单项选择题（每题3分，共15分）1._________2. _________3. _________4. _________5. _________※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※一、 填空题(每题3分，共30分).1. 已知3231lim 121x ax x x →∞++=-，则a =________. 2. 设0()1sin 0a x f x x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续,则a =____.3. 设函数sin x y e =，则y 在2x π=时的边际函数值为______.4. d ________sin 2xdx =.5. 已知2311x t y t⎧=+⎨=+⎩，则dy dx =______________. 6. 4y x x =+的凹区间为 . 7.()()f x dx '=⎰___________. 8.121sin x xdx -=⎰_____. 9. 302x dx -=⎰_____. 10. 200cos lim x x tdt x →=⎰_____.二、单项选择题（每题3分，共15分）.1．设21cos ,2x x αβ=-=，则当→x 0时（ ）（A ）α与β是同阶的无穷小 （B ）α是β的高阶无穷小（C ）α与β是等价的无穷小 （D ）α是β的低阶无穷小2. 设()222x x f x xx ≤⎧=⎨≥⎩，则2x =是()f x 的 ( ) （A ）连续点（B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点（D ）无穷间断点 3. 1y x =-在1x =处 ( )A ）连续且可导B ）连续但不可导C ）不连续且不可导D ）不连续但可导4. 若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 有一个原函数为（ ）（A ）cos x x + （B ）cos x x - （C ）sin x x + （D ）sin x x -5. 根据定积分的几何意义，下列各式中正确的是 ( )（A) 0202cos cos xdx xdx ππ-<⎰⎰ （B) 32222cos cos xdx xdx ππππ-=⎰⎰ （C) 0sin 0xdx π=⎰ （D) 20sin 0xdx π=⎰三、求解下列各题（每题5分，共40分）1. 求极限3x →.2. 求极限2120lim x x e x →. 3. 设32xy x e =，求y ''.4. 设函数()y y x =由方程22ln 1x xy -=所确定,，求y '.5. 求不定积分22311x dx x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭⎰. 6. 求不定积分⎰. 7. 求定积分1⎰.8. 求定积分10⎰.四. 应用题（共15分）1. (8分) 求由曲线2x y =与直线x y =所围平面图形的面积S 以及该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .2. (7分) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，()275Q Q P P ==-,问P 为何值时，总收益最大？。
高等数学b1期末考试试题和答案
高等数学b1期末考试试题和答案高等数学B1期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。
A. 2x+2B. 2x+1C. 2xD. 2x-12. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x-1)的值是（）。
A. -1B. 1C. 0D. 23. 函数y=e^x的不定积分是（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. xe^x + CD. xe^x - C4. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=1处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 25. 函数y=ln(x)的二阶导数是（）。
A. 1/x^2B. 1/xC. -1/xD. -1/x^26. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 37. 函数y=x^3-3x^2+2x+1的极值点是（）。
A. x=1B. x=2C. x=-1D. x=08. 函数y=x^2-4x+4的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 4D. 89. 函数y=x^2+2x+1的值域是（）。
A. (-∞, +∞)B. [0, +∞)C. (-1, +∞)D. [1, +∞)10. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=2处的切线方程是（）。
A. y=x-1B. y=2x-1C. y=3x-2D. y=4x-3二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y=x^3的导数是_________。
12. 极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+1)的值是_________。
13. 函数y=e^x的二阶导数是_________。
14. 曲线y=x^2-4x+4在x=2处的切线斜率是_________。
15. 函数y=ln(x)的值域是_________。
三、计算题（每题10分，共40分）16. 求函数y=x^2-4x+4的极值点。
17. 求函数y=x^3-3x^2+2x+1的不定积分。
14级期末考试数学试题(1).doc
罗平职校2015年秋季学期期末考试考试科目：14级专业班数学 _____________考试班级：14春专业班_________________________姓名___________ 班级 _______________ 考场________ 座位号_______一、选择题(共18题，每题3分，共54分)1、下面各数列中，是等比数列的是( )A、0, 2, 4, 8 B> 1,3,9,27 C、12,9,6,3 D、1, 3, 7, 92、数列｛aj的通项公式是色=2n,则遍= ( )A、8；B、16；C、10D、123、数列一1, 1, —1, 1,…的是％= ( )A、1；B、-1；C、0D、24、已知数列｛色｝的通项公式是a” =2斤-5 ,那么a2n= ( )A、2n-5B、4n-5C、2n-10D、4n-105、在等比数列｛色｝中，已知勺=2,°5=6,则逐= ( )A、10B、12C、18D、246、数列-3,3,-3,3,…的一个通项公式是( )A、a n=3(-1)n+1B、a n=3(-1)nC、a n =3-(-1 )n D> a n =3+(-1 )n7、｛给｝是首项di = l,公差为d=3的等差数列,如果為=2005,则序号n等于( )A、667 B> 668 C、669 D、6708、在等差数歹！|⑷中，已知/+禺二16,则日2+日io二A、12B、16C、20 I)、249、下列物理量不是向量的是( )A、速度B、质量C、力D、位移T10＞将向量a ,b的起点放在一起，则从Q的终点到b的终点的向量是( ) T T —> T -> -> —>A、a + bB、a — bC、b-一aD、011、已知A( -3 , 4),B(5,7),则AB =( )A、(-8,- 3)B、( 8 , 3 )C、(-8, 3 ) D> ( 8,- 3)12、已知〃、E、F分别是△昇％的边％、刃、肋的中点，且花二,CA^b ,乔说，则下列各式：①而七一班②莎“ +打③乔二一臨2 2 2 2+爲④丽+莎+不丸其中正确的等式的个数为（）2A. 1B. 2 »C.3D. 413、设0是正六边形ABCDEF的中心，则品量0B相等的向量（）A、1个B、2个C、3个D、4个14、已知a=（3,l） b=（-2,5）,则3a・2b二（）A、（13, -7）B、（5, -7）C、（5, 13）D、（13, 13）15、-401是等差数列一5,-9,-13,…的第（）项（）A、9916、已知a(3,-2)B> 98b(-3, -4),则a・b=C、100D、97()A、0B、1C、D、217、已知°心,3）与厶（2,-1）共线，贝!lx=()A、2B、--C、6D、・62 218、已知lal=5, lbl=6, <a*b>=60°,则a •b=()A、15B、15V2C、15^3D、10二、填空题（每空1分，共10分）1、数列2, 4, 6,…的通项公式是________________________ ；2、等比数列2, 4, 8,…的公比是________________________ ；3、在等差数列仏｝中,（1 ）已知①=2,d =3,n = 10,求_____（2）已知⑷=3,a n = 21,J = 2,求n =4、已知%=二，则心= ___________n + 15、若向量a的起点坐标为（3, 1），终点坐标为（一3, —1：坐标为：________ .6、在数列a｝中，若吗=1，a n+]= % + 2（n > 1）,则该数列的通项①7、按规律填数：1, 2, 4, 7, _________ , 16.8、等差数列⑷｝屮已知①=6,d =3,则①=_____ ・9、数列丄，-丄，1, -丄，…的一个通项公式是2 4 8 16三、判断题（每小题2分，共10分）1.常数列2, 2, 2,…，2是等差数列，不是等比数列。
西南科技大学高等数学期中考试(含答案)经管
西南科技大学2012-2013学年第1学期半期考试试卷《高等数学B1》（经管类）参考答案及评分细则一、填空题(每题4分，共16分)1．设2lim()3x x x x a →∞+=-, 则a =____3ln -2__________。
2．设),2013()2)(1()(---=x x x x f Λ求)2013(f '=_____2012!______。
3．[]0()(0)sin 2lim 4,(0)tan x f x f xf x x →-'=设 则等于_____2______。
4．设x y xe =，则弹性函数EyEx = 1+x 。
二、选择题 (每题4分，共16分)1．下列说法正确的是（ C ）A ．无界量是无穷大量；B ．若()f x 在点0x 处连续，则在此点可导；C ．若数列{}n a 无界，则数列{}n a 发散；D ．开区间),(b a 上的连续函数有最大值。
2. 设2()lim 1nxn n xx x e f x e →∞+=+，则的是函数)(0x f x =（ B ）A ．连续点； B. 可去间断点； C. 跳跃间断点； D. 无穷间断点。
3．1()()lim 21x f x f x x →=-设 为可导函数且满足，()y f x =则曲线在点(1(1))f ，处的切线斜率为( B )A ．1 ； B. 2； C. 3； D. 4。
4．设)(x f 可导且2)(0-='x f ，则0→∆x 时，()f x 在0x 处的微分dy 与x ∆比较是( C)A ．高阶无穷小； B.低阶无穷小； C. 同阶无穷小； D. 等价无穷小。
三、解答题 (每题8分，共56分)1．计算极限30lim x x →。
解：30lim x x →=0x →2分） =30tan (1cos )lim 2x x x x →-=2302lim 2x x x x →（4分）=14（2分）2．计算极限011lim()1x x x e →--。
《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷B)及参考答案
《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷B ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设111e()23ex xf x +=+，则0x =是()f x 的 A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点2．设函数()f x 在区间(,)a b 内连续，则在区间(,)a b 内 A ．()f x 必有界 B ．()f x 必存在反函数C ．()f x 必存在原函数D ．必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=3．π1lim tan 4n n n →∞+的值为A ．eB ．1C ．2e4．若sin ,0()1,0xx f x xx ≠= = ，则(0)f ′ A ．等于0 B ．等于1 C ．等于1− D ．不存在5．曲线2(sin )2(1cos )x t t y t =− =−在π2t =处的切线方程为A ．πx y +=B ．π4x y −=−C ．πx y −=D ．π4x y +=−6．设()f x 是在点00x =的某个邻域(0,)(0)N δδ>内的连续函数，0()()d xΦx f t t =∫，(0,)x N δ∈，且3()lim0x f x A x →=>，则 A ．(0)Φ是()Φx 的极小值B ．(0)Φ是()Φx 的极大值C ．(0)Φ一定不是()Φx 的极值D ．不能断定(0)Φ是否为()Φx 的极值7．设π(1,2,,)i i x i n n ==，n 为正整数，则11lim cos n i n i x n →∞==∑ A ．1cos d x x ∫B ．1cos(π)d x x ∫C ．π1cos d πx x ∫ D ．π1cos(π)d πx x ∫8．已知π42π22sin cos d 1xM x x x−=+∫，π342π2(sin cos )d N x x x −=+∫，π2342π2(sin cos )d Px x x x −=−∫，则有A ．N P M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．P M N <<9．双纽线22222()x y x y +=−所围成区域面积可表示为 A ．π402cos 2d θθ∫B ．π404cos 2d θθ∫ C ．2θD ．π2401(cos 2)d 2θθ∫10．微分方程24e x y y x ′′−=+的特解形式为 A ．2e x a bx c ++ B ．22e x ax bx c ++ C ．22e x ax bx cx ++ D ．2e x ax bx c ++二、填空题（每题4分，共24分）1．2sin()d lime cos xx x x t tx→−=−∫___________．2．设()f u 可导，2()y f x =在01x =−处取得增量0.05x ∆=时，函数增量y ∆的线性部分为0.15，则(1)f ′=___________．3．设函数()f x 在[1,)+∞上连续，若广义积分1()d f x x +∞∫收敛，且满足24111()()d 2f x f x x x x +∞=−∫，则()f x =___________．4．设(0,0)y x x y x y =>>，则1d d x y x==___________．5．x =___________．6．曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22x y xy y ′+=满足初始条件(1)1y =的特解．2．求函数2()(2)e d x t f x t t −=−∫的最大值与最小值．3．计算下列积分．（1）求定积分10x x ∫．（2）求定积分0∫，其中0a >．4．设曲线y =，过原点作切线，求此曲线、切线及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积．5．证明：当01x <<时，21e 1x xx−−<+．6．设()f x 在区间[,]a b 上二阶连续可导，证明：存在(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+∫．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷B ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设111e()23ex xf x +=+，则0x =是()f x 的 A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点答案 B解析 令1t x=，因为 11001e 1e 1lim ()lim lim 23e 223e txt t x x x f x −−→−∞→→++===++，11001e 1e 1lim ()lim lim 23e 323e t xt t x x xf x ++→+∞→→++===++， 则0lim ()lim ()x x f x f x −+→→≠，所以0x =是()f x 的跳跃间断点，故选B 项． 2．设函数()f x 在区间(,)a b 内连续，则在区间(,)a b 内A ．()f x 必有界B ．()f x 必存在反函数C ．()f x 必存在原函数D ．必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=答案 C解析 连续函数在闭区间有界，开区间无法保证有界，故A 错误；单调的连续函数存在反函数，故B 错误；零点定理需要函数在端点处函数值异号，故D 错误；连续函数必存在原函数，故本题选C ．3．π1lim tan 4n n n →∞+的值为A ．eB ．1C ．2e答案 D 解析 因为111tan 2tan lim ln lim ln 1π111ln tan 1tan 1tan 4π1lim tan lim e e e4n n n n n n n nn n n n n n →∞→∞+++−−→∞→∞+=== ，而00112tan 2tan 2tan 2lim ln 1lim lim lim 211(1tan )(1tan )1tan 1tan n n t t n t t n n n t t t t n n ++→∞→∞→→+==== −− −−， 所以2π1lim tan e 4n n n →∞ +=， 故选D 项．4．若sin ,0()1,0xx f x xx ≠= = ，则(0)f ′ A ．等于0 B ．等于1 C ．等于1− D ．不存在答案 A解析 因为200000sin 1()(0)sin cos 1sin lim limlim lim lim 0022x x x x x xf x f x x x x x x x x x →→→→→−−−−−=====−， 故选A 项．5．曲线2(sin )2(1cos )x t t y t =−=−在π2t =处的切线方程为 A ．πx y += B ．π4x y −=− C ．πx y −= D ．π4x y +=−答案 B 解析 当π2t =时，有π22x y =− =，故πππ222d ()22cos 1d ()2sin t t t y y t tx x t t ===′−===′， 由点斜式可得切线方程为2(π2)y x −=−−，整理得本题选B ．6．设()f x 是在点00x =的某个邻域(0,)(0)N δδ>内的连续函数，0()()d xΦx f t t =∫，(0,)x N δ∈，且3()lim0x f x A x →=>，则 A ．(0)Φ是()Φx 的极小值 B ．(0)Φ是()Φx 的极大值C ．(0)Φ一定不是()Φx 的极值D ．不能断定(0)Φ是否为()Φx 的极值答案 A解析 由条件可得4300()1()1limlim 044x x Φx f x A x x →→==>，所以在点00x =的某个邻域内都有()0(0)Φx Φ>=，所以(0)Φ是()Φx 的极小值，应选A 项．7．设π(1,2,,)ii x i n n== ，n 为正整数，则11lim cos n i n i x n →∞==∑ A ．1cos d x x ∫B ．1cos(π)d x x ∫C ．π01cos d πx x ∫ D ．π01cos(π)d πx x ∫ 答案 C解析 由定积分的定义可知π01111π0π1lim cos lim cos cos d ππn n i n n i i i x x x n n n →∞→∞==−==∑∑∫，故选C 项． 8．已知π42π22sin cos d 1xM x x x−=+∫，π342π2(sin cos )d N x x x −=+∫，π2342π2(sin cos )d Px x x x −=−∫，则有A ．N P M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．P M N <<答案 D解析 由“偶倍奇零”可知π42π22sin cos d 01x Mx x x −==+∫，ππ34422ππ22(sin cos )d cos d 0N x x x x x −−=+=>∫∫，ππ234422ππ22(sin cos )d cos d 0P x x x x x x −−=−=−<∫∫，故P M N <<，应选D 项．9．双纽线22222()x y x y +=−所围成区域面积可表示为 A ．π402cos 2d θθ∫B ．π404cos 2d θθ∫ C ．2θD ．π2401(cos 2)d 2θθ∫答案 A解析 双纽线22222()x y x y +=−的极坐标形式为2cos 2r θ=，再根据对称性，有ππ2440014d 2cos 2d 2A r θθθ=×=∫∫，故选A 项．10．微分方程24e x y y x ′′−=+的特解形式为A ．2e x a bx c ++B ．22e x ax bx c ++C ．22e x ax bx cx ++D ．2e x ax bx c ++答案 D解析 题设微分方程是一个二阶非齐次线性微分方程，其所对应的齐次线性微分方程40y y ′′−=的特征方程为240λ−=，特征根为1,22λ=±．又因为24e x y y ′′−=的特解形式为21e x y ax =，4y y x ′′−=的特解形式为2y bx c =+，故原方程特解形式为2e x ax bx c ++，应选D 项．二、填空题（每题4分，共24分）1．2sin()d lime cos xx x x t tx→−=−∫___________．答案13解析 令x t u −=，则当0x →时，021sin()d sin d sin d 1cos 2xxxx t t u u u u x x −=−==−∼∫∫∫， 又由泰勒公式可知222e 1()x x o x =++，2222cos 1()1()2!2x x x o x o x =−+=−+， 故22222223e cos [1()]1()()22x x x x o x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知223e cos ~2x x x −，因此2sin()d 1lim3e cos xx x x t tx→−=−∫． 2．设()f u 可导，2()y f x =在01x =−处取得增量0.05x ∆=时，函数增量y ∆的线性部分为0.15，则(1)f ′=___________．答案 32−解析 由2d 2()y xf x x ′=∆得 1d 2(1)0.050.1(1)x yf f =−′′=−×=−，因为y ∆的线性部分为d y ，由0.1(1)0.15f ′−=得3(1)2f ′=−．3．设函数()f x 在[1,)+∞上连续，若广义积分1()d f x x +∞∫收敛，且满足24111()()d 2f x f x x x x +∞=−∫，则()f x =___________．答案24137x x− 解析 令1()d f x x A +∞=∫，由条件得241111d d 1226A AA x x x x +∞+∞=−=−∫∫， 解得67A =，所以 2413()7f x x x =−． 4．设(0,0)y x x y x y =>>，则1d d x y x==___________．答案 1解析 由条件得ln ln y x x y =，两边对x 求导可得d d ln ln d d y y x y x y x x y x+=+⋅， 解得ln d d ln yyy xx x xy−=−， 当1x =时易得1y =，故1d 1d x y x==．5．x =___________．答案 2C +解析222x C +∫． 6．曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为___________． 答案 24y x =−解析 因为545241lim lim 2x x y x x kx x x →∞→∞−+==+，544241lim(2)lim 241x x x x b y x x x →∞→∞ −+=−=−=− +， 所以曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为24y x =−．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22x y xy y ′+=满足初始条件(1)1y =的特解． 解 由22x y xy y ′+=可得2d d y y yx x x=− ， 令yu x=，原方程可化为 2d d u xu u x=−， 两边积分得121ln ln ||ln 22u x C u −=+， 即得22u Cx u−=， 代入(1)1y =得1C =−．故原方程的特解为221xy x =+． 2．求函数2()(2)e d x t f x t t −=−∫的最大值与最小值．解 易知函数()f x 为偶函数，所以我们只需考虑()f x 在[0,)+∞内的最大最小值即可．令22()2(2)e 0x f x x x −′=−=可得()f x 的唯一驻点x =x ∈时，()0f x ′>；当)x ∈+∞时，()0f x ′<．考虑到驻点的唯一性，可知x =与x =均为函数()f x 的最大值点，最大值为(f f ==211e +． 注意到0lim ()(2)e d 1t x f x t t +∞−→∞=−=∫及(0)0f =，所以函数()f x 的最小值为(0)0f =．3．计算下列积分．（1）求定积分10x x ∫．解 令ππsin 22x t t =−<< ，当0x =时，0t =；当1x =时，π2t =．则ππ1222222000sin cos d sin (1sin )d xxt t tt t t =−∫∫∫ππ242201π31ππsin d sin d 2242216t t t t =−=⋅−⋅⋅=∫∫． 注 这里用到了华里士公式ππ2201321,123sin d cos d 131π,222n n n n n n n n I x x x x n n n n n −− ×××× −=== −− ×××× −∫∫ 为大于的奇数为正偶数． （2）求定积分0∫，其中0a >．解 方法一 令ππsin 22x a t t =−<< ，当0x =时，0t =；当x a =时，π2t =．则ππ2200cos 1(sin cos )(cos sin )d d sin cos 2sin cos a t t t t t t t a t a t t t++−=++∫∫∫ πππ2220001cos sin 11d(sin cos )1d 1d 2sin cos 22sin cos t t t t t t t t t t−+ =+=+++ ∫∫∫ π20π1π[ln |sin cos |]424t t =++=． 方法二 令ππsin 22x a t t =−<< ，则π20cos d sin cos tt t t=+∫∫，又令π2tu =−，则有 ππ2200cos sin d d sin cos sin cos t ut t t tu u =++∫∫，所以πππ2220001sin cos 1πd d 1d 2sin cos sin cos 24t t t t t t t t t =+== ++∫∫∫∫． 小结 被积函数中含有根式的，尽量去掉根式，去根式的方法一般是根式代换或三角代换法．4．设曲线y=，过原点作切线，求此曲线、切线及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积．解 设切点为(a ，则过原点的切线方程为y =，将(a 代入切线方程得2a =1=，故切线方程为12y x =．由曲线y =[1,2]上的一段绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积为21111π2πd 2ππ1)6S y s x x ==−∫∫∫． 切线12y x =在曲线[0,2]上的一段绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积为222002πd πS y s x ===∫∫．故所求旋转曲面的表面积为12π1)6S S S =+=． 5．证明：当01x <<时，21e 1x x x−−<+． 证 令 ()ln(1)ln(1)2f x x x x +−−−，则(0)0f =，且22112()20(01)111x f x x x x x ′=+−=><<+−−， 由(0)0()0f f x = ′>可得，当01x <<时，()0f x >，化简整理得 21e 1x x x−−<+． 6．设()f x 在区间[,]a b 上二阶连续可导，证明：存在(,)a b ξ∈使得 3()()d ()()224b a a b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+∫． 证 令()()d x a F x f t t =∫，则()F x 在区间[,]a b 上三阶连续可导，取2a b c +=，由泰勒公式可得 231()()()()()()()()26F F c F a F c F c a c a c a c ξ′′′′′′=+−+−+−，1(,)a c ξ∈， 232()()()()()()()()26F F c F b F c F c b c b c b c ξ′′′′′′=+−+−+−，2(,)c b ξ∈， 两式相减可得321()()()()()[()()]48b c F b F a F c b a F F ξξ−′′′′′′′−=−++， 即321()()d ()[()()]248b a a b b c f x x b a f f f ξξ+− ′′′′=−++ ∫， 因为()f x ′′在区间[,]a b 上连续，所以存在12[,](,)a b ξξξ∈⊂，使得211()[()()]2f f f ξξξ′′′′′′=+， 所以 3()()d ()()224b a a b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+ ∫．。
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西南科技大学本科期末考试试卷
+++
1cos
⎰、
1
Cπ+
4
、11,0
()0,0
x f x x
x +≠=⎪=⎩，在0x =处( ) . A 、不连续 B 、可导 C 、连续 D 、可微
5、设）x f (在),(+∞-∞内可导，且对任意21,x x ，当21x x >时，都有)()(21x f x f > ，则( ) . A 、对任意x ，0)('>x f B 、对任意x ，0)('≤x f C 、函数）x f -(单调增加 D 、函数）x f -(-单调增加 三、解答题(每小题8分，共56分) 1
、求极限0x →
2、设(),()()x f t y tf t f t ''==-,且()f t 的二阶导数存在,求dy dx ,22d y
dx
.
3、试确定,,a b c 的值，使32y x ax bx c =+++在点)1,1(-处有拐点，且在0x =处有极大值为1，
并求此函数的极小值.
4、计算不定积分ln ln x
dx x
⎰.
5、计算定积分
1||1
x x xe dx -⎰
.
6、若连续函数()f x 满足关系式30
()()23
x t
f x f dt =+⎰，求()f x 的表达式.
………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………
7
、设函数2cos 10
1()0
x x x f x x x -⎧≥⎪+⎪
=⎪<⎪⎩
，求a 的值，使()f x 在0x =处连续.
四、证明题(共7分) 证明不等式⎰
⎰+>+1
010
1)1ln(dx x
x
dx x .
五、应用题(共7分)
设曲线C ：333x y xy +=，求过C 上一点33
(,)22
的切线方程，并证明曲线C 在该点的法线通过
原点.。