第2讲 动能定理及其应用

限时规范训练[基础巩固题组]1．(2018·天津卷)滑雪运动深受人民群众喜爱．某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB ，从滑道的A 点滑行到最低点B 的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB 下滑过程中( )A ．所受合外力始终为零B ．所受摩擦力大小不变C ．合外力做功一定为零D ．机械能始终保持不变解析：选C ．运动员做的是匀速圆周运动，具有向心加速度，所以其所受的合外力不为零，A 错误；运动员在匀速下滑的过程中，所受的摩擦力始终与重力沿滑道切线方向的分力大小相等，由于该分力大小一直在改变，所以摩擦力大小也一直在改变，B 错误；运动员的动能没有改变，根据动能定理，合外力做功为零，C 正确；整个过程中存在摩擦力做功，所以机械能不守恒，D 错误．2．如图所示，已知物体与三块材料不同的地毯间的动摩擦因数分别为μ、2μ和3μ，三块材料不同的地毯长度均为l ，并排铺在水平地面上，该物体以一定的初速度v 0从a 点滑上第一块，则物体恰好滑到第三块的末尾d 点停下来，物体在运动中地毯保持静止，若让物体从d 点以相同的初速度水平向左运动，则物体运动到某一点时的速度大小与该物体向右运动到该位置的速度大小相等，则这一点是( )A ．a 点B ．b 点C ．c 点D ．d 点解析：选C ．对物体从a 运动到c ，由动能定理，－μmgl －2μmgl ＝12m v 21－12m v 20，对物体从d 运动到c ，由动能定理，－3μmgl ＝12m v 22－12m v 20，解得v 2＝v 1，选项C 正确． 3．(2018·江苏卷)从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面．忽略空气阻力，该过程中小球的动能E k 与时间t 的关系图象是( )解析：选A ．竖直上抛运动的速度v 与时间t 的关系为v ＝v 0－gt ，由于E k ＝12m v 2＝12m (v 0－gt )2，故E k ­t 图象应是A ．4．打桩机是利用冲击力将桩贯入地层的桩工机械．某同学对打桩机的工作原理产生了兴趣．他构建了一个打桩机的简易模型，如图甲所示．他设想，用恒定大小的拉力F 拉动绳端B ，使物体从A 点(与钉子接触处)由静止开始运动，上升一段高度后撤去F ，物体运动到最高点后自由下落并撞击钉子，将钉子打入一定深度．按此模型分析，若物体质量m ＝1 kg ，上升了1 m 高度时撤去拉力，撤去拉力前物体的动能E k 与上升高度h 的关系图象如图乙所示．(g 取10 m/s 2，不计空气阻力)(1)求物体上升到0.4 m 高度处F 的瞬时功率；(2)若物体撞击钉子后瞬间弹起，且使其不再落下，钉子获得20 J 的动能向下运动．钉子总长为10 cm.撞击前插入部分可以忽略，不计钉子重力．已知钉子在插入过程中所受阻力F f 与深度x 的关系图象如图丙所示，求钉子能够插入的最大深度．解析：(1)撤去F 前，根据动能定理，有 (F －mg )h ＝E k －0由题图乙得，斜率为k ＝F －mg ＝20 N ，得F ＝30 N 又由题图乙得，h ＝0.4 m 时，E k ＝8 J 则v ＝4 m/s ，P ＝F v ＝120 W.(2)碰撞后，对钉子，有－F －f x ′＝0－E k ′已知E k ′＝20 J ，F －f ＝k ′x ′2又由题图丙得k ′＝105 N/m ，解得：x ′＝0.02 m. 答案：(1)120 W (2)0.02 m5.如图所示，光滑的轨道ABO 的AB 部分与水平部分BO 相切，轨道右侧是一个半径为R 的四分之一的圆弧轨道，O 点为圆心，C 为圆弧上的一点，OC 与水平方向的夹角为37°.现将一质量为m 的小球从轨道AB 上某点由静止释放．已知重力加速度为g ，不计空气阻力.⎝⎛⎭⎫sin 37°＝35，cos 37°＝45(1)若小球恰能击中C 点，求刚释放小球的位置距离BO 平面的高度； (2)改变释放点的位置，求小球落到轨道时动能的最小值．解析：(1)设小球经过O 点的速度为v 0，从O 点到C 点做平抛运动，则有 R cos 37°＝v 0t ，R sin 37°＝12gt 2从A 点到O 点，由动能定理得mgh ＝12m v 20联立可得，刚释放小球的位置距离BO 平面的高度h ＝415R .(2)设小球落到轨道上的点与O 点的连线与水平方向的夹角为θ，小球做平抛运动， R cos θ＝v 0′t ′ R sin θ＝12gt ′2对此过程，由动能定理得mgR sin θ＝E k －12m v 0′2解得E k ＝mgR ⎝⎛⎭⎫34sin θ＋14sin θ 当sin θ＝33时，小球落到轨道时的动能最小，最小值为E k ＝32mgR . 答案：(1)4R 15 (2)3mgR2[能力提升题组]6．一个质量为m 的物体静止放在光滑水平面上，在互成60°角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v ，在力的方向上获得的速度分别为v 1、v 2，如图所示，那么在这段时间内，其中一个力做的功为( )A ．16m v 2B ．14m v 2C ．13m v 2D ．12m v 2解析：选B ．在合力F 的方向上，由动能定理得W ＝Fl ＝12m v 2，某个分力的功为W 1＝12W ＝14m v 2，B 正确． 7．(多选)如图所示，某人通过光滑滑轮将质量为m 的物体，沿光滑斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面．物体上升的高度为h ，到达斜面顶端的速度为v ，则在此过程中( )A ．物体所受的合力做功为mgh ＋12m v 2B ．物体所受的合力做功为12m v 2C ．人对物体做的功为mghD ．人对物体做的功大于mgh解析：选BD ．对物体应用动能定理可得W 合＝W 人－mgh ＝12m v 2，故W 人＝mgh ＋12m v 2，B 、D 选项正确．8．质量为m 的小球在竖直向上的拉力作用下从静止开始运动，其v -t 图象如图所示(竖直向上为正方向，DE 段为直线)．已知重力加速度大小为g ，下列说法正确的是( )A ．t 3～t 4时间内，小球竖直向下做匀减速直线运动B ．t 0～t 2时间内，合力对小球先做正功后做负功C ．0～t 2时间内，小球的平均速度一定为v 22D ．t 3～t 4时间内，拉力做的功为m v 3＋v 42[(v 4－v 3)＋g (t 4－t 3)]解析：选D ．根据题意，竖直向上为正方向，故在t 3～t 4时间内，小球竖直向上做匀减速直线运动，故选项A 错误；t 0～t 2时间内，小球速度一直增大，根据动能定理可知，合力对小球一直做正功，故选项B 错误；0～t 2时间内，小球的平均速度等于位移与时间的比值，不一定为v 22，故选项C 错误；根据动能定理，在t 3～t 4时间内：W F －mg v 3＋v 42·(t 4－t 3)＝12m v 24－12m v 23，整理可得：W F ＝m v 3＋v 42[(v 4－v 3)＋g (t 4－t 3)]，故选项D 正确． 9．如图所示，轻质弹簧一端固定在墙壁上的O 点，另一端自由伸长到A 点，OA 之间的水平面光滑，固定曲面在B 处与水平面平滑连接．AB 之间的距离s ＝1 m ．质量m ＝0.2 kg 的小物块开始时静置于水平面上的B 点，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.现给物块一个水平向左的初速度v 0＝5 m/s ，g 取10 m/s 2.(1)求弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能E p ； (2)求物块返回B 点时的速度大小；(3)若物块能冲上曲面的最大高度h ＝0.2 m ，求物块沿曲面上滑过程所产生的热量． 解析：(1)对小物块从B 点至压缩弹簧最短的过程，由动能定理得， －μmgs －W 克弹＝0－12m v 20W 克弹＝E p代入数据解得E p ＝1.7 J.(2)对小物块从B 点开始运动至返回B 点的过程，由动能定理得， －μmg ·2s ＝12m v 2B －12m v 20 代入数据解得v B ＝3 m/s. (3)对小物块沿曲面的上滑过程， 由动能定理得－W 克f －mgh ＝0－12m v 2B产生的热量Q ＝W 克f ＝0.5 J. 答案：(1)1.7 J (2)3 m/s (3)0.5 J10．如图甲所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端点在O 点位置．质量为m 的物块A (可视为质点)以初速度v 0从距O 点右方x 0的P 点处向左运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O ′点位置后，A 又被弹簧弹回．A 离开弹簧后，恰好回到P 点．物块A 与水平面间的动摩擦因数为μ.求：(1)物块A 从P 点出发又回到P 点的过程，克服摩擦力所做的功； (2)O 点和O ′点间的距离x 1；(3)如图乙所示，若将另一个与A 完全相同的物块B (可视为质点)与弹簧右端拴接，将A 放在B 右边，向左推A 、B ，使弹簧右端压缩到O ′点位置，然后从静止释放，A 、B 共同滑行一段距离后分离．分离后物块A 向右滑行的最大距离x 2是多少？解析：(1)物块A 从P 点出发又回到P 点的过程，根据动能定理得 克服摩擦力所做的功为W f ＝12m v 20.(2)物块A 从P 点出发又回到P 点的过程，根据动能定理得 －2μmg (x 1＋x 0)＝0－12m v 20解得x 1＝v 204μg －x 0.(3)A 、B 在弹簧处于原长处分离，设此时它们的共同速度是v 1，弹出过程弹力做功为W F只有物块A 时，从O ′到P 有 W F －μmg (x 1＋x 0)＝0－0 A 、B 共同从O ′到O 有 W F －2μmgx 1＝12×2m v 21 分离后对A 有12m v 21＝μmgx 2联立以上各式可得x 2＝x 0－v 208μg.答案：(1)12m v 20 (2)v 204μg －x 0 (3)x 0－v 208μg。