导数的概念及基本函数的导数
导数的基本概念与性质知识点总结
导数的基本概念与性质知识点总结导数是微积分中的一项重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在这篇文章中，我们将介绍导数的基本概念以及它的一些重要性质。
一、导数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率，可以想象成函数曲线在该点处的切线斜率。
设函数y=f(x)，在点x=a处有导数的充分必要条件是：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim表示极限。
这个定义告诉我们，导数可以通过极限的方式来求得。
二、用导数求函数的极值导数在微积分中有着重要的应用，其中一个重要的应用是求函数的极值。
一个函数在某一点的导数为零，说明在该点处函数取得极值。
具体而言，如果函数在某一点的导数为零，且在该点的导数的左右两侧的值符号不同，那么该点即为函数的极值点。
三、导数的四则运算导数具有很多运算特性，这使得我们能够更轻松地对函数进行分析。
导数的四则运算规则如下：1. 常数规则：如果c是常数，f(x)=c，则f'(x)=0。
2. 基本初等函数规则：对于基本初等函数来说，我们可以直接通过求导公式得到它们的导数。
例如，对于常数函数f(x)=c，它的导数为0；对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 和差规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的和（差）的导数等于各自函数的导数之和（差）。
即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
4. 乘积规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
5. 商法则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数再减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面将详细介绍。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量的增量。
该定义表示函数f(x)在点x处的导数是函数在极限过程中的变化率。
二、导数的基本公式1.常数函数的导数公式若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
4.对数函数的导数公式若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
三、导数的运算法则1.和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
2.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
3.乘积法则若f(x)和g(x)都可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
(一)导数的概念及运算
2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则 等于_______.
3.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是 ，则点P横坐标的取值范围为_______.
4.若点P在曲线y=x3-3x2+(3- )x+ 上移动，经过点P的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是_______.
5.（2008南通调研）给出下列的命题：①若函数 ；②若函数 图像上P(1,3)及邻近点Q(1+ 则 ；③加速度是动点位移函数 对时间t的导数；④ ，其中正确的命题是_______.
6.（2009南通调研）曲线C： 在x=0处的切线方程为_______.
7.（2009徐州调研）.已知函数f(x)= sinx+cosx，则 =.
8．（2009全国卷Ⅰ理9福建卷理）若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_____________.
10．(2009陕西卷理)设曲线 在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为 ,令 ，则 的值为.
11．设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________
（第一讲）导数的概念及运算
一、导数的概念：函数y＝ 的导数 ，就是当Δ 0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ 的比 的，即 ＝＝．
二、导函数：函数y＝ 在区间(a, b)内的导数都存在，就说 在区间( a, b )内，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做 的，记作 或 ，函数 的导函数 在 时的函数值，就是 在 处的导数.
（4） =
导数的概念及其意义、导数的运算
§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算学习目标了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y =.f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)函数y ＝f (x )的导函数 f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1， 又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案 －1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x ，则f ′(x )＝________. 答案1x －1－e 1－x题型一 导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e xC.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D.⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2 答案 AD解析 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ， 故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故C 错误；⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝⎛⎭⎫π3sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝⎛⎭⎫π3cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2π3＋12f ′⎝⎛⎭⎫π3， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝4π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4B ．cos 2x ＋sin xC ．cos 2x －sin 2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，则f (2 021)－f (0)等于( ) A ．e 2 021cos 2 021 B ．e 2 021sin 2 021 C.e2 D ．e答案 B解析 因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ， 所以f (x )＝e x sin x ＋k (k 为常数)， 所以f (2 021)－f (0)＝e 2 021sin 2 021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ， 当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2， 得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2.题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝a x ，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )， 则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)， 又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解， 令φ(x )＝e x (2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ， 又x →－∞时，φ(x )→0； x →＋∞时，φ(x )→－∞， ∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)或(－1,3) D ．(1，－3)答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)， f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(－∞，4]答案 C解析 因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tan π4＝1对于任意的x >0恒成立，即1x ＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立， 所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”． 跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析 设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝e x－2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ， 即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______． 答案 [2，＋∞)解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4， 当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 题型三 两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3 答案 D解析 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g (x )＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 解析 由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ， 由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线， 设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)， 与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +， 记f (x )＝12e2x x +， 则f ′(x )＝122e(2)4x x x+-， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e 24.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞.延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞ 解析 由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e 24，又x →0时，f (x )→＋∞， x →＋∞时，f (x )→＋∞， ∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析 设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x ＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切， 故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析 已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为 y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,xxxy x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2 B ．5 C ．1 D ．0答案 C解析 根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0， 由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ， 由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a －1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ， 可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________． 答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析 设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)， 则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ， ∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )， 切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2， g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)， 切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x －1)＝0， 解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ； 当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1， 综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln 10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x 答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln 10)′＝0，∴C 错； (e 2x )′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433 D.163答案 A解析 当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x ＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b＋c －a 的值为( ) A ．0 B ．π C ．－2 D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x ，g ′(x )＝－π2sin πx2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0，又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点，∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x －x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π. 7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0， 故A 错误，B 正确． 设A (2，f (2))，B (3，f (3))， 则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，3π4上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x 答案 ABC解析 对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4， f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数； 对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x ＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数； 对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ， f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数； 对D ，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ， f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数． 9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )＝x cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －x sin x ， f ′(π)＝cos π－π·sin π＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1.10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________.答案 2解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e xcos x －e xsin x ＝－a(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ， ∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x ，故f ′(x )＝(x 2)′2e x ＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝⎛⎭⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0， 解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 函数f (x )＝x e x －1， 则f ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 由题意可知，存在点c ∈[0,1]， 使得f ′(c )＝f (1)－f (0)1－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c－1和y ＝11＋c的图象只有一个交点，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1.14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b <a B ．e a <b C ．0<a <e b D ．0<b <e a答案 D解析 方法一 设切点(x 0，y 0)，y 0>0， 则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x (x 0－a )，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解． 设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ， 当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0， 当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a .方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线 ，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方， 得0<b <e a .15．若曲线y ＝14sin 2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin 2x ＋32cos 2x＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.不妨设在A 点处切线的斜率为1， 则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝e x ＋m ，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，2ln 2－2)解析 由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧k 1＝1e x m+＝2x 2(k 1>0)，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1(x 2－x 1)＝x 22－1ex m+，故k 1⎝⎛⎭⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1， 整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时， 有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4， 当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减， 故f (k )max ＝f (4)＝ln 4－44－1＝2ln 2－2，所以只需满足m <2ln 2－2即可．。
导数的定义和基本规则
导数的定义和基本规则1. 导数的定义导数是数学分析中的一个核心概念，主要用于研究函数在某一点处的局部性质。
具体来说，导数反映了函数在某一点处的变化率，即自变量发生微小变化时，因变量的变化量与自变量变化量的比值。
设函数f(x)在点x0处有极限，则函数f(x)在点x0处的导数定义为：f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx如果上述极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导。
2. 基本导数公式（1）常数函数的导数：对于常数c，有f(x)=c，则f′(x)=0。
（2）幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x n（n为实数），有f′(x)=nx n−1。
（3）指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a x（a为常数，a≠0），有f′(x)=a x lna。
（4）对数函数的导数：对于对数函数f(x)=log a x（a为常数，a>0，a≠1），有f′(x)=1xlna。
（5）三角函数的导数：•对于正弦函数f(x)=sinx，有f′(x)=cosx。
•对于余弦函数f(x)=cosx，有f′(x)=−sinx。
•对于正切函数f(x)=tanx，有f′(x)=sec2x。
（6）反三角函数的导数：•对于反正弦函数f(x)=arcsinx，有f′(x)=√1−x2（−1≤x≤1）。
•对于反余弦函数f(x)=arccosx，有f′(x)=√1−x2−1≤x≤1）。
•对于反正切函数f(x)=arctanx，有f′(x)=11+x2。
（7）链式法则：若函数f(x)=g(ℎ(x))，则f′(x)=g′(ℎ(x))⋅ℎ′(x)。
（8）乘积法则：若函数f(x)=g(x)⋅ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)+g(x)⋅ℎ′(x)。
（9）商法则：若函数f(x)=g(x)ℎ(x)（h(x)≠0），则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)−g(x)⋅ℎ′(x)[ℎ(x)]2。
（10）和差法则：若函数f(x)=g(x)+ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)+ℎ′(x)；若函数f(x)=g(x)−ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)−ℎ′(x)。
导数的概念及计算
导数的概念及计算一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作y ′|x =x 0 ＝f ′(x 0) ＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)值就是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).二.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.考向一 利用公式及运算法则求导【例2】求下列函数的导数2311(1)()y x x x x =++ （2） （3） ()234(21)x y x =+ (5)sin2xy e x -= 【举一反三】1．下列求导运算正确的是（ ）A ．(3x )′=x •3x−1B ．(2e x )′=2e x （其中e 为自然对数的底数）C ．(x 2+1x )′=2x +1x 2 D ．(x cosx)′=cosx−xsinx cos 2x2．求下列函数的导数： （1）y =√x 5+√x 7+√x 9√x ； （2）y =x ⋅tanx (3)y ＝x n ⋅lg x ；(4)y ＝1x +2x 2+1x 3；考向二 复合函数求导【例3】求下列函数导数（1）y ＝sin(2x ＋1) ()(2)cos2f x x x =⋅ （3）()cos ln y x =【举一反三】求下列函数的导数： （1）y =； （2）2()5log 21y x =+.（3）sin()eax b y +=；（提示：设e uy =，sin u v =，v ax b =+，x u v xy y u v ''''=⋅⋅）（4）2(πsin 2)3y x =+； 考向三 利用导数求值【例4】（1）f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ . 2．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ .3. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '= 。
大学导数知识点总结
大学导数知识点总结一、导数的概念导数是微积分中一个非常重要的概念，它是某一函数在某一点上的变化率。
在几何意义上，导数表示了曲线在某一点的切线斜率；在物理学中，导数表示了物体在某一时刻的速度和加速度。
因此，导数在数学、物理、经济等领域中都有着非常广泛的应用。
设y=f(x)，x为自变量，y为因变量。
如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，则称函数f(x)在点x=a处可导，记作f'(a)。
导数f'(a)就是函数f(x)在点x=a处的瞬间变化率，也就是函数的斜率。
导数的计算是微积分中的一个重要内容，它可以通过极限的方法来求得。
二、导数的计算方法求导数的过程即为求函数的瞬间变化率的过程，常用的方法有以下几种：1. 函数的基本求导公式：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等求导公式。
这些基本求导公式是求导的起点，通过它们可以得到更复杂函数的导数。
2. 导数的四则运算：如果函数f(x)和g(x)都在点x=a处可导，那么f(x)与g(x)的和、差、积、商函数在点x=a处的导数可分别表示为(f+g)'(a)、(f-g)'(a)、(fg)'(a)、(f/g)'(a)。
3. 复合函数求导：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，即先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
4. 隐函数求导：对于以x和y为自变量的方程，如果y不能表示为x的函数形式，则称y是x的隐函数。
对隐函数求导需要利用隐函数求导的公式。
5. 参数方程求导：对参数方程x=x(t)和y=y(t)所确定的轨迹求切线斜率时，需要计算dy/dx=y'(t)/x'(t)。
6. 反函数求导：如果函数y=f(x)在一段区间内是单调、连续、可导的，并且f'(x)≠0，则其反函数在对应区间内也是可导的，且有f^(-1)'(y)=1/f'(x)，即反函数的导数等于原函数导数的倒数。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
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1 3 同理, 曲线 y= 4 x -2 在 P 处的切线斜率 k2=3, k 2- k 1 由夹角公式 tan=| 1+k k |=1 得 = . 4 2 1 故两曲线的交点处切线的夹角为 4 .
课后练习 1
1 (x2+1), x≤1, 已知函数 f(x)= 2 判断 f(x) 在 x=1 处是否可导. 1 (x+1), x>1. 2 1 [(1+Dx)2+1]- 1 (12+1) Dy 1 Dx) =1, 2 2 =lim (1+ 解: ∵D lim =lim Dx02 x0- Dx Dx0Dx 1 (1+Dx+1)- 1 (12+1) 1 Dx Dy 2 1, 2 2 lim =lim = =lim 2 Dx0+Dx Dx0+ Dx0+ Dx Dx Dy Dy Dy ∴ Dlim lim , 从而 lim 不存在 . D x x0- Dx Dx0+Dx D x 0 ∴ f(x) 在 x=1 处不可导. 注 判定分段函数在“分界点处”的导数是否存在, 要验证 其左、右极限是否存在且相等, 如果存在且相等, 那么这点的 导数存在, 否则不存在.
(2)物理意义: 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是当物体 的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v, 即: v=s(t0). 设 v=v(t) 是速度函数, 则 v(t0)表示物体在时刻 t=t0 时的 加速度.
3.几种常见函数的导数
(1)c=0(c 为常数), (xn)=nxn-1(nQ); (2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx; 1 log e; (3)(lnx)= 1 , (log x ) = a x x a (4)(ex)=ex, (ax)=axlna.
典型例题 1
2+x+1, x≤0, x 已知函数 f(x)= (1)确定 a, b 的值, 使 f(x) 在 x=0 ax+b, x>0. 处连续、可导; (2)求曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程.
二、重点解析
导数概念比较抽象, 其定义、方法一般不太熟悉, 因此对导 数概念的理解是学习中的一个难点. 本节要重点掌握根据导数 定义求简单函数的导数的方法. 一方面, 根据导数定义求导可 进一步理解导数的概念, 另一方面, 许多法则都是由导数定义 导出的. 导函数(导数)是一个特殊的函数, 它的引出和定义始终贯穿 着函数思想, 首先定义函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 且在 x0 处有 唯一的导数 f(x0), 然后定义函数 y=f(x) 在开区间 (a, b) 内可导,
0
典型例题 4
2 与 y= 1 x3-2 的交点处切线的夹角(用弧度数 求曲线 y=2- 1 x 2 4 作答). 2 与 y= 1 x3-2联立方程组解得交点坐标为 P(2, 0). 解: 由 y=2- 1 x 2 4 1 ∵y=2- 2 x2 的导函数为 y=-x, ∴它在 P 处的切线斜率 k1=-2,
Dy f(x+Dx)-f(x) f(x)=y=lim =lim . D x 0 D x D x0 Dx 导函数也简称导数. 当 x0(a, b) 时, 函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0) 等于函数 f(x) 在开区间 (a, b)内的导数 f(x) 在点 x0 处的函 数值. 如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连 续, 但要注意连续不一定可导. 2.导数的意义 (1)几何意义: 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k, 即: k=tan=f(x0). 相 应的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).
若函数 f(x)=|x|, (1)试判断 f(x) 在 x=0 处是否可导; (2)当 x0 时, 求 f(x) 的导数. Dy |Dx| 解: (1)∵Dy=f(0+Dx)-f(0)=|Dx|, ∴ Dx = . Dx Dy Dy 当 Dx<0 时, Dx =-1, lim =-1; D x0 D x Dy Dy 当 Dx>0 时, Dx =1, lim =1, D x0 D x Dy Dy Dy ∴D lim lim , 从而 lim 不存在. x0- Dx Dx0+ Dx D x 0 D x 故函数 f(x)=|x| 在点 x=0 处不可导. (2)当 x>0 时, 可使 x+Dx>0. (x+Dx)-x |x+Dx|-|x| f(x+Dx)-f(x) =1. f(x)=lim =lim =lim D x 0 D x0 D x0 Dx Dx Dx 同理可得, 当 x<0 时, f(x)=-1. 注 函数在一点连续, 但不一定可导; 函数在一点可导, 直观 反映是函数的图象在这一点是平滑的.
课后练习 4
如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点 坐标与切线方程. 解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行, ∴切线斜率为 4.
因而对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值, 都对应着一个确定 的导数 f(x0). 据函数定义, 在开区间 (a, b) 内就构成了一个新 函数, 即导数.
三、知识要点
1.导数的概念 对于函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x0 处有增量 Dx, 那么函数 Dy y 相应的有增量 Dy=f(x0+Dx)-f(x0), 比值 Dx 叫做函数 y=f(x) 在 Dy f(x0+Dx)-f(x0) x0 到 x0+Dx 之间的平均变化率, 即 . Dx = Dx Dy 如果当 Dx0 时, 有极限, 就说函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, Dx 并把这个极限叫做 f(x) 在点 x0 处的导数(或变化率), 记作: f(x0+Dx)-f(x0) Dy =lim . f(x0) 或 y | x=x0, 即: f(x0)=lim Dx0 Dx Dx0 Dx
课后练习 2
课后练习 3
一质点作直线运动, 它所经过的路程 S(单位: m)和时间 t(单 位: s)的关系是 S=3t2+t+1. (1)求 [2, 2.01] 这段时间内质点的平 均速度; (2)当 t=2 时的瞬时速度. 解: (1)∵DS=32.012+2.01+1-(322+2+1)=0.1303. DS ∴v= Dt = 0.1303 0.01 =13.03(m/s). (2)∵DS=3(t+Dt)2+(t+Dt)+1-(3t2+t+1)=3Dt2+(1+6t)Dt, DS 3Dt2+(1+6t)Dt =3Dt+1+6t. ∴ Dt = Dt DS ∴v=lim =lim(3 Dt+1+6t)=6t+1. D t0 D t D t0 ∴v | t=2=13. 即当 t=2 时, 质点运动的瞬时速度为 13m/s. 注 (2)亦可直接对函数求导后解决.
f(x) =lim f(x)=f(0). 解: (1)要使 f(x) 在 x=0 处连续, 则需 xlim 0x0+
2+x+1)=1, f(0)=1, lim f(x) =lim(ax+b)=b, 而x lim f ( x ) =lim( x 0x0+ +
x 0 x 0
故当 b=1 时, 可使 f(x) 在 x=0 处连续.
一、复习目标
了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度, 加速度, 光滑曲线 切线的斜率等), 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义, 理解导数的概念, 熟记常见函数的导数公式 c, xm(m 为有 理数), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的导数, 并能熟练应用它们求 有关导数.
பைடு நூலகம்
Dy [(0+Dx)2+(0+Dx)+1]-(02+0+1) 又 Dlim =lim =lim (Dx+1)=1, x0- Dx Dx0Dx Dx02+0+1) Dy [ a (0+ D x )+ b ] (0 lim+ Dx =lim+ Dx D x0 D x0
aDx+b-1 b- 1 =lim =a+lim D x + D x0 Dx0+ Dx 故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导. 综上所述, 当 b=1, aR 时, f(x) 在 x=0 处连续, 当 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导. (2)由(1)知, f(0)=1, 又 f(0)=1, 故曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程为 y-1=x-0, 即 x-y+1=0.
典型例题 2
若 f(x) 在 R 上可导, (1)求 f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a 处的导数的关系; (2)证明: 若 f(x) 为偶函数, 则 f(x) 为奇函数. (1)解: 设f(-x)=g(x), 则 f(-a-Dx)-f(-a) g(a+Dx)-g(a) =lim g(a)=lim Dx D x0 Dx D x 0 f(-a-Dx)-f(-a) =-f(-a). =lim - Dx -Dx0 ∴f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a 处的导数互为相反数. (2)证: ∵f(x) 为偶函数, f(-x+Dx)-f(-x) f(x-Dx)-f(x) ∴f(-x)=lim =lim D x 0 D x 0 Dx Dx f(x-Dx)-f(x) =-f(x), =lim -Dx0 -Dx ∴f(x) 为奇函数. 注: 本题亦可利用复合函数的求导法则解决.