张量运算的注意点
张量基础知识
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一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
张量积运算法则
张量积运算法则
张量积运算法则:
1．加减法:
两个或多个同阶同型张量之和（差）仍是与它们同阶同型的张量。
2．并积:
两个张量的并积是一个阶数等于原来两个张量阶数之和的新张量。
3．缩并:
使张量的一个上标和一个下标相同的运算，其结果是一个比原来张量低二阶的新张量。
4．点积:
两个张量之间并积和缩并的联合运算。
例如，在极分解定理中，三个二阶张量R、U和V中一次点积R·U和V·R的结果是二阶张量F。
5．对称化和反称化:
对已给张量的n个指标进行n1不同置换并取所得的n1个新张量的算术平均值的运算称为对称化。
把指标经过奇次置换的新张量取反符号后再求算术平均值的运算称为反称化。
6．加法分解:
任意二阶张量可以唯一地分解为对称部分和反称部分之和。
例如，速度梯度可以分解为，其中和分别为的对称和反称部分，即和。
1．商法则
肯定某些量的张量性的法则。
在数学中，张量积(tensor product)，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。
在各种情况下这个符号的意义是同样的：最一般的双线性运算。
在某些上下文中也叫做外积。
张量运算
例三
【形式变换】 (f × ∇ ) × g , (f × ∇ ) · g , (f × ∇ ) ϕ × ∇) × g = ∇ (fc · g ) − fc (∇ × g ) (f × ∇ ) · g = f · (∇ × g ) (f × ∇ ) ϕ = f × ∇ ϕ
第四例应该是第一例
★多个矢量的运算：可按三个矢量的运算法则展开
§ 1.2
三矢量的混合积
平行六面体的体积； 行列式性质：交换一次变 符号
a · (b × c) =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
= b · (c × a) = c · (a × b)
= −a · (c × b) = −b · (a × c) = −c · (b × a) ⇐⇒ 【推论】a, b, c共面 a · (a × c) = 0 ⇐⇒ a · (b × c) = 0 a, a, c一定共面
例一
【求解】 ∇ (f · g ) 【解】 ∇ (f · g ) = ∇ (f · gc ) + ∇ (fc · g ) → (gc · ∇) f + (f × ∇) × gc + (∇ · fc ) g + (g × ∇) × fc = (gc · ∇) f + gc × (∇ × f ) + (fc · ∇) g + fc × (∇ × g ) = ( g · ∇ ) f + ( f · ∇ ) g + g × ( ∇ × f ) + f × (∇ × g ) ∇ × (f × g ) = ∇ × (f × gc ) + ∇ × (fc × g ) → (∇ · gc ) f − (∇ · f ) gc + (∇ · g ) fc − (∇ · fc ) g = (gc · ∇) f − gc (∇ · f ) + fc (∇ · g ) − (fc · ∇) g = ( g · ∇ ) f − ( f · ∇ ) g + f (∇ · g ) − g ( ∇ · f ) , ∇ × (f × g ) , ∇ · (f × g )
弹塑性力学-02(张量初步)
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
高等代数张量积运算规则
高等代数中，张量积是一个重要的运算，广泛应用于线性代数、矩阵论、量子力学等领域。
张量积的运算规则可以简化计算、推导和理解复杂的代数结构。
本文将介绍高等代数中的张量积运算规则及其应用。
第一条规则是张量的结合律。
对于三个张量A、B和C，我们有(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C)。
这意味着在计算张量的张量积时，可以忽略括号的位置顺序，只需对每个张量进行逐一的张量积运算即可。
这个规则方便了复杂张量的计算，减少了出错的可能性。
第二条规则是张量的分配律。
对于两个张量A和B，以及一个标量c，我们有(cA) ⊗ B = A ⊗ (cB) = c(A ⊗ B)。
这个规则允许我们在张量内外乘以标量，从而可以用于简化计算和推导。
第三条规则是单位张量的性质。
对于任意矢量空间V，存在一个单位张量I，满足I ⊗ A = A ⊗ I = A，其中A是任意张量。
这个规则保证了单位张量的乘法运算的存在性和唯一性。
第四条规则是关于张量积的逆元素。
对于任意张量A，存在其逆元素A-1，满足A ⊗ A-1 = A-1 ⊗ A = I，其中I是单位张量。
这个规则保证了张量积的可逆性，在求解逆问题时起到重要作用。
第五条规则是张量排列的交换性。
对于任意两个张量A和B，我们有A ⊗ B = B ⊗ A。
这个规则说明了张量积的交换性质，即无论是A ⊗ B还是B ⊗ A，它们的结果是等价的。
这个规则简化了计算和推导过程，同时也被广泛应用于量子力学中的对易子运算。
除了以上运算规则，张量积还具有以下的性质和应用。
首先，张量积运算可以用于表示多维矩阵的运算。
例如，一个二阶矩阵A和一个三阶矩阵B的张量积A ⊗ B将得到一个六阶张量C，其中每个元素Cijklmn = AijBklmn。
这个运算可以用于描述复杂的多维数据结构。
其次，张量积运算可以用于描述多体量子系统。
在量子力学中，多体系统可以由多个单体系统的张量积表示。
例如，一个具有两个自旋1/2的粒子系统可以由两个自旋1/2态的张量积表示。
张量和外代数的基本概念和运算法则
张量和外代数的基本概念和运算法则在现代数学中，张量和外代数是重要的代数结构。
它们在物理、工程、计算机科学等领域中被广泛应用。
本文将介绍张量和外代数的基本概念和运算法则，帮助读者对这些代数结构有更深入的认识。
一、张量的基本概念张量可以看作是线性函数的扩展。
线性函数接受向量作为输入，并输出一个标量。
而张量接受向量作为输入，并输出一个向量或张量。
因此，张量有多个分量，每个分量可以是标量、向量或张量。
在二维欧几里得空间中，一个二阶张量可以表示为一个矩阵。
设$T$是一个二阶张量，它的第$i$行第$j$列的分量为$T_{ij}$。
假设$u$和$v$是两个向量，它们的分量分别为$u_i$和$v_j$。
则$T(u,v)$可以表示为：$T(u,v)=T_{ij}u_iv_j$这里的$u_iv_j$表示一个标量的乘积，$T_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素。
因此，$T(u,v)$是一个标量。
同样的，对于$n$维欧几里得空间中的$k$阶张量，它可以表示为一个$n^k$维的数组。
二、张量的运算法则张量有多种运算法则，包括张量的加法、张量的数乘、张量的乘法和张量的缩并等。
这里介绍其中的几种基本运算法则。
1. 张量的加法设$T$和$S$是两个$k$阶张量，它们的分量分别为$T_{i_1i_2...i_k}$和$S_{i_1i_2...i_k}$。
则$T$和$S$的和可以表示为：$(T+S)_{i_1i_2...i_k}=T_{i_1i_2...i_k}+S_{i_1i_2...i_k}$即将$T$和$S$的每个对应分量相加，得到一个新的$k$阶张量$T+S$。
2. 张量的数乘设$a$是一个标量，$T$是一个$k$阶张量，它的分量为$T_{i_1i_2...i_k}$。
则$aT$可以表示为：$(aT)_{i_1i_2...i_k}=aT_{i_1i_2...i_k}$即将$T$的每个分量乘以标量$a$，得到一个新的$k$阶张量$aT$。
张量第一章
系中也必为零。
2、设，为r阶张量，方程
为张量方程。在张量方程中的每一项都有相同的张量特性。因此在
所有能够容许变换到的坐标系普遍有效。
若将张量方程两边同乘以变换系数，则
所以方程具有张量性质。
张量分析的重要性在于，由物理关系得到的方程如果是张量方程，
那它就在所有容许变换的坐标系成立了，避免了它在各种不同坐标系中
张量相乘提高了阶数，又称为张量外积。
3、 张量的缩并 对r阶张量进行缩并，就是对张量的某两个指标求和（如使j=k），
所得到的仍是张量，阶数比缩并前的原张量少2，即变为r-2阶张量。 缩并使张量降阶，又称为张量内积。 例如：对三阶张量，使j=k，缩并为 缩并也可由乘法定义。
例：对的j、k进行缩并，则 二阶张量缩并后得到标量，是它的不变量。
变换，则这九个量的集合称二阶张量，每个元素称张量分量。 为单位二阶张量
二阶张量分量可组成一个二阶张量矩阵。 二阶张量的另一个定义： 设,为任意矢量的分量，若九个分量能与它们构成标量
则这九个分量定义一个二阶张量。 高阶张量定义： 在三维空间中，当直角坐标系旋转变换到时，基矢量和坐标按前述
规律变化。如果中确定的个分量与在中确定的之间服从相同的变换规 律，即按式
个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
例如：一矢量乘以一个二阶张量，乘积为 = 为一个三阶张量。
张量乘法服从分配律和结合律，但不服从交换律。 高阶张量的乘积也可表示为不变式。张量与的乘积表示为（，可以 是任意阶张量）
五：求导的简化法
数量场Φ的梯度
向量场散度：
向量场的旋度：
§1.2 坐标变换
张量乘法规则
张量乘法规则一、张量的定义和表示方式1. 张量的定义张量是一种数学对象，它可以看作是向量、矩阵等数学对象的推广。
张量是一个多维数组，它可以表示各种物理量，如位移、速度、加速度等。
2. 张量的表示方式张量用一个字母加上下标来表示。
字母表示张量的名称，下标表示张量在各个维度上的编号。
二、张量乘法规则1. 向量与向量的乘法向量与向量的乘法有两种形式：点积和叉积。
（1）点积：两个向量a和b的点积为a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
（2）叉积：两个向量a和b的叉积为a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
2. 矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是指将一个矩阵M与一个列向量v相乘得到一个列向量w。
w = Mv其中，w为结果列向量，M为矩阵，v为列向量。
3. 矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法是指将一个矩阵M1与另一个矩阵M2相乘得到一个矩阵M3。
M3 = M1M2其中，M3为结果矩阵，M1和M2为两个矩阵。
三、张量的乘法规则1. 张量的乘法张量的乘法是指将一个张量T1与另一个张量T2相乘得到一个张量T3。
Tijk = ∑l∑m Tijl Tlmk其中，Tijk为结果张量，Tijl和Tlmk为两个张量。
2. 张量的缩并张量的缩并是指将一个张量T在某些维度上进行求和得到一个新的张量。
Ti...j...k... = ∑l Tijlk...其中，Ti...j...k...为结果张量，Tijlk...为原始张量。
四、张量乘法规则的应用1. 牛顿第二定律牛顿第二定律可以用向量形式表示：F = ma，其中F、a均为向量。
可以使用向量点积来计算力和加速度之间的关系。
F·a = m|a|^22. 矢场理论在电场中存在电荷q时，其所受力可以表示为F = qE，其中F、E均为向量。
可以使用向量点积来计算电荷和电场之间的关系。
F·E = q|E|^23. 张量积分张量积分是指将一个张量在某个区域上进行积分得到一个标量。
张量运算法则 -回复
张量运算法则-回复
张量运算法则是在张量代数中常用的一些基本运算规则和公式的总结。
张量是一种在多维空间中描述向量和矩阵的数学对象，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
张量运算法则通过定义不同维度的张量之间的运算规则，使得我们可以更加灵活地处理多维数据，并进行复杂的数学推理和计算。
本文将以张量运算法则为主题，一步一步回答相关问题。
一、什么是张量？
1. 张量的基本概念
2. 张量的维度和阶数
3. 张量的表示和索引
二、张量的运算规则
1. 张量加法与减法
2. 张量乘法
3. 张量的缩并运算
4. 张量的转置和逆运算
5. 张量的分解与组合
三、张量运算法则的应用
1. 张量在物理学中的应用
2. 张量在工程学中的应用
3. 张量在计算机科学中的应用
四、张量运算法则的推广与发展
1. 张量的高阶运算规则
2. 张量网络的结构与训练方法
3. 张量运算法则在机器学习中的应用
五、结语
通过本文的阐述，我们了解了张量运算法则的基本内容和应用领域，并对其推广与发展进行了简要介绍。
通过运用张量运算法则，我们可以更加灵活地处理多维数据，并进行复杂的数学推理和计算。
相信在未来的发展中，张量运算法则将发挥重要的作用，推动科学技术的进步与应用的创新。
张量的计算
张量的计算张量的计算一、张量的概念张量（tensor），是一个包含多个数字（多维数组）的数学实体，它是一种多维数据的数据抽象。
它可以有任意多个维度，可以表示向量，矩阵，多维数组等形式，可以看作是多维空间中的一个点。
张量的主要组成元素有：1.张量的值：所有多个数字的集合。
2.张量的维度：指明了多个数字的结构形式。
3.张量的大小：表示多个数字的总数，也就是值的长度。
二、张量的基本操作张量计算有一系列基本操作，例如加，减，乘，除，这些操作可以用来对张量进行数学运算，它们可以用于计算机视觉，机器学习，深度学习等领域的复杂算法。
1.张量加法（tensor addition）张量加法是将两个张量中的每个元素进行相加，这里的元素可以是数字、向量、矩阵等。
形式上，可以表示为A + B，其中A、B为两个张量，加号代表的是每个元素之间的加法操作。
2.张量减法（tensor subtraction）张量减法是将两个张量中的每个元素进行相减，形式上，可以表示为A-B，其中A、B为两个张量，减号代表的是每个元素之间的减法操作。
3.张量乘法（tensor multiplication）张量乘法是将两个张量中的每个元素进行相乘，形式上，可以表示为A×B，其中A、B为两个张量，乘号代表的是每个元素之间的乘法操作。
4.张量除法（tensor division）张量除法是将两个张量中的每个元素进行相除，形式上，可以表示为A÷B，其中A、B为两个张量，除号代表的是每个元素之间的除法操作。
5.张量维度变换（tensor reshape）张量维度变换是指将张量的维度变为另一种维度，它可以改变张量的大小，使张量各个维度之间的联系更加明显，从而更好地实现张量运算。
三、张量计算的应用1.机器学习领域：张量计算可以为神经网络模型提供高效的数据处理能力，可以有效解决神经网络中的计算复杂度问题。
2.图像处理领域：张量计算可以用于图像特征提取，可以用于图像分割，分类，检测等，可以有效提升图像处理系统的性能。
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注意，哑指标相消时，只能数与数相消，不能数与单位 矢量相消，具体确定自由指标个数时，可以通过前面的
数，也可以用后面矢量运算
ijk wk aseie j • es
张量运算中一些注意点
a • (b c) (a b) • c c • (a b) 即混合积点叉可以随便打，只要符合abc轮换，否 则加一负号，注意，当有符号时，不能随便打
运算中，阶数的改变实际起作用是因为哈密顿 算子本身是一个矢量，当做内积时( 散度)，张 量收缩，做叉乘时张量阶数不变，乘积时（梯
度），张量扩张。Βιβλιοθήκη 书中公式，P • P
xk Pi1i2
xi Pi1i2
x的下标i, k，必定一个与 P下标相同，一个不同
• 张量运算中阶数的确定
例：w • u (wc • u) wc ( u),u, w均为矢量 左边：w • 为数，并上u即为一阶张量 右边：(wc • u)中，wc • u作内积为一数，作梯度为一阶张量
张量P的的分解，P pijeiej p jej ei pijej
ei pi
梯度V
Vi' j
1 2 (Vi' j
V j'i )
1 2 (Vi' j
V j'i )
或者V
V j'i
1 2 (V j'i
Vi' j )
1 2 (V j'i
Vi' j )
这两种表达式在反对称部分是不一样的
当A为反对称张量时，有
J为哑指标，相消。留下自
由指标i，运算ei 后加上
A • a ijk wk eie j • ases ijk wk a jei w a
可以认为K为哑指标，运算 中相消。留下自由指标i，j， 运算后加上，并矢顺序不能 应用哑指标，自由指标思想，对运算变过程是否正确的检验很方
张量的基本运算有： 张量与向量的点叉运算 张量与张量的点叉运算 张量之间的二重运算等等
a A b 点叉随便打，运算时拆开
A••B, A•B, A• , AB
eiej••ekes (ei • es )(ej • ek )
2、自由指标i表示方程的个数，即上式有三个方程组
33
又如
Aij xi y j
i1 j1
i与j皆为哑指标，共有9项
Kronecker-符号与置换符号
ji
ij
1 0
当i j 当i j
有两个独立的下标，因此可看做是一个二阶张量，
ij
有如下基本等式成立
ii 3 ijij ii 3 ij jk kl il
ei e j ijk ek kijek
张量的转置，P pijeie j , Pc p jieie j pije jei 可知，当P为对称矩阵时，Pc p jieiej pijeie j P 如：a ai' jeie j，a ai' je jei , a (a)c
用上式可以证明当 T为对称张量时， 其左散度等于右散度
张量的基本运算
• 求和约定与哑指标
凡在某一项内，重复出现一次且仅重复一次的指标，表 示对该指标在它的取值范围内求和，并称这指标为哑指
标，如：
n
a ai xi ai xi i 1
如不作特别说明，取笛卡尔坐标系，i=1,2,3
b A x i
ij j （i，j=1,2,3）
自由指标i
哑指标j
1、在同一项中，哑指标j求和相消，则方程有右边有三 项。
设f , g为矢量，为标量，下面四式括号可以去掉
( f • ) f • ( f ) f
( f • )g f • g ( f )g f g
上式应用如 r xiei，(a • )r a • r a
因为r eiei I ,为单位张量 ,注意， • r 3, r 0
对于矢量a,b, c,有（a • bc） (a) • bc c • a a • c ,作为标量微分算子，可以 任意挪移到作用向量上
ij
,
ij
可以用矢量表示为：
k
ij ei • e j
ijk ei • (e j ek )
a • (b c) aibjckei • (e j ek ) ijk aibjck
a1 a2 a3
ijk aibjck b1 b2 b3
c1 c2 c3
张量的并矢，点叉运算
对于向量a, b a • b aibiei • e j aibi , 是一个数 ab aibjeie j eiej称为并矢量，两基矢之间没有作用关系,i, j顺序不能倒 例如： 向量的右梯度为：a ai jeie j ai' jeie j 左梯度为：a jaie jei ai' je jei
这两个梯度一般是不相等的
不论是矢量a还是张量A，（矢量即为一阶张量）都可以 用算子作 •，，并
如：a为矢量的梯度， • a为矢量的散度 a ia jeie j • a ia jei • e j ai'i
上面可以看出 a即为二阶张量， • a为标量 算子作梯度时，张量增一阶 ，作散度减一阶
wc (u)中，u作叉乘阶数不变，在与wc作叉乘 阶数不变，为一阶张量
或者，对于张量运算，直接考虑基矢量ei 上式有，ei • ejek el (em • en ) es (ep eq ),必定是一阶张量
• 运算中单位矢量的确定
A • a Aij ak ei jk Aij a jei
aiij a j ei e j ij
1
i, j, k偶排列
ijk 1
i, j, k奇排列
0 两个或三个指标相等
有三个独立的下标，因
ij
此可看做是一个三阶张
量
ks jks 0
ipq jpq 2 ij
ijk ijk 6
kij kst is jt js it
此外，