张量分解学习
多模态知识图谱表示学习综述
多模态知识图谱表示学习综述多模态知识图谱表示学习综述摘要：随着大数据时代的到来，知识图谱成为了对现实世界进行建模和分析的重要工具。
然而，传统的知识图谱主要基于文本信息进行构建和表示，忽略了其他多模态数据的丰富信息。
针对这个问题，多模态知识图谱表示学习应运而生。
本文将对多模态知识图谱表示学习的研究现状、方法和应用进行综述，以期为相关领域的研究者提供参考和启发。
一、引言知识图谱是一种以图的形式表达的知识库，其中知识以实体、关系和属性的形式存储。
传统的知识图谱以基于文本的方式进行构建和表示，通过对文本进行实体抽取、关系抽取等技术来获得知识。
然而，文本信息属于单模态数据，仅能够提供有限的知识表达能力。
随着多模态数据的快速增长，如图像、音频和视频等，如何将多模态数据融入知识图谱表示学习成为当前研究的热点和挑战。
二、多模态知识图谱表示学习的研究现状多模态知识图谱表示学习旨在利用多模态数据增强知识图谱的表达能力。
已有的研究主要可以分为两类：基于图的方法和基于张量的方法。
基于图的方法使用图神经网络（GNN）来建模并融合多模态数据，利用节点和边的信息进行知识表示学习。
基于张量的方法则将多模态数据表示为高阶张量，通过张量分解等技术进行知识表示学习。
三、多模态知识图谱表示学习的方法多模态知识图谱表示学习的方法多种多样，以下是其中几种常见的方法：1. 卷积神经网络（CNN）和循环神经网络（RNN）：这两种方法广泛用于图像和文本数据的表示学习，可以将其应用于多模态知识图谱表示学习中，从而提高知识图谱的表达能力。
2. 图卷积神经网络（GCN）：GCN是一种特殊的卷积神经网络，它通过聚合周围节点的信息来更新当前节点的表示，已被广泛应用于多模态知识表示学习中。
3. 张量分解：张量分解可以将多维张量分解为若干低维张量，从而实现对多模态数据的表示学习。
常用的张量分解方法包括SVD、CP分解等。
四、多模态知识图谱表示学习的应用多模态知识图谱表示学习在许多领域中具有广泛的应用前景，以下是其中几个常见的应用：1. 音乐推荐：通过将音乐数据和用户数据融入知识图谱表示学习，可以提高音乐推荐系统的精确度和个性化程度。
稀疏张量分解
稀疏张量分解
摘要：
一、稀疏张量分解的背景与意义
1.张量概述
2.稀疏张量的特点
3.稀疏张量分解的必要性
二、稀疏张量分解的方法与技术
1.传统张量分解方法
2.针对稀疏张量的改进方法
3.现有方法的局限性与挑战
三、稀疏张量分解的应用领域
1.信号处理与通信
2.机器学习与深度学习
3.图像处理与计算机视觉
4.其他应用场景
四、我国在稀疏张量分解领域的研究进展
1.我国研究团队的成果与贡献
2.与国际水平的差距与优势
3.未来发展方向与前景
正文：
一、稀疏张量分解的背景与意义
随着大数据时代的到来，人们对于数据的处理与分析需求日益增长。
数学物理中的降维算法研究
数学物理中的降维算法研究随着科技的迅速发展，各个领域都在不断涌现出大量的数据，这些数据不仅数量庞大，而且维度高，导致很多场景下的数据处理和分析变得非常困难。
降维算法便应运而生，成为了解决高维数据处理难题的一种重要方式。
数学物理中的降维算法，作为降维算法中的重要一部分，正在被广泛研究和应用。
一、降维算法的基本知识1. 降维算法的思想降维算法是一种将高维数据映射到低维空间的算法，具体而言就是将高维数据集转化为低维数据集，以此来简化处理和分析的难度。
其思想基于数据的预处理和特征提取，旨在减少数据冗余，最大程度地保留数据的特征，从而使数据在低维空间中表现出良好的性质和结构。
2. 降维算法的分类根据降维算法的处理对象不同，可以将其分为两类，即线性降维和非线性降维。
其中线性降维包括PCA（主成分分析）和LDA （线性判别分析）等方法，它们可以通过一系列的线性转换将高维数据映射到低维空间。
而非线性降维则使用一些非线性映射方法，如Isomap、LLE（局部线性嵌入）等，它们可以更好地处理高度非线性的数据集。
二、数学物理中的降维算法1. 张量分解张量分解是一种将高维数据张量分解成若干低维张量的方法。
在物理学中，张量分解被用于分析矩阵物理、量子力学中的张量等领域。
张量分解可以处理多个变量之间的关系，而且可以在提取特征的同时保留数据的原始形态，因此在实际应用中有着广泛的应用。
2. 流形学习流形学习是一种非线性降维算法，它基于流形学说，旨在发现数据在低维空间中的潜在流形结构。
流形结构指的是数据在高维空间中的低维规律和分布，通过流形学习可以在保留数据结构和信息的前提下，对高维数据集进行降维。
流形学习可以分为局部流形学习和全局流形学习两种，局部流形学习包括LLE、LE（局部线性嵌入）、LTSA（局部切空间对准）等方法，全局流形学习包括Isomap、Laplace特征映射等。
3. 独立成分分析独立成分分析是一种多元统计学的方法，用于对多元信号的源信号进行分离。
(最新整理)张量基础知识
2021/7/26
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二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a Tjl kl
T* ijk
aila jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk
ali
amj
ank
T* lmn
Tijkl
ami
anj
aok
a
pl
T* mnop
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xi' x i' j j
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同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
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于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
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4
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
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1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： ajixi bj
一种基于张量分解的多源异构数据特征融合方法
一种基于张量分解的多源异构数据特征融合
方法
多源异构数据特征融合是在当今大数据环境下的一个重要任务。
针对这个任务，一种基于张量分解的特征融合方法被提出。
在多源异构数据中，不同数据源之间可能具有不同的特征表示方式和数据分布。
为了充分利用这些数据源，并获得更准确的融合特征，我们可以使用张量分解技术。
首先，我们将异构数据转化为一个张量，将不同的特征维度作为张量的维度。
然后，利用张量分解算法对张量进行分解，将其分解为多个低秩子张量。
这样做的目的是捕捉到数据源之间的共享特征和异态特征。
接下来，在每个低秩子张量中，我们可以根据具体任务的需要进行特征选择或
特征加权。
这可以通过一些经典的特征选择算法（如卡方检验、互信息等）或特征加权方法（如TF-IDF、标准化等）来实现。
最后，我们将经过特征选择或特征加权后的低秩子张量进行重组，得到最终的
融合特征表示。
这些融合特征既可以直接用于后续的任务，如分类、聚类等，也可以作为新的特征输入到深度学习模型中。
通过基于张量分解的多源异构数据特征融合方法，我们能够更好地利用异构数
据之间的特征信息，提高数据挖掘任务的性能。
这种方法不仅可以应用于文本数据、图像数据等传统的异构数据，还可以扩展到其他领域，如社交网络数据、传感器网络数据等。
总之，基于张量分解的多源异构数据特征融合方法是一种有效的数据融合策略，可以提高数据挖掘任务的准确性和可靠性。
它为多源异构数据的应用提供了有力的支持，并在实际应用中具有广泛的应用前景。
2.6二阶张量的分解
N =P+D
于是 其中
T = N + = P + D+ 1 T i 1 T i j j P = P j g i g = J 1 δ j g i g = J1 G 3 3 1 k P T N J1 = J1 = J1 = N k 3 1 N 2 1 N 3 P P J 2 = J1 J3 = J1 3 27
i3
1 (i1 + i2 + i3 ) n= 3
N 在八面体等斜面上作用的矢量分量： 在八面体等斜面上作用的矢量分量：
σ
i3' n i2' pn
1 (N1i1 + N 2 i2 + N 3i3 ) pn = N n = 3
pn 的法向分矢量： 的法向分矢量：
i1
i1'
ω τ
i2
1 1 N σ = ( N : nn )n = (N1 + N 2 + N 3 )n = J1 n 3 3
π J cos ω 3
D 2
π J cos ω + 3
D 2
2 D3 = 3
J 2D cosω
就可满足前述三式。 就可满足前述三式。利用其中第三式可证
cos3ω =
27 J 3D 2J
D 32 2
不失广泛性， 不失广泛性，可设 D1 ≥ D2 ≥ D3 ，因此必有 D1 ≥ 0, D3 ≤ 0, 从而
2
T T T = H T QT Q H = H 2 > O
后二式存在方根，且其方根也是正张量， 后二式存在方根，且其方根也是正张量，即
H = T T T > O
H1 = T T T > O
2023年度数学领域热门词汇
2023年度数学领域热门词汇随着科技的不断进步和社会的快速发展，数学作为一门重要的学科在各个领域都起着举足轻重的作用。
2023年，数学领域涌现出了许多热门词汇，这些词汇代表了数学界最新的研究成果和前沿方向。
以下是2023年度数学领域的热门词汇：1. 量子计算（Quantum Computing）：量子计算作为一项前沿的计算方法，引起了广泛的关注。
它基于量子力学原理，利用量子比特进行计算，具有高效性和并行性的特点。
2023年，量子计算在解决一些复杂的数学问题、优化算法和密码学方面取得了突破性进展。
2. 组合优化（Combinatorial Optimization）：组合优化是一种研究如何在离散的情况下对优化问题进行求解的方法。
在2023年，组合优化在网络设计、交通规划、生产调度等诸多实际问题中发挥了重要作用。
它的研究对象包括排列、组合、图论等，通过寻找最优化的组合方式来解决实际难题。
3. 拓扑数据分析（Topological Data Analysis）：拓扑数据分析是一种将拓扑学应用于数据科学的新兴领域。
它通过构建数据的拓扑结构，研究数据中的空间关系和形状特征，并借助拓扑学的工具来进行分析。
2023年，拓扑数据分析在图像处理、生物信息学和金融风险管理等领域具有广泛的应用前景。
4. 深度学习（Deep Learning）：深度学习是一种基于人工神经网络的机器学习算法，它通过多层次的神经网络结构进行复杂的模式识别和数据分析。
在2023年，深度学习在图像识别、语音识别、自然语言处理等领域取得了显著的成果，并引领了人工智能技术的发展方向。
5. 张量分解（Tensor Decomposition）：张量分解是一种对高维数据进行降维和表示的技术方法。
它将多维数据表示为更低维度的张量分量，以便进行数据分析和模型建立。
在2023年，张量分解在社交网络分析、推荐系统和信号处理等领域中表现出了广泛的应用前景。
6. 加密货币（Cryptocurrency）：加密货币是一种基于密码学技术实现的数字货币，具备去中心化和匿名性的特点。
python张量分解
python张量分解在Python中，张量分解可以通过多种库来实现，其中最常用的是NumPy和TensorFlow。
下面分别介绍这两种库中的张量分解方法。
1. NumPy库中的张量分解：NumPy是Python中用于科学计算的一个常用库，它提供了很多用于数组操作的函数。
在NumPy中，可以使用linalg模块中的函数来进行张量分解。
其中，最常用的是奇异值分解（SVD）和特征值分解（EVD）。
奇异值分解：```pythonimport numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])U, s, VT = np.linalg.svd(A)```特征值分解：```pythonimport numpy as npA = np.array([[1, 2], [2, 1]])w, V = np.linalg.eig(A)```2. TensorFlow库中的张量分解：TensorFlow是一个用于机器学习和深度学习的强大库，它提供了各种张量操作的函数。
在TensorFlow中，可以使用tf.linalg模块中的函数来进行张量分解。
其中，最常用的是奇异值分解（SVD）和特征值分解（EVD）。
奇异值分解：```pythonimport tensorflow as tfA = tf.constant([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], dtype=tf.float32)s, U, V = tf.linalg.svd(A)```特征值分解：```pythonimport tensorflow as tfA = tf.constant([[1, 2], [2, 1]], dtype=tf.float32)w, V = tf.linalg.eig(A)```以上是使用NumPy和TensorFlow库进行张量分解的简单示例。
在实际应用中，还可以使用其他专门用于张量分解的库，如scikit-tensor、PyTorch等。
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内积：
I1 I2
IN
X,Y
L
x y i1i2L iN i1i2L iN
i1 1 i2 1 iN 1
（Frobenius）范数：
X
I1 I2
IN
X , X
L
x2 i1i2L iN
i1 1 i2 1 iN 1
8
秩一张量/可合张量
◦ N阶张量 X ¡ I1×I2×L ×IN 是一个秩一张量，如果它能被写
成N个向量的外积，即
X a(1) oa(2) oL oa(N )
c
b
X
a
三阶秩一张量：X a ob oc
9
（超）对称和（超）对角
◦ 立方张量：各个mode的长度相等 ◦ 对称：一个立方张量是对称的，如果其元素在下标的任意
排列下是常数。如一个三阶立方张量是超对称的，如果
xijk xikj x jik x jki xkij xkji ,i, j, k ◦ 对角：仅当 i1 i2 L iN x 时， i1i2L iN 0
15
矩阵的Khatri-Rao乘积
◦ A I×K , B J×K ，则
A e B a1 b1 a2 b2 L
aK bK ? IJ×K
◦ 性质：A e B e C A e B e C A e B e C
16
矩阵的Hadamard乘积
◦ A I×J , B I×J ，则
a11b11 a12b12 L A B a21b21 a22b22 L
三阶张量：X ¡ I×J×K
5
纤维（fiber）
mode-1 （列）
纤维：x: jk
mode-2 （行）
纤维：xi:k
mode-3 （管）
纤维：xij:
6
切片（slice）
水平切片：Xi::
侧面切片：X: j:
正面切片：X::k (Xk )
7
内积和范数
◦ 设 X ,Y ¡ I1×I2×L ×IN
张量的（超）对角线
10
展开（matricization/unfolding/flattening）
◦ 将N阶张量 X 沿mode-n展开成一个矩阵X(n) X(1)
三阶张量的mode-1展开
11
n-mode（矩阵）乘积
◦ 一个张量X ¡ I1×I2×L ×IN 和一个矩阵 U ¡ J×In 的n-mode
M M O
aI1bI
1
aI 2bI 2
L
a1J b1J
a2 J
b2 J
¡
I ×J
M
aIJ bIJ
◦ 性质：A e BT A e B ATABTB
A e B+ ATA BTB + A e BT
17
CP分解
18
CP分解的其他名字
◦ Polyadic Form of a Tensor, Hitchcock, 1927 ◦ PARAFAC(Parallel Factors), Harshman, 1970 ◦ CANDECOMP/CAND(Canonical decomposition),
R
X §λ; A, B,C¨ rar obr ocr
彭毅
1
基本概念及记号
2
张量（tensor）
◦ 多维数组
一阶张量 （向量）
二阶张量 （矩阵）
三阶张量
3
张量空间
◦ 由若干个向量空间中的基底的外积张成的空间
o
g
向量的外积和内积
4
阶（order/ways/modes/rank）
◦ 张成所属张量空间的向量空间的个数
一阶张量（向量）：x {xi} 二阶张量（矩阵）：X {xij } 三阶或更高阶张量：X {xijL k } 零阶张量（数量）：x
in 1
◦ 性质：
X m a n b X m a n1 b X n b m a, m n
13
矩阵的Kronecker乘积
◦ A I×J , B K×L ，则
a11B a12B L
A B a21B a22B L M M O
aI
1B
aI 2B
L
a1J B
a2
J
B
¡
IK ×JL
M
aIJ
B
◦ 性质：A BCD AC BD A B+ A+ B+
14
矩阵的Kronecker乘积
◦ 矩阵的Kronecker积还和张量和矩阵的n-mode乘积有如 下关系
Y X 1 A(1) L N A(N )
Y(n) A(n)X(n) A(N ) L A(n1) A(n1) L A(1) T
21
CP分解的切片形式
◦ 三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：
Xk AD(k )BT
其中 D(k ) diag(ck:)
ar
cr
br
X
A
BT
Xk
D(k )
三阶张量CP分解的正面切片形式
22
带权CP分解
◦ 为了计算方便，通常假设因子矩阵的列是单位长度的，从
而需要引入一个权重向量 λ ¡ R ，使CP分解变为
乘积
X U ¡ I1×L ×In1×J×In1×L ×IN，其元素定义为
n
In
X U x u n
i1L in1 jin1L iN
i1i2L iN jin
in 1
◦ 这个定义可以写成沿mode-n展开的形式
Y X n U Y(n) UX(n)
◦ 性质：X m A n B X n B m A, m n
Carroll & Chang, 1970 ◦ Topographic Components Model, Mö cks, 1988 ◦ CP(Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱNDECOMP/PARAFAC), Kiers, 2000
19
CP分解的张量形式
◦ 将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张 量可以分解为
X n An B X n BA
12
n-mode（向量）乘积
◦ 一个张量X ¡ I1×I2×L ×IN 和一个向量 v ¡ In 的n-mode
乘积
X v ¡ I1×L ×In1×In1×L ×IN ，其元素定义为
n
In
X v n
i1L in1in1L iN
x v i1i2L iN in
R
X §A, B,C¨ ar obr ocr r 1
c1 b1
c2 b2
cR bR
X
L
a1
a2
aR
三阶张量的CP分解
20
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
A a1 a2 L aR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X(1) A C e BT X(2) B C e AT X(3) CB e AT