张量分解学习
张量分解
三阶张量： X
I ×J ×K
5
纤维（fiber）
mode-1 （列） 纤维：x: jk
mode-2 （行） 纤维：xi:k
mode-3 （管） 纤维：x ij:
6
切片（slice）
水平切片：Xi::
侧面切片：X: j:
正面切片：X::k ( X k )
7
内积和范数
◦ 设 X ,Y 内积：
I1 ×I 2 × ×I N
X ,Y xi1i2 iN yi1i2 iN
i1 1 i2 1 iN 1
I1
I2
IN
（Frobenius）范数：
X
X,X
xi2i2 iN 1
i1 1 i2 1 iN 1
I1
I2
IN
8
秩一张量/可合张量
◦ N阶张量 X I1×I 2 × ×I N 是一个秩一张量，如果它能被写 成N个向量的外积，即
张量的（超）对角线
10
展开（matricization/unfolding/flattening）
◦ 将N阶张量 X 沿mode-n展开成一个矩阵 X( n )
X X (1)
三阶张量的mode-1展开
11
n-mode（矩阵）乘积
◦ 一个张量X I1×I 2 × ×I N 和一个矩阵 U J ×In 的n-mode 乘积 X n U I1××I n1 ×J ×I n1 ××I N，其元素定义为 I
X n U i i
1
n 1 jin 1iN
xi1i2 iN u jin
n
in 1
稀疏张量分解
稀疏张量分解
摘要：
一、稀疏张量分解的背景与意义
1.张量概述
2.稀疏张量的特点
3.稀疏张量分解的必要性
二、稀疏张量分解的方法与技术
1.传统张量分解方法
2.针对稀疏张量的改进方法
3.现有方法的局限性与挑战
三、稀疏张量分解的应用领域
1.信号处理与通信
2.机器学习与深度学习
3.图像处理与计算机视觉
4.其他应用场景
四、我国在稀疏张量分解领域的研究进展
1.我国研究团队的成果与贡献
2.与国际水平的差距与优势
3.未来发展方向与前景
正文：
一、稀疏张量分解的背景与意义
随着大数据时代的到来，人们对于数据的处理与分析需求日益增长。
数字图像处理 张量分解的概念、发展及其应用
数字图像处理张量分解的概念、发展及其应用数字图像处理是一项涉及计算机科学、数学和物理学等多个领域的交叉学科，涉及到许多复杂的算法和技术。
其中，张量分解作为一种重要的图像处理技术，已经被广泛应用于各个领域，如医学图像分析、视频处理、图像分类、模式识别等。
本文旨在介绍张量分解的概念、发展及其应用。
1. 张量分解的概念张量是一个多维数组，可以表示一个向量、矩阵及高维矩阵和数组。
在图像处理中，我们可以将图像看作一个三维张量，其中的每个元素对应于该图像上的一个像素。
为了提取图像中的有用信息，我们通常需要对张量进行分解，以获得更高层次的表达。
张量分解是一种用于将高维张量表示为低维张量乘积的数学方法。
通常情况下，我们会将一个张量分解成若干个较低秩的小张量或矩阵的乘积，这被称为张量分解。
2. 张量分解的发展在过去的几十年中，张量分解在图像处理和数据挖掘等领域中得到了广泛的研究和应用。
其中最著名的方法是主成分分析（PCA）和独立分量分析（ICA）等。
但由于这些方法主要针对矩阵，对于高维张量的处理效率和准确性较低。
近年来，随着机器学习和深度学习等技术的发展，张量分解也得到了更加广泛的应用。
相对于传统方法，新的张量分解算法可以更好地处理高维张量，提供更高的分解精度和可解释性。
在这些新的方法中，主要包括基于张量分解的矩阵分解（Tucker分解）、矩阵分解的张量分解（CP分解）和流形学习等。
3. 张量分解的应用在数字图像处理领域，张量分解广泛应用于医学图像的分析和诊断。
例如，使用张量分解对磁共振成像（MRI）和计算机断层扫描（CT）等医学图像数据进行处理，可以获得更准确和可解释的信息，提高疾病的诊断和治疗效果。
此外，张量分解还可以应用于视频处理和图像分类。
在视频处理领域，张量分解被广泛应用于视频的压缩、降噪和去震动等方面，已成为一种很成熟的方法。
在图像分类方面，张量分解可以用于特征提取和处理，识别各种复杂情况下的目标物体以及进行图像检索等。
张量链式分解
张量链式分解张量链式分解（Tensor Chain Decomposition）是一种用于高维数据分析和降维的数学方法。
它可以将一个高维张量分解为一系列低维张量的乘积，从而实现对原始数据的有效表示和分析。
在许多实际应用中，数据往往具有高维特性，例如多维时间序列数据、多模态数据等。
对于这些数据，传统的降维方法往往不够有效或不适用。
而张量链式分解作为一种新兴的降维方法，能够更好地处理高维数据。
张量链式分解的基本思想是将高维张量分解为一系列低维张量的乘积形式。
这些低维张量可以看作是高维数据在不同维度上的投影，通过逐步分解乘积，我们可以得到数据在各个维度上的表示。
这种分解方式可以有效地提取数据的特征和结构信息，实现数据的降维和可视化。
具体来说，张量链式分解可以用于多维时间序列数据的分析。
以股票价格数据为例，假设我们有多只股票在多个时间点上的价格数据，可以构建一个三维张量来表示这些数据。
然后，我们可以将该张量分解为多个二维张量的乘积，每个二维张量对应一个特定的时间点。
通过这种分解方式，我们可以得到每个时间点上股票价格的特征表示，进而进行数据分析和预测。
除了多维时间序列数据，张量链式分解还可以应用于多模态数据的分析。
多模态数据通常包含多个模态（如图像、文本、声音等），每个模态都有自己的特征表示。
通过张量链式分解，我们可以将多模态数据分解为多个低维张量的乘积，每个低维张量对应一个模态。
这样，我们可以得到每个模态的特征表示，从而实现对多模态数据的降维和分析。
在实际应用中，张量链式分解有许多优点。
首先，它能够有效地提取数据的特征和结构信息，实现数据的降维和可视化。
其次，张量链式分解可以灵活地应用于不同类型的数据，如多维时间序列数据、多模态数据等。
此外，张量链式分解还可以结合其他机器学习方法，如聚类、分类、回归等，进一步提高数据分析和预测的准确性。
然而，张量链式分解也存在一些挑战和限制。
首先，由于高维数据的特性，张量链式分解需要较大的计算和存储资源。
张量块向分解
张量块向分解1. 引言张量是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
张量块是由多个张量组成的复合结构，也称为高阶张量。
在某些情况下，我们可能需要将张量块进行分解，以便更好地理解和处理数据。
本文将介绍张量块的概念和分解方法，并探讨其在实际应用中的意义和效果。
2. 张量块的定义张量块是由多个张量按照一定规律排列组合而成的结构。
它可以看作是一个多维数组，每个维度都对应一个张量。
例如，一个二维张量块可以表示为：[[T1, T2],[T3, T4]]其中T1、T2、T3和T4分别是四个二维张量。
张量块可以有任意多的维度，每个维度可以有任意多的张量。
3. 张量块的分解方法张量块的分解方法有很多种，常用的方法包括SVD分解、CP分解和Tucker分解。
这些方法可以将张量块分解成更简单的子结构，从而方便后续的处理和分析。
3.1 SVD分解SVD（Singular Value Decomposition）是一种常用的张量块分解方法。
它将张量块分解为三个矩阵的乘积，即：A = U * Σ * V^T其中A是待分解的张量块，U、Σ和V分别是三个矩阵。
U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
SVD分解可以将张量块的信息压缩到较低维度的矩阵中，从而减少数据的存储和计算量。
3.2 CP分解CP（Canonical Polyadic）分解是另一种常用的张量块分解方法。
它将张量块分解为多个张量的线性组合，即：A = sum(lambda_i * [u1_i, u2_i, ..., un_i])其中A是待分解的张量块，lambda_i是权重系数，u1_i、u2_i、…、un_i是一组张量。
CP分解可以将张量块分解为一组低秩张量的线性组合，从而提取出张量块中的主要特征。
3.3 Tucker分解Tucker分解是一种综合了SVD和CP分解的张量块分解方法。
它将张量块分解为一个核张量和一组模态张量的乘积，即：A = G * [U1, U2, ..., Un]其中A是待分解的张量块，G是核张量，U1、U2、…、Un是一组模态张量。
张量分解方法在信号处理与压缩中的应用
张量分解方法在信号处理与压缩中的应用信号处理和压缩是现代通信领域中的重要问题，而张量分解方法则是一种有效的工具，可以用于对信号进行分析、处理和压缩。
本文将介绍张量分解方法在信号处理与压缩中的应用，并探讨其优势和局限性。
一、张量分解方法的基本原理张量分解方法是一种多维数据分析技术，它将高维数据表示为低维子空间的线性组合。
在信号处理中，我们通常将信号表示为一个多维张量，其中每个维度表示信号的不同特征或属性。
通过张量分解方法，我们可以将信号分解为若干个低维子空间，从而实现信号的降维和去冗余。
二、张量分解方法在信号处理中的应用1. 压缩信号表示张量分解方法可以用于对信号进行压缩表示。
通过将信号分解为若干个低维子空间，我们可以提取信号中的主要信息，并丢弃冗余和噪声。
这样可以大大减小信号的存储和传输开销，同时保持信号的重要特征。
2. 信号降噪在实际应用中，信号常常伴随着噪声。
张量分解方法可以通过分解信号为低维子空间，将噪声与信号分离开来。
通过对低维子空间进行滤波和去噪处理，可以有效提高信号的质量和可靠性。
3. 信号分析与特征提取张量分解方法可以用于对信号进行分析和特征提取。
通过将信号分解为若干个低维子空间，我们可以提取出信号中的主要特征和模式。
这对于信号分类、识别和模式匹配等任务非常有用。
三、张量分解方法的优势和局限性1. 优势张量分解方法具有较强的表示能力和灵活性。
通过合理选择分解方法和参数，我们可以根据具体问题对信号进行高效的表示和处理。
同时，张量分解方法还能够处理非线性和高度非均匀的信号，具有较好的适应性。
2. 局限性张量分解方法在处理高维数据时，可能会面临计算复杂度较高的问题。
尤其是当数据规模较大时，计算和存储开销会变得非常大。
此外，张量分解方法对于信号中的噪声和异常值比较敏感，需要额外的处理和优化。
四、结语张量分解方法是一种强大的工具，可以应用于信号处理和压缩中。
通过合理选择分解方法和参数，我们可以实现对信号的降维、去噪和特征提取等任务。
2.6二阶张量的分解
N =P+D
于是 其中
T = N + = P + D+ 1 T i 1 T i j j P = P j g i g = J 1 δ j g i g = J1 G 3 3 1 k P T N J1 = J1 = J1 = N k 3 1 N 2 1 N 3 P P J 2 = J1 J3 = J1 3 27
i3
1 (i1 + i2 + i3 ) n= 3
N 在八面体等斜面上作用的矢量分量： 在八面体等斜面上作用的矢量分量：
σ
i3' n i2' pn
1 (N1i1 + N 2 i2 + N 3i3 ) pn = N n = 3
pn 的法向分矢量： 的法向分矢量：
i1
i1'
ω τ
i2
1 1 N σ = ( N : nn )n = (N1 + N 2 + N 3 )n = J1 n 3 3
π J cos ω 3
D 2
π J cos ω + 3
D 2
2 D3 = 3
J 2D cosω
就可满足前述三式。 就可满足前述三式。利用其中第三式可证
cos3ω =
27 J 3D 2J
D 32 2
不失广泛性， 不失广泛性，可设 D1 ≥ D2 ≥ D3 ，因此必有 D1 ≥ 0, D3 ≤ 0, 从而
2
T T T = H T QT Q H = H 2 > O
后二式存在方根，且其方根也是正张量， 后二式存在方根，且其方根也是正张量，即
H = T T T > O
H1 = T T T > O
张量基础知识分解共83页
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
Hale Waihona Puke
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三阶张量：X I×J×K
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纤维（fiber）
mode-1 （列）
纤维：x: jk
mode-2 （行）
纤维：xi:k
mode-3 （管）
纤维：xij:
◦ 性质：A BCD AC BD A B+ A+ B+
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矩阵的Kronecker乘积
◦ 矩阵的Kronecker积还和张量和矩阵的n-mode乘积有如 下关系
Y X 1 A(1) N A(N )
Y(n) A(n)X(n) A(N ) A(n1) A(n1)
张量的（超）对角线
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展开（matricization/unfolding/flattening）
◦ 将N阶张量 X 沿mode-n展开成一个矩阵X(n)
X(1)
三阶张量的mode-1展开
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n-mode（矩阵）乘积
◦ 一个张量X I1×I2× ×IN 和一个矩阵 U J×In 的n-mode
A a1 a2
aR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X(1) A C BT X(2) B C AT X(3) CB AT
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20
CP分解的切片形式
◦ 三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：
Xk AD(k )BT
其中 D(k ) diag(ck:)
A(1) T
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14
矩阵的Khatri-Rao乘积
◦ A I×K , B J×K ，则
A B a1 b1 a2 b2
aK bK IJ×K
◦ 性质：A B C A B C A B C
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15
矩阵的Hadamard乘积
◦ A I×J , B I×J ，则
ar
cr
br
X
A
BT
Xk
D(k )
三阶张量CP分解的正面切片形式
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带权CP分解
◦ 为了计算方便，通常假设因子矩阵的列是单位长度的，从
而需要引入一个权重向量 λ R ，使CP分解变为
乘积 X n U
I1× ×In1×J×In1× ×IN，其元素定义为 In
X U n
i1 in1 jin1 iN
x u i1i2 iN jin
in 1
◦ 这个定义可以写成沿mode-n展开的形式
Y X n U Y(n) UX(n)
◦ 性质：X m A n B X n B m A, m n
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切片（slice）
水平切片：Xi::
侧面切片：X: j:
正面切片：X::k (Xk )
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内积和范数
◦ 设 X ,Y I1×I2× ×IN
内积：
I1 I2
X ,Y i1 1 i2 1
IN
x y i1i2 iN i1i2 iN
iN 1
（Frobenius）范数：
◦ Polyadic Form of a Tensor, Hitchcock, 1927 ◦ PARAFAC(Parallel Factors), Harshman, 1970 ◦ CANDECOMP/CAND(Canonical decomposition),
Carroll & Chang, 1970 ◦ Topographic Components Model, Mö cks, 1988 ◦ CP(CANDECOMP/PARAFAC), Kiers, 2000
◦ 立方张量：各个mode的长度相等
◦ 对称：一个立方张量是对称的，如果其元素在下标的任意 排列下是常数。如一个三阶立方张量是超对称的，如果
xijk xikj x jik x jki xkij xkji ,i, j, k ◦ 对角：仅当 i1 i2 iN 时，xi1i2 iN 0
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基本概念及记号
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1
张量（tensor）
◦ 多维数组
一阶张量 （向量）
二阶张量 （矩阵）
三阶张量
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2
张量空间
◦ 由若干个向量空间中的基底的外积张成的空间
向量的外积和内积
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3
阶（order/ways/modes/rank）
◦ 张成所属张量空间的向量空间的个数
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18
CP分解的张量形式
◦ 将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张 量可以分解为
R
X A, B,C ar br cr r 1
c1 b1
c2 b2
cR bR
X
a1
a2
aR
三阶张量的CP分解
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19
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
X
I1 I2
X,X i1 1 i2 1
IN
x2 i1i2 iN
iN 1
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7
秩一张量/可合张量
◦ N阶张量 X I1×I2× ×IN 是一个秩一张量，如果它能被写
成N个向量的外积，即
X a(1) a(2)
a(N )
c
b
X
a
三阶秩一张量：X a b c
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（超）对称和（超）对角
X n An B X n BA
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n-mode（向量）乘积
◦ 一个张量X I1×I2× ×IN 和一个向量 v In 的n-mode
乘积 X n v
I1× ×In1×In1× ×IN ，其元素定义为
In
X v n
i1 in1in1 iN
x v i1i2 iN in
a11b11 A B a21b21
aI1bI
1
a12b12 a22b22
aI 2bI 2
a1J b1J
a2 Jb2 JI来自×JaIJ bIJ◦ 性质：A BT A B ATABTB
A B+ ATABTB + A BT
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16
CP分解
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17
CP分解的其他名字
in 1
◦ 性质：
X m a n b X m a n1 b X n b m a, m n
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12
矩阵的Kronecker乘积
◦ A I×J , B K×L ，则
a11B A B a21B
aI
1B
a12B a22B
aI 2B
a1J B
a2
J
B
IK ×JL
aIJ
B