张量分解学习
张量分解与张量计算方法
张量分解与张量计算方法随着信息技术的不断发展，数据处理和分析的方式也在不断改变。
张量计算方法作为一种重要的数学工具，正在得到越来越广泛的应用。
而张量分解作为张量计算方法的核心，其在数据处理和分析上的应用也越来越受到关注。
一、什么是张量？张量在物理学和工程学中是一种重要的数学工具。
其表现形式可以是阶数不同的多维数组。
例如，标量可以看作是零阶张量，向量可以看作是一阶张量，矩阵可以看作是二阶张量。
一般地，n 维张量可以表示为由n个指标指定位置上元素的数组。
在实际应用中，张量在物理学、工程学、化学、材料学、计算机科学等领域中得到了广泛的应用。
这些应用主要涉及到标量、向量等不同维度的数据集合，包括流体力学、量子力学、信号处理等等。
二、张量分解的概念和方法当涉及到多维数据集合时，传统的矩阵和向量的处理方法已经不再适用。
这时候，张量分解方法就显得尤为重要。
张量分解是一种将多维数据映射到低维空间中的方法，可以将多维数据转化为一组基础因子（Factors），从而更容易对数据进行分析、处理和可视化。
张量分解方法是对张量进行降维处理的方法。
这种方法通过将高维数据映射到低维空间来实现简化数据集合的目的。
常见的张量分解方法包括Principal Component Analysis (PCA)、N-Mode Singular Value Decomposition (N-SVD)、Canonical Polyadic Decomposition (CPD)等。
其中，CPD方法是最常用的张量分解方法之一。
其主要思想是将原始数据转化为多个基础矩阵（Factor Matrix）的乘积形式，从而将高维数据分解为若干个比较容易处理的低维矩阵。
三、张量计算方法的应用张量计算方法在现代科学、工程、医学等领域中都有重要应用。
在医学领域中，张量计算方法被广泛应用于脑神经元的结构分析、脑胶质瘤的诊断、心肌收缩行为的模拟等领域。
在机器学习领域中，张量计算方法也是一个重要的工具。
稀疏张量分解
稀疏张量分解稀疏张量分解是一种高效处理大规模数据集的方法。
在计算机科学和机器学习领域，大规模的数据集是常见的。
这些数据集通常包含大量的特征和样本，处理起来非常耗时和耗资源。
稀疏张量分解的目的就是通过对数据进行压缩和降维，提高计算效率和节省存储空间。
稀疏张量是一种特殊的张量，它的大部分元素都是0。
与稠密张量不同，稀疏张量只存储非零元素的位置和值，而将零元素省略掉。
这种方式能够大幅减少存储空间的占用，尤其在处理大规模数据集时，效果更为明显。
稀疏张量分解是将一个稀疏张量分解成多个较小的稀疏张量的过程。
这种分解方法可以通过降维和特征提取来实现。
首先，对原始稀疏张量进行降维，将其表示为一个低秩的近似张量。
然后，通过特征提取方法，将近似张量进一步分解为更小的稀疏张量。
稀疏张量分解有很多应用。
在推荐系统中，稀疏张量分解可以用于对用户的行为和偏好进行建模，从而提高推荐的准确性和个性化程度。
在图像处理中，稀疏张量分解可以用于图像压缩和去噪，减少存储和传输的成本。
在自然语言处理中，稀疏张量分解可以用于对文本进行主题建模和情感分析，从而提取有用的信息和知识。
稀疏张量分解的方法有很多，常用的包括奇异值分解（SVD）、非负矩阵分解（NMF）和张量分解机（TF），每种方法都有其适用的场景和特点。
奇异值分解是一种经典的分解方法，可以得到最优的低秩近似。
非负矩阵分解是一种常用的分解方法，适用于具有非负性约束的数据集。
张量分解机是一种新兴的分解方法，适用于处理高维度和稀疏性较高的数据集。
稀疏张量分解虽然能够提高计算效率和节省存储空间，但也存在一些挑战和限制。
首先，稀疏张量分解的计算复杂度较高，需要消耗大量的时间和计算资源。
其次，稀疏张量分解的结果可能会引入一定的信息损失，影响模型的性能和准确性。
此外，稀疏张量分解的方法和参数选择也需要一定的经验和技巧，不同的数据集和任务可能需要不同的处理方式。
稀疏张量分解是一种高效处理大规模数据集的方法。
分布式的增量式张量tucker分解方法
分布式的增量式张量Tucker分解方法一、概述随着大数据和人工智能的兴起，张量分解作为一种重要的数据分析方法，具有越来越广泛的应用。
张量Tucker分解是其中一种经典的张量分解方法，它能够将高维张量进行低维近似表示，从而帮助我们更好地理解和处理数据。
然而，传统的Tucker分解方法在处理大规模数据时速度缓慢，因此研究人员提出了分布式的增量式张量Tucker分解方法，以适应大规模数据的需求。
二、传统的张量Tucker分解1. 张量的定义在介绍Tucker分解方法前，我们先来了解一下张量的基本概念。
张量是一种多维数组，可以看作是矩阵在高维空间的推广。
在数据分析中，我们常常会遇到高维数据，而张量可以很好地用来表示和处理这些数据。
2. Tucker分解的原理Tucker分解是将一个高阶张量表示为一组低阶张量的乘积的过程。
具体来说，对于一个三阶张量A，Tucker分解可以表示为A = G x1 U x2 V x3 W，其中G是核张量，U、V、W分别是模式1、模式2和模式3的矩阵。
通过Tucker分解，我们可以用较低的维度来表示原始张量，从而实现数据的降维和压缩。
3. 传统Tucker分解的局限性尽管Tucker分解在数据分析中具有重要意义，但传统的Tucker分解方法在处理大规模数据时存在速度较慢、内存消耗较大的问题。
这主要是因为传统方法需要一次性加载整个张量数据，并在单机上进行分解，无法很好地应对大规模数据的需求。
三、分布式的增量式张量Tucker分解方法1. 分布式计算框架针对传统Tucker分解方法的局限性，研究人员提出了分布式的增量式张量Tucker分解方法。
该方法基于分布式计算框架，通过将张量分解任务分配给多台计算机进行并行处理，实现了对大规模数据的高效处理。
2. 增量式分解与传统的一次性加载整个张量数据并进行分解不同，增量式张量Tucker分解方法可以逐步处理张量数据。
具体地，它可以将原始张量分解为若干小块的子张量，并在每个子张量上进行分解计算。
张量块向分解
张量块向分解1. 引言张量是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
张量块是由多个张量组成的复合结构，也称为高阶张量。
在某些情况下，我们可能需要将张量块进行分解，以便更好地理解和处理数据。
本文将介绍张量块的概念和分解方法，并探讨其在实际应用中的意义和效果。
2. 张量块的定义张量块是由多个张量按照一定规律排列组合而成的结构。
它可以看作是一个多维数组，每个维度都对应一个张量。
例如，一个二维张量块可以表示为：[[T1, T2],[T3, T4]]其中T1、T2、T3和T4分别是四个二维张量。
张量块可以有任意多的维度，每个维度可以有任意多的张量。
3. 张量块的分解方法张量块的分解方法有很多种，常用的方法包括SVD分解、CP分解和Tucker分解。
这些方法可以将张量块分解成更简单的子结构，从而方便后续的处理和分析。
3.1 SVD分解SVD（Singular Value Decomposition）是一种常用的张量块分解方法。
它将张量块分解为三个矩阵的乘积，即：A = U * Σ * V^T其中A是待分解的张量块，U、Σ和V分别是三个矩阵。
U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
SVD分解可以将张量块的信息压缩到较低维度的矩阵中，从而减少数据的存储和计算量。
3.2 CP分解CP（Canonical Polyadic）分解是另一种常用的张量块分解方法。
它将张量块分解为多个张量的线性组合，即：A = sum(lambda_i * [u1_i, u2_i, ..., un_i])其中A是待分解的张量块，lambda_i是权重系数，u1_i、u2_i、…、un_i是一组张量。
CP分解可以将张量块分解为一组低秩张量的线性组合，从而提取出张量块中的主要特征。
3.3 Tucker分解Tucker分解是一种综合了SVD和CP分解的张量块分解方法。
它将张量块分解为一个核张量和一组模态张量的乘积，即：A = G * [U1, U2, ..., Un]其中A是待分解的张量块，G是核张量，U1、U2、…、Un是一组模态张量。
张量的分解与应用
张量的分解与应用张量是现代数学和物理学中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
张量的分解是将一个复杂的张量表示为若干个简单的张量的乘积的过程，它在数据分析、图像处理、机器学习等领域中具有重要的意义。
让我们了解一下张量是什么。
张量可以被看作是多维数组或矩阵的推广。
在数学上，张量的定义涉及到线性代数和多线性代数的概念。
在物理学中，张量是描述物理量在空间中的变化和转换规律的数学工具。
张量的阶数表示了它的维度，例如，一阶张量是一个向量，二阶张量是一个矩阵，三阶张量是一个立方体。
张量的分解是将一个复杂的张量表示为若干个简单的张量的乘积的过程。
这种分解可以使得原始的张量表示更加简洁和易于处理。
其中最著名的分解方法之一是奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）。
奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：一个包含了原始矩阵的所有信息的对角矩阵，一个包含了原始矩阵的列空间的正交矩阵，和一个包含了原始矩阵的行空间的正交矩阵。
奇异值分解在数据分析和图像处理中有着广泛的应用。
在数据分析领域，张量的分解可以用于降维和特征提取。
通过将一个高维的数据张量分解为若干个低维的张量的乘积，我们可以减少数据的维度，并且保留数据中的重要特征。
这在处理大规模数据和高维数据时非常有用，可以帮助我们更好地理解数据和发现数据中的模式。
在图像处理领域，张量的分解可以用于图像压缩和图像恢复。
通过将一个图像张量分解为若干个低秩的张量的乘积，我们可以减少图像的存储空间和传输带宽。
同时，通过对这些低秩张量进行逆向分解，我们可以恢复原始的图像，尽可能地减少信息的损失。
这在图像传输和存储中非常有用，可以提高图像的传输速度和节约存储空间。
在机器学习领域，张量的分解可以用于矩阵分解和张量分解的模型。
这些模型可以用于推荐系统、社交网络分析、文本挖掘等任务。
通过将一个高维的数据张量分解为若干个低秩的张量的乘积，我们可以在保持模型准确性的同时，减少模型的复杂度和参数量。
matlab 张量分解
matlab 张量分解
在 MATLAB 中，张量分解是一种将多维数组（张量）分解为多个矩阵或其他张量的运算。
张量的概念类似于矩阵，但张量有更多的维度。
张量分解在许多领域都有应用，例如机器学习、图像处理和信号处理。
在 MATLAB 中，常见的张量分解方法包括：
1. 奇异值分解 (SVD)：对于一个矩阵或张量，奇异值分解可以将它分解为三个矩阵的乘积，类似于矩阵的 QR 分解。
在 MATLAB 中，可以使用 `svd` 函数来执行奇异值分解。
2. 特征值分解 (EVD)：对于一个方阵，特征值分解可以将它分解为一系列特征向量和特征值的乘积。
在 MATLAB 中，可以使用 `eig` 函数来执行特征值分解。
3. Tucker 分解：对于一个高阶张量，Tucker 分解可以将它分解为一组低阶矩阵的乘积，这些矩阵可以表示张量的各个模式。
在 MATLAB 中，可以使用 `tucker` 函数来执行 Tucker 分解。
4. CANDECOMP/PARAFAC (CP/PARAFAC)：这是一种针对高阶张量的分解方法，可以将高阶张量分解为一组低阶张量的乘积。
在 MATLAB 中，可以使用 `cp` 函数来执行CANDECOMP/PARAFAC 分解。
张量分解的应用
张量分解的应用
张量分解的应用
在机器学习领域中，张量分解是一种十分有效的数据压缩和信息提取
方法。
张量（即多维数组）在现实生活中无处不在，比如视频、语音、图像等。
通过将张量分解成低秩张量的形式，可以压缩数据并挖掘出
数据中隐藏的信息。
一类应用：文本处理
在文本处理领域中，张量分解可以用于推荐系统、情感分析、主题建
模等任务。
比如，在推荐系统中，可以将用户和物品之间的评价看作
一个张量，其中张量的维度包括用户、物品和时间。
通过将张量分解
成低秩张量的形式，可以提取出用户的偏好、物品的属性和时间的因素，从而实现更加精准的推荐。
一类应用：医学图像分析
在医学图像分析领域中，张量分解可以用于分析磁共振成像（MRI）
数据。
通过将MRI数据看作一个张量，其中张量的维度包括空间坐标
和时间，可以分解出不同的组织类型和组织变化规律，从而有助于诊
断疾病和设计治疗方案。
一类应用：运动识别
在运动识别领域中，张量分解可以用于识别人体运动的动作和姿势。
通过将人体运动的数据看作一个张量，其中张量的维度包括时间、关节移动和空间坐标，可以提取出不同动作的关键特征，并训练分类器进行识别。
总结
综上所述，张量分解是一种强大的数据分析工具，在多领域中都有广泛应用。
通过将高维张量压缩成低秩张量的形式，可以提高数据处理效率和准确度，从而为我们的生活带来更多便利和创新。
张量链式分解
张量链式分解张量链式分解是一种针对高维张量的分解方法，它将一个高维张量分解成多个低维张量的乘积形式，从而实现对高维数据的降维和压缩。
该方法广泛应用于数据挖掘、机器学习、图像处理等领域。
一、基本概念1. 张量在数学中，张量是向量和矩阵的推广，它可以表示多个向量或矩阵组成的数组。
在物理学中，张量是描述物理现象的数学工具。
2. 链式分解链式分解是一种将一个复杂系统分解成多个简单系统的方法。
在数学中，链式分解可以应用于函数分解、矩阵分解等领域。
二、张量链式分解原理1. 奇异值分解（SVD）奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵乘积形式的方法。
其中，原始矩阵可以表示为左奇异向量矩阵、奇异值对角矩阵和右奇异向量矩阵相乘的形式。
这种方法可以用于降维和压缩数据。
2. 多重线性回归（MLR）多重线性回归是一种将多个自变量与一个因变量之间的关系建模的方法。
它可以用于预测和分析数据。
3. 张量分解张量分解是一种将高维张量分解成多个低维张量乘积形式的方法。
其中，原始张量可以表示为多个低维张量相乘的形式。
这种方法可以用于降维、压缩和挖掘数据。
三、张量链式分解应用1. 图像处理在图像处理中，张量链式分解可以用于对图像进行降噪、去除伪影等操作。
例如，可以将原始图像表示为多个低维张量相乘的形式，然后通过去除一些低维张量来实现降噪效果。
2. 数据挖掘在数据挖掘中，张量链式分解可以用于对高维数据进行降维和压缩。
例如，在推荐系统中，可以将用户-物品评级矩阵表示为多个低维矩阵相乘的形式，从而实现对用户和物品特征的提取和降噪。
3. 机器学习在机器学习中，张量链式分解可以用于对高维数据进行特征提取和分类。
例如，在文本分类中，可以将文本表示为多个低维张量相乘的形式，然后通过对这些低维张量进行分类来实现文本分类效果。
四、总结张量链式分解是一种针对高维数据的分解方法，它可以将高维数据分解成多个低维数据的乘积形式，从而实现对高维数据的降维和压缩。
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张量的（超）对角线
9
展开（matricization/unfolding/flattening） ◦ 将N阶张量 X 沿mode-n展开成一个矩阵 X( n)
X (1)
三阶张量的mode-1展开
10
n-mode（矩阵）乘积
◦ 一个张量X I1×I2 × ×I N 和一个矩阵 U J ×In 的n-mode IN 乘积 X n U I1× ×In1×J ×In1× × ，其元素定义为 I
I1× I2 × × IN
X ,Y
i1 1 i2 1
I1
I2
iN 1
x
I1
IN
i1i2 iN
yi1i2
iN
（Frobenius）范数：
X
X,X
i1 1 i2 1
I2
iN 1
2 x i1i2
IN
iN
7
秩一张量/可合张量
◦ N阶张量 X I1×I2 × ×I N 是一个秩一张量，如果它能被写 成N个向量的外积，即
A
( n 1)
A
( n 1)
A
(1) T
14
矩阵的Khatri-Rao乘积
◦ A
I× K
A
, B J ×K ，则 B a1 b1 a2 b2
aK bK
IJ × K
◦ 性质：A
B C A B C A
B
C
15
矩阵的Hadamard乘积
11
n-mode（向量）乘积
◦ 一个张量X I1×I2 × ×I N 和一个向量 v In 的n-mode 乘积 X n v I1× ×In1×In1× ×I N ，其元素定义为
X n v i
◦ 性质：
1
in1in1 iN
xi1i2
in 1
In
iN in
三阶张量： X
I ×J ×K
4
纤维（fiber）
mode-1 （列） 纤维：x: jk
mode-2 （行） 纤维：xi:k
mode-3 （管） 纤维：xij:
5
切片（slice）
水平切片：Xi::
侧面切片：X: j:
正面切片：X::k ( Xk )
6
内积和范数
◦ 设 X ,Y 内积：
◦ A
, B I ×J a11b11 a b A B 21 21 aI 1bI 1
I ×J
，则
a12b12 a22b22 aI 2bI 2
a1J b1J a2 J b2 J aIJ bIJ
I ×J
◦ 性质： A
B
T
A
A
B A A B B
v
X m a n b X m a n1 b X n b m a, m n
12
矩阵的Kronecker乘积
◦ A
I ×J
,B
K× L
，则
a11B a12 B a B a B 21 22 AB aI 1B aI 2 B
a1J B a2 J B aIJ B
18
CP分解的张量形式
◦ 将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张 量可以分解为
X A, B, C a r b r cr
r 1
R
X
a1
c1
b1
a2
c2
b2
aR
cR
bR
三阶张量的CP分解
19
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
A a1 a2
X n U i
1
in1 jin1 iN
xi1i2
in 1
n
iN
u jin
◦ 这个定义可以写成沿mode-n展开的形式
Y X n U Y( n) UX( n)
◦ 性质：X m A n B X n B m A, m n
X n A n B X n BA
基本概念及记号
1
张量（tensor）
◦ 多维数组
一阶张量 （向量）
三阶张量 二阶张量 （矩阵）
2
张量空间
◦ 由若干个向量空间中的基底的外积张成的空间
向量的外积和内积
3
阶（order/ways/modes/rank）
◦ 张成所属张量空间的向量空间的个数
一阶张量（向量）： x {xi } 二阶张量（矩阵）： X {xij } 三阶或更高阶张量： X {xij k } 零阶张量（数量）： x
aR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X(1) A C X(2) B C X(3) C BBT TAAT20
CP分解的切片形式
◦ 三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：
+ T T
B AT A BT B
+
A
B
T
16
CP分解
17
CP分解的其他名字
◦ Polyadic Form of a Tensor, Hitchcock, 1927 ◦ PARAFAC(Parallel Factors), Harshman, 1970 ◦ CANDECOMP/CAND(Canonical decomposition), Carroll & Chang, 1970 ◦ Topographic Components Model, Mö cks, 1988 ◦ CP(CANDECOMP/PARAFAC), Kiers, 2000
X a(1) a(2)
a( N )
c
X
b
a
三阶秩一张量：X
a b c
8
（超）对称和（超）对角
◦ 立方张量：各个mode的长度相等 ◦ 对称：一个立方张量是对称的，如果其元素在下标的任意 排列下是常数。如一个三阶立方张量是超对称的，如果
xijk xikj x jik x jki xkij xkji ,i, j, k ◦ 对角：仅当 i1 i2 iN 时，xi1i2 iN 0
IK ×JL
◦ 性质： A BC D AC BD
A B
+
A+ B+
13
矩阵的Kronecker乘积
◦ 矩阵的Kronecker积还和张量和矩阵的n-mode乘积有如 下关系
Y X 1 A(1)
(n)
N A ( N )
(N )
Y( n ) A X( n ) A