张量分解学习
张量基础知识
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
多模态知识图谱表示学习综述
多模态知识图谱表示学习综述多模态知识图谱表示学习综述摘要：随着大数据时代的到来，知识图谱成为了对现实世界进行建模和分析的重要工具。
然而，传统的知识图谱主要基于文本信息进行构建和表示，忽略了其他多模态数据的丰富信息。
针对这个问题，多模态知识图谱表示学习应运而生。
本文将对多模态知识图谱表示学习的研究现状、方法和应用进行综述，以期为相关领域的研究者提供参考和启发。
一、引言知识图谱是一种以图的形式表达的知识库，其中知识以实体、关系和属性的形式存储。
传统的知识图谱以基于文本的方式进行构建和表示，通过对文本进行实体抽取、关系抽取等技术来获得知识。
然而，文本信息属于单模态数据，仅能够提供有限的知识表达能力。
随着多模态数据的快速增长，如图像、音频和视频等，如何将多模态数据融入知识图谱表示学习成为当前研究的热点和挑战。
二、多模态知识图谱表示学习的研究现状多模态知识图谱表示学习旨在利用多模态数据增强知识图谱的表达能力。
已有的研究主要可以分为两类：基于图的方法和基于张量的方法。
基于图的方法使用图神经网络（GNN）来建模并融合多模态数据，利用节点和边的信息进行知识表示学习。
基于张量的方法则将多模态数据表示为高阶张量，通过张量分解等技术进行知识表示学习。
三、多模态知识图谱表示学习的方法多模态知识图谱表示学习的方法多种多样，以下是其中几种常见的方法：1. 卷积神经网络（CNN）和循环神经网络（RNN）：这两种方法广泛用于图像和文本数据的表示学习，可以将其应用于多模态知识图谱表示学习中，从而提高知识图谱的表达能力。
2. 图卷积神经网络（GCN）：GCN是一种特殊的卷积神经网络，它通过聚合周围节点的信息来更新当前节点的表示，已被广泛应用于多模态知识表示学习中。
3. 张量分解：张量分解可以将多维张量分解为若干低维张量，从而实现对多模态数据的表示学习。
常用的张量分解方法包括SVD、CP分解等。
四、多模态知识图谱表示学习的应用多模态知识图谱表示学习在许多领域中具有广泛的应用前景，以下是其中几个常见的应用：1. 音乐推荐：通过将音乐数据和用户数据融入知识图谱表示学习，可以提高音乐推荐系统的精确度和个性化程度。
张量算法简明教程
张量算法简明教程张量算法是一种基于张量的高阶线性代数和数学方法，其被广泛应用于计算机科学、机器学习、神经网络和人工智能等领域。
张量算法可以描述和处理诸如多维数组、多项式、图像、声音、文本等复杂的结构化数据，并且具有很高的灵活性和可扩展性。
张量的基础概念：在计算机科学和机器学习中，张量是一种多维数组或矩阵的表示方式。
与标量和向量不同，张量可以具有任意次数的维度，并且每个维度可以具有任意数量的元素。
例如，一个三维张量可以看作是一个 $m \times n \times p$ 的数组，其中 $m$ 表示第一维的大小，$n$ 表示第二维的大小，$p$ 表示第三维的大小。
张量中的每个元素可以看作是一个标量或数字，但通常情况下，这些元素表示的是更高维度的结构化信息。
例如，一个 $n \times n$ 的矩阵可以看作是一个二阶张量，其中每个元素表示两个向量之间的关系。
张量的表示：在张量表示中，每个维度通常用一些符号来表示，例如 $i,j,k$ 表示第一、二、三维。
在这些符号后面，可以使用方括号表示下标来访问张量中的元素，例如$A_{i,j}$ 表示一个二维张量中第 $i$ 行，第 $j$ 列的元素。
在Python中，张量可以使用多种数据结构来表示，例如numpy数组、PyTorch张量等等。
例如，在numpy中，可以使用以下方式创建一个 $3 \times 3 \times 3 $ 的三维张量：```pythonimport numpy as npx = np.random.rand(3,3,3)print(x)```张量运算：张量运算是处理张量的基础操作，可以用于创建新的张量、计算相似度和距离、转换维度等等。
以下是一些常见的张量运算：1. 张量加法：两个张量中对应元素相加得到的一个新张量。
3. 张量转置：将张量的某些维度交换得到的一个新张量。
4. 张量求逆：对于可逆的张量，可以求得其逆或伪逆。
5. 张量降维：将高维张量转换为二维矩阵或向量。
麦克斯韦张量法入门
麦克斯韦张量法
一、基本公式
1. 磁力密度的计算，仅极坐标系 合力的面密度：2
2B f µ= 径向力的面密度：()()220
12r r t f B B θθµ =− 切向力的：()()01
t r t f B B θθµ=
对于笛卡尔坐标系，可以自行分解
2. 磁力再圆上积分，仅极坐标系 合力：()20
1
2F fds B s ds µ==∫∫ 径向分力：22200
[()()]2r t r r RL B B F f ds d π
θθθµ−==∫∫ 切向分力：200
[()()]r t t
t RL B B F f ds d πθθθµ==∫∫ 3. 转矩的计算 方法一：e t T F R = 方法二：2200[()()]r t e
t R L B B T f ds d πθθθµ==∫∫
二、在maxwell中的实现
1.b r与b t的创建
此处以bn为例（b r=b n）
2.在曲线图查看磁密分布
选择特定的自变量：时间或者参数化的特定取值
3.气隙磁密的傅里叶分解问题
条件：横坐标要为一个周期，要转换为单位“1”。
对幅值进行傅里叶分解
4.张量法的计算
径向力
integ((L)*(bt^2-bn^2)/(2*4*pi*1e-7))
L为长度，单位为标准单位
切向力
integ((L)*(bt*bn)/(4*pi*1e-7))。
非负张量分解
非负张量分解一、引言非负张量分解（Nonnegative Tensor Factorization，NTF）是一种基于矩阵分解的多维数据分析方法，它可以将高维数据转化为低维表示，并且能够保留原始数据的主要特征。
NTF 在图像处理、语音识别、信号处理等领域得到了广泛的应用。
二、背景知识1. 张量张量（Tensor）是一种广义的矩阵，它可以表示多维数组。
在机器学习和数据挖掘中，我们经常需要处理高维数据，因此张量成为了非常重要的概念。
2. 非负矩阵分解非负矩阵分解（Nonnegative Matrix Factorization，NMF）是一种常见的降维方法，它可以将一个矩阵分解为两个非负矩阵的乘积。
NMF 能够提取出原始数据中的主要特征，并且具有良好的可解释性。
3. 多维尺度分析多维尺度分析（Multi-Dimensional Scaling，MDS）是一种将高维空间中的点映射到低维空间中的方法。
MDS 可以用于可视化高维数据，并且能够保留原始数据之间的距离关系。
三、非负张量分解的原理1. 目标函数假设我们有一个 $n$ 维张量 $X$，我们希望将其分解为 $r$ 个非负矩阵的乘积，即：$$X \approx \sum_{i=1}^r A_1(:,i) \circ A_2(:,i) \circ \cdots \circA_n(:,i)$$其中 $\circ$ 表示哈达玛积（Hadamard Product），即对应元素相乘。
$A_k(:,i)$ 表示第 $k$ 个矩阵的第 $i$ 列。
我们需要找到一组非负矩阵 $A_1, A_2, \cdots, A_n$，使得它们的乘积能够最好地逼近原始张量 $X$。
为了实现这个目标，我们需要定义一个目标函数：$$\min_{A_k \geq 0} \| X - \sum_{i=1}^r A_1(:,i) \circ A_2(:,i) \circ \cdots \circ A_n(:,i) \|_F^2$$其中 $\|.\|_F$ 表示 Frobenius 范数。
2.6二阶张量的分解
N =P+D
于是 其中
T = N + = P + D+ 1 T i 1 T i j j P = P j g i g = J 1 δ j g i g = J1 G 3 3 1 k P T N J1 = J1 = J1 = N k 3 1 N 2 1 N 3 P P J 2 = J1 J3 = J1 3 27
i3
1 (i1 + i2 + i3 ) n= 3
N 在八面体等斜面上作用的矢量分量： 在八面体等斜面上作用的矢量分量：
σ
i3' n i2' pn
1 (N1i1 + N 2 i2 + N 3i3 ) pn = N n = 3
pn 的法向分矢量： 的法向分矢量：
i1
i1'
ω τ
i2
1 1 N σ = ( N : nn )n = (N1 + N 2 + N 3 )n = J1 n 3 3
π J cos ω 3
D 2
π J cos ω + 3
D 2
2 D3 = 3
J 2D cosω
就可满足前述三式。 就可满足前述三式。利用其中第三式可证
cos3ω =
27 J 3D 2J
D 32 2
不失广泛性， 不失广泛性，可设 D1 ≥ D2 ≥ D3 ，因此必有 D1 ≥ 0, D3 ≤ 0, 从而
2
T T T = H T QT Q H = H 2 > O
后二式存在方根，且其方根也是正张量， 后二式存在方根，且其方根也是正张量，即
H = T T T > O
H1 = T T T > O
python张量分解
python张量分解在Python中，张量分解可以通过多种库来实现，其中最常用的是NumPy和TensorFlow。
下面分别介绍这两种库中的张量分解方法。
1. NumPy库中的张量分解：NumPy是Python中用于科学计算的一个常用库，它提供了很多用于数组操作的函数。
在NumPy中，可以使用linalg模块中的函数来进行张量分解。
其中，最常用的是奇异值分解（SVD）和特征值分解（EVD）。
奇异值分解：```pythonimport numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])U, s, VT = np.linalg.svd(A)```特征值分解：```pythonimport numpy as npA = np.array([[1, 2], [2, 1]])w, V = np.linalg.eig(A)```2. TensorFlow库中的张量分解：TensorFlow是一个用于机器学习和深度学习的强大库，它提供了各种张量操作的函数。
在TensorFlow中，可以使用tf.linalg模块中的函数来进行张量分解。
其中，最常用的是奇异值分解（SVD）和特征值分解（EVD）。
奇异值分解：```pythonimport tensorflow as tfA = tf.constant([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], dtype=tf.float32)s, U, V = tf.linalg.svd(A)```特征值分解：```pythonimport tensorflow as tfA = tf.constant([[1, 2], [2, 1]], dtype=tf.float32)w, V = tf.linalg.eig(A)```以上是使用NumPy和TensorFlow库进行张量分解的简单示例。
在实际应用中，还可以使用其他专门用于张量分解的库，如scikit-tensor、PyTorch等。
张量基础知识分解共83页
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
Hale Waihona Puke
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X ,Y xi1i2iN yi1i2iN
i1 1 i2 1 iN 1
I1
I2
IN
（Frobenius）范数：
X
X,X
2 x i1i2iN i1 1 i2 1 iN 1
I1
I2
IN
8
秩一张量/可合张量
×I N ◦ N阶张量 X I1×I2 × 是一个秩一张量，如果它能被写 成N个向量的外积，即
a1 J B a2 J B IK ×JL aIJ B
◦ 性质： A BC D AC BD
A B
+
A+ B+
14
矩阵的Kronecker乘积
◦ 矩阵的Kronecker积还和张量和矩阵的n-mode乘积有如 下关系
CP分解的计算
◦ ALS算法并不能保证收敛到一个极小点，甚至不一定能收 敛到稳定点，它只能找到一个目标函数不再下降的点 ◦ 算法的初始化可以是随机的，也可以将因子矩阵初始化为 对应展开的奇异向量，如将 A 初始化为 X(1) 的前 R 个左奇 异向量
31
CP分解的应用
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 计量心理学 语音分析 化学计量学 独立成分分析 神经科学 数据挖掘 高维算子近似 随即偏微分方程 …………
r 1
R
◦ 作为ALS的一个子问题，固定 B 和 C ，求解
min X(1) Adiag( λ) C B
A
T F
得 Adiag(λ) X(1) C B X(1) C B C C B B
T
+
T
T
+
再通过归一化分别求出 A 和 λ
30
彭毅
1
基本概念及记号
2
张量（tensor）
◦ 多维数组
一阶张量 （向量）
三阶张量 二阶张量 （矩阵）
3
张量空间
◦ 由若干个向量空间中的基底的外积张成的空间
向量的外积和内积
4
阶（order/ways/modes/rank）
◦ 张成所属张量空间的向量空间的个数
一阶张量（向量）： x {xi } 二阶张量（矩阵）： X {xij } 三阶或更高阶张量： X {xijk } 零阶张量（数量）： x
24
张量的秩
◦ 不同于矩阵的秩，高阶张量的秩在实数域和复数域上不一 定相同。例如一个三阶张量 X
在实数域内进行秩分解得到的因子矩阵为
1 0 X1 0 1
0 1 X2 1 0
而在复数域内进行分解得到的因子矩阵为
1 0 1 A 0 1 1
◦ 性质：A B C A B C A B C
16
矩阵的Hadamard乘积
◦ A I ×J , B I ×J ，则
a11b11 a b A B 21 21 aI 1bI 1
◦ 性质： A B
T
a12 b12 a22 b22 aI 2bI 2
其中 D
(k )
diag(ck: )
ar cr br
X
A
D( k )
BT
Xk
三阶张量CP分解的正面切片形式
22
带权CP分解
◦ 为了计算方便，通常假设因子矩阵的列是单位长度的，从 而需要引入一个权重向量 λ R ，使CP分解变为
X λ; A, B, C r ar br cr
12
n-mode（向量）乘积
×I N ◦ 一个张量X I1×I2 × 和一个向量 v In 的n-mode × I n1× I n1× × IN 乘积 X n v I1× ，其元素定义为
X n v i i
1
n1in1iN
xi1i2iN vin
32
Tucker分解
33
Tucker分解的其他名字
◦ Three-mode factor analysis(3MFA/Tucker3), Tucker, 1966 ◦ Three-mode principal component analysis(3MPCA), Kroonenberg & De Leeuw, 1980 ◦ N-mode principal components analysis, Kapteyn et al., 1986 ◦ Higher-order SVD(HOSVD), De Lathauwer et al., 2000 ◦ N-mode SVD, Vasilescu and Terzopoulos, 2002
Y X 1 A(1) N A( N ) Y( n) A X( n) A
( n) (N)
A
( n 1)
A
( n 1)
A
(1) T
15
矩阵的Khatri-Rao乘积
◦ A I ×K , B J ×K ，则
A B a1 b1 a2 b2 aK bK IJ ×K
X n U i i
1
n1 jin1iN
xi1i2iN u jin
in 1
n
◦ 这个定义可以写成沿mode-n展开的形式
Y X n U Y(n) UX( n)
◦ 性质：X m A n B X n B m A, m n
X n A n B X n BA
A a1 a2 aR
X(1) A C B
T T
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X(2) B C A X(3) C B A
T
21
CP分解的切片形式
◦ 三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：
Xk AD( k )BT
◦ 对于高阶张量，有
r 1 (1) (2) ( N) (1) (2) ( N) X λ ; A , A , , A a a a r r r r r 1 R
R
其展开形式为
X( n ) A diag(λ ) A
( n)
(N)
A
( n 1)
X a1 b1 c2 a1 b2 c1 a2 b1 c1 1 1 1 Y a1 a2 b1 b2 c1 c2 a1 b1 c1
27
张量的低秩近似
k
n 1
N
A( n )
2R N 1
这里 kA 表示矩阵 A 的k-秩：任意k列都线性无关的最大 的k
26
张量的低秩近似
◦ 然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差
Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不 包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进 地得到 下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在
X a(1) a(2) a( N )
c
X
b
a
三阶秩一张量：X
abc
9
（超）对称和（超）对角
◦ 立方张量：各个mode的长度相等 ◦ 对称：一个立方张量是对称的，如果其元素在下标的任意 排列下是常数。如一个三阶立方张量是超对称的，如果
xijk xikj x jik x jki xkij xkji ,i, j , k ◦ 对角：仅当 i1 i2 iN 时，xi1i2iN 0
a1 J b1 J a2 J b2 J I ×J aIJ bIJ
A B AT A BT B
A B A A B B
+ T T
+
A B
T
17
CP分解
18
CP分解的其他名字
A
( n 1)
A
(1) T
23
张量的秩和秩分解
◦ 张量 X 的秩定义为用秩一张量之和来精确表示 X 所需要 的秩一张量的最少个数，记为 rank( X ) ◦ 秩分解：
rank( X )
X
r 1
(2) ( N) a(1) a a r r r
可见秩分解是一个特殊的CP分解，对应于矩阵的SVD ◦ 目前还没有方法能够直接求解一个任意给定张量的秩，这 被证明是一个NP-hard问题
◦ 退化：如果一个张量能够被一系列的低秩张量任意逼近 ◦ 边缘秩（border rank）：能够任意逼近一个张量的最少 的成分个数
秩2 秩3
X
Y
X
(0)
X
(1)
X (2)
一个秩为2的张量序列收敛到一个秩3张量
28
CP分解的计算
◦ 分解成多少个秩一张量（成分）之和？
通常的做法是从1开始尝试，知道碰到一个“好”的结果为止 如果有较强的应用背景和先验信息，可以预先指定
◦ Polyadic Form of a Tensor, Hitchcock, 1927 ◦ PARAFAC(Parallel Factors), Harshman, 1970 ◦ CANDECOMP/CAND(Canonical decomposition), Carroll & Chang, 1970 ◦ Topographic Components Model, Mö cks, 1988 ◦ CP(CANDECOMP/PARAFAC), Kiers, 2000