概率张量分解综述
张量分解
三阶张量： X
I ×J ×K
5
纤维（fiber）
mode-1 （列） 纤维：x: jk
mode-2 （行） 纤维：xi:k
mode-3 （管） 纤维：x ij:
6
切片（slice）
水平切片：Xi::
侧面切片：X: j:
正面切片：X::k ( X k )
7
内积和范数
◦ 设 X ,Y 内积：
I1 ×I 2 × ×I N
X ,Y xi1i2 iN yi1i2 iN
i1 1 i2 1 iN 1
I1
I2
IN
（Frobenius）范数：
X
X,X
xi2i2 iN 1
i1 1 i2 1 iN 1
I1
I2
IN
8
秩一张量/可合张量
◦ N阶张量 X I1×I 2 × ×I N 是一个秩一张量，如果它能被写 成N个向量的外积，即
张量的（超）对角线
10
展开（matricization/unfolding/flattening）
◦ 将N阶张量 X 沿mode-n展开成一个矩阵 X( n )
X X (1)
三阶张量的mode-1展开
11
n-mode（矩阵）乘积
◦ 一个张量X I1×I 2 × ×I N 和一个矩阵 U J ×In 的n-mode 乘积 X n U I1××I n1 ×J ×I n1 ××I N，其元素定义为 I
X n U i i
1
n 1 jin 1iN
xi1i2 iN u jin
n
in 1
张量分析总结汇编
一、知识总结1 张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。
性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。
例：333323213123232221211313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1)式(1.1)可简单的表示为下式：i j ij B x A =(1.2)其中：i 为自由指标，j 为哑标。
特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。
在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。
1.2 Kronecker 符号定义ij δ为：⎩⎨⎧≠==j i ji ij ,0,1δ(1.3)ij δ的矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001ij δ (1.4)可知3ij ij ii jj δδδδ===。
δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。
如：ij jk ikij jk kl ilδδδδδδδ==(1.5)ij δ的作用：更换指标、选择求和。
1.3 Ricci 符号为了运算的方便，定义Ricci 符号或称置换符号：⎪⎩⎪⎨⎧-=其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1k j i k j i l ijk(1.6)图1.1 i,j,k 排列图ijk l 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。
Ricci 符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。
1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。
多模态知识图谱表示学习综述
多模态知识图谱表示学习综述多模态知识图谱表示学习综述摘要：随着大数据时代的到来，知识图谱成为了对现实世界进行建模和分析的重要工具。
然而，传统的知识图谱主要基于文本信息进行构建和表示，忽略了其他多模态数据的丰富信息。
针对这个问题，多模态知识图谱表示学习应运而生。
本文将对多模态知识图谱表示学习的研究现状、方法和应用进行综述，以期为相关领域的研究者提供参考和启发。
一、引言知识图谱是一种以图的形式表达的知识库，其中知识以实体、关系和属性的形式存储。
传统的知识图谱以基于文本的方式进行构建和表示，通过对文本进行实体抽取、关系抽取等技术来获得知识。
然而，文本信息属于单模态数据，仅能够提供有限的知识表达能力。
随着多模态数据的快速增长，如图像、音频和视频等，如何将多模态数据融入知识图谱表示学习成为当前研究的热点和挑战。
二、多模态知识图谱表示学习的研究现状多模态知识图谱表示学习旨在利用多模态数据增强知识图谱的表达能力。
已有的研究主要可以分为两类：基于图的方法和基于张量的方法。
基于图的方法使用图神经网络（GNN）来建模并融合多模态数据，利用节点和边的信息进行知识表示学习。
基于张量的方法则将多模态数据表示为高阶张量，通过张量分解等技术进行知识表示学习。
三、多模态知识图谱表示学习的方法多模态知识图谱表示学习的方法多种多样，以下是其中几种常见的方法：1. 卷积神经网络（CNN）和循环神经网络（RNN）：这两种方法广泛用于图像和文本数据的表示学习，可以将其应用于多模态知识图谱表示学习中，从而提高知识图谱的表达能力。
2. 图卷积神经网络（GCN）：GCN是一种特殊的卷积神经网络，它通过聚合周围节点的信息来更新当前节点的表示，已被广泛应用于多模态知识表示学习中。
3. 张量分解：张量分解可以将多维张量分解为若干低维张量，从而实现对多模态数据的表示学习。
常用的张量分解方法包括SVD、CP分解等。
四、多模态知识图谱表示学习的应用多模态知识图谱表示学习在许多领域中具有广泛的应用前景，以下是其中几个常见的应用：1. 音乐推荐：通过将音乐数据和用户数据融入知识图谱表示学习，可以提高音乐推荐系统的精确度和个性化程度。
张量分解稀疏张量wthres阈值处理
文章标题：深度探讨张量分解稀疏张量wthres阈值处理的方法和应用引言在信息科学领域，张量分解是一项重要的技术，用于处理高维数据，特别是稀疏张量。
其中，wthres阈值处理是一种常见的方法，能够帮助我们更好地理解数据的结构和特征。
本文将深入探讨张量分解稀疏张量wthres阈值处理的方法和应用，帮助读者更好地理解和运用这一技术。
一、张量分解的基本概念1. 张量的概念张量是信息科学中一个重要的概念，它是一种多维数组或矩阵的扩展。
在现实世界中，许多数据可以被表示为张量，例如图像数据、视频数据和传感器数据等。
2. 张量分解的意义张量分解是将高维的张量数据进行分解，以便更好地理解数据的内在结构和特征。
通过张量分解，我们可以把复杂的高维数据转化为更简洁、更易于理解的形式，有助于数据的降维和特征提取。
二、稀疏张量的特点1. 稀疏张量的定义稀疏张量是指大部分元素为0的张量，这种数据在实际应用中非常常见。
在社交网络数据中，用户与用户之间的互动关系可以被表示为稀疏张量。
2. 稀疏张量的挑战稀疏张量的处理具有一定的挑战性，因为大部分元素都是0，所以需要特殊的方法来有效地分解和处理这种数据，同时保留数据的有用信息。
三、wthres阈值处理的方法1. wthres阈值处理的原理wthres阈值处理是一种常见的方法，用于处理稀疏张量。
它的基本思想是对张量的元素进行阈值处理，将小于阈值的元素置0，从而消除噪声和无用信息。
2. wthres阈值处理的应用wthres阈值处理可以应用于多个领域，如图像处理、信号处理和网络分析等。
在实际应用中，可以根据具体的情况选择合适的阈值和处理方法，以达到最佳的效果。
四、张量分解稀疏张量的技术挑战与解决方法1. 技术挑战张量分解稀疏张量在实际应用中也面临一些挑战，比如计算复杂度高、噪声干扰等问题。
如何有效地解决这些问题，是当前研究的热点之一。
2. 解决方法针对张量分解稀疏张量的技术挑战，有许多解决方法，如采用高效的分解算法、优化数据结构和引入先进的噪声处理技术等。
一个三阶张量的稀疏分解方法及其应用
1122
应用数学进展
汪亮
3.7. 张量的 T-SVD 的截断算法
算法 2： 1) 输入 n1 × n2 × n3 的张量 A，截断 k。 2) 用算法 1 得出 U (:, i,:) , S ( i, i,:) , V (:, i,:) 。 3) 分别计算 U (:, i,:) 的 k1 个奇异值分解， S ( i, i,:) ∗ V (:, i,:) 的 k2 个奇异值分解。 4) 计算 σ i µ ( ) λ ( ) circ q (
3.6. 张量的 T-SVD 的截断定理
一个 n1 × n2 × n3 张量的 A，它的 T-SVD 分解为 A = U ∗ S ∗ V T 。 k < min ( n1 , n2 ) ，则有
A= k
k
∑ U (:, i,:) ∗ S ( i, i,:) ∗ V (:, i,:)
i =1
T
(8)
DOI: 10.12677/aam.2018.78129
应用数学进展
汪亮
3.2. 定义 2
我们来定义一个张量的 t-product：
= A ∗ B fold ( circ ( A ) ⋅ MatVec ( B ) )
其中 A ∈ R n1×n2×n3 ， B ∈ R p×n2×n3 。
(4)
3.3. 傅里叶变换
前面我们对矩阵做了一些操作使其具备了某些性质：块矩阵可以通过傅里叶变换变成块对角矩阵。 这就意味着， 当 A ∈ R n1×n2×n3 ， F 是一个正则化的 n3 × n3 的 DFT (Discrete Fourier Transform)矩阵， 则存在 n3 个 n1 × n2 的矩阵 Di 使得：
Di =Σ U i iVi T ( i = 1, 2, , n3 )
稀疏张量分解
稀疏张量分解
摘要：
一、稀疏张量分解的背景与意义
1.张量概述
2.稀疏张量的特点
3.稀疏张量分解的必要性
二、稀疏张量分解的方法与技术
1.传统张量分解方法
2.针对稀疏张量的改进方法
3.现有方法的局限性与挑战
三、稀疏张量分解的应用领域
1.信号处理与通信
2.机器学习与深度学习
3.图像处理与计算机视觉
4.其他应用场景
四、我国在稀疏张量分解领域的研究进展
1.我国研究团队的成果与贡献
2.与国际水平的差距与优势
3.未来发展方向与前景
正文：
一、稀疏张量分解的背景与意义
随着大数据时代的到来，人们对于数据的处理与分析需求日益增长。
非奇异矩阵分解算法综述
2、NMF 概念和性质
定义：对一个M维的随机向量x进行了N次的观测,记这些观测为xj,j=1,2,„, N,取观测数据矩阵为X=[x1,x2,„xn]∈IR>=0 2,„ul]
MxN
=0
MxN
,NMF旨在寻找X的基矩阵U=[u1,u
MxN
Mxl
>=0和非负系数L*N矩阵V=[源自1,v2,„vn] ∈IR>=0
附加在数据成分矩阵上的基于不同数据统计模型的约束条件和算法的底层结构 两方面的不同。然而,它们的共同点在于对因式分解后的矩阵元素特征标识没有 约束条件。换句话来说，它们允许负的分解量存在 (允许有减性的描述),并且 能实现线性的维数约减。区别于它们的，一种新的变换方法 ———非负矩阵分 解(Nonnegative Matrix Factor ,NMF)，它包含有非负的约束从而部分、局部 的特征表征以及加强了相应问题的可解释性，是由 Paatero 和 Tapper 联合 Lee 和 Seung 在《Nature》上提出的。 事实上，NMF 的概念在很久以前用作为化学计量学中的“自我建模曲线分辨 率”，表明向量是连续曲线而不是离散向量的。NMF 起初被 Paatero 和 Tapper 介绍过来时使用的是正数矩阵分解的称号，注重于通过复杂的算法的实现使用 到一项专门的应用中。其中表现出来的缺陷限制了相关理论（例如算法的收敛 性、解决方案的特性）和算法之于其他应用方向的一般化的发展。所幸的是， NMF 理念因为 Lee 和 Seung 他们所做的研究工作---更为简单有效的算法和对 其局部特征表征的潜在价值的着重强调而变得越来越流行。 远超过了数学领域的探究范围，尝试为表征对象的各个部分特征提供可行算 法模型的 NMF 理论中蕴含着近似于感知机制的哲学理念，局部表征的概念看起 来很直观，但它确实是生理学和心理学案例---对整体的感知由对组成整体的部 分的感知构成的(纯加性的)的解释基础，是电脑计算对象识别问题的核心理念 之一。事实上，NMF 包含有两个互补的内涵---非负成分和纯加性。一方面，负 的成分在真实世界的数据中观测数据和潜在数据（比如影像、光谱和基因数据、 实际问题分析数据）中在物理上毫无意义，同时，现有的对象原型通常用特定 的语义进行阐述，例如在脸部识别中，其所基于的图像区域是局部的（像是脸 的局部特征，眼睛、鼻子、嘴和脸颊等）而并非是整体的。另一方面，感兴趣 对象一般通过它的对其局部特征的详细属性目录和专属附加特性进行描述识别， 有了上述两项便可以对对象进行重建就像是通过拼图辨认嫌疑犯一样。正是由 于上述特点，NMF 在实际场景任务应用中取得了巨大的成功，在文本聚类算法 中,NMF 不仅在精度改进方面也在潜在语义识别方面均超越了经典的聚类方法, 如光谱聚类。 除此之外，非负约束在某种程度上会自然而然导致稀疏性，稀疏性的表述已 被证明是介于完全分布式的描述和单一活跃分量的描述间的一种有效数据描述
概率矩阵分解 python
概率矩阵分解 python概率矩阵分解（PMF）是一种用于推荐系统的技术，它是一种基于概率的机器学习方法，可以用来预测用户对物品的喜好程度。
编程语言 Python 是一种非常流行的编程语言，广泛应用于人工智能、数据科学和机器学习等领域。
在本文中，我们将介绍如何使用 Python 实现概率矩阵分解。
1. PMF 的基本原理在推荐系统中，我们通常会有一个用户-物品矩阵，其中每行代表一个用户，每列代表一个物品。
用户-物品矩阵中的每个元素表示该用户对该物品的喜好程度。
我们可以使用概率矩阵分解是来预测用户对物品的喜好。
具体地说，我们将用户-物品矩阵拆分为两个低维度的矩阵，一个是用户矩阵 U，另一个是物品矩阵 V。
则可以根据矩阵乘法计算出预测的评分矩阵 R_hat：R_hat = U x V其中，矩阵 U 的维度是用户数 x K，矩阵 V 的维度是 K x 物品数，K 是低维度的隐藏因子。
这样，我们就可以得到预测的评分矩阵，其中每个元素代表用户对物品的喜好。
2. PMF 的 Python 实现在 Python 中实现 PMF，我们首先需要安装 NumPy 和SciPy 这两个库。
这两个库是 Python 中非常流行的科学计算库，可以在计算机科学和机器学习等领域广泛应用。
import numpy as np from scipy.sparse.linalgimport svdsdef pmf(train_data, test_data, K,learning_rate, reg_param, epochs): num_users,num_items = train_data.shape # 初始化用户和物品矩阵 U = np.random.normal(scale=1/K,size=(num_users, K)) V =np.random.normal(scale=1/K, size=(num_items, K))# 训练过程 for epoch in range(epochs):# 随机梯度下降法 for u in range(num_users): for i in range(num_items): iftrain_data[u, i] > 0: error =train_data[u, i] - np.dot(U[u, :], V[i, :].T) U[u, :] += learning_rate * (error * V[i, :] -reg_param * U[u, :]) V[i, :] +=learning_rate * (error * U[u, :] - reg_param *V[i, :]) # 计算 RMSE rmse = 0num_test = 0 for u in range(num_users):for i in range(num_items): iftest_data[u, i] > 0: error =test_data[u, i] - np.dot(U[u, :], V[i, :].T) rmse += error ** 2 num_test +=1 rmse = np.sqrt(rmse / num_test)print("Epoch: %d, RMSE: %f" % (epoch+1, rmse))return U, V在上述代码中，train_data 和 test_data 分别是训练集和测试集，K 是隐藏因子的维度，learning_rate 是学习率，reg_param 是正则化参数，epochs 是训练迭代次数。
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2018年8月第34卷第4期陕西理工大学学报（自然科学版）Journal of Shaanxi University of Technology (Natural Science Edition)Aug.2018Vol.34 No.4[文章编号]2096 -3998(2018)04 -0070 -10概率张量分解综述史加荣#’2"，张安银1(1.西安建筑科技大学理学院，陕西西安710055;2.西安建筑科技大学建筑学院，陕西西安710055)[摘要]在获取高维多线性数据的过程中，元素通常丢失，而概率张量分解能够在不破坏 数据结构的前提下有效地补全丢失值。
综述了近几年出现的主要概率张量分解模型。
首先，讨论了经典的张量分解模型；其次，将概率张量分解模型分为平行因子分解和塔克分解两大 类，并给出了求解方法及优缺点。
在模型求解过程中，分析了两种最常用的方法：变分贝叶斯 推断和吉布斯采样。
最后，指出了有待进一步研究的问题。
[关键词]张量分解；概率张量分解；低秩；变分贝叶斯推断；吉布斯采样[中图分类号]T P301.6 [文献标识码]A作为一类数据分析工具，低秩矩阵分解已被广泛地应用在机器学习、计算机视觉、数据挖掘和信号 与图像处理等诸多研究领域。
低秩矩阵分解主要包括主成分分析[1]、奇异值分解[2]和非负矩阵分解[3]等模型，它们需要完整的输入数据。
在数据获取时若出现数据丢失或者较大的噪声腐蚀，前述的传统低 秩分解方法往往不能给出理想的结果，而概率矩阵分解在一定程度上能克服这些缺陷[49]。
与矩阵分解 相比，概率矩阵分解要求低秩成分是随机的，这不但可以增加模型的鲁棒性，而且有利于研究数据的生 成方式。
随着信息技术的快速发展，数据规模急剧扩大，使得高维数据结构更加复杂。
传统的机器学习方法 用向量或矩阵形式来表示数据，因而不能很好地刻画数据的多线性结构。
作为向量和矩阵的高阶推广，张量表示在一定程度上能够避免上述问题。
因此，基于张量的机器学习方法已经受到广泛关注，成为当 今机器学习与数据挖掘领域的一个新的研究方向。
平行因子分解（C a n d e c o m p/P a r a f a c，C P)和塔克分解 (T u c k e r)是张量分解的两类最重要的代表模型，它们分别是主成分分析与奇异值分解的高阶推广[10]，已成功地应用到计算机视觉[11—14]、人脸识别[15—17]、交通网络分析[18]、社会网络分析[19]和国际关系分 析[20]等领域中。
在获取高维数据的过程中，部分元素可能丢失或者不准确。
低秩张量恢复是解决上述问题的一类 方法，它根据待研究数据张量的近似低秩结构来恢复出低秩成分与噪声[2126]。
Q u等[2718]认为低秩张 量恢复充分利用了数据所有维度的信息，能有效恢复或预测丢失数据。
但现有的低秩张量恢复方法也 有一定的弊端，如:确定张量的秩是多项式非确定性（N o n-d e te r m in istic P o ly n o m ia1，N P)问题，低秩成分是 确定的而不是随机的。
这些问题可能会导致过拟合，不利于低秩模型的生成。
概率张量分解能够很好 地避免上述问题，已成为处理高维数据的一类重要方法。
本文对主要的概率张量模型进行综述。
收稿日期#2017-10-25 修回日期#2018-01-02基金项目：国家自然科学基金资助项目（61403298);中国博士后科学基金资助项目（2017M613087)"通信作者:史加荣（1979—），男，山东省聊城市人，西安建筑科技大学教授，博士，主要研究方向为机器学习、模式识别。
• 70 •第+期史加荣，张安银 概率张量分解综述1 基本知识1.1 C P 分解张量C P 分解是将一张量分解成一组秩1张量的线性组合。
令7 * R /1X/!X3X-是一个C P 秩为2的 #阶张量，其C P 分解形式为•，#T )]，⑴CR b 2«1«2a R 7 )["⑴ 〇 "⑵-•••〇 "J T ) . [#D ，#⑵，r = 1其中A ⑷=(W 'a ”，…，为因子矩阵，E = 1，！，…，T 。
图1给出了 3阶张量的C P 分解示意图。
/对于某个固定的E ，假设因子矩阵#(E )未知而其余T - 1个因子矩阵已知，则可通过求解如下的最优化问题来得到最优的#(E)*G (i n ||7_ [#( 1)，#(2),令$(E ) U #⑷〇…O # — 1)/#^-1)/…〇#(1)，则最优化问题(2)等价于g 6"%(e ) _#㈦$(E )T ||(， ⑶其中％(E )是张量7的E -模式矩阵。
使用最小二乘法，得到#(E )的最优解，然后，通过交替迭代方法，可求出J 的较优的C P 分解形式。
1.2 Tucker 分解T 阶张量7 * R /1X /!X …^的Tucker 分解是将它分解为一 个核心张量与T 个矩阵的模式积，即图1 3阶张量的C P 分解•，#(T )]I I (。
⑵j ) C X }&⑴ x 2&(2_t &( T ).[C $&⑴，&⑵，…，&(T)]， (4)其中C *R /1X 2X 3X /T 为核心张量，&⑷*r -x /e 为因子矩阵，e = 1，2,…，T 。
3阶张量的Tucker 分解示意图如图2所示。
为得到最优的Tucker 张量分解，可求解下列最优化问题：图2 3阶张量的Tucker分解c ，&(1)，&?2)1：…，&( t J I 7_[ C $&( 1)，&(2)，…，&(T )]l l 2&(e )t &(e )(5)”n ， E = 1，2，…，T ，其中'为人阶单位矩阵。
当所有因子矩阵给定时，根据其正交性，可得C 的最小二乘解。
此时，最优 化问题(5)的目标函数变为|| 7 || (- || C || (，此问题可转化为&⑴，，•，&(>_1&⑴=X 2&(2)TX 3...X t &(寧||(，&(n )T&(n )(6)1，2,…，T ，使用高阶奇异值分解（Higher-Order Singular Value Decomposition ，H O S V D )，可近似求出问题（5)的最优解[3〇]。
如果Tucker 分解中的核心张量C 是超对角的，且人=人=…=八，则Tucker 分解就退化成C P 分 解。
换言之，C P 分解是Tucker 分解的一种特殊情况。
本文采用了 Acar 等人[29]的张量符号，关于张量 分解的更多知识可参考文献[9-10 ]和[31 ]。
2概率张量C P 分解在进行C P 分解之前，需要事先确定张量的C P 秩。
计算张量的C P 秩是N P 难的，这无疑增加了模 型的复杂性，而概率张量C P 分解在一定程度上避免了上述不足。
下面对概率分解模型做简要综述。
+ 71 +陕西理工大学学报（自然科学版)第34卷2.1贝叶斯张量C P 分解对于给定的含噪声的不完全〜阶张量;S #将其分解为一个潜在的低秩张量;3与一个噪声张量！之和，6P y =x + (7)假设噪声张量！的元素相互独立且服从高斯分布，即1 T (0，4# )。
用2表示被观测数据的指标C2…C 集，被观测数据表示为！。
低秩张量;3的C P 分解模型为尤=$"⑴—⑵。
…—⑵.[义⑴，#'…，#""]， （$)r = 1于是被观测数据的似然函数为]!i m (e )i :=i ，4 = n t (,w ..c | …c ，1)。
(9)(C ，C ，…，C " *2 r = 1为了能自动确定CP 秩和有效避免过拟合，用连续型参数控制潜在空间的每一维变量。
为此，假设因子矩阵#(E )的各行相互独立且分别服从均值为0、精度矩阵(协方差矩阵的逆）为"的高斯分布，即-]#(E ) |A ) = 1T ("C |0，"+)， （10)C = 1 E 其中"CE )是#(E )的第C 行，# = (，1，A !，…，,2) =，" =Aia (#)。
令参数#的先验分布为伽马（G a m m a )分 布]#) = n G a m (A j |4，'；)），l 9，'；)|f =1 为超参数集合。
J =1为了使用全贝叶斯框架，进一步假设噪声！的精度4也服从伽马分布，即P (4)= Ga m (4 =〇，> )。
记# = 0#⑴，#(2)，…，#(T )1，（= |#，#，4,则观测数据的联合分布为N p (7fl ，（）= p (y 21#，4> 1 p (#(E ) I a )p (a )p (t)， (11)E = 1易知I !) 2p !，（），使用变分贝叶斯方法对参数（进行估计[3!]。
基于均值场理论[33]，从而对丢失 的数据进行预测：p ,c ..c l !) = '(!c ..c l ()p (l !)d (=3(,112…T 1#，49(#)9(#)9(4^#(14 (12)这种算法能够根据A 自动确定CP 秩，避免了传统方法的弊端，但其缺点是计算复杂度较高。
2.2贝叶斯鲁棒CP 分解在贝叶斯张量C P 分解的基础上，再考虑数据张量还受到稀疏噪声的腐蚀。
于是，数据张量7的鲁棒C P 分解形式为y = x 7 ^ 7 !， (13)其中s 为稀疏噪声张量，！为噪声张量。
低秩张量;3的CP分解仍为公式(8)。
基于此，被观测数据！的 似然函数为p !i |#(")1:=1，"，4 = n T (,c c ..c | + l c ..c ，41)， （14)(C ，C ，…，C ) *2 r = 1当（C C ，…，C ) 4 2,则张量"对应的分量为0。
仍假设因子矩阵#(E )服从高斯分布，其分布密度参见公式（10)。
为简化问题，假设参数#的分布 密度函数为p #) = 1 G a m (A r 丨9，'0)， （1V)r =1其中9，'0为超参数。
+ 72 +第4期史加荣，张安银概率张量分解综述对于稀疏噪声"，同样使用分层框架：尸("|$) = n I〇，&+!.，），I(c，c，…，1T*2(16)1]$) = n G0n(&C r..c I=&，>"，(C，C，…，C"*2其中$为与同型的张量。