导数的几何意义导学案
导数的几何意义导学案
导数的几何意义导学案在几何意义上，导数可以用来计算曲线上任意一点的切线的斜率。
在坐标平面上，我们可以通过求导来得到曲线在给定点的导数，然后通过这个导数来计算切线的斜率。
一条曲线的切线斜率可以告诉我们曲线在这一点的变化情况，即曲线在这一点附近的趋势。
为了更好地理解导数的几何意义，我们可以通过一个具体的例子来说明。
考虑一个函数f(x)=x^2，我们想要计算这个函数在x=2处的导数，即f'(2)。
首先，我们可以通过求导得到f'(x)=2x，然后将x代入2，得到f'(2)=4在几何上，我们可以通过上述计算得到的导数值4来描述曲线在x=2处的切线的斜率。
这意味着在点(2,4)附近的曲线上的任意一点的切线的斜率都是4、这个数值告诉我们曲线在这一点附近上升得非常陡峭，函数值的增加速度很快。
除了计算切线的斜率，导数还可以用来判断曲线的凹凸性和方向。
根据导数的正负性，我们可以判断曲线在其中一点的凹凸性。
如果导数为正，曲线向上凸起；如果导数为负，曲线向下凹陷；如果导数为零，曲线具有拐点。
通过这种方式，导数可以告诉我们曲线在其中一点的弯曲情况。
此外，导数的值还可以告诉我们曲线的方向。
如果导数为正，曲线向右上方倾斜；如果导数为负，曲线向左上方倾斜；如果导数为零，则曲线是水平的。
通过这个几何意义，我们可以判断曲线的走向和倾斜程度。
总结起来，导数的几何意义可以用来描述曲线在其中一点的切线斜率，同时还可以用来判断曲线的凹凸性和方向。
导数的几何意义在求解实际问题时非常重要，它可以帮助我们理解和分析曲线的特性，从而更好地理解和使用导数概念。
导数的几何意义导学案
§1.1.3 导数的几何意义学习目标 1.了解平均变化率与割线之间，瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图像理解导数的几何意义； 2了解导函数的概念，会求导函数；3根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．学习过程一、课前准备复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率y k x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.记作：当x ∆ 时， →l二、新课导学学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆ 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆三、典型例题例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点A (1,3)处的导数.并求曲线在点A 处的切线方程。
例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.例3 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)四．课堂练习1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；2．求曲线y=在点(4,2)处的切线．五．回顾总结1.导数的几何意义：2.求曲线上某点处切线方程的步骤：课后作业1．已知曲线y＝12x2－2上一点P⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()．A．30°B．45°C．135°D．165°2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()．A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．63．设y＝f(x)存在导函数，且满足limΔx→0f(1)－f(1－2Δx)2Δx＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率()．A．2 B．－1 C．1 D．－24．曲线y＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为________．5．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件limx→0f(1)－f(1－x)2x＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．6．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．7．设函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f(x)()．A．在点(x0，f(x0))处的切线不存在B．在点(x0，f(x0))处的切线可能存在C．在点x0处不连续D．在x＝x0处极限不存在8．函数y＝－1x在⎪⎭⎫⎝⎛-2,21处的切线方程是()．A．y＝4x B．y＝4x－4C．y＝4x＋4 D．y＝2x－49．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．10．已知曲线y＝1x－1上两点⎪⎭⎫⎝⎛-21,2A，B(2＋Δx，－12＋Δy)，当Δx＝1时割线AB的斜率为________．11．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．。
导数的几何意义导学案(15).doc
河宣“4至探为，舍H孕与"焉微谣堂高二数学文科选修1-1导学案（15）新知：当割线P4无限地趋近于某一极限位置PT .我们就把极限位置上的直线PT,叫 做曲线C在点P 处的切线.割线的斜率是：k n = _______________________当点4无限趋近于点P 时，4无限趋近于切线PT 的斜率.因此，函数/'⑴在x = 处的导数就是切线PT 的斜率k,即S lim/&+&）-./'曳）=广（） Ak 项 ④Ax 新知：函数y = /（x ）在X o 处的导数的几何意义是曲线），=/（X ）在P （X° J （五））处切线的斜率.即 S.e°）=lim 仆 + *）一«）Ar 淤典型例题例1如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数仰）=-4.9尸+6.5/ + 10的图象.根 据图象，请描述、比较曲线所。
在附近的变化情况.小结:例2如图,它表示人体血管中药物浓度c = f（t）（单位:mg /mL）随时间t（单位:min）变化的函数图象.根据图象，估计/ =0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到淤动手试试练1.求双曲线y =-在点（上,2）处的切线的斜率，并写出切线方程.人2练2.求y = x2在点工=1处的导数.【展示点评】------ 我自信具体要求：①、看规范（书写、格式）②、看对错。
找出关键词，补充、完善。
③、点评内容，讲方法规律。
④、面带微笑，全面展示自我。
三、总结提升淤学习小结函数y = /（x）在也）处的导数的几何意义是曲线y = f（尤）在P（x（）J（五））处切线的斜率.即 S 广（0=lim /a + *）— e。
）其切线方程为_____________________________________淤知识拓展导数的物理意义：如果把函数），=/（X）看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量尤表示时间），那么导数广3。
导数的几何意义学案
教学目标：1理解导数的几何意义掌握，掌握点、导数、原函数三者的联系2 体会从图形角度探究导数的意义教学重点：导数的几何意义及其应用难点：导数几何意义的理解预备知识：(1) 函数f(x)从x1到x2的平均变化率=表示点A（x1，y1）与B（x2，y2）连线的(2) f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作（3）基本初等函数的导数公式(c)’= (x a)’= (e x )’ = (lnx)’=(4) 求导运算法则：(u+v)’= (u*v)’= (u/v)’=（5）已知直线过点（x0，y0），斜率为k，则直线方程为课前训练：求函数f(x)=x3在x=2的导数问：这个导数值对函数f(x)的意义是若已知导数值为12能否求出x0=例题：已知曲线y＝1/3x3+4/3(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；归纳：求曲线在在某点切线方程的步骤：问：若切点未知又怎么处理？变式1已知曲线y＝1/3x3+4/3的切线方程为3x-3y+2=0,且切点在第一象限，求切点坐标2求满足斜率为1的曲线的切线方程.问：若曲线方程未知又如何求解？变3已知曲线y＝ax3+4/3在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程4已知曲线y＝1/3x3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程5已知曲线y＝ax3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程小结：曲线、切线、切点三者有何联系？作业1已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P 的坐标为.2设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝3在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.思考题已知a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a),若f(x)的图像上有与x轴平行的切线，求（1）a的取值范围（2）若a=-1，切线是否存在，说明理由（3）若a=2，求切线方程执教人：wyang 执教班级：高二（8）班执教时间：2011年4月19日教学目标：1理解导数的几何意义掌握，掌握点、导数、原函数三者的联系2 体会从图形角度探究导数的意义教学重点：导数的几何意义及其应用难点：导数几何意义的理解教学流程：预备知识：(1) 函数f(x)从x1到x2的平均变化率=表示点A（x1，y1）与B（x2，y2）连线的(2) f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作（3）基本初等函数的导数公式(c)’= (x a)’= (e x )’ = (lnx)’=(4) 求导运算法则：(u+v)’= (u*v)’= (u/v)’=（5）已知直线过点（x0，y0），斜率为k，则直线方程为课前训练：求函数f(x)=x3在x=2的导数问：这个导数值对函数f(x)的意义是若已知导数值为12能否求出x0=例题：已知曲线y＝1/3x3+4/3(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；[注]求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.归纳：求曲线在在某点切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f’(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).问：若切点未知又怎么处理？变式1已知曲线y＝1/3x3+4/3的切线方程为3x-3y+2=0,且切点在第一象限，求切点坐标2求满足斜率为1的曲线的切线方程.问：若曲线方程未知又如何求解？变3已知曲线y＝ax3+4/3在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程4已知曲线y＝1/3x3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程5已知曲线y＝ax3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程小结：曲线、切线、切点三者有何联系？导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y－y0＝f′(x0) (x－x0).切点是切线与曲线的唯一公共点，两层含义：1切点在切线上，点的坐标满足切线方程2切点在曲线上，点的坐标也满足曲线方程。
导数的几何意义导学案
导数的几何意义与计算一．课前复习1、函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-='∆. 2.导函数由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.二、导数的计算：1、基本初等函数的导数公式：（1）f(x)=C ，则f ’(x)=_______ （2）f(x)=x ，则f ’(x)=_______ （3）f(x)=2x ，则f ’(x)=_______（4）f(x)=x1，则f’(x)=______ （5）f(x)=x ，则f ’(x)=____ （2）f(x)=)(Q a x a ∈则f ’(x)=_______ （6）f(x)=x e ，则f ’(x)=_______ （8）f(x)=x ln ，则f ’(x)=_______2、导数的运算法则：已知)(),(x g x f 的导数存在，则：（1）_______________])()([='±x g x f（2）__________________])()([='⋅x g x f（3）='])()([x g x f ____________________三、 典型例题：（一）利用求导公式和运算法则求导数1、345x y -=2、x e y x ln =3、1ln +=x x y 4、)3)(2)(1(+++=x x x y（二）切线的斜率及方程1、求曲线3=(x)=+2-1y f x x 在点(1,2)p 处的切线方程2、曲线21x y x =-在点(1,1)处的切线方程为____________________． 3、抛物线2=y x 在点p 处的切线与直线4-+2=0x y 平行，求p 点的坐标及切线方程4、曲线3y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________．巩固练习1. 满足f (x )＝f ′(x )的函数是（ ） A ．f (x )＝1－xB ．f (x )＝xC ．f (x )＝0D ．f (x )＝1 2．曲线y ＝x 3－3x ＋1在点（1，－1）处的切线方程为 （ ） A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5 3．抛物线y = x 2上点M(12，14)的切线倾斜角是 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4、曲线24x y =在点(2,1)P 处的切线斜率k =_________ ___；5、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =________________；6、设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ____________；7、已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为_____________； 8、曲线3x y =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 ；9.已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行． ⑴求f (x )的解析式；⑵求函数g (x )=f (x )的单调递增区间.10．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答（1）求)(x f y =的解析式； （2）求)(x f y =的单调递增区间。
导数的几何意义导学案.doc
3.1.3 导数的几何意义学校：陵水中学学科：数学编写人：李顺美审稿人：赵李三学习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像宜观地理解导数的儿何意义，并能运用导数的儿何意义解决相关问题学习重难点1.发现和理解导数的几何意义2.应用导数几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题学习过程(%1)、复习引入1.平均变化率、割线的斜率2.导数的概念、求导数的步骤提出问题我们知道，导数表示函数y = /(x)在尤=工。
处的瞬时变化率，反映了函数y = f(x)在X = X。
附近的变化情况，导数广(气)的几何意义是什么呢？(%1)、自学探究如图3. 1-2,观察当4(气，/'(%))(〃 = 1,2,3,4)沿着曲线/(%)趋近于点P(A O,/(X O))时,割线Pg,的变化趋势是什么？图3.1-2（1）如何定义曲线在点F处的切线?（2 ）割线「4的斜率如与切线P7的斜率人有什么关系?（3）切线PT的斜率&为多少?说明：当Ax T 0时,割线PQ的斜率，称为曲线在点户处的切线的斜率. 这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的木质一函数在x = x0处的导数.（三）、小组交流导数的几何意义（1）函数），二/（%）在工=A处的导数的几何意义是什么？o（2）将上述意义用数学式表达出来。
（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程?(%1)、展示成果例1如图3. 1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数/?(x) = -4.9x2+6.5x4-10 ,根据图像,请描述、比较曲线/?(《)在"、匕、匕附近的变化情况.解：我们用曲线在上、4、&处的切线，刻画曲线/?(/)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当r = r时，曲线/，。
)在"处的切线"的斜率，所以，在/ = 4附近曲线比较平坦，几乎没有升降.⑵当，=〈时，曲线的)在匕处的切线，的斜率, 所以，在，=匕附近曲线下降，即函数/?(x) = -4.9x2 + 6.5工+10在/ =匕附近单调递减.⑶当，=上时，曲线/?(/)在&处的切线匕的一斜率___________________________________ 所以，在/=&附近曲线下降, 即函数/?(、)= -4.9x2 + 6.5x +10在t=t,附近单调递减.从图3. 1-3可以看出，直线4的倾斜程度小于直线么的倾斜程度, 这说明1111线在乌附近比在附近下降的缓慢.变式根据图3. 1-3,请描述、比较曲线龙。
高中数学《导数的几何意义》导学案
第一章 导数及其应用 1.3导数的几何意义一、【学习目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；并会用导数的几何意义解题；【重点、难点】教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．二、学习过程【情景创设】我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？【导入新课】（1）曲线的切线及切线的斜率：当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.（2）导数的几何意义：(1)切线的概念:对于割线PPn,当点Pn 趋近于点P 时,割线PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置的_______称为点P 处的切线.(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x 0处的导数就是切线PT 的斜率k,即k= =f ′(x 0).说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.【典例分析】例1.求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：例2.求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：例3．求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.解：【变式拓展】1.若曲线f(x)=x 2的一条切线l 与直线x+4y-8=0垂直,求切线l 的方程解:2.求抛物线y=f(x)=2x 2-x 在(1,1)点处的切线斜率.解:三、学习总结1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义四、随堂检测1.已知抛物线y=f(x)=x 2+3与直线y=2x+2相交,求它们交点处的切线方程.解:2.设P 为曲线C:y=x 2+2x+3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]2,4[ππ,求点P 横坐标的取值范围。
高中数学 1.1.3 导数的几何意义导学案 新人教A版选修22
高中数学 1.1.3 导数的几何意义导学案 新人教A 版选修22 学习目标：1、了解导数的概念；理解导数的几何意义；2、会求导函数；3、根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程。
一、主要知识：1、导数的几何意义：（1）导数()0f x '表示了函数()f x 在0x x =处的 ，反映了函数()f x 在0x x =附近的变化情况。
（2）函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的 ，相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是 。
2、导函数从求()f x 在0x x =处的导数的过程中可看到，当0x x =时，()0f x '是一个 。
当x 变化时，()f x '便是x 的一个 ，称它为()f x 的导函数（简称导数），()y f x =的导函数有时也记作 ，即()f x y ''== 。
二、典例分析：〖例1〗：求曲线21y x =+在点()1,2P 处的切线的斜率k 。
〖变式训练1〗：曲线3123y x =-在点71,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭处的的切线的倾斜角为 。
〖例2〗：在曲线2y x =上求点P ，使过点P 的切线：（1）垂直于直线2650x y -+=；（2）倾斜角为135。
〖变式训练2〗：若曲线21y x =-的一条切线平行于直线43y x =-，求这条切线的方程。
〖例3〗：若抛物线24y x =上的点P 到直线45y x =-的距离最短，求点P 的坐标。
〖变式训练3〗：设函数()()32910f x x ax x a =+--<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线1260x y +-=平行，求a 的值。
三、课后作业：1、已知曲线22y x =上一点()1,2A ，则点A 处的切线的斜率等于（ ）A 、2B 、4C 、()2662x x +∆+∆D 、6 2、曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ） A 、6π B 、4π C 、54π D 、4π- 3、设曲线22y x x =+-在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为（ ）A 、()0,2-B 、()1,0C 、()0,0D 、()1,14、设()f x 为可导函数且满足()()0112lim1x f f x x →-+=，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为（ ） A 、1B 、1-C 、12D 、12-5、已知直线1y kx =+与曲线32y x x =+-相切于点()1,3，则b 的值为（ ）A 、3B 、3-C 、5D 、5-6、曲线1y x=在点()1,1P 处的切线方程是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习目标: 1了解平均变化率与割线斜率之间的关系.
2. 理解曲线的切线的概念.
3. 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.
学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 学习难点：导数的几何意义.
一、知识回顾：
1.根据图像回忆函数平均变化率的几何意义是什么？__________________________________
2.平均变化率的表达式____________________
图3.1-1
二、学习过程
（1）、提出问题，展示目标
我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？ （2）、合作探究
1.曲线的切线及切线的斜率
（1）如图
3.1-2,当
(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿
着曲线()f x 趋近于点
00(,())P x f x 时,割线n PP 的变
化趋势是什么？
（2）如何定义曲线在点P 处的切线？
(3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？
(4)切线PT 的斜率k 为多少？
说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
2.导数的几何意义
（1）函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么？
（2）将上述意义用数学式表达出来。
（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？
3.导函数
（1）由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数.
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
（2）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系是什么？
图3.1-2
三、典例分析
例1 求曲线1)(2
+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.
变式训练1求函数23x y =在点(1,3)处的切线方程.
例2.如图3.1-3,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min ) 变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 图3.1-3
例3. 如图3.1-4,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况.
解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况.
(1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 的斜率 , 所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率 , 所以,在1t t =附近曲线下降,
即函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减.
(3)当2t t =时,曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率
所以,在2t t =附近曲线下降,
即函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．
从图3.1-3可以看出,直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度, 这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢.
图3.1-4
课堂练习
1.求曲线3
)(x x f y ==在点(1,1)处的切线.
2.
求曲线y =
在点(4,2)处的切线.
四、反思总结：
1.曲线的切线定义.
当点n P 沿着曲线无限接近点P 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT
称
为曲线在点P 处的切线
2.导数的几何意义.
函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即
0000()()
()lim x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆
3.求曲线在一点处的切线的一般步骤 ①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率0000
()()
()lim
x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆得到曲线在点
00(,())x f x 的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程
导数的几何意义 课后作业
1．函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0/
x f 的几何意义是（ ）
A 在点0x x =处的函数值
B 在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切值
C 曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率
D 点))(,(00x f x 与点（0，0）连线的斜率 2．已知曲线3
x y =上过点（2，8）的切线方程为01612=--ax x ，则实数a 的值为（ ） A －1 B 1 C －2 D 2
3. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）
A. 4
B. 16
C. 8
D. 2
4.设)(0x f '=0，则曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线（ ） A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交
5.已知函数()x f ()10≤≤x 的图像是点()0,0和()0,1上的一段圆弧，若1021<<<x x 则（ ）
()()2211x x f x x f A
< ()()2211x x f x x f B = ()()2
211x x f x x f C > D 都可能 6.若曲线p x x y +-=422
与直线1=y 相切，则实数p 的值是___________ 7.曲线x x y 43
-=在点()3,1处的切线倾斜角为________________
8. 已知曲线3
3
1x y =
，与直线084=++y x 垂直，并与该曲线相切的直线方程是______________ 9.已知曲线()x f 在点()()1,1f M 处的切线方程是22
1
+=x y ，则()()_________11=+'f f
10.曲线x x y +=
331在点⎪⎭
⎫
⎝⎛34,1处的切线与坐标轴围成的面积是_______________________ 11. 已知曲线331x y =上的一点)3
8
,2(P ，求（1）点P 处切线的斜率；
（2）点P 处的切线方程
12. 在曲线2
x y =上过哪一点的切线，
（1）平行于直线54-=x y ；
（2）垂直于直线0562=+-y x ；
（3）与x 轴成
135的倾斜角；
（4）求过点R （1，－3）与曲线相切的直线。