模式一1.1.3导数的几何意义
第一章 1.1 1.1.3 导数的几何意义
[类题通法] 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； (2)写出切线方程，即 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π2，此时 所求的切线平行于 y 轴，所以直接得切线方程为 x＝x0.
1，则切线方程为
()
A．y＝9x
B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26
D．y＝9x＋6 或 y＝9x－26
解析： ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0＝
x0＋Δx3－3x0＋Δx2＋1－x30＋3x20－1 Δx
＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0，
所以f′(x0)＝Δlixm→0 [(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0.
1.1.3 导数的几何意义
导数的几何意义 [提出问题] 如下图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3，4)，P的坐 标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．
问题1：割线PPn的斜率kn是什么？ 提示：割割线PPn的斜率kn＝ΔΔxynn＝fxxnn－－fx0x0. 问题2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线 PT有什么关系？
于是 3x20－6x0＝9，解得 x0＝3 或 x0＝－1， 因此，点 P 的坐标为(3,1)或(－1，－3)．
又切线斜率为 9，所以曲线在点 P 处的切线方程为 y＝9(x－
3)＋1 或 y＝9(x＋1)－3，即 y＝9x－26 或 y＝9x＋6. 答案：D
2.搞错导数的几何意义致误 [典例] 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数， 则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的 ( )
1.1.3导数的几何意义
时, 割线 PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
O
P3
T
P4 P
T
x
O
x
3
4
图1.1 2
y
y f (x)
相交
o
P
x
再来一次
此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同?
y
y=f(x)
Pn
割 线
T 切线
P
o
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.
x ＝ ｘ
表示“平均变化率”
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
我们知道, 导数 f
'
x0 表示函数 f x
在 x x0 处的瞬时变化率 , 反映了函 么, 导数 f
'
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那
x0 的几何意义是什么呢 ?
y
观 察 如图 1 .1 2 ,当点 Pn xn , f xn
y f x
y
y f x
P1
P2
T P
O
T
n 1, 2, 3, 4
沿着曲线 P x0 , f x0 f x 趋近于点
x
O
x
1
y
y f x
2
y
y f x
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
x
B
可能不惟一）适用于各 种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。
C
1.1.3导数的几何意义
y lim x0 x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0 .
导函数定义：
从求函数 f x在 x x0 处导数的过程可以
看到,当 x x0 时, f ' x0 是一个确定的数.这
样,当 x 变化时, f 'x 便是 x的一个函数,我
们称它为f x的导 函 数(derivative function)
的斜率.因此,函数 f x 在x x0处的导数就是切
线PT的斜率k .即
k
klimlximf0 x0
x0ylxim
x xx0
ff(xx00
x)
xf '
f
x0
(
Hale Waihona Puke x0.)
f '( x0 )
一般地，曲线y=f(x)上一点P(x0，y0)的切线 的斜率的计算公式：
(简称导 数 ). y f x的导函数有时也记作
y',即 f 'x y' lim f x x f x.
x0
x
我们知道, 导数 f ' x0 表示函数 f x
在 x x0 处的瞬时变化率, 反映了函
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那 么, 导数 f ' x0 的几何意义是什么呢?
并不相切；而直线l2尽管与曲线C有 不止一个公共点，但它们在点N处 仍然是相切的．因此，对于一般曲
F1
o F2
.P
x
线，必须重新寻求曲线切线的定义．
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐
渐转动的情况. y
1.1.3 导数的几何意义
题型三 导数几何意义的综合应用 例 3 设函数 f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线 y＝f(x) 的斜率最小的切线与直线 12x＋y＝6 平行，求 a 的值．
[解] 因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax20－9x0－1) ＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3， 所以ΔΔyx＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
＝f′(x0)(x－x0).
注意：若在点(x0，f(x0))处切线
l
的倾斜角为π，此时切 2
线平行于 y 轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，
可根据切线的定义直接得切线方程为 x＝x0.
2.函数的导数，是对某一区间内任意一点 x 而言的，就
是函数 f(x)的导数 f′(x)．函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，就是
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲
线 y=f(x)在点P(x0
即: k切线 f '(x0 )
,f(lxim0))处y 的 l切im线f的(x斜0 率x.)
x x0x0x Nhomakorabeaf
( x0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一
种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义
回 定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
顾
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) .
x x0
x0
x
1.1.3导数的几何意义
y
y=f(x) Q
请问： Δy 是割线PQ的什么? Δx
Δy P O
β
Δx
M
x
我们知道，导数 f′x0 表示函数
f(x)在x = x0 处的瞬时变化率，反 映了函数f(x)在x = x0 附近的变化
情况.那么导数f′x0 的几何意义是
什么呢？
当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋 近于点P0(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什 么？
2, 4
即切线过抛物线y = x2上的点2，4， 3，9.
所以切线方程分别为：
x
0
2 , x0
y - 4 = 4 x - 2, y - 9 = 6 x - 3 .
o
x
化简得
y = 4x - 4, y = 6x - 9.
练习2:（作业）
1 2 7 求抛物线y = x 的过点 4, 的切线方程 4 4 （注意此点不在抛物线上） .
课堂小结
1. 几何意义
f (x)在x = x0处的导数f(x0 ) 即为f(x) 所表示曲线在 x = x0处切线的斜率，即
f(x0 +Δx)- f(x0 ) k = f(x0 )= lim Δx→ 0 Δx
作用：
确定x = x 0处切线的斜率，从而确 定切线的方程.
切线方程：
y - f(x 0 ) = f (x 0 )(x - x 0 )
y f x
y
P1
T P
y
y f x
P2
O
1
y f x
x
O
2
y f x
x
1.1.3导数的几何意义
y 表明： 表明： 就是割线的斜率 . x
O Q y P β x
M x
y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P
α
x
o
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时, 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时, 割线PQ绕着点 逐渐转动的情况. 绕着点P 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
3．函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何 函数y 处的导数f 意义是（ 意义是（ ） C A．在点x=x0处的函数值 在点x B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹 在点( ))处的切线与 处的切线与x 锐角的正切值 C．曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线 曲线y 在点( 的斜率 D．点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率 与点(0，0)连线的斜率
1 C． 2
B．－ B．－1 ．－1 D．－2 ．－2
例4．y=x3在点P处的切线斜率为3，求点 在点P处的切线斜率为3 P的坐标. 的坐标.
练习题 1．曲线y=x2在x=0处的（ D ） 曲线y =0处的 处的（ A．切线斜率为1 B．切线方程为y=2x 切线斜率为1 B．切线方程为y=2x C．没有切线 D．切线方程为y=0 切线方程为y
2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则 已知曲线y=2x 上的一点A(2，8)， 点A处的切线斜率为（ C ） 处的切线斜率为（ A． 4 B． B．16 C． C． 8 D． D． 2
例1．求抛物线y=x2过点(1，1)的切线的 求抛物线y 过点(1，1)的切线的 斜率。 斜率。 练习．求抛物线y=x2+2x-2过点(1，1)的 练习．求抛物线y +2x 过点(1，1)的 切线的斜率。 切线的斜率。
1.1.3 导数的几何意义
1．1.3导数的几何意义预习课本P6～8，思考并完成下列问题(1)导数的几何意义是什么？(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？[新知初探]1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝li mΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝li mΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.[点睛]曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案：B3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2答案：D4．抛物线y 2＝x 与x 轴、y 轴都只有一个公共点，在x 轴和y 轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．答案：y 轴 x 轴求曲线的切线方程[典例] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程．[解] 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．y ′|x ＝2＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝li m Δx →0 [4＋2·Δx ＋13(Δx )2]＝4.∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率． (4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k . (5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式． [活学活用]过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( ) A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上， 若切点为(1，－1)，则由f ′(1)＝li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝li m Δx →0 (1＋Δx )3－2(1＋Δx )－(－1)Δx＝li m Δx →[(Δx )2＋3Δx ＋1]＝1， ∴切线方程为y －(－1)＝1×(x －1)，即x －y －2＝0. 若切点不是(1，－1)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0＋1x 0－1＝x 30－2x 0＋1x 0－1＝(x 30－x 0)－(x 0－1)x 0－1＝x 20＋x 0－1，又由导数的几何意义知 k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx ＝3x 20－2， ∴x 20＋x 0－1＝3x 20－2，∴2x 20－x 0－1＝0，∵x 0≠1，∴x 0＝－12.∴k ＝x 20＋x 0－1＝－54， ∴切线方程为y －(－1)＝－54(x －1)，即5x ＋4y －1＝0，故选A.求切点坐标[典例] 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x －y －2＝0. (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x ⎪⎪⎪2－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx →4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1. 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，则k ·⎝⎛⎭⎫－18＝－1，即k ＝8， 故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，∴切点坐标为(2,9)．求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．[活学活用]直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．解析：设直线l 与曲线C 的切点为(x 0，y 0)， 因为y ′＝li m Δx →(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x ，则y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－13，当x 0＝1时，y 0＝x 30－x 20＋1＝1，又(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋a 上，将x 0＝1，y 0＝1代入得a ＝0与已知条件矛盾舍去． 当x 0＝－13时，y 0＝⎝⎛⎭⎫－133－⎝⎛⎭⎫－132＋1＝2327， 则切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13， 2327，将⎝⎛⎭⎫－13， 2327代入直线y ＝x ＋a 中得a ＝3227. 答案：3227 ⎝⎛⎭⎫－13， 2327层级一 学业水平达标1．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f (x )＝－2x 在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx ，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.故选C.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4 C.5π4D ．－π4解析：选B ∵y ′＝li m Δx →⎣⎡⎦⎤13(x ＋Δx )3－2－⎝⎛⎭⎫13x 3－2Δx＝li m Δx →0⎣⎡⎦⎤x 2＋x Δx ＋13(Δx )2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝li m Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝li m Δx →02a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝li mΔx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝⎛⎭⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ， 则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝li m Δx →0 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋Δx －sin π2Δx ＝li m Δx →cos Δx －1Δx. 当Δx →0时，cos Δx →1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点．6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：37．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x 过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)． 由f (x )＝x ， 得f ′(x )＝li m △x →1＋Δx －1Δx ＝li m Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0， 答案：x －2y ＋1＝08．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________． 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)， f ′(x 0)＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－x 20＋3x 0Δx＝li m Δx →02x 0Δx －3Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x 0－3＝1，故x 0＝2，y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0， 由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6解析：选D Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6Δx ＋6(Δx )2＋2(Δx )3，li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0[2(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选B li m Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝li m Δx →f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝f ′(x )＝－1.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 为( ) A.13 B.23 C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13. 5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知， li m Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 解析：由导数的定义，得f ′(0)＝li m Δx →f (Δx )－f (0)Δx＝li m Δx →0 a (Δx )2＋b Δx ＋c －cΔx ＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋b )＝b .又因为对于任意实数x ，有f (x )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，所以ac ≥b 24，所以c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx ＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b . ∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ，∴y ′＝li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。
1.1.3导数的几何意义
y 4 3 2 1 O A C
B 1 2 3 4 5 6
x
f ( f (0))
； lim
x 0
f (1 x) f (1) x
． （用数字作答）
学 后 反 思
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二．探究新知；我们已经学习了导数的本质及一些实际意义， 问 题 导 学 及 探 究 我们不禁要问：导数的几何意义是什么呢？对于 y f ( x) ，符 号 f (2) 3 ， f ( x0 ) 1 等的几何意义分别是什么？
'
'
１．观察曲线 y f ( x) ，见课本 7 页
我们发现,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 即Δ x→0 时 , 割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的 思考： ⑴割线 PPn 的斜率 k n 与切线 PT 的斜率 k 有什么关 系？ ⑵切线 PT 的斜率 k 为多少？
学习任务 学习目标
1 .1.3 导数的几何意义 1．知识与技能：理解导数的几何意义，会求简单曲线在某点的切线斜率及 切线方程； 2．过程与方法：通过实验探究培养学生分析、抽象、概括等思维能力； 3．情感、态度与价值观：渗透“逼近”思想，激发学生学习兴趣，培养学 生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变 和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力．
2
的切线方程？
问 题 导 学 及 探 究
练习； 1、已知曲线 y 2 x 上的一点 A(1,2) ，求⑴点 A 处的切线的斜
2
率；⑵点 A 处的切线方程。 1、 （2008 年北京） 如图， 函数 f ( x) 的 图象是折线段 ABC ， 其中 A ，B，C 的坐标分别为 (0，，，，， 4) (2 0) (6 4) ，则
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1. 1.3导数的几何意义课前预习学案一． 预习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。
二． 预习内容1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时, 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为 . （2）割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k = =2.导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '= .三．提出疑惑疑惑点疑惑内容课内探究学案一． 学习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题二． 学习过程（一）。
复习回顾1．平均变化率、割线的斜率 2。
瞬时速度、导数 （二）。
提出问题，展示目标我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？（三）、合作探究1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？（2）如何定义曲线在点P 处的切线？(3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (4)切线PT 的斜率k 为多少？说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义（1）函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么？ （2）将上述意义用数学式表达出来。
（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？ 3.导函数（1）由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.（2）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系是什么？ 区别： 联系：（四）。
例题精析例1 求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.解:变式训练1求函数23x y =在点(1,3)处的切线方程.例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况. 解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 的斜率 , 所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率 , 所以,在1t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减. (3)当2t t =时,曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率 ,所以,在2t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减． 从图3.1-3可以看出,直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度, 这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢.例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min )变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解:三。
反思总结1.曲线的切线定义.2.导数的几何意义3．求曲线在一点处的切线的一般步骤：四。
当堂检测1.求曲线2)(x x f y ==在点(1,1)处的切线. 2.求曲线y x =(4,2)处的切线.1.1.1.3 导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题 二．教学重点难点：重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 难点：导数的几何意义 三．教学过程： （一）。
【复习回顾】 1．平均变化率、割线的斜率 2。
瞬时速度、导数 （二）。
【提出问题，展示目标】我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？（三）、【合作探究】 1.曲线的切线及切线的斜率如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题: (1)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (2)切线PT 的斜率k 为多少？容易知道,割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.(2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程. 3.导函数由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个 确定的数,那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 记作:()f x '或y ',即0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.4.函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数0()f x ',就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的 极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x 而言的,就是函数)(x f 的导函数.(3)函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值,这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一. 四。
【例题精析】例1 求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.解: 222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x =∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆ 所以,所求切线的斜率为2因此,所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=变式训练1求函数23x y =在点(1,3)处的切线方程.因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况. 解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴, 所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<, 所以,在1t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减. (3)当2t t =时,曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<, 所以,在2t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减． 从图3.1-3可以看出,直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度, 这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢.例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min )变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度()f t 在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率, 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作0.8t =处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48), 则它的斜率为0.480.911.41.00.7k -=≈--,所以(0.8) 1.4f '≈-下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:t0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率'()f t0.4-0.7-1.4五。