复变函数解析的判定及其应用【开题报告】
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中的一个重要概念，它涉及到复数的运算和函数的性质。
解析函数则是复变函数中的一种特殊情况，具有更加丰富的性质和应用。
本文将介绍复变函数和解析函数的概念、性质以及它们在数学和科学领域的应用。
一、复变函数的概念与性质复变函数是将复数集合映射到自身的函数，即函数的自变量和因变量都是复数。
通常用f(z)表示复变函数，其中z为复数。
复变函数可以通过实部和虚部进行表示，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部，而x和y分别为实部和虚部的变量。
复变函数的性质与实数函数类似，包括函数的连续性、可导性、积分等。
然而，复变函数有些独特的性质，比如解析性。
二、解析函数的概念与性质解析函数是复变函数的一种特殊情况，它在其定义域内处处可导，即在定义域内的任意一点，函数都存在导数。
解析函数的导数可以通过常规的求导法则得到，与实数函数类似。
解析函数具有一系列重要的性质，包括解析函数的导数仍然是解析函数，解析函数的导数序列收敛于该函数在某一点的幂级数展开式，以及柯西—黎曼方程等。
这些性质为解析函数的研究和应用提供了坚实的数学基础。
三、复变函数与解析函数的应用复变函数和解析函数在数学和科学领域有广泛的应用。
首先，它们在复数的运算和分析中起着重要的作用，比如复数的加减乘除、复数的共轭和模等运算。
复变函数和解析函数还可以用于解决一些实变函数无法解决的问题，比如研究复变函数的奇点和留数等。
此外，复变函数和解析函数在物理学、工程学和金融学等领域也有广泛的应用。
在物理学中，它们可以用于描述电磁场、量子力学和热力学等现象。
在工程学中，它们可以应用于信号处理、电路分析和控制系统等。
在金融学中，它们可以用于描述金融市场的变动和风险评估等。
总结起来，复变函数和解析函数是数学中的重要概念，具有丰富的性质和应用。
它们不仅仅是理论研究的基础，还在实际问题的解决中发挥着关键作用。
复变函数解析性分析
复变函数解析性分析复变函数在数学和物理学中扮演着重要的角色。
在解析性分析中，我们探讨了复变函数的解析性质和相关定理。
本文将详细介绍复变函数解析性的基本概念、性质和应用，并讨论一些与解析函数相关的重要定理。
一、复变函数与解析性复变函数是指定义在复数域上的函数，即函数的自变量和因变量都是复数。
我们常用的复变函数可表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u和v是实部和虚部函数。
在复数平面上，复变函数可以看作是一个二维向量场。
解析性是复变函数的一个重要性质。
复变函数解析性的定义为：如果在某个区域上，复变函数f(z)的导数存在且连续，那么我们称函数f(z)在该区域上是解析的。
具体而言，若f'(z)存在和连续，我们称f(z)是全纯的。
二、解析函数的基本性质1. 实部和虚部的偏导数齐次性对于解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如果其在某个区域上解析，那么u和v在该区域上的一阶和二阶偏导数存在且满足某些条件。
例如，对于u和v的一阶偏导数满足柯西—黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。
2. 库武兹定理库武兹定理是解析函数的一个重要定理，描述了解析函数在闭合曲线上的积分和在曲线内部的函数值之间的关系。
具体而言，设f(z)是在区域D上一连续复值函数，且在D内是解析的，那么对于D内的任一闭合曲线C，有∮Cf(z)dz=0。
3. 零点和极点对于解析函数f(z)，其零点和极点是重要的研究对象。
零点是指满足f(z)=0的z值，而极点是指存在正整数m使得|f(z)|趋于无穷大的z值。
复变函数的零点和极点分布情况对函数的解析性和性态有着重要的影响。
三、解析函数的应用解析函数广泛应用于数学和物理学中的各个领域。
以下是一些典型的应用：1. 物理学中的电磁场分析电磁场的分析经常使用复变函数。
例如，利用麦克斯韦方程组可以得到复数形式的电场和磁场函数，再应用解析函数的性质可以推导出电磁场的分布和变化规律。
第三讲 复变函数 解析函数1
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
一、解析函数的概念
1 复变函数的导数 定义：
函数w = f ( z ), z ∈ D; z 0 , z 0 + ∆z ∈ D
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ∆w lim 若极限 lim = ∆z →0 ∆z → 0 ∆ z ∆z
f ( z ) ' f ' ( z ) g ( z ) − f ( z ) g' ( z ) , ( g ( z ) ≠ 0) g( z ) = 2 g (z)
由以上讨论 ⇒ P ( z ) = a 0 + a1 z + ⋯ + a n z n 在整个复平面上处处可 导； P(z) R( z ) = 在复平面上（ 点外） 在复平面上（除分母为 0点外）处 Q( z ) 处可导 .
(3)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模 在D上取到最大值与最小值;
例题2 讨论
f (z) = arg z
π
2
的连续性。
argz在区域 −π < argz < π内连续，
π
2
−π
−
π
θ
0 0
x
在负实轴 argz = π上不连续。
π
2
−
π
2
第二章 解析函数
第一节 第二节 第三节 解析函数的概念 函数解析的充要条件 初等函数
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f (z +∆z) − f (z) [解] 这里 lim ∆z→0 ∆z ( x + ∆x) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi ∆x + 2∆yi = lim = lim ∆z →0 ∆z → 0 ∆x + ∆yi ∆x + ∆yi ∆x + 2∆yi ∆x = lim = 1. 取∆z = ∆x → 0 , lim ∆z→0 ∆ + ∆ x yi ∆z→0 ∆x ∆x + 2∆yi 2∆y 取∆z = i∆y → 0, lim = lim = 2. ∆z→0 ∆ + ∆ x yi ∆z→0 ∆y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
2-1复变函数解析性
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1.1 复变函数的导数与微分 定义2.1（复变函数的导数） 设函数 w f ( z ) 定义于区域 D C , 点 z0 , z0 z D. 若极限
z 0
lim
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z ) f ( z0 ) = lim z z0 z z z0
存在，则称 f ( z ) 在 z z0点可导, 并把这个极 限值称为 f ( z ) 在 z z0点的导数，记做
dw f z0 dz
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
若 f ( z )在区域 D内每一点都可导, 则称 f ( z ) 在区域 D内可导.
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复变函数的微分 设函数w=f(z)在 z0 D 可导，令
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f z0 令 z z 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f z0 z + z z
若 z f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) a1x a2 y o( )
则称 z f x, y 在 x0 , y0 处可微.
z z a1 , a2 x0 , y0 x y x0 , y0 z z dz dx dy x y
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第二章
解析函数
第一节函数解析性的概念及其判定
作业：P63 1(2,4);2(2,4);3(2,4); 4;8;10
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1．导数与微分：
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x 0 x x
复变函数2 解析函数
u x = 1, u y = 0 , v x = 0 , v y = − 1 ⇒ u x ≠ v y u y ≠ − v x
故 w = z 在复平面内处处不可导, 处处不解析；
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以
u x = 2 x , u y = 0, vx = y , v y = x
f ( z )在z0的某邻域内可导. f ( z )在z 0 解析：
z 0 称为解析点， 否则称为奇点 。
f ( z )在D内处处解析. f ( z )在区域D内解析：
函数在一点解析 ⇒ 在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 解析 ⇔ 可导 . 例如 f (z) =
2
z2
在整个复平面上解析； w = f ( z) = z
证明：f ( z )在D内解析 ⇒
u x = v y , v x = −u y ,
⇒ u xx = v xy , u yy = −v xy ⇒ u xx + u yy = 0. 同样可得 vxx + v yy = 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) = u + iv 不一定是解析函数 . 例如： f ( z ) = z 2 = x 2 − y 2 + i 2 xy 是解析函数，
当且仅当 x = y = 0时, u x = v y , u y = − v x , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例题3 f ( z ) = u + iv是区域D内的解析函数， 且 f ′( z ) ≠ 0
复变函数应用报告报告(1)
（各种数学软件,或者各自专业利用到的软件,等等你所利用到的课本以外的知识）
三.主要内容
（内容不能太少,篇幅不限定。用到的数学公式使用公式编辑器,尽量多用图表,程序等,可以借助Matlab软件）
四.研究意义
（可以写通过这份报告你所得到的收获,也可以写你对复变函数课程的认识,等等均可）
五.参考文献与书目
（格式要求书名（文献名）作者出版单位年限）
河北联合大学轻工学院
《复变函数与积分变换》实验报告
课专 业: 级 班
姓 名:
学 号:
开课时间: 2012年下学期
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一.报告目的
（比如通过此报告最后证明了什么结论,得到了什么想法等等,相当于主要内容的总结。
注：括号内容最后都删除,所有字号均用小四）
复变函数中解析函数的理论分析及应用
复变函数中解析函数的理论分析及应用【摘要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际应用都进行了分析。
【关键词】解析函数；解析；复变函数0 前言复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。
而解析函数是复变函数特有的内容，在复变函数理论中起着重要的作用，解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用，所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性。
1 解析函数的概念如果函数f（z）不仅在z0处可导，而且在z0的某个邻域内的任意一点可导，则称f（z）在z0解析。
如果f（z）在区域D内的任一点解析，则称f（z）在区域D内解析。
注：1）如果f（z）在区域D内解析，那么D内每一点都是它的内点，从而D是开区域。
2）如果说函数f（z）在闭圆盘z≤1上解析，指的是在包含该圆盘的某个区域内解析。
3）f（z）在z0解析，则f（z）在z0可导；f（z）在z0可导，则f（z）在z0不一定解析。
但是f（z）在区域D内解析和可导是等价的。
4）一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
2 函数解析的判定2.1 根据解析函数的定义判定要考察函数在某一点的解析性，首先看函数在该点是否有定义，然后看函数在该点及其邻域内是否可导。
例：因为f（z）=z2在整个复平面上处处可导，且f’（z）=2z则由解析的定义知f（z）在整个复平面上解析。
2.2 根据初等函数的解析性判定若复变数函数为初等函数，则可根据初等函数的解析性进行判定1）指数函数ez在整个复平面上解析；2）对数函数Lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析；3）幂函数zα，α为正整数时，幂函数在整个复平面上解析；α为负整数时，幂函数在除原点外的复平面上解析；α为既约分数、无理数、虚数时，在除去原点和负实轴的复平面上解析。
4）sinz，cosz在整个复平面上解析；tanz，cotz，secz，cscz在各自的定义域内解析5）shz，chz在整个复平面上解析。
复变函数解析的判定及其应用【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学复变函数解析的判定及其应用一、前言部分为了使负数开平方有意义，16世纪中叶意大利数学家卡尔丹引进了虚数，再一次扩大了数系，使实数域扩大到复数域。
关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉（Euler）作出的，他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上。
用符号“i”作为虚数的单位，也是他首创的。
19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西（Cauchy）、德国数学家黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的巨大努力，形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概论统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用。
20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其他分支的联系也日益密切。
致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。
并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟共形映射等。
另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。
复变函数研究的中心对象是所谓解析函数。
因此，复变函数论又称为解析函数论，简称函数论。
解析函数是在某一区域内处处可微的复变函数[1]。
除了用定义判定一个复变函数是否解析之外，经过中外数学家将近两百年的不懈努力，还研究出了复变函数在区域内解析的其他各种判别条件，包括充分条件，必要条件和充要条件。
此外，研究解析函数自然也少不了要研究其性质。
通过本课题的研究，旨在全面总结复变函数解析的判定，解析函数的性质以及解析函数在积分、微分、幂级数展开以及留数运算中的诸多应用。
本文基于复变函数的一般理论，参考国内外相关文献，就解析函数的历史背景、相关应用和研究相关问题的方法进行综述。
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毕业论文开题报告
数学与应用数学
复变函数解析的判定及其应用
一、 选题的背景、意义
复变函数论是数学中既古老又成熟的一门学科，复变函数论随着它的领域不断扩大而发展成为一门重要的数学分支，在复变函数的解析性质，多值性质，随机性质以及多复变函数方面都取得了重要成果。
而复变函论研究的中心对象就是解析函数。
在18世纪，欧拉和达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数(,)x y Φ与流函数(,)x y ψ有连续的偏导数，且满足偏微分方程组
x y
∂Φ∂ψ=∂∂，y x ∂Φ∂ψ=-∂∂， 并指出()(,)(,)f z x y i x y =Φ+ψ是可微函数，这一命题的逆命题也成立。
柯西把区域上处处可微的复变函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。
黎曼从这一定义出发对复变函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程（简称C.-R.方程），或柯西-黎曼条件。
魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。
关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。
解析函数的研究之所以如此至关重要，是因为它具有很好的性质，例如无穷可微性，唯一性以及可以用幂级数展开等，数学分析的工具几乎都可以对解析函数加以应用。
解析函数的零点，奇异性质，边界值问题以及在边界附近的增长受到某种限制等问题都是复变函数论研究的主要内容和重要课题。
如果设函数()f z 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则()0c f z dz =⎰。
这就是著名的柯西积分定理。
这个定理告诉我们，解析函数在单连通区域
内的积分与路径无关。
解析函数在其定义域中某点领域内的取值情况完全决定着它在其他部分的值。
有如下定
理：设（1）函数1()f z 和2()f z 在区域D 内解析；（2）D 内有一个收敛于a D ∈的点列{}()n n z z a ≠，在其上1()f z 和2()f z 等值，则1()f z 和2()f z 在D 内恒等。
[1] 这个定理有两个推论，一是设在区域D 内解析的函数1()f z 和2()f z 在D 内的某一子区域（或一小段弧）上相等，则它们必在区域D 内恒等；另一个是一切在实轴上成立的恒等式在z 平面上也成立，只要这个恒等式的等号两边在在z 平面上都是解析的。
[1] 它们统称为解析函数的惟一性定理，揭示了函数在区域D 内的局部值确定了函数在区域D 内整体的值，即局部与整体之间有着十分紧密的内在联系。
另一方面，由柯西积分公式，我们还知道，从解析函数在边界C 上的值可以推得它在C 的内部的一切值。
此外，解析函数的无穷可微性是指一个区域内的解析函数在这个区域内有任意阶导数。
这个性质是由柯西积分公式证明的。
这样如果我们知道函数在某个区域内解析，就可以求出其在该区域的任一阶导数，而数学分析中区间上的可微函数，在此区间上不一定有二阶导数，更谈不上有高阶导数了。
由于解析函数有着如上种种重要性质，解析函数的研究成为复变函数论发展的一个主要动力。
随着人们更深入的研究，复变函数解析的理论将更趋完善，应用也将更加广阔。
本课题的研究，笔者希望在前人的研究基础上，对解析函数的知识做一个系统的整理。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
本文研究的基本内容为：
一、引言，主要包括课题研究的背景、研究意义等；
二、归纳总结复变函数在区域内解析的各种判定条件，包括充分条件、必要条件和充要条件；
三、研究解析函数具备的性质，辨析解析函数与可导函数的区别和联系；
四、解析函数在积分，微分，幂级数展开以及留数计算等方面的应用；
五、通过几个实例讲解复变函数解析的应用。
在收集资料，阅读相关文献之后，要解决的主要问题是形成系统材料。
本课题的研究主要是回顾复变函数解析的知识，对其的判定条件、性质及应用做一个整体的归纳总结。
三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标
一、 先采用文献研究法，搜集和阅读大量的相关文献，了解国内外的研究现状，吸收新理念，并对资料进行分类整理。
总结前人对复变函数解析的研究成果之后，再通过实例分
析，了解解析函数的相关应用。
二、研究的主要难点：给定一个复变函数，如何判断其在某个区域内是否解析。
三、预期达到的目标：通过本课题的研究，全面总结复变函数解析的判定条件，解析函数的性质以及解析函数在积分、微分、幂级数展开以及留数运算中的诸多应用，并且结合具体例题，给出解析函数的各种应用，尤其是应用函数解析的性质解决一些实际问题。
四、论文详细工作进度和安排
第七学期第10周至第11周：收集资料，阅读相关文献，形成系统材料，完成文献综述；翻译
相关问题的外文文献。
第七学期第12周至第14周：深入分析问题，建立研究和解决问题的基本方案和技术路线，撰
写开题报告，修改定稿，签署意见；上交文献综述、开题报告，
外文翻译。
第七学期第15周至第16周：全面开展课题研究，按照研究方案和路线指导学生撰写论文，完
成论文初稿。
第八学期第1周至第8周：在导师的指导下，对论文进行第一次修改。
第八学期第9周至第12周：对论文进行第二次修改，并完善定稿。
第八学期第13周至第15周：做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩。
五、主要参考文献
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