有理数的乘方(规律)
【教学设计】有理数的乘方第2课时
《有理数的乘方第2课时》教学设计------探索乘方规律【教材分析】本课教材是义务教育教科书（五四学制）六年级上册第二章第九节“有理数的乘方”。
有理数的乘方是在学生学习有理数的加、减、乘、除法运算的基础上来学习的第五种运算，它既是有理数乘法的推广与延续，又是本章后面继续学习有理数的混合运算、科学记数法的基础，所以这一节的内容不仅在本章中和今后学习实数的混合运算中都占有十分重要的地位。
并且为学生今后学习第六种运算--开方运算奠定了基础。
本教材安排第2课时，目的是一是通过探索乘方运算的符号规律，培养学生的符号意识、符号意识、运算能力；二是通过几个问题情境的探索，让学生进一步理解乘方的意义和运算，感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快。
【学情分析】在第1课时中学生已经学习了乘方的概念，理解了乘方的意义，会进行简单的乘方运算，但对乘方运算结果的变化规律缺乏整体性的认识。
由于初一的学生模仿能力比较强，能够在教师的引导下，通过计算、观察、分析、交流、归纳等数学活动，总结发现乘方的运算规律。
针对初一学生的价值观还未成熟，所以在本堂课的结束利用“乘方效应”来激励学生，渗透励志情感教育。
【教学目标】知识与能力目标：掌握有理数的乘方运算，探索并掌握乘方运算的符号规律，培养学生的数感、符号意识、运算能力。
过程与方法目标:1. 通过几个问题情境的探索，让学生进一步理解乘方的意义和运算，感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快。
2.通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力。
情感态度价值观目标：通过对实例的讲解，让学生体会数学与生活的密切联系。
体会乘方结果的惊人，培养对数学探究的兴趣。
教学重点：有理数的乘方运算规律。
教学难点：理解乘方的意义。
【教学过程】一、学前准备(2分钟）1.式子n a 表示的意义是 。
2.在n a 中，a 叫做 ，n 叫做 ，乘方的结果叫做 。
3.计算有理数的加、减 、乘、除运算时，要先确定符号再计算，那么进行乘方运算时是否也要先确定符号呢？设计意图：不仅复习了乘方概念，还用类比的思想引导学生学习本课知识。
有理数的乘除乘方
有理数的乘、除及乘方运算一、知识要点：1． 有理数的乘法法则：（1） 两数相乘，同号 ，异号 ，并把 .任何数同0相乘，都得 .（2） 不等于0的数相乘，积的正负号由 的个数决定，当负因数有奇数个时，积为 ；当负因数有偶数个时，积为 .几个数相乘，有一个因数为0，积就为 .2． 乘积是 的两个数互为倒数3． 有理数的除法法则：除以一个数等于乘上 .两数相除，同号 ，异号 ，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.4． 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.二、典型例题：例1、计算：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷-43875.3 （2）532121⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯22176412（4）()[]2432611--⨯--例2、如果0,0><+ab b a ，则a 0，b 0. 如果()03<-ab ，则ab 0. 如果02>-b a ，则b .例3、已知a 、b 为有理数，下列说法中，正确的是（ ）A.若a ＞b,则a 2＞b 2B. 若︱a ︱＞b,则a 2＞b 2B. 若 a 3＞b 3,则a 2＞b 2 D. a ＞︱b ︱,则a 2＞b 2例4、已知：a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，｜m ｜＝5，n 是绝对值最小的数，求5ab －(c+d)×2008 － n + m 的值。
例5、计算：(－2)100+(－2)101的是（ ）Ａ． 2100 Ｂ．－1 Ｃ．－2 Ｄ．－2100三、练习：1． 用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是 .2． 用科学记数法表示302400，应记为 .3． 若m,n 互为相反数，xy 互为倒数，则（m ＋n ）＋5xy ＝ ；4． 若 3-x 与9+y 互为相反数，求y x -的值5． 一个数的相反数比它的本身大,则这个数是 （ ）A.正数B.负数C.0D.负数和06． 如果10<<a ，那么aa a 1,,2之间的大小关系是（ ） A ．a a a 12<< B ．a a a 12<< C ． 21a a a << D ． a a a<<21 7． 下列计算错误的个数是 （ ） ①221⎪⎭⎫ ⎝⎛=4 ②－52=25 ③2516542= ④811912=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ⑤－(－14 ) =1 ⑥()001.01.03=-- ⑦ 55=-=a ，a 则 ⑧ －a=－2则a = 2 8． A 、5个 B 、4个 C 、3个 D 、2个9． 平方等于4的数是 ，立方等于—8的数是 。
有理数乘方的规律探究
探究二：数字规律
变式5、观察下面一列数，回答下列问题 1, 2, 4, 8, 16, 32， •••
20 ，21 ，22 ，23 ，24 ，25 ， …
（1）第2015个数是多少？ 2n-1 （2）第n个数是多少？
第1个数 20 21 22 23 24
22014
… …
第2个数 第3个数 第4个数 第5个数 第6个数 第7个数 第8个数 25 26 27
3、观察下面一列数，根据得出的规律，回答下列问题 2, 4, 8, 16, 32, 64， •••
21 ，22 ，23 ，24 ，25 ，26 ， …
（1）根据你得出的规律，第2015个数是多少？22015 （2）第n个数是多少？ 2n
第1个数 21 第2个数 第3个数 第4个数 第5个数 第6个数 第7个数 第8个数 22 23 24 25 26 27 28 … …
南昌市铁路第一中学 杨文斌
复习巩固，探究新知
n a 1、n个a相乘可以写成的形式 ；
2、负数的奇数次方是 负 数， 负数的偶数次方是 正 数； 3、一个数可以看成它本身的 1 次方； 0 a 4、 = 1 （ a 0）。
探究一：周期性规律
1、观察下列算式，你能发现什么规律？ 21=2 ，22= 4 ，23= 8 ，24=1 6 ， 25=3 2，26=64 ，27=128 ，28=25 6 ，… 4 用你所发现的规律得出2 2010 的末位数字是_____ 2010 ÷4=502 … …余2
1.5.1.1有理数的乘方(教案)
-负数的奇数次方是负数，偶数次方是正数；
-零的任何正数次方都是零；
-乘方的乘法法则：(a^n)×(a^m) = a^(n+m)；
-乘方的除法பைடு நூலகம்则：(a^n)÷(a^m) = a^(n-m)，其中a≠0。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的数学抽象能力：通过学习有理数的乘方，使学生能够从具体实例中抽象出乘方的概念和性质，形成对有理数乘方的理解和认识。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调有理数乘方的定义和性质、运算法则这两个重点。对于难点部分，比如负数的奇数次方和偶数次方，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与有理数乘方相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过折叠纸张来演示2的幂次方增长速度，从而理解乘方的意义。
在讲解有理数乘方的性质时，特别是负数的奇数次方和偶数次方，学生们的掌握程度不一。我意识到，这可能是因为他们在之前的数学学习中，对负数的认识不够深入。针对这一点，我计划在下一节课前，先对负数进行复习，帮助学生建立正确的负数概念，再引入乘方的性质，这样可能会更有助于他们的理解。
此外，实践活动中的小组讨论，学生们表现得相当积极。他们能够将乘方知识应用到实际问题中，并提出自己的见解。但在实验操作环节，我发现有些小组在操作过程中并没有完全理解乘方的原理，仅仅是为了完成操作而操作。针对这个问题，我认为在以后的实践活动中，应加强对学生的引导，确保他们在操作前能够充分理解乘方的概念和原理。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于有理数乘方的概念和性质的理解存在一些困难。在讲解有理数乘方的定义时，虽然通过生活中的实例引入，但部分学生仍然感到抽象，难以把握。因此，我决定在接下来的教学中，尝试采用更多的直观教具和实际操作，比如使用积木或者纸片折叠等方式，让学生更直观地感受到乘方的意义。
《有理数的乘方》教案 探究版
《有理数的乘方》教案新课标要求知识与技能1．通过实际背景，使学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义．2．能够正确进行有理数的乘方运算，并让学生经历探索乘方的有关规律的过程．过程与方法经历“做数学”和“用数学”的过程，感受数学的奇妙性，领会重要的数学建模思想、归纳思想，形成数感、符号感，发展抽象思维．情感与态度认识数学与生活的密切联系，体验充满着探索与创造的数学活动，感受数学的严谨性，提高数学素养，通过参与数学学习活动，对数学充满好奇心和求知欲，形成主动学习态度，培养科学探索精神，提升人文素质，鼓励猜想，倡导参与，与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，建立自信心．教学重点理解有理数乘方的意义，掌握运算方法．教学难点理解幂的符号确定过程．教学过程一、创设问题、引入新知（可播放动画《有理数的乘方》导入2）某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个．经过3小时这种细胞由1个能分裂成多少个？设计意图：由生动、有趣的问题引入，激发学生的学习兴趣，营造和谐主动探索的环境．二、小组合作，探究新知:1．这个细胞分裂一次可得多少个细胞？分裂两次呢？分裂三次呢？四次呢？那么，3小时共分裂了多少次？有多少个细胞？六次： 2×2×2×2×2×2个．2．请比较细胞分裂四次后的个数式子：2×2×2×2和细胞分裂六次后的个数式子：2×2×2×2×2×2．这两个式子有什么相同点？这样的运算能像平方、立方那样简写吗？2×2×2×2记作24；2×2×2×2×2×2记作26．=a n 读作“a 的n 次方”．设计意图：充分调动学生的学习积极性，使学生认识到数学的发展是不断进行推广的．3．以上乘法与前面学习过乘法有什么不同？求n 个相同因数的积的运算叫做乘方．乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数．当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂．例如；在94中，底数是9，指数是4，94读作9的4次方，或9的4次幂．一个数可以表示成这个数本身的一次方，例如，5=51， 指数1通常省略不写．设计意图：激活学生已有的知识结构，通过类比、联想、归纳，学生在最近发展区内实现知识重构，进而引进有理数的乘方的有关概念，同时也培养学生归纳和概括的能力，让学生在活动中感受数学符号的简洁美．4．提出问题：在a n 中，底数a 表示什么？指数n 表示什么？a n 就是多少个什么相乘？ 归纳：底数a 表示相同的因数，可以是任何有理数．指数n 表示相同因数的个数，现阶段是正整数．练一练1：（1）74的底数是________，指数是________，74表示4个________相乘，读作________的2次方．（2）513⎛⎫- ⎪⎝⎭表示________个13-相乘，读作13-的________次方，也读作13-的________次幂，其中13-叫做________，5叫做________． 解：（1）74的底数是7，指数是4，74表示4个7相乘，读作7的4次方． （2）513⎛⎫- ⎪⎝⎭表示5个13-相乘，读作13-的5次方，也读作13-的5次幂，其中13-叫做 a n a a a a 个⨯⨯⨯⨯底数，5叫做指数．设计意图：通过对乘方的概念及意义的探索，使学生理解乘方的意义，并在理解的基础上进行乘方运算．5．取一张4开白纸，已知纸的原厚度为0.1 mm ，问：（1）将它对折1次后，厚度为多少？对折20次后呢？（2）如果每层楼平均高度为3 m ，这张白纸对折20次后有几层楼高？师生活动：学生讨论、交流并回答，通过对本题的解决，激发学习的兴趣．小结：（1）对折1次后，厚度为：0.1×2＝0.2（mm ）．对折20次后，厚度为：202020.12220.12⨯⨯⨯⨯=⨯个（mm ）． （2）0.1×220＝104 856.7（mm ）．104 856.7（mm ）≈105 m ．105÷3＝35．则对折20次后约有35层楼高．三、例题讲解例1 计算：（1）53； （2）(－3)4；（3）312⎛⎫- ⎪⎝⎭． 解：（1）53＝5×5×5＝125；（2）(－3)4＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81；（3）31111122228⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 注意：（1）负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同符号），用小括号括起来．这也是辨认底数的方法．（2）分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来．设计意图：通过例题的学习，对有理数的乘方有更进一步的理解．例2 计算： （1）－(－2)3； （2）－24； （3）234-．解：（1）－(－2)3＝－［(－2)×(－2)×(－2)］＝－(－8)＝8；（2）－24＝－(2×2×2×2)＝－16；（3）23339 444⨯-=-=-．设计意图：例题讲解时要让学生明确有理数的乘方运算是由有理数的乘法来进行的，要引导学生不断地回顾幂的意义．例3计算：（1）102，103，104，105；（2）(－10)2，(－10)3，(－10)4，(－10)5．师生活动：学生独立完成，检验知识是否掌握．教师一方面要引导学生不断地回顾幂的意义．熟练有理数的乘方运算．另一方面要指出题目的特点．鼓励学生尽可能多地从运算结果中观察、发现正数幂的符号特点，负数幂的符号特点等等．解：（1）102＝100，103＝1 000，104＝10 000，105＝100 000；（2）(－10)2＝100，(－10)3＝－1 000，(－10)4＝10 000，(－10)5＝－100 000．想一想：观察例3的结果，你能发现什么规律？与同伴进行交流．正数的任何次方都是正数，负数的偶数次的幂是正数，负数的奇数次的幂是负数．想一想：你见过拉面师傅拉面条吗？拉面师傅将一个粗面条拉长、两头捏合，再拉长、捏合，重复这样，就拉成许多根细面条了．据报道，在一次比赛中，某拉面师傅用1 kg面粉拉出约209万根面条，你知道怎样得出这个结果的吗？解：第一次：21＝2，第二次：22＝4，第三次：23＝8，…，第n次：2n．拉面师傅拉出约209万根面条，即2n≈2 090 000，n大约等于21，即拉面师傅拉21次，就约得到209万根面条．设计意图：继续体会当指数不断增加时，底数大于1 的幂的增长速度相当快，同时让学生感悟数学知识的生活运用之多．四、课堂练习1．（1）（－7）8中，底数、指数各是什么？（2）（－10）8中－10叫做什么数？8叫做什么数？（－10）8是正数还是负数？解：（1）（－7）8中，底数是－7，指数是8．（2）（－10）8中－10叫做底数．8叫做指数．（－10）8是正数．2．计算：（1）(－3)3；（2）(－1.5)2；（3）－53；（4）－(－3)2；（5）－(－2)3；（6）232⎛⎫- ⎪⎝⎭；（7）232⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（8）217⎛⎫- ⎪⎝⎭；（9）243-．解：（1）(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27；（2）(－1.5)2＝(－1.5)×(－1.5)＝2.25；（3）－53＝－5×5×5＝－125；（4）－(－3)2＝－(－3)×(－3)＝－9；（5）－(－2)3＝－(－2)×(－2)×(－2)＝－(－8) ＝8；（6）233392224⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（7）233392224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（8）2111177749⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（9）244416 333⨯-=-=-．3．判断下列各式结果的符号，你能发现什么规律？（1）(－5)4；（2）(－5)5；（3）－(－5)6；（4）－(－5)7．解：（1）正号；（2）负号；（3）负号；（4）正号．规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．设计意图：通过练习，使学生加深对乘方意义的理解与掌握．五、课堂小结1．有理数乘方的概念是什么？2．你知道有理数乘方的各部分分别叫什么吗？3．有理数乘方的符号规律是什么？设计意图：通过小结，进一步巩固所学知识，使学生所学知识系统化．六、布置作业1．计算：（1）72；（2）(－6)3；（3）323⎛⎫⎪⎝⎭；（4）－32；（5）325-；（6）334⎛⎫-- ⎪⎝⎭．2．计算：（1）－34；（2）－(－3)3；（3）4 2 3⎛⎫ ⎪⎝⎭－；（4）2 4 5⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）232-；（6）325⎛⎫-- ⎪⎝⎭．3．一个数的平方为16，这个数可能是几？一个数的平方可能是零吗？4．1 m长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第7次后剩下的木棒有多长？设计意图：考查了有理数乘方的有关概念以及计算有理数的乘方．参考答案：1．（1）72＝7×7＝49；（2）(－6)3＝(－6) ×(－6)×(－6) ＝－216；（3）322228 333327⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭；（4）－32＝－3×3＝－9；（5）322228 555⨯⨯-=-=-；（6）33333272744446464⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--⨯-⨯-=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．2．（1）－34＝－(3×3×3×3)＝－81；（2）－(－3)3＝－[(－3)×(－3)×(－3)]＝27；（3）422222163333381⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－；（4）244416 55525⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭；（5）23332224-=-=-⨯； （6）3222285555125⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 3．4或－4；可能，0的平方是0．4．解：7112128⎛⎫= ⎪⎝⎭（m ）． 答：第7次后剩下的木棒有1128m 长．七、课堂检测1．43-（）表示（ ）． A ．4个（－3）相加 B ．－3×4C ．4个（－3）相乘D ．3个（－4）相乘2．62-表示（ ）．A ．6个－2相乘B ．6个2相乘的相反数C ．2个－6相乘D ．2个6的相反数3．下列各组数中，相等的一组是（ ）．A ．()33-与33- B ．34与43C ．()23-与23-D ．23-和－3+（－3）4．在(－2)4中，指数是________，底数是________，在225⎛⎫ ⎪⎝⎭中底数是________，指数是________．5．把(－5)×(－5)×(－5)写成幂的形式是________，把111111117777⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭写成幂的形式是________．6．(－3)2________，－32＝________，－33＝________，(－3)3＝________． 7．计算：（1）30.1-（）；（2）20.1-（）；（3）50；（4）47-． 设计意图：考查了有理数乘方的有关概念和计算．参考答案：1．C．2．B．3．A．4．4，2-，25，2．5．3(5)-，4117⎛⎫⎪⎝⎭．6．9，9-，27-，27-．7．（1）30.10.001-=-（）；（2）20.10.01-=（）；（3）50=0；（4）472401-=-．。
七年级数学有理数的乘除和乘方
____ 2 3 1
22 22 ____ 2 2 2
3.怀化市2006年的国民生产总值约为亿元，预计2007年比上一年增长， 用科学计数法表示2007年怀化市的国民生产总值. ____
4.某省有67440000人，按要求分别取这个数的近似数，并指出近似数的有效数字. （1）精确到十万位； （2）精确到百万位； （3）精确到千万位.
有理数除法法则: 1、两数相除，同号得正,异号得负,并把绝对值相除。零与任何不等 于0的数相除都得零。 2、除以一个数等于乘以这个数的倒数（0不能作除数） 倒数与倒数的性质： 1除以一个不为0的数得这个数的倒数（0没有倒数）。 倒数的性质有：(1)互为倒数两数的积为1； (2)有理数a(a≠0)的倒数为
用科学记数法写出下列各数:
10000, 800000, 56000000, 7400000
下列用科学记数法表示的、 由四舍五入法得到的近似数， 各精确到哪一位？各有几个 有效数字？ 4 ① 3.79×10 ；
2 ②5.040×10 ；
用四舍五入法，按括号内 要求取近似值。
（2） -7.56×104 （保留2个有效数字）；
64,
64,
3
64
1 1 1 1
10 11 12
13
(5) 3 (2)
3
4
(1) 2 (2) 4
10 3
计算
(0.25)
2003
(4)
2004
(1)
2007
1 1 2 2 1 2 1 3 3 1 2 3 3 4 4 4 2 1 2 3 4 2 5 5 5 5
1 a；
有理数的乘方
有理数的乘方知识点：1、乘方的意义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
乘方的结果叫做幂，记作：。
其中a为底数，n为指数。
读作：a的n次方或a的n次幂。
2、乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.（注：0的任何正数次幂都是0。
）（一句话确定符号：底正得正；底负，奇负偶正。
）创设情境，呈现内容：你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细的面条，请同学们想一下拉面馆的师傅，这样拉1次，有几根面条？2次？3次？捏合4次后能拉出多少根细面条？20次后，30次后呢？回答问题并说说你的看法：（1）捏合一次有几根？（2）捏合二次有几根？（3）捏合三次有几根？（4）捏合四次有几根？……（5）捏合二十次有几根？……（6）捏合三十次有几根？（问）你能不能用一个简单的式子来表示呢？（问）在小学，我们学了正方形的面积公式和正方体的体积公式，现在我们一起来回忆下它们分别是什么？（边长都为a ）（问）同学们想一想：正方形的面积公式a · a 可以用表示，正方体的体积公式a ·a ·a 可以用a 3。
那么我们上面提到的运算能像平方、立方那样简写吗？回到回答问题并说说你的看法，按顺序写下：2；22；23；24 ；25；…… （引出乘方的概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。
）an 读作“a 的n 次方”，或读作“a 的n 次幂”.例1：填一填。
（1）26中底数是_____，指数是_____.读作：______________________。
（2）)43(4中底数是______，指数是______.读作：_____________________。
（3）)5(4 中底数是______，指数是______.读作：_____________________。
（4）9中底数是_____，指数是________。
有理数的乘方及混合运算(提高)知识讲解
有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.4. 会用科学记数法表示大数. 【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中，a 叫做底数， n 叫做指数．要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 2a ≥0．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用． 要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l ≤|a |<10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210⨯. 要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3310-⨯； （2）把一个数写成10na ⨯形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1.【典型例题】类型一、有理数的乘方1． 计算：（1）44443333----；；（）；（） （2）3333222(2)3333--；（）；（-）； 【答案与解析】解：由乘方的定义可得： (1)43＝3×3×3×3＝81； -43＝-（3×3×3×3）＝-81；4(3)(3)(3)(3)(3)81-=-⨯-⨯-⨯-=； 4(3)[(3)(3)(3)(3)]81--=--⨯-⨯-⨯-=-(2)322228333⨯⨯==； 322228()()()()333327=⨯⨯=； 322228()()()()333327-=-⨯-⨯-=-； 3(2)(2)(2)(2)883333--⨯-⨯---=-=-=【总结升华】注意()na -与n a -的意义的区别．22()nn a a -=（n 为正整数），2121()n n a a ++-=-（n 为正整数）． 举一反三：【变式】已知2a <，且24a -=，则3a 的倒数的相反数是 ． 【答案】18类型二、乘方运算的符号法则2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553⎛⎫⎪⎝⎭，-(-2)2010【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则． 【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553⎛⎫⎪⎝⎭运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负． 【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 举一反三： 【变式】（2015春•富阳市校级期中）计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（ ） A ．﹣2 B ． 2 C ． ﹣22014 D ．22015 【答案】C ．解：（﹣2）2015+（﹣2）2014=（﹣2）2014（﹣2+1）=22014×（﹣1）=﹣22014. 类型三、有理数的混合运算3．计算：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)（3）3112222233⎛⎫⎛⎫-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()2311113121121324424340.2⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 【答案与解析】解：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)] ＝-9+(-8)÷(-3+5) ＝-9+(-8)÷2 ＝-9+(-4)＝-13（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214) ＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24) ＝[72×(7-6)-1]÷(-24) ＝(49-1)÷(-24) ＝-2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.原式11221111[(2)]82338324=-+⨯--=--=- （4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.()23311113121121324424340.215457551()()241162434()5125724241251652316056125403912040⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=÷-++-⨯--=-⨯-⨯+⨯+=--++=【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提． 类型四、科学记数法4．（2015•酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（ ） A ．0.675×105 B ． 6.75×104 C ． 67.5×103 D ．675×102【思路点拨】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【答案】B ．将67500用科学记数法表示为：6.75×104．【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法10na ⨯的形式时，其中1≤|a|＜10，n 为比整数位数少1的数．在进行运算时，a 部分和10n的部分分别运算，然后再把结果整理成10na ⨯的形式． 类型五、探索规律5．下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-----⎛⎫-+++++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦；…第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎛⎫-++++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦…．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）． A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 【答案】A【解析】第1个数结果为11022-=；第2个数结果为111326-=-；第3个数结果为111424-=-；…；发现运算中在112-⎛⎫+ ⎪⎝⎭后边的各式为43653456⨯⨯⨯⨯…，分子、分母相约为1，所以第n 个数结果为1112n -+，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循． 举一反三：【变式】观察下面三行数：①-3，9，-27，81，-243，729，… ②0，12，-24，84，-240，732，… ③-1，3，-9，27，-81，243，… (1)第①行数按什么规律排列?(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】解：(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的13，即133-⨯，21(3)3-⨯，31(3)3-⨯，41(3)3-⨯，…； (3)每行数中的第10个数的和是：1010101(3)[(3)3](3)3-+-++-⨯=59049+59052+19683＝137784．。
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有理数的乘方(规律)
1.如图是一组有规律的图案，他们是用黑白两种颜色的菱形组成，第1个图案中白色菱形的个数为4，第2个图案中白色菱形的个数为7，第3个图案中白色菱形的个数为10，...，依此规律，第n个图案中白色菱形的个数为.（用含n的代数式表示）
2.下列图形都是用同样大小的“”按一定规律组成的，则第（8）个图形中“”共有个.
3.如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，第1个图形中有5个小正方形，第2个图中有11个小正方形，第3个图形中有19个
4.下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2017个梅花图案中，共有个“”图案.
5.。