§2数集·确界原理
数集确界原理
数集确界原理数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用。
在数学分析中，确界原理是指对于有上（下）界的非空实数集合必存在最小（大）上（下）确界。
这一原理在实际问题中有着重要的意义，下面我们将深入探讨数集确界原理及其应用。
首先，我们来了解一下数集的上确界和下确界。
对于一个实数集合A，如果存在一个实数M，使得对于A中的任意元素x，都有x≤M，那么M就是A的上确界，记作supA。
类似地，如果存在一个实数m，使得对于A中的任意元素x，都有x≥m，那么m就是A的下确界，记作infA。
上确界和下确界是数学分析中非常重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。
数集确界原理指出，对于有上（下）界的非空实数集合，必存在最小（大）上（下）确界。
这一原理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，对于某种商品的价格集合，我们可以通过确界原理得到最低价和最高价，这对于市场分析和决策具有重要意义。
在工程学中，对于某种材料的强度集合，我们可以通过确界原理得到最小强度和最大强度，这对于设计和生产具有重要意义。
在物理学中，对于某种物理量的测量结果集合，我们可以通过确界原理得到最小值和最大值，这对于实验结果的分析具有重要意义。
除了在实际问题中的应用，数集确界原理在数学分析中也有着重要的理论意义。
它为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。
通过确界原理，我们可以证明实数集合的某些性质，例如实数集合的稠密性、实数集合的有界性等。
这些性质对于实数集合的理论研究和应用具有重要意义。
总之，数集确界原理是数学分析中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用，并且为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。
通过对数集确界原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解和运用实数集合的性质，为实际问题的分析和解决提供重要的理论支持。
希望本文对读者对数集确界原理有所帮助，谢谢阅读。
高等数学第1章第2节数集·确界原理
§２ 数集·确界原理引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容．下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一．而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用．提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）．本节主要内容：１．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 区间与邻域1. 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2. 邻域联想：“邻居”．字面意思：“邻近的区域”．（看左图）．与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（１） a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.（２） 点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+ .（３） a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（４） 点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（５）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=> （其中Ｍ为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二 有界集与无界集什么是“界”？定义１（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集．若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称Ｓ为有上（下）界的数集．数()M L 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集．若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集．注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性．分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明．解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界．证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集．例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集．[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)．三 确界与确界原理１、确界的定义定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是Ｓ的上界）;(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是Ｓ的上界中最小的一个），则称数η为数集Ｓ的上确界，记作 sup .S η=定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数ξ满足：（１）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是Ｓ的下界）；（２）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是Ｓ的下界中最大的一个），则称数ξ为数集Ｓ的下确界，记作inf S ξ=.上确界与下确界统称为确界例1 讨论数集{}S x x =为区间(0,1)中的有(无)理数的确界．分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界．提示：利用有理数集在实数集中的稠密性．sup 1,inf 0.S S ==例2．设.21inf ,1sup },2,1|1{===+=E E n n n E 证明２、确界的性质● 唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的；● 若数集Ｓ存在上、下确界，则有inf sup S S ≤；● 数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ；● 存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界．例3 设数集Ｓ有上界，证明：sup max .S S S ηη=∈⇔=分析：由确界原理，sup S 意义，按确界定义证明．例4．设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤. 证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且sup inf .A B ≤分析：首先，证明sup ,inf .A B 有意义，用确界原理．其次，证明sup inf .A B ≤例5 设Ａ、Ｂ为非空有界数集，S A B =⋃，证明：（１）{}sup max sup ,sup S A B =；（２）{}inf min inf ,inf S A B =．分析：首先，由S A B =⋃及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集．其次，证明（１）、（２）．小结、布置作业：Ｐ９：１（１），（２）； ２（1）； ４ （２）、（４）； ５；。
数集,确界原理
a
x
(, b) { x x b}
o
b
x
(, ) { x x < }
x
2、邻域
定义1 设a与 是两个实数 , 且 0. 数集
{ x x a }称为点a 的δ邻域 , 点 a 叫做这邻
域中心， 叫做这邻域的半径 . 记作
U (a, ) { x a x a }.
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上，对任何正数M，取 n0 M 1，
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N 无上界.
1 例 2 证明集合E y / y , x (0, 1) 是无界集. x
证明
对任何M 0,
0
a
a
a
x
点
a 的 左邻域 和 点 a 的空心 左邻域
U (a, ) { x a x a } (a , a]
U (a, ) { x a x a } (a , a)
0
邻域
U ( ) x | x | M , U ( ) x x M , U ( ) x x M
即 又是S 的最大下界， 则 称 数 为数集 S 的
下确界， 记为 inf S .
x0
S
(ii) 对任意 0, 存在x0 S , 使得x0 即 是 S 的最大下界.
的确界. 例3 讨论数集 S {x | x为(0, 1)中的有理数}
supS = 1
上确界， 记为 sup S . S
【免费下载】数集确界定理
§1.2 数集.确界定理§2 数集.确界定理Ⅰ. 教学目的与要求1.理解区间及邻域的概念,2.掌握有界集和上、下确界的概念;3.理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 实数确界的定义及确界原理.难点: 实数确界的定义及确界原理的应用.Ⅲ. 讲授内容 一 区间与邻域设、 R ，且．我们称数集引为开区间，记作()；数集a b ∈b a <}|{b x a x <<b a ,称为闭区间，记作[]；数集{}和{}都称为半}|{b x a x ≤≤b a ,b x a x ≤≤|b x a x ≤<|开半闭区间，分别记作[)和(．以上这几类区间统称为有限区间． b a ,],b a 无限区间:[) ,+∞,a {}a x x ≥=},|{),(},|{],(a x x a a x x a >=+∞≤=-∞,都称为无限区间．}|{],(a x x a <=-∞R x x =+∞<<-∞=+∞-∞}|{),( 有限区间和无限区间统称为区间．设R a ∈，0>δ．集合称为点的邻).,(}|{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U a δ域，记作，或简单地写作Ｕ.);(δa U )(a 点的空心邻域定义为或简单地记作 ，a δ},0|{);(δδ<-<=a x x a U )(a U注意的差别在于: 不包含点．);();(δδa U a U 与 }0|{);(δδ<-<=a x x a U a 此外，我们还常用到以下几种邻域： 点的右邻域，简记为a δ),[);(δδ+=+a a a U );(a U + 点的左邻域，简记为a δ],();(a a a U δδ-=-);(a U -去除点后，分别为点的空心左、右领域，简记为)()((a U a U +-与a a δ．))()(a U a U +- 与 邻域，其中M 为充分大的正数(下同)；∞}|{)(M x x U >=∞ 邻域，领域．∞+}|{)(M x x U -<=+∞∞-}|{)(M x x U -<=-∞§1.2 数集.确界定理 二 有界集.确界原理 定义1 设为R 中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M(S S x ∈x ≤x L)，则称S 为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)．≥若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集．S S S S 例1 证明数集为正整数}有下界而无上界．n n N |{=+ 证 显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集．+N +N 为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M ，总存在某个正整数，使得事实上，对任何正数(无论多么大)，取，则)(+∈N n o M n o >M =0n []1+M on ，且．这就证明了无上界． +∈N M n o >+N 同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集． 定义2 设是R 中的一个数集．若数满足：S η （i ）对一切，有，即是的上界；S x ∈η≤x ηS （ii ）对任何存在，使得即又是的最小上界ηα<S x o ∈α>o x ηS 则称数为数集的上确界，记作ηS S sup =η 定义3 设是R 中的一个数集．若数满足：S ξ （i ）对一切，有，即是的下界S x ∈ξ≥x ξS （ii ）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数ξβ>S x o ∈,β<o x ξS ξ集的下确界，记作 S S inf =ξ 上确界与下确界统称为确界． 例2 设为区间中的有理数}.试按上、下确界的定义验证：x x S |{=)1,0( .0inf ,1sup ==S S 解 先验证:1sup =S （i ）对一切，显然有即是的上界．S x ∈1≤x 1S ii 对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集()1<α0≤αS x o ∈α>o x 0>α在实数集中的稠密性，在中必有有理数即存在，使得．)1,(αo x S x o ∈α>o x 类似地可验证 0inf =S 注1 由上(下)确界的定义可见，若数集存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数S§1.2 数集.确界定理集存在上、下确界，则有．S S S sup inf ≤ 注2 数集S 的确界可能属于，也可能不属于．S S 例 设数集有上确界．证明:3S S S S max sup =⇔∈=ηη 证 设，则对一切有，而，故是数集中最大)⇒S S ∈=sup ηs x ∈η≤x S ∈ηηS 的数，即，． S max =η ，则；下面验证．)⇐S max =ηS ∈ηS sup =η （i ）对一切，有，即可是的上界；S x ∈η≤x ηS （ii ）对任何，只须取，则从而满足的定义． ηα<S x o ∈=ηα>o x S sup =η 定理1.1(确界原理) 设为非空数集．若有上界，则S 必有上确界；若有下界，S S S 则必有下确界．S 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明． 为叙述的方便起见，不妨设含有非负数．由于有上界，故可找到非负整数，使S S n 得 对于任何有;)1S x ∈1+<n x 存在,使.)2S a ∈0n a ≥0 对半开区间作等分,分点为,则存在中的一个数[)1,+n n 109.,,2.,1.n n n ,2,1,09, ,使得1n 对于任何有；)1S x ∈101.1+<n n x 存在，使．)2S a ∈111.n n a ≥ 再对半开区间作等分，则存在中的一个数使得)101.,.[11+n n n n 109,2,1,0 2n 对于任何有)1S x ∈<x 221101.+n n n 存在，使)2S a ∈2..212n n n a ≥ 继续不断地等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的109,2,1,0 —个数k n ，使得§1.2 数集.确界定理 对于任何有)1S x ∈k k n n n n x 101.21+< 存在，使 )2S a k ∈..21k k n n n n a ≥ 将上述步骤无限地进行下去，得到实数．以下证明．为..21 k n n n n =η=ηS sup 此只需证明： （i ）对一切有；（ii ）对任何，存在使．S x ∈η≤x ηα<S ∈'α'a <α 倘若结论（i ）不成立，即存在使，则可找到的位不足近似，使S x ∈η>x x k k x ，=>k k x η+k n n n n 21.k 101从而得，k k n n n n x 101.21+> 但这与不等式相矛盾．于是（i ）得证．)1( 现设ηα<，则存在使的位不足近似，即k ηk k k αη>，k k n n n n α> 21.根据数的构造，存在使，从而有ηS a ∈'k a η≥'，k a η≥'αα≥>k 即得到，．这说明（ii ）成立．'a <α例4 设为非空数集，满足：对一切和有．证明：数集有B A ,A x ∈B y ∈y x ≤A 上确界，数集下确界，且B B A inf sup ≤()2 证 由假设，数集中任一数都是数集的上界，中任一数都是B y A A x B 的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界．A B 现证不等式对任何，是数集的一个上界，而由上确界的定义)2(B y ∈y A 知，是数集的最小上界，故有．而此式又表明数是数集A sup A y A ≤sup A sup 的一个下界，故由下确界定义证得． B B A inf sup ≤ 例5 设为非空有界数集，．证明：B A , A S =B （i ）；}sup ,max{sup sup B A S =§1.2 数集.确界定理 （ii ）.}inf min{inf,inf B S =证 由于显然也是非空有界数集，因此的上、下确界都存在．B A S =S （i ）对任何，有或或，从而有∈x S ∈x A B x ∈A s sup ≤⇒B x sup ≤≤x ，故得.}{B A sup ,sup max }{B A S sup ,sup max sup ≤ 另一方面，对任何，有；同理又有A x ∈;sup sup sup S A S x S x ≤⇒≤⇒∈．所以．SB sup sup ≤}{B A S sup ,sup max sup ≥ 综上，即证得．}{B A S sup ,sup max sup =(ii)可类似地证明． 若把和补充到实数集中，并规定任一实数与、的大小关系为：∞+∞-a ∞+∞-，,,则确界概念可扩充为：若数集无上界，则定义为+∞<a -∞>a +∞<∞-S ∞+的非正常上确界，记作；若无下界，则定义为的非正常下确界，S +∞=S sup S ∞-S 记作．相应地，前面定义和定义中所定义的确界分别称为正常上、下确-∞=S inf 23界．推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的).Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握邻域的概念, 理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅴ 课外作业:P 2、3、4、5、6、7、8.９。
第一章2数集 确界原理
1 2
正无穷大 负无穷大
王利梅 数学分析
设 a ∈ R, δ > 0, 满足绝对值不等式 |x − a| < δ 的全体 x 的集合 称为点 a 的 δ 领域, 记为 U (a, δ ), 或简记为 U (a), 即有 U (a, δ ) = {x | |x − a| < δ } = (a − δ, a + δ ). 点 a 的空心 δ 领域定义为 U 0 (a, δ ) = {x | 0 < |x − a| < δ } = (a − δ, a + δ ) \ {a} = U 0 (a). 点 a 的 δ 右领域为 U+ (a, δ ) = [a, a + δ ) = U+ (a). 点 a 的 δ 左领域定义为 U− (a, δ ) = (a − δ, a] = U− (a). 点 a = {x | x 为区间(0, 1)内的有理数}，试按上, 下确界的定义验 证 sup S = 1, inf S = 0. . 证明. 先证明 sup S = 1. (i) 对 ∀ x ∈ S , 显然有 x ≤ 1. 即 1 是 S 的上界. (ii) 对 ∀ α < 1, 若 α ≤ 0, 则任取 x0 ∈ S , 有 x0 > α; 若 α > 0, 则 由有理数在实数中的稠密性知, 在 (α, 1) 内必有有理数 x0 , 即 ∃ x0 ∈ S 使得 x0 > α. 即 η 是 S 的最小上界. 类似地可验证 inf S = 0. 例：闭区间 [0, 1] 的上, 下确界分别为 1 和 0. 开区间 (0, 1) 的上, 下确界分别为 1 和 0. 正整数集有下确界 1, 而没有上确界.
王利梅
数学分析
王利梅
数集确界原理
作业 :
P9: 1, 2, 3, 4, 5.
§2 数集.确界原理
1.区间和邻域 有限区间 数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}. [a, b]{x|axb}——闭区间.
[a, b){x|ax<b}——半开区间, (a, b]{x|a<xb}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.
S
确界原理 设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界, 则S必有下确界. 例3 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y. 证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且
sup A inf B.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界, A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b, 则e为正数且 a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有 a b.
3.小结 (1), 两个实数的大小关系; (2), 实数的性质; (3), 区间和邻域的概念; (4), 确界原理.
直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB} 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点 的集合, RR常记作R2.
3.实数集 两个实数的大小关系 • 定义1
给定两个非负实数 x a0 .a1a2 L an L, y b0 .b1b2 Lbn L, 其中a0 , b0为非负整数， ak , bk (k 1,2,L)为整数， 0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L, 则称x与y相等，记为x y； 若a0 > b0或存在非负整数l , 使得ak bk (k 1,2Ll )而al 1 > bl 1 则称x大于y或y小于x，分别记为x > y或y < x.
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
§2.数集.确界原理.
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
(5) 邻域,邻域与 邻域 : 设M是一个充分大的正数 ,则
邻域:U: x R x M ,M M ,;
邻域:U: xR x M ,M ; 邻域:U : xR x M M,.
6
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域
例2(P6) 设S x x为区间(0,1)中的有理数,试按上,下
[思考题](PP6 7) 证明:
(1) 设S [0,1], 则supS 1, inf S 0;
(2)
设E
1n
n
n 1,2,,
则sup E
1, 2
inf
E
1;
(3) 对于正整数集N 1,2,, 则inf N 1, 而没有上确界.
a
a
a
x
4
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
设a R, 0. (3) a的右邻域与a的空心右邻域 :
Ua; : xR a x a a,a ; U0a; : xR a x a a,a .
(4) a的左邻域与a的空心左邻域 :
Ua; : xR a x a a ,a; U0a; : xR a x a a ,a.
设a R, 0.
(1) a的邻域 : 集合 x R x a 称为以a为中心为半径的邻域 ,
简称为a的邻域,记为U a; ,即
Ua; : x R x a a , a ;
(2)a的空心邻域 : 点a的邻域去掉中心" a"后所得到的集合, 记为
U 0a; ,即
U 0a; : x R 0 x a a , a a, a .
(i)x S, x ,即是S的一个下界;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
前页 后页 返回
注1 条件(i) 说明 是 S 的一个上界, 条件(ii)说明 比 小的数都不是S 的上界,从而 是最小的上
界,即上确界是最小的上界.
注2 显然,条件 (ii) 亦可换成:
0, x0 S, x0 .
x0
点击上图动画演示
x
前页 后页 返回
定义3 设 S R, S . 若 R 满足 : (i) x S, x ; (ii) , x0 S, x0 ; 则称 是 S 的下确界, 记为 inf S.
前页 后页 返回
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证 取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R, 若 M 1, 取 x0 21 M;若 M 1,
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
因此 inf S 0. 虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的 存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集 不一定有最小值, 例如 (0, ) 无最小值. 以下确界原理也可作公理,不予证明.
前页 后页 返回
三、确界存在性定理
定理1.1 (确界原理) 设S R, S . 若 S 有上界, 则 S 必有上确界; 若 S 有下界, 则 S 必有下确界. 证法一 设 S 是有上界的非空集合.为叙述方便起 见,不妨设 S 含有非负数. 记 S { x | x S, x 0}. x S , x b0 .b1b2 是 x 的正规的小数表示.
(ii) 设
1.
若
0，则取
x0
1 1 S, 2
x0
.
若 0, 则令 1 0,由阿基米德性, n0,
使得
1 n0
. 令x0
1
1 n0
S,
则
x0
1
.
因此，sup S 1.
前页 后页 返回
再证 inf S 0. (i) x S, x 1 1 0 ;
n
(ii) 0, x0 0 S, x0 .
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
前页 后页 返回
记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域 U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
U (; M ) { x | | x | M } : 的 M 邻域 U(;M ) {x | x M } : 的 M 邻域 U(;M ) {x | x M } : 的 M 邻域 max S : 数集 S 的最大值 min S : 数集 S的最小值
前页 后页 返回
一、有界集
定义1 设S R, S . (1) 若 M R, 使得 x S, x M , 则称 M 为 S 的一个上界, 称 S 为有上界的数集. (2) 若 L R, 使得 x S, x L,则称 L 为 S的一个下界, 称 S 为有下界的数集. (3) 若 S 既有上界又有下界, 则称 S 为有界集. 其充要条件为 : M 0, 使 x S,有 | x | M .
注1 由定义,下确界是最大的下界. 注2 下确界定义中的 (ii), 亦可换成
0, x0 S, x0 .
前页 后页 返回
例2
设
S
x
x 1 1 , n 1, 2, n
,
求证
sup S 1，inf S 0.
证 先证 sup S=1.
(i) x S, x 1 1 1 ; n
3. 令 a0 .a1a2 ,则 是正规小数表示. 4. sup S.
前页 后页 返回
1.S 是有上界的集合,从而 S+ 也是有上界的集合, 因此 k N , 使 x S , 若 x b0 .b1b2 , b0 至多 可取 {0,1,2, , k }, bi 至多可取 {0,1, 2, ,9},因此 Sn 至多有 (k 1)10n 个数, 从而必有最大值 xn, n 1,2,.
前页 后页 返回
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
前页 后页 返回
下面证明 R, 使 sup S.
证明分以下四步:
1. 令Sn {b0 .b1 bn | x b0 . b1b2 S }, 则 Sn 有最 大值 xn , n 1, 2, . 2. a0 N , ai {0,1, , 9}, i 1, 2, , 使
n, xn a0 .a1an , n 1,2,.
例2
证明数集
S
n2 1
2n3
n
N
+
有界.
证
n N+ ,
n2 1 2n3
n2 2n3
1 2n3
1 1 1, 22
因此 S 有界.
前页 后页 返回
二、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其 中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为 上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界.
2. 若 xn a0 .a1 an 是 Sn 最大值, 则 x b0 .b1b2 S , b0 .b1 bn a0 .a1 an ,
前页 后页 返回
因此 b0 .b1bn1 a0 .a1an1, 从而 xn1 a0 .a1 an1 是 Sn1 中最大值. 因此 {ai | i 0,1, } 使 xn a0 .a1 an , n 1, 2, .