数集确界原理

b
2
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
a
b
无限区间
oa
[a,) {x a x}
[a,) {x a x}
oa
x
(,b) {x x b}
ob
x
( , )
x
邻域
定义 1（邻域的定义） 是一实数, 0(读作 delta),称数集
例5 设 S 是 R 中非空有上界的数集 ,
(i) 若 a R, 定义 S a { x a | x S},则
sup {S a} sup S a;
(ii) 若 b>0, 定义 bS {bx | x S} , 则
sup {bS} b sup S.
证 (i) x a S a, 其中 x S, 必有 x sup S,
定义3
设 S R, S . 若 R 满足 : (i) x S, x ; (ii) , x0 S, x0 ; 则称 是 S 的下确界, 记为 inf S.
注1 由定义,下确界是最大的下界.
注2 下确界定义中的 (ii)亦可换成
0, x0 S, x0 .
,
证明
sup S 1，inf S 0.
证 先证 sup S=1.
(i) x S, x 1 1 1 ; n
(ii) 设
1.
若
0，则取
x0
1 1 S, 2
x0
.
若 0, 令 1 0,由阿基米德性, n0 ,
使得
确界. 同样，若S 有下界，则最大的下界称为下 确界.
下界
m2 m1 m
下确界
定义2 设 S R, S . 若 R满足 :
(i) x S, x ; (ii) , x0 S, 使得 x0 , 则称 是 S 的上确界, 记为 sup S.
证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，
且 sup A inf B.
证 由假设, B 中任一数 y 都是 A 的上界, A 中的任 一数 x 都是 B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确 界, B 有下确界. 由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意
yB; sup A y. 这样, sup A 又是 B 的一个下界, 而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A inf B.
证 设 若 sup A .显然 x B, x 0. 0,
令
M
=
1

,
则由于 sup A , x0 A, x0 M .
于是 因此
y0

1 x0
B,且
y0
.
inf B 0.
反之,若 inf B 0, 则 M 0,
令

1 M
,

x0
2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界.
例1 sup N , inf{2n | n N } .
例2 设数集
1

A

R
,
B


x
x A.
求证: sup A 的充要条件是 inf B 0.
求证: sup A 的充要条件是 inf B 0.
1 n0
.
取x0

1

1 n0

S,
则
x0
1
.
因此，sup S 1.
再证 inf S 0. (i) x S, x 1 1 0 ;
n
(ii) 0, x0 0 S, x0 .
因此 inf S 0.
虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的
存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集
不一定有最小值, 例如 (0, ) 无最小值.
以下确界原理作为公理,不予证明.
确界存在性定理
定理1.1（确界原理）
设S R, S . 若 S 有上界, 则 S 必有上确界; 若 S 有下界, 则 S 必有下确界.
例4 设 A, B 为非空数集. 满足 : x A, y B,有 x y.
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证 取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R,若M 1, 取x0 21 M; 若M 1，
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
bx bsup S.
0, 令 0, 则存在
b
x0 S, 使
x0 sup S ,
因此
bx0 b sup S b b sup S .
这就证明了
sup{bS} bsup S.
非正常确界
1. 规定 (i) a R, a ; (ii)若 S 无上界, 记 sup S . 若 S 无下界, 记 inf S .
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
aa
bb
a
b
{x a{x ax bx} 称b}为闭称区为间闭, 区记间作, [记a,b作] [a,b]
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
aa
bb
a
b
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
a
于是
x a sup S a.
对于 0, x0 S, 使 x0 sup S , 从而
x0 a S a,
且
x0 a (sup S a) ,
因此
sup(S a) sup S a.
(ii) bx bS, 其中 x S, 必有 x sup S, 于是
注3 条件(i) 说明 是 S 的一个上界, 条件(ii)说明
比小的数都不是 的 S上界,从而 是最小的上界
界, 即上确界是最小的上界. 注4 显然,条件 (ii) 亦可换成:
0, x0 S, x0 .
例3
设
S


x

x 1
1 , n 1, 2, L n

B,
x0

. 于是
y0

1 x0
A, 且
y0
Hale Waihona Puke M.因此 sup A .
作业 P 9 2; 4; 6; 7(1)
数学分析 第一章 实数集与函数
§2 数集 · 确界原理
确界原理本质 上体现了实数的完 备性，是本节学习 的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
§2 数一集区.一间确与区界邻间原域与理:邻域:
一 区间区与间邻区域：间: ：
区{间x a：{x ax bx} b称}为开称区为间开, 区记间作, (记a,作b) (a,b)


a
a
a
x
有时我们仅仅研究点 附近(不包含 点)的情况,需要使用到所谓去心
邻域的概念.
定义 2 去心邻域的定义)称数集
为点 的去心 邻域.

a
a

a x
有界集
定义1
设S R, S . (1) 若 M R, 使得 x S, x M , 则称 M 为 S 的一个上界, 称 S 为有上界的数集. (2) 若 L R, 使得 x S, x L,则称 L 为 S的一个下界, 称 S 为有下界的数集. (3) 若 S 既有上界又有下界, 则称 S 为有界集. 其充要条件为 : M 0, 使 x S,有 | x | M .
例2
证明数集
S


n2 1 2n3
n

N
+

有界.

证
n N+ ,
n2 1 2n3

n2 2n3

1 2n3
1 1 1, 22
因此 S 有界.
确界
上确界 M
上界
M1
M2
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中
最小的一个具有重要的作用.
最小的上界称为上