幂级数的部分练习题及答案
高三数学幂函数试题答案及解析
高三数学幂函数试题答案及解析1.图中曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－【答案】B【解析】当n大于0时，幂函数为单调递增函数，当n小于0时，幂函数为单调递减函数，并且在x＝1的右侧幂指数n自下而上依次增大，故选B.2.已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为______．【答案】[1，]【解析】∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，∴其定义域[a－1,2a]关于原点对称，∴即a－1＝－2a，∴a＝，∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴f(x)＝x2＋1，x∈[－，]，其值域为{y|1≤y≤}．3.已知函数f(x)＝，则不等式f(a2－4)>f(3a)的解集为________．【答案】(－1,4)【解析】作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的．由f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1<a<4.所以不等式的解集为(－1,4)．4.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为______．【答案】[2,3]【解析】函数f(x)＝(x－a)2＋5－a2在(－∞，2]上是减函数，∴a≥2，函数f(x)在[1，a]上是减函数，在[a，a＋1]上是增函数，要使x1，x2∈[1，a＋1]时，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，只要又f(1)≥f(a＋1)，∴只要f(1)－f(a)≤4，即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，故2≤a≤3.5.若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝xα，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝6.若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为 .【答案】【解析】由已知，在幂函数的图象上，即，，.由导数的几何意义，切线的斜率为，所以，由直线方程的点斜式得直线的方程为.【考点】幂函数，导数的几何意义.7.（本小题满分12分）已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数．⑴求函数的解析式；⑵设函数，若的两个实根分别在区间内，求实数的取值范围．【答案】（1）（2） .【解析】（1）由幂函数，在区间上是增函数，可得a>0，又因为是偶函数。
解析函数的幂级数展开的题及答案
解：可直接求出函数 1 z 在 z 0 的各阶导数值，
f (0) 1 f '(0) (1 z )
1z 0源自z 0f ''(0) ( 1)(1 z ) 2
( 1)
f ( n ) (0) ( 1) ( n 1)(1 z ) n
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的敛散性)； n 1 n n ( z 1) (2) (并讨论在 z 0, 2 点处的敛 n n 1
散性).
n 1 1， an lim 解:(1) 因为 lim 所以该级 3 n a n n n 1 数的收敛半径为 R 1 ；在收敛圆周上,幂级数变为: ein n3 , 易知该级数绝对收敛因而也收敛. n 1 2
3
n 1 1， an lim (2) 易得: lim 故该级数 n a n n n 1 的收敛半径为 R 1 . 因 z 0, 2 均位于收敛圆周上， 故需要进一步讨论起敛散性．对于 z 0, 原级数变为
(1) 交错级数 ， （由交错级数的 Lebniz 判别法） n n 1 易知其收敛但不绝对收敛．对于 z 2, 该幂级数变为
z
所以：
ez 1 2 1 1 3 1 2 z 1 1 z 1 1 z , z 1. 1 z 2! 2! 3!
10
例4.7：证明级数 z 在 z r (0 r 1)上一致收敛 .
n n 1
证： z r n，且级数 r n (0 r 1)收敛
例：用唯一性定理证明 2 z cos2 z 1. sin 解： f1 ( z ) sin 2 z cos2 z f 2 ( z) 1 f1 ( z )与f 2 ( z )在全平面上解析，而在 实轴上f1 ( x) f 2 ( x) 故在全平面上 1 ( z ) f 2 ( z ),即 f sin 2 z cos2 z＝ 1
幂级数及泰勒展开习题解答
幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n na n n a n n +→∞→∞-==++ 1R ⇒=当1x =时，因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以112(21)n n n ∞=-∑收敛， 当1x =-时， 1(1)2(21)nn n n ∞=--∑绝对收敛，⇒ 收敛区间为[1,1]-。
2. 11n n n -∞=解：11lim2n n n na a +→∞== 2R ⇒=当2x =时，1nn ∞=当2x =-时，111n n n n -∞∞===-发散， ⇒ 收敛区间为(2,2]-。
3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+ 13R ⇒=， 当13x =±时，通项不趋于零，⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭。
4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+ 1R ⇒=故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。
当1x =时， 11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为(1,2]。
5.1ln(1)(1)1n n n x n ∞=+-+∑ 解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n na n n a n n +→∞→∞++==++ 1R ⇒=故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。
高一幂函数的试题及答案
高一幂函数的试题及答案一、选择题1. 下列哪个函数是幂函数？- A. \( y = x^2 + 1 \)- B. \( y = \sqrt{x} \)- C. D. \( y = \frac{1}{x} \)2. 幂函数 \( y = x^3 \) 的图像通过哪个点？- A. (0, 1)- B. (1, 1)- C. (-1, 1)- D. (0, 0)3. 如果幂函数 \( y = x^n \) 的图像关于y轴对称，那么 \( n \) 的值是多少？- A. 1- B. 2- C. -1- D. 任意实数二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个_________。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而_________。
三、解答题6. 已知幂函数 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，请确定 \( n \) 的值。
7. 讨论幂函数 \( y = x^n \) 图像的变化趋势，并说明 \( n \) 的不同取值对图像的影响。
四、计算题8. 计算幂函数 \( y = x^{-2} \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
9. 假设幂函数 \( y = x^n \) 的图像经过点 (2, 8)，求 \( n \)的值，并描述其图像的特点。
答案一、选择题1. 正确答案：B. \( y = \sqrt{x} \)（因为 \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)）2. 正确答案：C. (-1, 1)3. 正确答案：B. 2二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个抛物线。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而增加。
三、解答题6. 由于 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，我们有 \( 27 = 3^n \)。
幂函数练习题及答案
幂函数练习题及答案一、选择题1. 下列函数中，属于幂函数的是:A. y = 3x^2B. y = 5x + 2C. y = 2^xD. y = √x答案：C2. 对于幂函数y = ax^n，若n > 0，则函数图像为:A. 上升曲线B. 下降曲线C. 横坐标轴D. 常数函数y = a答案：A3. 若幂函数y = 3^x在点(0, a)处的函数值为12，则a的值为:A. 9B. 8C. 4D. 2答案：C二、填空题1. 当幂函数图像关于点(1, b)对称时，函数的底数a为_________。
答案：12. 若幂函数y = a^x的图像过点(2, 4)，则底数a的值为_________。
答案：23. 幂函数y = 3^x图像的对称轴方程为_________。
答案：x = 0三、计算题1. 求解以下幂函数方程:1) 8^x = 2解：8^x = 2取对数得：xlog8 = log2x = log2 / log8 ≈ 0.3332) (1/2)^x = 4解：(1/2)^x = 4取对数得：xlog(1/2) = log4x = log4 / log(1/2) ≈ -22. 求以下幂函数的极限：1) lim(x→∞) 3^x解：当x趋于正无穷时，幂函数3^x趋于无穷大，因此极限为正无穷。
2) lim(x→-∞) 2^x解：当x趋于负无穷时，幂函数2^x趋于零，因此极限为零。
四、证明题证明：幂函数y = a^x和指数函数y = e^x都是定义域为实数集合R 的递增函数。
证明过程略。
综上所述，幂函数是具有底数a和自变量x的数学函数，根据底数的不同，幂函数的特性也会有所不同。
通过练习题的训练，我们可以更好地理解和掌握幂函数的概念、性质以及解题方法，提升数学应用能力和解决问题的能力。
数学分析14幂级数总练习题
第十四章 幂级数总练习题1、证明：当|x|<21时，22x 3x -11+=∑∞=0n 1-n n 1)x -(2. 证：∵x -11=∑∞=0n nx , |x|<1；2x -11=∑∞=0n n (2x ), |x|<21；∴当|x|<21时，22x 3x -11+=2x )-x )(1-(11=⎪⎭⎫ ⎝⎛x -11-2x -11x 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n x -(2x)x 1=∑∞=0n 1-n n 1)x -(2.2、求下列函数的幂级数展开式：(1)f(x)=(1+x)ln(1+x)；(2)f(x)=sin 3x ；(3)f (x)=⎰x02cost dt. 解：(1)∵ln(1+x)=∑∞=1n n1-n nx (-1), x ∈(-1,1]； ∴f(x)=(1+x)ln(1+x)=∑∞=1n n 1-n n x (-1)+∑∞=+1n 1n 1-n n x (-1)=x+∑∞=2n n n1)-n(n x (-1)； 又当x=-1时，∑∞=2n n n1)-n(n x (-1)=∑∞=2n 1)-n(n 1收敛，∴|x|≤1.(2)f(x)=sin 3x=21sinx-21sinxcos2x=21sinx-21[21(sin3x-sinx)]=41(3sinx-sin3x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∑∑∞=∞=++0n 0n 12n n 12n n 1)!(2n )(3x (-1)1)!(2n x (-1)341=∑∞=++0n 12n 2n n 1)!(2n )x 3-(1(-1)43, |x|<+∞. (3)∵cosx=∑∞=0n 2n n (2n)!x (-1)，|x|<+∞，∴cost 2=∑∞=0n 4n n (2n)!t (-1)，|t|<+∞. 从而f(x)=⎰x02cost dt=⎰∑∞=x 00n 4n n (2n)!t (-1)dt =∑⎰∞=0n x 04n n (2n)!t (-1)dt=∑∞=++0n 14n n 1)(4n (2n)!x (-1), |x|<+∞.3、确定下列幂级数的收敛域，并求其和函数：(1)∑∞=1n 1-n 2xn ；(2)2n 0n 1n x 212n ∑∞=++；(3)∑∞=1n 1-n 1)-n(x ；(4)∑∞=+--1n 212n 1-n 1(2n)x )1(. 解：(1)∵R=22∞n 1)(n n lim +→=1，又当x=±1时，发散，∴|x|<1. 记S(x)=∑∞=1n 1-n 2x n , 则⎰x0S(t)dt=∑⎰∞=1n x01-n 2x n dt=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).又⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nx dt=∑∞=1n n x =x -1x . ∴f(x) ='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11. ∴S(x)=∑∞=1n 1-n 2xn ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+, |x|<1. (2)∵R=3)n 2(21)(2n 2lim 1n 2n ∞n ++++→=2，又当x=±2时，∑∞=+0n 1-n 1)2(2n 发散，∴|x|<2. 记S(x)=2n 0n 1n x 212n ∑∞=++=∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛0n n20n 1-n 22x 212x nx 2x =2x f(x)+21g(x)； 则 ⎰xf(t)dt=∑⎰∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n x1-n 22t nt dt=∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0n n22x =2x-112=2x -22, |x|<2. ∴f(x) ='⎪⎭⎫⎝⎛2x -22=22)x -(24x . 又g(x)=∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1n n22x =2x -22； ∴S(x)=2n 0n 1n x 212n ∑∞=++=22)x -(24x 2x ⋅+2x -2221⋅ =222)x -(2x 2+, |x|<2. (3)∑∞=1n 1-n 1)-n(x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛∑⎰∞=1n x 01-n dt 1)-n(x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=1n n 1)-(x ='⎪⎭⎫⎝⎛x -21-x =2x )-(21 , |x-1|<1.(4)∵R=]1[(2n))1(]12)[(2n )1(lim 2n 21-n ∞n ---+-→=1，又当x=±1时，收敛，∴|x|≤1. 记S(x)=∑∞=+--1n 212n 1-n 1(2n)x )1(=∑∞=++-1n 12n 1-n 1)-1)(2n (2n x )1(，则 S ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n 12n 1-n 1)-1)(2n (2n x )1(=∑∞=-1n 2n 1-n 1-2n x )1(=x ∑∞=-1n 1-2n 1-n 1-2n x )1(=xarctanx.S(x)=⎰x0tarctanx dt=21[(1+x 2)arctanx-x], |x|≤14、应用幂级数性质求下列级数的和：(1)∑∞=+1n 1)!(n n；(2)∑∞=+-0n n 13n )1(.解：(1)记f(x)=∑∞=++1n 1n 1)!(n nx ，则f ’(x)=∑∞=1n n )!1-n (x =x ∑∞=0n nn!x =xe x ，∴f(x)=⎰x0t te dt=(x-1)e x+1. 当x=1时，f(1)=∑∞=+1n 1)!(n n=1. (2)记f(x)=∑∞=++-0n 1n 3n 13n x )1(，则f ’(x)=∑∞=-0n n 3n x )1(=3x 11+， ∴f(x)=⎰+x3t 11dt=⎰+x 0t 1131dt-⎰+-x 021t t t 31dt +⎰+-x 021t t 132 =31ln(1+x)-61ln(x 2-x+1)+31x 2arctan31-+36π.又当x=1时，∑∞=++-0n 1n 3n 13n x )1(收敛，∴ f(1)=∑∞=+-0n n 13n )1(=31ln2+33π.5、设函数f(x)=∑∞=1n 2nnx 定义在[0,1]上. 证明它在(0,1)上满足方程：f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)=f(1).证：记F(x)= f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)，x ∈(0,1)；则 F ’(x)=f ’(x)-f ’(1-x)+x 1ln(1-x)-x-11lnx =∑∞=1n 1-n n x -∑∞=-1n 1-n n )x 1(-∑∞=1n n n x x 1-∑∞=-1n n1-n n 1)-(x )1(x -11 =∑∞=1n 1-n n x -∑∞=-1n 1-n n )x 1(-∑∞=1n 1-n n x +∑∞=1n 1-n n x )-(1=0，x ∈(0,1).∴F(x)=c (c 为常数，0<x<1). 又-→1x lim F(x)=f(1)+f(0)+-→1x lim lnx ·ln(1-x)=f(1)，∴f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)=f(1)，x ∈(0,1).6、利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限：(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x 11ln x x lim 2x ；(2)xsin arcsinx -x lim 3x →. 解：(1)由ln(1+x)=∑∞=1n n 1-n n x (-1)得ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 11=∑∞=1n -n1-n n x(-1)=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-332x 13x 12x 1x 1o ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x 11ln x x lim 2x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++--∞→3322x x 13x 12x 1x 1x x lim o=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x 13x 121lim x o =21. (2)由arcsinx=∑∞=+++0n 212n )1n 2(!)!n 2(x !!1)(2n =x+61x 3 +o (x 3)； sin 3x=∑∞=++0n 12n 2n n 1)!(2n )x 3-(1(-1)43=43x+x 3+o (x 3)；(或sinx=∑∞=++0n 12n n 1)!(2n x (-1)=x+o (x))∴xsin arcsinx -x lim 30x →=)x (x x 43)x (x 61-lim 33330x o o ++-→(或=3330x )]x (x [)x (x 61-lim o o +-→)=-61.。
幂级数的部分练习题和答案
题目部分.(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] 函数项级数∑∞=1n nnx 的收敛域是(A) []1,1- (B) [)1,1- (C) ()1,1- (D) (]1,1-答( )(2分)[3] 设级数()n n n x b 20-∑∞=在2-=x 处收敛.则此级数在4=x 处(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( )(3分)[4]设级数()n n n x a 30+∑∞=在1-=x 处是收敛的.则此级数在1=x 处(A)发散； (B)绝对收敛；(C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[5]设级数()n n n x a 10-∑∞=的收敛半径是1.则级数在3=x 点(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[6]如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n nn x a(A)当2<x 时,收敛； (B) 当8<x 时,收敛； (C) 当81>x 时,发散； (D) 当21>x 时,发散； 答( ) (2分)[7]若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R,那么(A)R a a nn n =+∞→1lim,(B) R a a n nn =+∞→1lim,(C)R a n n =∞→lim , (D)nn n a a 1lim +∞→不一定存在 . 答( )(3分)[8] 若幂级数∑∞=0n n n x a 在2=x 处收敛.在3-=x 处发散.则 该级数(A)在3=x 处发散； (B)在2-=x 处收敛； (C)收敛区间为(]2,3- ;(D)当3>x 时发散。
答( )(2分)[9] 如果()x f 在0x 点的某个邻域内任意阶可导.那么幂级数()()()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000!n n n x x n x f 的和函数 (A) 必是()x f . (B)不一定是()x f . (C)不是()x f . (D)可能处处不存在。
数学分析第二册答案第十三章 幂级数
第十三章 幂级数§13.1 幂级数的收敛半径与收敛域1．求下列各幂级数的收敛域：（1）∑∞=1!)2(n nn x ；（2）∑∞=+++111)1ln(n n x n n ； （3）∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n nn x n n ；（4）∑∞=122n n nx ；（5）∑∞=-+1))1(3(n nn n x n ； （6）()()∑∞=+-+1123n n nn x n ； （7）()()n n x n n ∑∞=+1!!12!!2；（8）∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n n x n ；（9）()n n nn x nn∑∞=-11；（10）∑∞=+175n nn nx ； （11）()()nn x n n ∑∞=12!2!；（12）n n x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++11211 ； （13）∑∞nnx；（14）()()∑∞=---112!122n n n x ； （15）()10,12<<∑∞=a x a n n n ；（16）∑∞=1n p nnx ．解（1）由012lim !2)1(2lim 1=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→+∞→n n n n n n n ，故收敛半径+∞=R ,收敛域为)(∞+∞-,．（2）由 121)2ln()2ln(lim 1)1ln(2)2ln(lim =++⋅++=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→∞→n n n n n n n n n n ，故收敛半径1R =． 在1=x ，级数为∑∞=++11)1ln(n n n ，发散；在1-=x ，级数为∑∞=+++-111)1ln()1(n n n n ，由交错级数的Leibniz 判别法，知其收敛，因而收敛域为)[1,1-．（3）e n n n nn n nn n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→11lim 1lim ，所以收敛半径e R 1=．由于()∞→≠→⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+n e e n nn 01111， 故在e x 1±=级数发散，因此收敛域为)1,1(ee -．（4）由121lim 21limlim 2===∞→∞→∞→n n n n n n n n a ，知收敛半径1=R ． 在1=x ，级数为∑∞=±12)1(2n nn绝对收敛，故收敛域为]1,1[-. （5）由()413limlim =-+=∞→∞→nnn n n n na ，故收敛半径41=R ． 在41=x ，级数()[]∑∞=-+1413n n nn n ，将其奇偶项分开，拆成两个部分，分别为∑∞=121k k 和()∑∞=--1122121k k k ，前一项级数发散，后一项级数收敛，因此级数()[]∑∞=-+1413n n nn n 发散；同样，41-=x 时，级数为()[]()∑∞=--+11413n nn nn n ，也可拆成两部分，前一部分为∑∞=121k k ，另一部分()()∑∞=-----112122121k k k k ，前者发散，后者绝对收敛，因此级数()[]()∑∞=--+11413n nn nn n 发散，所以收敛区域是)41,41(-． （6）()()()332132231lim 23123lim 11=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+∞→++∞→n nn n nn n n n n n n ，所以级数的收敛半径是31=R ． 当311=+x 时，级数为()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+1132113123n n n n n n n n n 发散；当311-=+x 时，级数为()()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1132113123n n n n n n n n n n 收敛． 因此，收敛域为31131≤+≤-x 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,43. （7） ()()()()()13212lim !!12!!2!!32!!12lim =++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++∞→∞→n n n n n n n n ，所以收敛半径1=R ．当1=x 时，级数为()()∑∞=+1!!12!!2n n n ，由于12132lim 12232lim <=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→∞→n n n n n n n ，故由Raabe 判别法，知级数发散；当1-=x 时，级数为()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=（实际上，由其绝对收敛立知其收敛），这是交错级数，由于()()()()()()!!12!!2!!12!!23222!!32!!22+<+++=++n n n n n n n n ，故()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+!!12!!2n n 单调下降，且由n n n 2112254320<+< （用数学归纳法证之）及夹迫性知()()0!!12!!2lim =+∞→n n n ，由Leibniz 判别法，知()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=收敛，所以收敛域为)1,1[-． （8）111lim 11lim 2--∞→-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+e n n nn n n n ，所以收敛半径e R =．由于()()∞→≠→±⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n e e n n n 0112，故级数在e x ±=发散，因而收敛域为),(e e -．（9）()()11111lim11=-++-++∞→nnn n n nn n n ，所以1=R ．在1=x ，级数为()∑∞=-11n nn nn，由Leibniz 判别法，知其收敛；在1-=x ，级数为∑∞=11n nnn发散，故收敛域]1,1(-．（10）71751751lim 11=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→nn n n n ，所以7=R ． 在71±=x ，由于()()∞→→+±n n n n1757，即级数()∑∞=+±1757n nn n一般项()n n n757+±当n ∞→时不趋于0，因此级数发散，故收敛域()7,7-．（11）()[]()[]()()()()()4112121lim !2!!12!1lim 222=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→∞→n n n n n n n n n ，因此4=R ． 在4±=x ，级数为21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑，因为级数一般项的绝对值为 1!)!12(!)!2()4()!2()!(2>-=±n n n n n 对一切n 成立，所以0)4()!2()!(lim2≠±∞→nn n n ，即级数21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑发散，因此收敛域为)4,4(-．（12） 因为1)1211()11211(lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n ，所以1=R ．而在1±=x ，由于()011211lim ≠∞=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→nn n ，故级数在1±=x 均发散，因而收敛区间为)1,1(-．（13）因为11lim=+∞→nn n ，所以1=R ．又在1±=x ，显然级数()∑∞=±11n nn 均发散，故收敛域为)1,1(-．（14）由于()()()()()()101222lim !122!122lim 21212<=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-∞→--∞→n n x n x n x n n n n ，故()∞∞-∈∀,x ，()()∑∞=---112!122n n n x 均绝对收敛，因而收敛半径+∞=R ，收敛域()∞∞-,．（15）因为0lim lim 2==∞→∞→n n n n n a a （10<<a ），所以+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,．（16）()1111lim 111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→p n ppn n n n ，所以1=R ． 在1±=x ，级数变为()∑∞=±11n pn n ，故当1>p 时都收敛；10≤<p 时，()∑∞=-11n pn n 收敛，而∑∞=11n p n 发散，0≤p 时一般项不趋于0，均发散．因此，当1>p 时，收敛域]1,1[-； 10≤<p 时，收敛域为)1,1[-；而当0≤p 时, 收敛域为)1,1(-．2．设幂级数nn nx a∑∞=1的收敛半径为R , n n n x b ∑∞=1的收敛半径为Q ，讨论下列级数的收敛半径：（1）∑∞=12n n nx a；（2）()∑∞=+1n n n nx b a；（3）()∑∞=1n nnn xb a ．解（1）由题设R a a nn n 1lim 1=+∞→，所以()221211lim x R x a x a n n n n n =++∞→，故当112<x R ,即R x <时，级数nn n x a 21∑∞=绝对收敛，而当112>x R ，即R x >时，级数nn n x a 21∑∞=发散，因此级数nn nx a21∑∞=的收敛半径为R ． （2）收敛半径必{}Q R ,m in ≥，而不定，需给出n a ，n b 的具体表达式才可确定，可以举出例子．（3）RQ b a b a nn n n n 1lim11=++∞→，所以收敛半径为RQ ，只有当Q R ,中一个为0，另一个为∞+时，不能确定，需看具体n a ，n b 来确定，可以是[)+∞,0中任一数．3．设()0,,2,1101>=≤∑∞=x n M x ak kk ，求证：当10x x <<时，有（1）n n nx a∑∞=0收敛；（2）M x an n n≤∑∞=0．证明（1）nn n x a ∑∞=0=n n n n x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=111，而由于10x x <<，故数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nx x 1单调递减趋于0，级数n n n x a11∑∞=的部分和数列M x a n nn ≤∑∞=0有界，由Dirichlet 判别法，级数nn n x a ∑∞=0收敛．(2) 设n n nx a∑∞=0的部分和为)(x s n ，则由Abel 变换，有knk k k nk k k n x x x a x a x s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==1111)(∑∑∑=-==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k kk nn k k i i i k k x a x x x a x x x x 1111111111M x x M x x x x x x M nn k k k <=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑-=+1111111， 所以，M x s x s x an n n n n n n≤=∞→∞→∞=∑)(lim )(lim 0．§13.2 幂级数的性质1．设nn n x a x f ∑∞==)(当r x <时收敛，那么当11+∞=∑+n n n r n a 收敛时有 11)(+∞=∑⎰+=n n n rr n a dx x f ， 不论nn n xa ∑∞=0当r x =时是否收敛．证明 由于幂级数11+∞=∑+n n n r n a 的收敛半径至少不小于r ，且该幂级数在r x =收敛，因而该幂级数在[]r ,0一致收敛（Abel 第二定理），因此该幂级数的和函数)(x s 在r x =连续，即()101lim +∞=→∑+=-n n n rx r n a x s ．又r x <<∀0，由于n n n x a ∑∞=0当r x <时收敛，故可逐项积分，即)(1100x s r n a dx x a dx x a n n n n xnn x n nn =+==+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑，即)(lim )(0x s dt t f rx x -→=⎰，令-→r x 取极限即有11)(lim )(+∞=→∑⎰+==-n n n rx r r n a x s dx x f ． 2．利用上题证明()∑⎰∞=-=-121011ln n ndx x x ． 证明 ()()1,11)1ln(111<-=--=-∑∑∞=∞=-x x nx nx n nn n n ，故()∑∞=--=-1111ln n n x n x x ，1<x ，而级数∑∑∞=∞=-=+-⋅-12111)1(11n n nn n 是收敛的，利用上题结论，就有()∑⎰∞=-=-121011ln n n dx xx ．3. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：（1）∑∞=1n nnx ；（2）∑∞=1n nnx；（3）()∑∞=+11n nxn n ；（4）()()∑∞=---121121n n n x n n ； （5）∑∞=+122!1n nnx n n ； （6）()()nn n x n n ∑∞=+-13!11；（7）∑∞=-+11414n n n x ；（8）()∑∞=+-0112n n n x ；（9）∑∞=-112n n x n；（10）()∑∞=++1122!12n n x n n ．解（1）因为1,1111<=-∑∞=-x x x n n ，所以当1<x 时，⎰∑⎰-=∞=-x n x n dt t dt t 000111,即()x n x n n --=∑∞=1ln 1，且当1-=x 时，级数()∑∞=-11n nn 收敛，由Abel 第二定理，有()11,1ln 1<≤---=∑∞=x x n x n n． （2）设∑∞==1)(n nnx x s ，则1,)(11<=∑∞=-x nx x x s n n ，逐项积分，有1,1)(1101<-===∑∑⎰⎰∞=∞=-x x x x dt t n dt t t s n n n x n x，所以，()2111)(x x x x x s -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，即()1,1)(2<-=x x x x s ． （3）设()∑∞=+=11)(n nxn n x s ，1<x ，则有()()1,11)(221111<-===+=∑∑∑⎰⎰∞=∞=+∞=x x x nx x nxdt t n n dt t s n nn n n xnx，所以，322)1(2)1()(x xx x x s -='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，1<x ． （4）设()()∑∞=--=12121)(n n nx n n x s ，1≤x ，则 ()()∑∞=----='11211221)(n n n x n x s ，11≤<-x ， ()()()211212211212121)(xx x x s n n n n n +=-=-=''∑∑∞=-∞=--，1<x ， 所以，()x dt tx s xarctan 21121)(02=+='⎰，11≤<-x ， )1ln(41arctan 21arctan 21)(20x x x tdt x s x+-==⎰，1≤x ． （5） 设 1)(2!12!2!1)(211212-+=+=+=∑∑∑∞=∞=∞=xnn n n n n n n ne x x n x n n x n n x s σ，+∞<x ． 由于()211101222!1122!)(2!)(xn n n n n x n n n e xx n x x n n dt t t x n n x =⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=∑∑⎰∑∞=-∞=∞=σσ，所以， 222412)(x x e x e x x +=σ，故 112141)(22-⎪⎭⎫⎝⎛++=xe x x x s ．（6）设()()∑∞=+-=13!11)(n n n x n n x s ，+∞<x ，则[]()∑∞=-='13!)(n nx n n x xs ，所以，[]()()[]()13)(!)(12220+--='⇒-=-='--∞∑⎰x x xe x xs e x x x n n dx t ts t x x n x，()11)(3-++=-x e x x x xs ，则()xe ex x s x x11)(2-++=--（在0=x 理解为极限值）．（7）令∑∞=-+=11414)(n n n x x s , 则1,14)(1142<+=∑∞=+x n x x s x n n ，所以， []()44141421)(xx xxx s x n nn n-==='∑∑∞=∞=， 故x x x x x s x -+-+=arctan 2111ln 41)(2，因此2222arctan 11ln 41)(xxx x x x x s -+-+=（在0=x 理解为极限值）．（8）22122lim 12lim1=-=-∞→+∞→n n n nn n ，收敛半径21=R ，在21±=x ，有 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±-∑∑∞=∞=+nn n n nn 212121121， 由于()02121lim ≠⎪⎭⎫⎝⎛-±∞→nnn ，故级数发散．可得 ()()∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=012212)(n n n nn nn x x x x s()()x x x x 2111112112--=---=，21<x ． （9）设1,)(112<=∑∞=-x x nx s n n ，则有x x x dx dt t s u nx dt t s n n xu n nx-==⎪⎭⎫⎝⎛⇒=∑⎰⎰∑⎰∞=∞=1)(1)(10010，所以，20)1(11)(1x x x dt t s x x -='⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰， 即20)1()(x x dt t s x-=⎰，所以32)1(1)1()(x xx x x s -+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，1<x ． （10）设()+∞<+=∑∞+x x n n x s n ,!12)(122，则有（逐项积分），()1!1)(1!12)(2121001120-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+=+∞=∞=+∑⎰⎰∑⎰x n n x t n n xe x x n dt du u u s t x n n dt t t s所以，()()x e x x du uu s e x du u u s x x x x x -+=-+=⎰⎰2230202)(,112)(1， ()11624)(224-+++=x e x x x xx s ， 则()x e x x x x x s x -+++=2235624)(．4.求下列级数的和： （1）∑∞=-1212n nn ； （2）()∑∞=+1121n n n ． 解 （1）考虑级数())(1212x s xn n n=-∑∞=，1<x ．由于()∑∞=--=122212)(n n x n x x s ，逐项积分，()2112112021)(xxx x x dt t t s n n n n x-===∑∑⎰∞==∞=-，所以， ()()()2222222211)(11)(x x x x s x x x x s -+=⇒-+=，1<x ． 故有()3222112212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑∞=∞=s n n n nn n ． （2）设()∑∞=++=112121)(n n x nn x s ，则级数在1≤x 绝对收敛，所以， ∑∞=='121)(n n x n x s ，2112122)(x xx x s n n -==''∑∞=-，1<x ． 因此，)1ln(12)(202x dt t t x s x--=-='⎰，xxx x x dx x x s x +-++--=--=⎰11ln 2)1ln()1ln()(202，1≤x ．())(lim )1(12111x s s nn x n -→∞===+∑[]2ln 22)1ln()1(2)1ln()1(lim 1-=++-+--=-→x x x x x x ．5．证明：(1) ∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(；(2) ∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ． 解（1）对级数∑∞=04)!4(n n n x ，由0)!4(1)]!1(4[1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n n ，故收敛半径+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,，而采取用逐项求导得，∑∑∑∞=∞=-∞==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛041)1(4)4(04)!4()]!1(4[)!4(n nn n n n n x n x n x ，即∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(． （2）级数∑∞=02)!(n n n x 收敛域为()+∞∞-,，设∑∞==02)!(n nn x y ，通过逐项求导得， ()()∑∑∞=-∞=='⎥⎦⎤⎢⎣⎡='12102!!n n n n n nxn x y ， ()()()∑∑∞=-∞=-="⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''22202!1!n n n n n x n n n x y ， 所以，()()()∑∑∑∞=∞=-∞=--+-=-'+''02121222!!!)1(n nn n n n n x n nx n x n n x y y y x()()[]()()[]()0!!11!11020212=-+++++=∑∑∑∞=∞=∞=n nn n n nn x n x n n x n n ，即∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ． 6．设)(x f 是幂级数∑∞=0n n nx a在()R R ,-上的和函数，若)(x f 为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若)(x f 为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项．证明 由于∑∞==)(n n nx ax f ，()R R x ,-∈．()R R x ,-∈∀，由)(x f 是奇函数，即)()(x f x f -=-，得0]1)1[()(0=+-⇒-=-∑∑∑∞=∞=∞=n n n nn nn n nnx a x a x a，故{}N n ⋃∈∀0，有0]1)1[(=+-n na ，故当n 为偶数时002=⇒=n n a a ，即级数中偶次幂系数均为0，因此级数中仅出现奇次幂的项．同样，若)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，得0]1)1[(0=--∑∞=n n n nx a ，故n ∀，有0]1)1[(=--n n a ，当n 为奇数时，有002=⇒=-n n a a ，即级数中奇次幂的系数均为0，因此级数中仅出现偶次幂的项．7．设∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f ．求证：（1）)(x f 在]1,1[-连续，)(x f '在)1,1(-内连续； （2）)(x f 在点1-=x 可导； （3）+∞='-→)(lim 1x f x ；（4）)(x f 在点1=x 不可导；证明（1）由于1,)1ln(1)1ln(22≤+≤+x n n n n x n ，而级数∑∞=+12)1ln(1n n n 收敛，由M判别法，知级数∑∞=+12)1ln(n nn n x 在]1,1[-一致收敛，而级数的每一项为幂函数在]1,1[-连续，故和函数∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f 在]1,1[-连续．又级数∑∑∞=-∞=+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1112)1ln()1ln(n n n n n n x n n x 的收敛半径为1=R ，因此在)1,1(-内，其和函数)(x f '连续．（2）幂级数∑∞=-+11)1ln(n n n n x 在1-=x 成为∑∞=-+-11)1ln()1(n n n n ，由Leibniz 判别法，知级数收敛，由Abel 第二定理，幂级数在]0,1[-一致收敛，因而其和函数)(x f '在1-=x 右连续，因此)(lim 1x f x '+-→存在，且)(lim )1(1x f f x '=-'+-→．（3）+∞=+='∑∞=→-11)1ln(1)(lim n x n n x f ． （4）因为∑∞=→→+--=----1211)1ln()1()1(lim 1)1()(lim n n x x n n x x x f x f ()+∞=+=++++=∑∑∞=∞=--→-1122111ln 1)1ln(1lim n n n n x n n n n x x ， 故)(x f 在点1=x 不可导．§13.3函数的幂级数展式1．利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为Maclaurin 级数，并说明收敛区间． （1）0,1≠-a xa ； （2）()211x +；（3）()311x +；（4）x 2cos ； （5）x 3sin ； （6）xx 31-；（7）()xex -+1；（8）()21ln x x ++；（9）22311x x +-； （10）x arcsin ；（11）()21ln xx ++；（12）21ln arctan x x x +-；（13）⎰xdt tt0sin ； （14）dt t x⎰2cos ．解（1）nn a x a ax ax a ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛=-=-111111 （1<a x ） ∑∞=+=11n n n x a（a x <）．（2）()()22111-+=+x x()()()()()∑∑∞=∞=+-=+----+=0111!12321n n nn nx n x n n ，1<x ．（3）()()()()()∑∞=-+----+=+=+133!13431111n n x n n x x()()()∑∞=++-=22121n n x n n ，1<x ．（4）∑∞=-+=+=022)2()!2()1(212122cos 1cos n n n x n x x ∑∞=--+=1212)!2(2)1(1n nn n x n ，+∞<x ． （5）()()()()()!123141!1214343sin sin 3sin 1201203+--+-=-=+∞=+∞=∑∑k x k x x x x k kk k kk ()()()∑∞=++--=0122!1231143k k kk k x ，+∞<x ．（6）()213131--=-x x xx()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=13!12123211n n x n n x （13<x ）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=123!!!121n n n x n n x ，31<x ． （7）()()()∑∞=--+=+0!111n n xx n x ex （+∞<-x ） ()()∑∞=-+=0!11n n n x n x （+∞<x ）()()∑∑∞=+∞=-+-=10!1!1n n nn nnx n x n （+∞<x ）()()∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=111!1!111n nn x n n ，+∞<x ． （8）()()()212211ln -+='++x xx()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12!21223211n n x n n （12<x ）()()∑∞=--+=12!2!!1211n n n n x n n ，1<x ，所以，()()()()()∑⎰∞=++--+='++1120212!2!!1211ln n n nn xx n n n x dx xx ，1≤x ， 即()()()()∑∞=++--+=++112212!2!!1211ln n n nn x n n n x xx ． （9）xx x x x x ---=--=+-11212)21)(1(123112∑∑∞=∞=-=0)2(2n nn nxx （12<x 且1<x ）()∑∞=+-=112n n n x ，21<x ． （10）()()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+='122!2122321111arcsin n nx n n x x （12<-x ）()∑∞=-+=12!2!!121n n nx n n ，1<x ，所以，()()∑∞=++-+=11212!2!!12arcsin n n nx n n n x x ，1<x ． 在1±=x ，由于()()()()()123132!12!!1212!2!!12lim 1>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-+∞→n n n n n n n n n n ， 用Raabe 判别法知右端级数收敛，因而收敛区间为]1,1[-．（11）()()()x x xx xx ---=--=++1ln 1ln 11ln 1ln 332()()()()x nnx n n n nn -----=∑∑∞=-∞=-1113111∑∑∞=∞=-=13111n nn n x nx n ，11<≤-x ． （12）dx x xdx x dxxx x x x x ⎰⎰+-+=+-02022111ln arctan ()()⎰∑⎰∑∞=∞=---=xn nx n x x dx x x 0202()()220120121121+∞=+∞=∑∑+--+-=n n n n n n x n x n x()()()()∑∞=+++-=01211221n n n x n n ，1≤x ．（13）()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=++-=--=x k k kx k k kxdt t k dt t k t dt t t 02000120!121!1211sin ()()()∑∞=+++-=012!12121k k kx k k ，+∞<x ．（14）()()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=-=-=x k k kx k kk xdt t k dt t k dt t004002202!21!21cos()()()∑∞=++-=01414!21k k kx k k ，+∞<x ．2．利用幂级数相乘求下列函数的Maclaurin 展开式： （1）()xx ++11ln ； （2）()2arctan x ； （3）()x -1ln 2．解（1）()()()()∑∑∞=∞=---=++=++011111ln 11ln n nn nn x xnn x x x x ()()()∑∑∑∑∞=∞=-∞==---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111111111n n k n n n k k n k n k k x k x x k ，1<x ．（2）()()20022022111arctan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰∑⎰∞=x n nn x dt t dt t x ()()()()121200121121+--+∞==+--+-=∑∑k n kn k n n k k x k n x k()()()()∑∑∞=+=+-+-=0120121211n n nk nx k n k ()()∑∑∞=+=++-=012012111n n nk nx k n ，1≤x ． （3）()()()∑∑∑∑∞==-+∞=∞=--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-111212112111ln n nk k n k n n n n n k n x k x n x x n x()()∑∑∑∑∞=+=∞=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11111111211n n n k n n n k x k n x k n k ，11≤≤-x ． 3．将下列函数在指定点0x 展开为Taylor 级数：（1）)(,10a b x xa ≠=-； （2）1,221ln 02-=++x xx ； （3）2,ln 0=x x ； （4）1,0=x e x．解（1）()()()ba bx b a b x b a x a ----=---=-11111()()∑∑∞=-∞=--=⎪⎭⎫⎝⎛---=0101n n nn nb a b x b a b x b a ，b a b x -<-． （2）()[]2211ln 221ln++-=++x xx ()()[]()()∑∑∞∞=-+-=+--=nn n n n n x nx n21211111，02≤≤-x ．（3）()()∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎭⎫⎝⎛-++=-+=112212ln 221ln 2ln 22ln ln n nn x n x x x （1221≤-<-x ） ()()∑∞=---+=112212ln n n nn x n ，40≤<x ．（4）()()()∑∑∞=∞=--+-=-===001111!1!1n nn n x x xx n e x n e eeee ，+∞<<∞-x ． 4．展开 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x e dx d x 1为x 的幂级数，并推出()∑∞=+=1!11n n n ． 解 ∑∑∑∞=-∞=-∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22110!1!11!111n n n n n n x x n n x n dx d x n x dx d x e dx d ()∑∞==+=11!1n n x n n，+∞<x ， 所以，()()1111!11211=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==∞=∑x x x x n x x e x e dx d n n ． 5．试将()x x f ln =展开成11+-x x 的幂级数． 解 令11+-=x x t ，则 ttx -+=11，因而有()()()()()()∑∑∞=-∞=-----=--+=-+==1101111ln 1ln 11ln ln n n n n nn t nt n t t t tx x f()∑∑∞=-∞=-⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=112111112211n n n n n x x n t n，0>x ．6．函数()x f 在区间),(b a 内的各阶导数一致有界，即0>∃M ，对一切()b a x ,∈，有() ,2,1,)(=≤n M x f n ，证明：对()b a ,内任意点x 与0x ，有()()()()∑∞=-=000!n n n x x n x f x f ． 证明 由Taylor 公式，()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，有()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00)(200000!!2 ， 其中()()()()()()∞→→-+≤-+=+++n x x n Mx x n f x R n n n n 0!1!1101)1(ξ，()b a x ,∈∀，其中ξ在x 与0x 之间．故()x f 在区间()b a ,可以展成()0x x -的幂级数，即()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，()()()∑∞=-=000)(!n n n x x n x fx f ．。
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题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] 函数项级数∑∞=1n nnx 的收敛域是(A) []1,1- (B) [)1,1- (C) ()1,1- (D) (]1,1-答( )(2分)[3] 设级数()n n n x b 20-∑∞=在2-=x 处收敛，则此级数在4=x 处(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( )(3分)[4]设级数()n n n x a 30+∑∞=在1-=x 处是收敛的，则此级数在1=x 处(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[5]设级数()n n n x a 10-∑∞=的收敛半径是1，则级数在3=x 点(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[6]如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n nn x a(A)当2<x 时,收敛； (B) 当8<x时,收敛；(C) 当81>x 时,发散； (D) 当21>x 时,发散； 答( ) (2分)[7]若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R,那么(A)R a a nn n =+∞→1lim,(B) R a a n nn =+∞→1lim, (C)R a n n =∞→lim , (D)nn n a a 1lim +∞→不一定存在 .答( )(3分)[8] 若幂级数∑∞=0n n n x a 在2=x 处收敛，在3-=x 处发散，则 该级数(A)在3=x 处发散； (B)在2-=x 处收敛； (C)收敛区间为(]2,3-;(D)当3>x 时发散。
答( )(2分)[9] 如果()x f 在0x 点的某个邻域内任意阶可导，那么幂级数()()()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000!n n n x x n x f 的和函数 (A) 必是()x f ， (B)不一定是()x f ， (C)不是()x f ， (D)可能处处不存在。
答( )。
(2分)[10]如果()x f 能展开成x 的幂级数，那么该幂级数 (A) 是()x f 的麦克劳林级数； (B)不一定是()x f 的麦克劳林级数；(C)不是()x f 的麦克劳林级数； (D) 是()x f 在点0x 处的泰勒级数。
答( )。
二、填空 (54小题,共166.0分) (2分)[1]函数项级数∑∞=+1322arctan n nx x 的收敛域是 。
(2分)[2]讨论x 值的取值范围，使当_____________时∑∞=++1)(n x n n n x n 收敛当_____________时∑∞=++1)(n xn nn x n 发散(3分)[3]设级数()x u n n ∑∞=1的部分和函数()1122+-=n n n x x x s ，级数的通项()=x u n 。
(2分)[4]级数()n nn nn 3)!2(π10∑∞=-的和是 。
(2分)[5] 级数()()[]∑∞=-----111n x n nx xe n nxe 在[]1,0上的和函数是 。
(3分)[6]设x不是负整数，对p的值讨论级数()()()0111>+-∑∞=p n x pn n的收敛性得 当 时，绝对收敛， 当 时，条件收敛。
(2分)[7] 幂级数()()n n n x n 32121101---∑∞=-的收敛域是 。
(3分)[8]幂级数()()∑∞=----1121!121n n n n x 的收敛半径是 ，和函数是 。
(1分)[9] 如果幂级数()n n n x a 10-∑∞=的收敛半径是1，则级数在开区间 内收敛。
(2分)[10]如果2lim1=+∞→n nn a a ，则幂级数()n n n x a 10-∑∞=在开区间内收敛。
(2分)[11] 设幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径是()+∞<≤R R 0，则幂级数n n n x a 20∑∞=的收敛半径是 。
(2分)[12]如果幂级数()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是 . (5分)[13]幂级数Λ++++4433221721025222x x x x 的通项是 ，收敛域是 。
(6分)[14]幂级数nn n n x n n ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1232的收敛域是 。
(4分)[15] 幂级数∑∞=+014n n n x n 的收敛区间是 。
(4分)[16] 幂级数n n x n ∑∞=0!的收敛域是 。
(4分)[17] 若幂级数nn n x a ∑∞=0和()101+∞=∑+n n n x a n 的收敛半径分别为1R 、2R ，则1R 、2R 具有 关系 。
(3分)[18]设3lim 1=+∞→n nn a a ，则幂级数∑∞=02n n n x a 的收敛半径是 。
(2分)[19] 幂级数()nx nn n∑∞=-11的收敛域是 ，和函数是 。
(3分)[20]幂级数∑∞=⋅0!32n nn n x 的和函数是 。
(3分)[21] 幂级数Λ+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅-+432864253164231421211x x x x的收敛域是 ，和函数是 。
(2分)[22] 级数Λ++++++252231x x x x x 的收敛域是 ，和函数是 。
(2分)[23] 若幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径是R ，则其和函数在开区间 上是连续的。
(2分)[24] 如果幂级数nn n x a ∑∞=0与n n n x b ∑∞=0的收敛半径分别是1R 、2R ，则级数()n n n n x b a ∑∞=+0的收敛半径是 。
(3分)[25] 若幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径是R ,则其和函数()x s 在开区间 内是可微的，且有逐项求导公式 。
(3分)[26] 设幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径是R ,则其和函数()x s 在开区间 上可积，且有逐项求积公式 。
(4分)[27] 函数⎪⎭⎫⎝⎛+4πsin x 的麦克劳林展开成为 ，其收敛域是 。
(3分)[28] 函数()()R x ∈+αα1的麦克劳林展开式为 ，收敛区间是 。
(3分)[29] 函数()1,0≠>=a a a y x 在00=x 点的泰勒展开式为 ，收敛区间是 。
(3分)[30] 函数x_11的麦克劳林展开式为 ，收敛域是 。
(3分)[31] 函数x+11的麦克劳林级数展开式为 ，收敛域是 。
(5分)[32] 函数xx y -+=11ln 的麦克劳林展开式为 ，收敛域是 。
(6分)[33] 函数()221ln x x y -+=关于x 的幂级数为 ，收敛域是 。
(4分)[34] 函数()x y +=2ln 的麦克劳林展开式为 ，收敛域是 。
(4分)[35] 函数()α+x cos 的麦克劳林展开式为 ，其收敛域是 。
(3分)[36] 如果()x f 的麦克劳林展开式为n n nx a20∑∞=，则=n a 。
(2分)[37] 函数x e 在点00=x 的泰勒级数为 ，收敛区间为 。
(2分)[38] 函数x sin 的麦克劳林级数为 ， 收敛区间为 。
(2分)[39] 函数()x +1ln 的麦克劳林级数为 ，收敛域为 。
(4分)[40] 函数()x -1ln 的麦克劳林展开式是 ，()=-=01ln x nn dx x d 。
(3分)[41] 函数xcos 的麦克劳林展开式为 ，()()=0cos n 。
(5分)[42] 函数⎰-=xt dte y 0关于x 的幂级数是 ，()()=0n y。
(4分)[43] 函数xsinh 的麦克劳林展开式为 ，()()o x n x =sinh = 。
(4分)[44] 函数xcosh 的麦克劳林展开式为 ，()()==o x n x cosh 。
(2分)[45] 函数()()0122≠-=a x a x f 关于x 的幂级数是，()==ox n n dxx f d 。
(6分)[46] 函数x 2sin 的麦克劳林级数为 ，()()==ox nx 2sin 。
(3分)[47] 将函数()xx f 431+=展开成形如()∑∞=-01n n n x a 的幂级数时，收敛域是 。
(3分)[48] 若函数()x f 在点0x 的某一邻域内任意阶可微，设()()()()()x R x x x f k x f n kk nk +-=∑=000!1，那么()x f 在该 邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 。
(3分)[49] 函数xy 1=在点30=x 的泰勒展开式是 ，其收敛域是 。
(3分)[50] 函数22cosx x y =的麦克劳林级数是，其收敛域是 。
(3分)[51] 函数22sin x x y =的麦克劳林级数是 ，其收敛域是 。
(3分)[52] 根据()αx +1的幂级数展开式将8181********-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=表示成一个数项级数，该数项级数的前三项(用分数表示) 是 。
(2分)[53] 级数∑∞=11n k n发散时，k的取值范围是 。
(2分)[54] 利用x e 的幂级数展开式将e1表示成一个数项级数，该数项级数的第六项(用分数表示)是 。
三、计算 (36小题,共161.0分) (3分)[1]设0≥x ，求级数()()Λ+-+-+57353x x x x x 的和函数。
(3分)[2] 设()(),10,,3,2,,11≤≤=-==-x n x x x u x x u n n n Λ试求级数()∑∞=1n n x u 的和函数。
(3分)[3] 求函数项级数()0,2≥-∞=∑x e x nxn 的和函数s(x)。
(4分)[4] 求级数∑∞=+11n n nx 在(-1，1)内的和函数。
(4分)[5] 设()x f 为()∞∞-,上的连续函数，级数()()()[]∑∑∞=-∞=-=212n n nn nx f x f x u ，其中()∑-=⎪⎭⎫⎝⎛+=101n k n n k x f n x fΛ,2,1=n试确定()x u n n ∑∞=2的收敛域及和函数。
(4分)[6] 试求幂级数()n n n x ∑∞=+-0112的和函数。
(5分)[7]试求幂级数()∑∞=++025121n n n x n 的收敛域。
(4分)[8]试求级数∑∞=12n nxn 的收敛域。
(3分)[9] 试求级数()()Λ+++32lg lg lg x x x 的收敛域。