相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)-精选.
回顾相似三角形的判定方法总结：
1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)
4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一：反A 型：
如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程
模型二：反X 型：
如图，已知角∠BAO =∠CDO ，若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 试一试写出具体证明过程
应用练习：
1. 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ，
∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB
相似三角形6大证明技巧
相似三角形证明方法之反A 型与反X 型
O
F E
C B
A E
D
C
B
A
O
D
C
B
A
2.已知在 △
ABC 中 ,∠ABC =90°,AB =3,BC =4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB ( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P .
(1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证： △APQ ∽ △ABC ； (2)当 △PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。
模型三：射影定理
如图已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，，2HC HA HB =?，试一试写出具体证明过程
模型四：类射影
如图，已知2AB AC AD =?，求证：BD AB
BC AC
=，试一试写出具体证明过程
相似三角形证明方法之射影定理与类射影
C
A
B
H
A B
C
D
应用练习：
1.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。求证：
2.如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，连EF ，求证：∠AEF =∠C
F
E
D
C
B
A
模型五：一线三等角
如图，已知∠B =∠C =∠EDF ，则△BDE ∽△CFD （AA ），试一试写出具体证明过程
图2
图1
F
F
C
B
B
C C B
A
E
A
E
A
应用练习：
1.如图，△ABC 和△DEF 两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．
（1） 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ； （2） （2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；
并求当BP=a ，CQ=9a/2 时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）
相似三角形证明方法之一线三等角
2.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC 的面积的时，求线段EF的长．
3.如图，点在线段上，点、在同侧，，，
。
（1）求证：。
（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线于点。
①当点与、两点不重合时，求的值。
②当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长。（直接写出结果，不必写出解答过程）
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算
横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。
1.如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于
F ．求证：
BF AB
BE BC
=．
2.如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：DC CF AE AD
=．
3.如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：2AM MD ME =?
比例式的证明方法之三点定型 技巧一：三点定型
A
B
C
F
D
E
C
B
A
E D
M
D
B
A
C
F
E
若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等量代换替代其中线段，然后再用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有：等线段代换，等比代换，等积代换 【例1】 如图，在△ABC ，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于
F ，求证：2FD FB FC =?
证明:连接AF,
是
的平分线,
,
是AD 的垂直平分线,
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),
(等边对等角),
,,
,
又
, ,
比例式的证明方法之等线段代换 A
B
C
D E
F
【例2】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，
ECA D ∠=∠．求证：AC BE CE AD ?=?．
【例3】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：
2AB BE CD =?
【例4】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，
延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =?．
C
B
A D E
F
A
B
C
D E
C B
A
D
P E
F
【例5】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线
于F ，求证：2OB OE OF =?．
【解题方法提示】
要证OB 2=OF·OE ，即证=，接下来你有思路了吗？
因为AB ∥CE ，由平行线分线段成比例定理，可得=；
同理因为AF ∥BC ，可得=，由等式的传递性，问题即可得证.
证明：∵AB ∥CE ， ∴
=
.
∵AF ∥BC ， ∵=， ∴=
，
∴OB 2=OE·OF ．
【例6】 如图，在ABC △中，已知90A ∠=?时，AD BC ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，
过D 、E 作直线交AB 的延长线于F ．求证：AB AF AC DF ?=?．
比例式的证明方法之等比代换 E
F
C
A
B
D
【例7】如图，在ABC
△中（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD AE
=，直线DE和BC的延长线交于点P．求证：BP CE CP BD
?=?
例8.（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且
DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：
BQ
DP
=
PC
PE
；
（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC
的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN2=DM?EN．
E
C
D
B
A
P
P M
N
D
A
B
C
【例
8】 如图，ABC △中，BD 、CE 是高，EH BC ⊥于H 、交BD 于G 、交CA 的延长
线于M ．求证：2HE HG MH =?．
A B
C
D
E H
G
M
【例9】 如图，在ABC △中，90BAC ∠=?，D 为AC 中点，AE BD ⊥，E 为垂足，求证：
CBD ECD ∠=∠．
C
B
A
D
E
【例10】 在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，P 为AD 中点，MN ⊥BC ，求证2MN AN NC =?
11.如图，已知△ABC 中，AD ，BF 分别为BC ，AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，
交BF 于G ，交AC 延长线于H 。求证： DE 2
=EG?EH
比例式的证明方法之等积代换
【例11】 已知，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在直线AD 、CD 上，EF //AC ，BE 、BF
分别交AC 于M 、N .，求证：AM =CN.
【例12】 已知如图AB =AC ，BD //AC ，AB //CE ，过A 点的直线分别交BD 、CE 于D 、E . 求
证：AM =NC ，MN //DE .
【例13】 如图，△ABC 为等腰直角三角形，点P 为AB 上任意一点，PF ⊥BC ，PE ⊥AC ，
AF 交PE 于N ，BE 交PF 于M .，求证：PM =PN ，MN //AB .
比例式的证明方法之证等量先证等比
C
B
A
P E
F
N M
F
M
N
E
D
C
B A D
C
B
A
E
M N
【例14】 如图，正方形BFDE 内接于△ABC ，CE 与DF 交于点N ，AF 交ED 于点M ，CE
与AF 交于点P . 求证：（1）MN //AC ；（2）EM =DN .
【例15】 （※）设E 、F 分别为AC 、AB 的中点，D 为BC 上一点，P 在BF 上，DP //CF ，
Q 在CE 上，DQ //BE ，PQ 交BE 于R ，交CF 于S ，求证：13
RS PQ
【例16】 （※）如图，梯形ABCD 的底边AB 上任取一点M ，过M 作MK //BD ，MN //AC ，
分别交AD 、BC 于K 、N ，连KN ，分别交对角线AC 、BD 于P 、Q ，求证：KP =QN .
P N
M E
F
D A
B C C
B
A
D
P Q
S
E F
G
R
Q
N
S
P
R
K
M
O D
C B
A
【例17】（2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.（1）求证：AH=BH，（2）
若∠BAC=60°，求
FG
DG
的值
.
H M
F
G
E
D C
B
A
【例18】（2016七一华源）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α. 求证：（1）EF＋EG＝AE（2）求证：CE＋CG＝AF 比例式的证明方法之几何计算
比例式的证明方法之动点问题
运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形，此时分类讨论思想在动
态问题中尤其重要，应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。利用相似三角形对应
边成比列为等量关系，建立方程求解，进而解决问题。
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A 出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射
线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析
式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．
3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．
（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P 点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、
Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
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