2019年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)

2019年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z＝i+i2，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）集合，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{1，2，3} 3．（5分）命题“∀x∈R，e x≥x+1”的否定是（）A．∀x∈R，e x＜x+1B．C．∀x∉R，e x＜x+1D．4．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减的是（）A．y＝22﹣x B．C．D．y＝﹣x2+2x+a 5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是长度为1的正方形，则这个几何体的体积为（）A．32B．C．D．86．（5分）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．67．（5分）如图的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只股票在全年都处于上升趋势．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（5分）直线y＝2x绕原点顺时针旋转45o得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos2α的值为（）A．B．C．D．9．（5分）正方形ABCD边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，若＝||2，则||＝（）A．3B．5C．D．10．（5分）已知曲线y＝sin x在点P（x0，sin x0）（0≤x0≤π）处的切线为l，则下列各点中不可能在直线l上的是（）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣2，0）C．（1，﹣2）D．（4，1）11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．（5分）定义在[0，π]上的函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）有零点，且值域M⊆[﹣，+∞），则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，2]C．[，]D．[，2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最大值为．14．（5分）直线y＝2x与抛物线x2＝4y围成的封闭图形的面积为．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝，a cos B+b sin A＝c，则△ABC的面积的最大值为．16．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为，CE和该截面所成角的正弦值为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）各项均为整数的等差数列{a n}，其前n项和为S n，a1＝﹣1，a2，a3，S4+1成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（﹣1）n•a n}的前2n项和T2n．18．（12分）某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工收入的频数分布表以及B企业员工收入的统计图如图：A企业：工资人数[2000，3000）5[3000，4000）10[4000，5000）20[5000，6000）42[6000，7000）18[7000，8000）3[8000，9000）1[9000，10000]1（Ⅰ）若将频率视为概率，现从B企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（Ⅱ）（i）若从A企业收入在[2000，5000）的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在[3000，4000）的人数X的分布列．（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由．19．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，CD ＝2AB＝2，P A⊥平面ABCD，，M为PC中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面BMD；（Ⅱ）求二面角M﹣BD﹣P的余弦值．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，且满足PF2⊥x轴，，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M为y轴正半轴上的定点，过M的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，，求点M的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+bx﹣1（b∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若方程f（x）＝lnx有两个实数根，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.选修4-4坐标系与参数方程选讲22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；（Ⅱ）当a＝1时，P为曲线C上动点，求点P到直线l距离的最大值．选修4-5不等式选讲23．设函数f（x）＝|x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）+f（﹣x）≥6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x﹣4）﹣f（x+1）＞kx+m的解集为（﹣∞，+∞），求k+m的取值范围．2019年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z＝i+i2，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由i+i2＝﹣1+i，知i+i2在复平面内对应的点（﹣1，1），由此能得到结果．【解答】解：∵i+i2＝﹣1+i，∴i+i2在复平面内对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意复数的几何意义的灵活运用．2．（5分）集合，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|x≤2}；∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：A．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3．（5分）命题“∀x∈R，e x≥x+1”的否定是（）A．∀x∈R，e x＜x+1B．C．∀x∉R，e x＜x+1D．【考点】2J：命题的否定．【专题】11：计算题；49：综合法；5L：简易逻辑．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，e x≥x+1”的否定是．故选：D．【点评】本题考查含有一个量词的否定．特称命题与全称命题的否定关系．4．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减的是（）A．y＝22﹣x B．C．D．y＝﹣x2+2x+a【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝22﹣x＝4×（）x，在（0，+∞）内单调递减，符合题意；对于B，y＝＝1﹣，在（0，+∞）内单调递增，不符合题意；对于C，y＝＝log2x，在（0，+∞）内单调递增，不符合题意；对于D，y＝﹣x2+2x+a＝﹣（x﹣1）2+a+1，在（0，1）内单调递增，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是长度为1的正方形，则这个几何体的体积为（）A．32B．C．D．8【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断几何体的形状，画出直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体的直观图如图：棱锥的顶点，在底面上的射影是底面一边的中点，易知这个几何体的体积为：＝．故选：B．【点评】本题考查三视图的相关知识．几何体的直观图的与三视图的对应关系，是基本知识的考查．6．（5分）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．6【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，结合等差数列的性质可得a2+a3＝（a1+d）+（a1+2d）＝10，S6＝6a1+15d＝54，解可得d的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若a2+a3＝10，S6＝54，则有a2+a3＝（a1+d）+（a1+2d）＝10，S6＝6a1+15d＝54，解可得：d＝4，a1＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．7．（5分）如图的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只股票在全年都处于上升趋势．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据统计的有关性质分别进行判断即可．【解答】解：①甲的标准差2.04，乙的标准差为9.63，则甲的标准差小，即股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确，②股票甲的极差是6.88元，股票乙的极差为27.47元，则购买股票乙风险高但可能获得高回报；故②正确，③由图象知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确，④甲股票在6到8月份之间出现下跌，故④错误，故正确的是①②③．故选：C．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及统计识图能力．根据统计的有关知识是解决本题的关键．8．（5分）直线y＝2x绕原点顺时针旋转45o得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】由题意可得tan（α+45°）＝＝2，求得tanα的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得cos2α的值．【解答】解：由题意可知tan（α+45°）＝＝2，∴tanα＝，∴cos2α＝＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，一条直线到另一条直线的角的计算公式，及三角恒等变换的相关知识，属于基础题．9．（5分）正方形ABCD边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，若＝||2，则||＝（）A．3B．5C．D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由＝||2，结合数量积的几何意义可知EF⊥AE，根据勾股定理可求．【解答】解：∵正方形ABCD边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，∵＝||2，由数量积的几何意义可知EF⊥AE，由E是BC中点，AE＝，EF＝，AF＝，∵AE2+EF2＝AF2，∴CF＝，所以．故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的相关知识，属于基础试题．10．（5分）已知曲线y＝sin x在点P（x0，sin x0）（0≤x0≤π）处的切线为l，则下列各点中不可能在直线l上的是（）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣2，0）C．（1，﹣2）D．（4，1）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】画出函数的图象，以及切线方程，然后求解判断点的坐标位置，推出的结果．【解答】解：画出切线l扫过的区域，如图所示，则不可能在直线上的点为（1，﹣2）．故选：C．【点评】本题主要考查数形结合思想的运用．函数与方程的应用．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件求出，|F2A|，|AB|，然后推出a，b关系，然后求解双曲线的离心率．【解答】解：由题意双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，可知：|F2A|＝＝b，可知，所以，可得2a2＝c2﹣a2，e＞1，3a2＝c2，e2＝＝3，从而．故选：B．【点评】本题考查双曲线的相关知识．双曲线的离心率的求法，考查转化思想以及计算能力．12．（5分）定义在[0，π]上的函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）有零点，且值域M⊆[﹣，+∞），则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，2]C．[，]D．[，2]【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】由题意利用正弦函数的图象，正弦函数的定义域和值域，可得ωπ﹣≥0，且ωπ﹣≤，由此求得ω的取值范围．【解答】解：定义在[0，π]上的函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0），ωx﹣∈[﹣，ωπ﹣]，∵函数有零点，∴ωπ﹣≥0，∴ω≥．且函数的值域M⊆[﹣，+∞），∴ωπ﹣≤，求得ω≤，则ω的取值范围为[，]，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最大值为4．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x+2y得2y＝﹣x+z，平移直线2y＝﹣x+z，由图象可知当直线2y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（0，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝0+4＝4．即目标函数z＝x+2y的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14．（5分）直线y＝2x与抛物线x2＝4y围成的封闭图形的面积为．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】53：导数的综合应用．【分析】由微积分基本定理知，直线y＝2x与抛物线x2＝4y围成的封闭图形的面积为（2x﹣）dx，求出积分值．【解答】解：由微积分基本定理知，直线y＝2x与抛物线x2＝4y围成的封闭图形的面积为（2x﹣）dx＝x2|﹣|＝64﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查了微积分基本定理和微积分的几何意义，属于简单题．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝，a cos B+b sin A＝c，则△ABC的面积的最大值为．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到A的值，由余弦定理，结合基本不等式，即可得到bc的最大值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵a cos B+b sin A＝c，∴由正弦定理得：sin C＝sin A cos B+sin B sin A①又∵A+B+C＝π，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B②∴由①②得sin A＝cos A，即：tan A＝1，又∵A∈（0，π），∴A＝；∵a＝，∴由余弦定理可得：2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝（2﹣）bc，可得：bc≤，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC的面积为S＝bc sin A＝bc≤×＝，当且仅当b＝c时，等号成立，即面积最大值为．故答案为：．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．16．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为2，CE和该截面所成角的正弦值为．【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，推导出平面MNG∥平面PEFH，过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，由此能求出过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积；以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE和该截面所成角的正弦值．【解答】解：取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，∵MG∥EF，NG∥EP，MG∩NG＝G，EF∩EP＝E，∴平面MNG∥平面PEFH，∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，∵PE＝2，EF＝＝，四边形PEFH是矩形，∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为：S矩形PEFH＝2．以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，E（1，2，0），F（0，1，0），H（0，1，2），C（0，2，2），＝（﹣1，0，2），＝（﹣1，﹣1，0），＝（﹣1，﹣1，2），设平面EFHP的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），设CE和该截面所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴CE和该截面所成角的正弦值为．故答案为：2，．【点评】本题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）各项均为整数的等差数列{a n}，其前n项和为S n，a1＝﹣1，a2，a3，S4+1成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（﹣1）n•a n}的前2n项和T2n．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）各项均为整数的等差数列{a n}，公差设为d，d为整数，运用等比数列的中项性质和等差数列通项公式和求和公式，解方程可得d，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）由数列的通项公式，结合并项求和，即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）各项均为整数的等差数列{a n}，公差设为d，d为整数，a1＝﹣1，a2，a3，S4+1成等比数列，可得a32＝a2（1+S4），即（﹣1+2d）2＝（﹣1+d）（﹣3+6d），可得d＝2，则a n＝2n﹣3；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得T2n＝﹣a1+a2﹣a3+a4+…﹣a2n﹣1+a2n＝（1+1）+（﹣3+5）+…+（5﹣2n+2n﹣3）＝2+2+…+2＝2n．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，数列的并项求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．（12分）某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工收入的频数分布表以及B企业员工收入的统计图如图：A企业：（Ⅰ）若将频率视为概率，现从B企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（Ⅱ）（i）若从A企业收入在[2000，5000）的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在[3000，4000）的人数X的分布列．（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，由此能求出概率．（2）①A企业[2000，5000）中三个不同层次人数比为1：2：4，即按照分层抽样7人所抽取的收入在[3000，4000）的人数为2．X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②求出A企业的员工平均收入和B企业的员工平均收入．考答案1：选企业B，由于B 企业员工的平均收入高．参考答案2：选企业A，A企业员工的平均收入只比B企业低10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的．参考答案3：选企业B，由于B企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少．【解答】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68．（2）①A企业[2000，5000）中三个不同层次人数比为1：2：4，即按照分层抽样7人所抽取的收入在[3000，4000）的人数为2．X的取值为0，1，2，因此，，，X的分布列为：X012P②A企业的员工平均收入为：＝5260B企业的员工平均收入为：．参考答案1：选企业B，由于B企业员工的平均收入高．参考答案2：选企业A，A企业员工的平均收入只比B企业低10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的．参考答案3：选企业B，由于B企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少．（如有其它情况，只要理由充分，也可给分）【点评】本题考查统计知识及概率相关知识等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，CD ＝2AB＝2，P A⊥平面ABCD，，M为PC中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面BMD；（Ⅱ）求二面角M﹣BD﹣P的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）通过求解三角形证明PC⊥MD，PC⊥MB，推出PC⊥平面MDB，即可证明平面PBC⊥平面BDM．（Ⅱ）以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．【解答】解：（Ⅰ）在直角梯形中，，在△BCD中，由余弦定理，，又，有△PCD，△PCB是等腰三角形，所以PC⊥MD，PC⊥MB，PC⊥平面MDB，所以平面PBC⊥平面BDM．（Ⅱ）以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，，，有，，令平面PBD的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面BDM的一个法向量为，所以cos＜，＞＝＝，所以二面角M﹣BD﹣P的余弦值为．【点评】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识．本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，且满足PF2⊥x轴，，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M为y轴正半轴上的定点，过M的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，，求点M的坐标．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意知，，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）设M（0，t），l：y＝kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据题意和韦达定理即可求出【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，所以．（Ⅱ）设M（0，t），l：y＝kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），由条件可得，，联立直线l和椭圆C，有，有（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝由x1x2+（kx1+t）（kx2+t）＝﹣3，∴（k2+1）x1x2+kt（x1+x2）+t2＝﹣3，∴（k2+1）﹣kt•+t2＝﹣3，整理可得7t2＝3解得．故M（0，），【点评】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识，考查了转化与化归能力以及运算求解能力，属于中档题21．（12分）已知函数f（x）＝e x+bx﹣1（b∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若方程f（x）＝lnx有两个实数根，求实数b的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f'（x）＝e x+b，通过当b≥0时，当b＜0时，判断导函数的符号，得到函数的单调性．（Ⅱ）令，易知g'（x）单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为x0，g'（x0）＝0，若有g（x）有两个零点，需满足g（x0）＜0，令h（x）＝e x﹣e x x﹣lnx，h′（x）＝﹣e x﹣＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（1）＝0，得到的解集为（1，+∞），推出b＜1﹣e，当b＜1﹣e时，令g（x）＝（x+1）e x﹣x＝（x+1）（e x﹣1）+1，说明g（x）在（0，x0）上有唯一零点，在（x0，+∞）上，当x→+∞时，由e x增长速度大，有g（x）＞0，推出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题可得f'（x）＝e x+b，当b≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当b＜0时，x≥ln（﹣b），f'（x）＞0，f（x）在（ln（﹣b），+∞）上单调递增；x＜ln（﹣b），f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln（﹣b））上单调递减．（Ⅱ）令，易知g'（x）单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为x0，g'（x0）＝0，即，故若有g（x）有两个零点，需满足g（x0）＜0，即令h（x）＝e x﹣e x x﹣lnx，h′（x）＝﹣e x﹣＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（1）＝0，所以的解集为（1，+∞），由，所以b＜1﹣e当b＜1﹣e时，e x+bx﹣1﹣lnx＞x+bx﹣lnx，有g（e b）＞e b+be b﹣lne b＝（b+1）e b﹣b，令g（x）＝（x+1）e x﹣x＝（x+1）（e x﹣1）+1，由于x＜1﹣e，所以x+1＜2﹣e＜0，e x ＜1，故g（x）＝（x+1）e x﹣x＞0，所以g（e b）＞0，故g（e b）g（x0）＜0，g（x）在（0，x0）上有唯一零点，另一方面，在（x0，+∞）上，当x→+∞时，由e x增长速度大，所以有g（x）＞0，综上，b＜1﹣e．【点评】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.选修4-4坐标系与参数方程选讲22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；（Ⅱ）当a＝1时，P为曲线C上动点，求点P到直线l距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）消去参数t可得l的普通方程；利用极坐标与直角坐标互化公式将C的极坐标方程化成普通方程后，再化成参数方程；（Ⅱ）问题转化为求圆心到直线的距离加上圆的半径．【解答】解（1）直线l的普通方程为，曲线C的极坐标方程可化为ρ2+2ρ2cos2θ＝3，化简可得.（5分）（Ⅱ）当a＝1时，直线l的普通方程为．有曲线C的直角坐标方程，可设点P的坐标为因此点P到直线l的距离可表示为当，d取最大值为．（10分）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．选修4-5不等式选讲23．设函数f（x）＝|x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）+f（﹣x）≥6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x﹣4）﹣f（x+1）＞kx+m的解集为（﹣∞，+∞），求k+m的取值范围．【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】（Ⅰ）化简f（x）+f（﹣x）去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集；（Ⅱ）化简f（x﹣4）﹣f（x+1），去掉绝对值符号，通过不等式的解集为推出结果．【解答】解：（Ⅰ），由f（x）≥6，或或，解得x∈（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．则不等式f（x）+f（﹣x）≥6的解集：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．（Ⅱ），由f（x﹣4）﹣f（x+1）＞kx+m的解集为（﹣∞，+∞）可知k＝0，即k+m＜﹣5．【点评】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容．本小题重点考查化归与转化思想．。