数列中的奇数项和偶数项问题

1设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11为偶数21为奇数4n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩,记，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； 解：（I ）a 2＝a 1+41=a +41，a 3=21a 2=21a +81；（II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21a 4=41a +316,所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －41), 猜想：{b n }是公比为21的等比数列· 证明如下：因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=21b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为21的等比数列·2 在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=， 65618a a =+=。

从而，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。

（II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈ 所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441...41k k =+-++⨯ ()21,*k k k N =+∈.由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=. 所以数列{}n a 的通项公式为或写为，*n N ∈。

设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解析：（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或（2009北京文）（本小题共13分）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若，求3b ；（Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列及不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得，解，得. .∴成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =. （Ⅱ）由题意，得21n a n =-， 对于正整数，由n a m ≥，得.根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈；当2m k =时，()*1m b k k N =+∈.∴()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得.∵32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132m qm m p-+<≤+，即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m都成立.当310p ->（或310p -<）时，得（或），这及上述结论矛盾！ 当310p -=，即时，得，解得.∴ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是，. .已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数. （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(32a n -2n +14)=32(-1)n ·（a n -3n +21）=-32b n又b 1x -(λ+18),所以当λ＝－18，b n =0(n ∈N +),此时｛b n ｝不是等比数列：当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴(n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－32）n -1，于是可得S n =-.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n ）－（－　λ 要使a <S n <b 对任意正整数n 成立，即a <-53(λ+18)·［1－（－32）n ］〈b(n ∈N +)，则令 得)2(1)()32(1)18(53)32(1--=--<+-<--n f b a nnλ ①当n 为正奇数时，1<f (n ),1)(95;35<≤≤n f n 为正偶数时，当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 95, 于是，由①式得95a <-53(λ+18),<.1831853--<<--⇔a b b λ 当a <b ≤3a 时，由－b -18≥=-3a -18，不存在实数满足题目要求； 当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ,都有a <S n <b ,且λ的取值范围是（－b -18,-3a -18）.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记。

（I ）求数列{}n a 及数列{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由；（I ）当1=n 时， 又1151,51++=+=+n n n n a S a S11115,4即+++∴-==-n n n n n a a a a a ∴数列{}n a 是首项为，公比为的等比数列，∴，*14()4()11()4+-=∈--nn nb n N …………………………………3分 （II ）不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。

证明：由（I ）知14()5441(4)11()4+-==+----nn nn b 212212555201516408888.(4)1(4)1161164(161)(164)--⨯-+=++=+-=-<-----+-+k k k k k k k k k b b∴当n 为偶数时，设2()n m m N *=∈ ∴1234212()()()84n m m R b b b b b b m n -=++++++<=当n 为奇数时，设21()n m m N *=-∈ ∴1234232221()()()8(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=+++++++<-+=-=∴对于一切的正整数n ，都有4n R k < ∴不存在正整数k，使得4n R k≥成立。

…………………………………8分数列{}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足(Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++证明：当解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以22311(1cos )sin 12,22a a a ππ=++=+=22422(1cos )sin 2 4.a a a ππ=++== 一般地，当*21(N )n k k =-∈时，222121(21)21[1cos ]sin 22k k k k a a ππ+---=++ ＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -= 当*2(N )n k k =∈时，22222222(1cos )sin 2.22k k k k k a a a ππ+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k k a =故数列{}n a 的通项公式为**21,21(N ),22,2(N ).n n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知，23123,2222n n nS =++++ ①2241112322222n n nS +=++++ ② ①-②得，23111111.222222n n n nS +=++++-21111[1()]1221.122212n n n n n ++-=-=--- 所以11222.222n n n n n n S -+=--=-要证明当6n ≥时，成立，只需证明当6n ≥时，成立. 证法一(1)当n = 6时，成立.(2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2k kk k k k k k k k k k k k++++++++=⨯<<++ 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，.即当n ≥6时， 证法二令，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，于是当6n ≥时， 综上所述，当6n ≥时，设n S 是数列{}n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，．（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N*）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N*．由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N*，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n S ；（Ⅱ）设，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式，考查等比数列的概念及性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分 解：（Ⅰ）由已知得，2d ∴=， 故212(2)n n a n S n n =-+=+，． （Ⅱ）由（Ⅰ）得．假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2(2)(2)(2)q p r +=++． 2()(2)20q pr q p r ∴-+--= p q r *∈N ，，，22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 及p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．。