2020年上海市高三数学一模分类汇编：集合与命题
上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)
上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019. 12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分,共54分)1. 函数2()f x x =的定义域为______2. 关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______ 3. 已知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -=______4. 设a ∈R ，2(1)i a a a a --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a =______5. 己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为______6. 已知7(1)ax+二项展开式中3x 的系数为280，则实数a =______7. 椭圆22194x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若PF =15，则12cos F PF ∠=______8. 已知数列{n a }的通项公式为1(2)1()32n n n n a n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩(n ∈N *)，n S 是数列{n a }的前n 项和.则lim n x S →∞=______ 9. 在直角坐标平面xOy 中，A (-2,0)，B (0,1)，动点P 在圆C ：222x y +=上，则 PA PB ⋅的取值范围为______10. 已知六个函数：①21y x=；②cos y x =；③12y x =；④arcsin y x =；⑤1lg()1x y x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有______种11. 已知函数1|1()|xf x =-，（0x >），若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为______12. 向量集合S ={(),|,,a a x y x y =∈R }，对于任意α、S β∈,以及任意λ∈(0,1)，都有()12S λαβ+-∈，则称S 为“C 类集”.现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合M ={,|a a S R μμ∈∈}也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合M ={|,a b a S b T +∈∈}也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 已知实数a 、b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是( )A. 22a b >B. 11a b< C. |a ||b |> D. 22a b > 14. 要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin2y x =的图象( )A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 15. 设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是( )A. 如果120z z ->，那么12z z >B. 如果12z z =，那么12z z =±,C. 如果12||1z z >，那么12z z >D. 如果22120z z +=,那么120z z == 16. 对于全集R 的子集A ，定义函数1(()0())A x f x x A A ⎧=∈⎨⎩∈R为A 的特征函数.设A 、B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是( )A. 若A B ∈，则()()A B f x f x ≤B. ()1()A A f x f x =-RC. ()()()A A B B f x f x f x =⋅D. ()()()A A B B f x f x f x =+三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB =P A =1，AD =3，E 、F 分别为棱PD 、P A 的中点.(1)求证：B 、C 、E 、F 四点共面；(2)求异面直线PB 与AE 所成的角.18. 已知函数()22x xa f x =+，其中a 为实常数. (1) (0)7f =，解关于x 的方程()5f x =；(2) 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.19. 东西向的铁路上有两个道口A 、B ，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15°，且位于B 的南偏东15°方向，D 位于A 的正北方向，AC =AD =2km ，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60 km /h .(1) 判断救护车通过道口A 是否会受到火车影响，并说明理由；(2) 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A 、B 中的哪个道口?通过计算说明.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，己知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，点D 的坐标为(,0t )，0t >,(1)若||5OA =，求点A 的坐标；(2)若△AFD 为等腰直角三角形，且FAD ∠=90o ，求点D 的坐标；(3)弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切” 的一个充要条件是“p 为弦AB 的中点”.21. 已知无穷数列{n a }的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有210n S -≥，20n S ≤,则称数列{n a }具有性质P .(1) 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{n a }是否具有性质P ，并说明理由；(2) 已知无穷数列{n a }具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；(3) 已知21n b n =-，n ∈N *,数列{n c }是等差数列，122n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{n a }具有性质P ，求2019c 的取值范围.上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
2020年上海市黄浦区高考一模数学试卷及答案
2020年上海市黄浦区高考一模数学试卷1.（2020·上海黄浦区·模拟）设集合A={x∣ (x+1)(x−2)<0}，集合B={x∣ 1<x<3}，则A∪B=．2.（2020·上海黄浦区·模拟）已知z=(a−i)(1+i)（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则a=．3.（2020·上海黄浦区·模拟）抛物线x2=8y的焦点到准线的距离为．4.（2020·上海黄浦区·模拟）(x2−1x )8的展开式中x的系数为．（用数字作答）5.（2020·上海黄浦区·模拟）设θ为第二象限的角，sinθ=35，则tan2θ的值为．6.（2020·上海黄浦区·模拟）母线长为3，底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为．7.（2020·上海黄浦区·模拟）若无穷等比数列{a n}满足：a2a3=a4，a5=116，(n∈N∗)，则数列{a2n−1}的所有项的和为．8.（2020·上海黄浦区·模拟）四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是．（结果用数字作答）9.（2020·上海黄浦区·模拟）已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120∘，则E的两条渐近线的夹角为．10.（2020·上海黄浦区·模拟）已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，若f(x)=x+log2(2x+2)，则满足f(x)>log23>g(x)的x的取值范围是．11.（2020·上海黄浦区·模拟）设函数y=f(x)的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f(x1)⋅f(x2)=1，则称函数f(x)具有性质M．下列结论：①函数y=x3−x具有性质M；②函数y=3x+5x具有性质M；③若函数y=log8(x+2)，x∈[0,t]具有性质M，则t=510；④若y=3sinx+a4具有性质M，则a=5．其中正确结论的序号是．12.（2020·上海黄浦区·模拟）已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2，点P是该正六边形边上的动点，记σ=A1P⋅A2P+A2P⋅A3P+A3P⋅A4P+A4P⋅A5P+A5P⋅A6P+A6P⋅A1P，则σ的取值范围是．13.（2020·上海黄浦区·模拟）方程∣∣∣2x13x∣∣∣=5的解集是( )A．{2}B．{2,−2}C．{1,−1}D．{i,−i}14.（2020·上海黄浦区·模拟）将函数y=sin(4x+π3)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π3个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为( )A．x=−π12B．x=π16C．x=π4D．x=π215.（2020·上海黄浦区·模拟）若函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“f(∣x∣)=f(x)对切x∈R恒成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16.（2020·上海黄浦区·模拟）设曲线E的方程为4x2+9y2=1，动点A(m,n)，B(−m,n)，C(−m,−n)，D(m,−n)在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π，下面说法正确的是( )A．①错，②对B．①对，②错C．①②都错D．①②都对17.（2020·上海黄浦区·模拟）在三棱锥P−ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=3，PC=4，且三棱锥P−ABC的体积为10．(1) 求点A到直线BC的距离．(2) 若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.（2020·上海黄浦区·模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且acosC=(2b−c)cosA．(1) 若AB⋅AC=3，求△ABC的面积．(2) 若∠B<∠C，求2cos2B+cos2C的取值范围．19.（2020·上海黄浦区·模拟）某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y（微克/毫升）与给药时间x（小时）之间的若干组数据，并由此得出y与x之间的一个拟合函数y= 40(0.6x−0.62x)(x∈[0,12])，其简图如图所示，试根据此拟合函数解决下列问题：(1) 求药峰浓度与药峰时间（精确到 0.01 小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；(2) 求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到 0.01 小时）．20. （2020·上海黄浦区·模拟）已知椭圆 C 的中心在坐标原点焦点在 x 轴上，椭圆 C 上一点A(2√3,−1) 到两焦点距离之和为 8．若点 B 是椭圆 C 的上顶点，点 P ，Q 是椭圆 C 上异于点 B 的任意两点． (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若 BP ⊥BQ ，且满足 3PD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的点 D 在 y 轴上，求直线 BP 的方程； (3) 若直线 BP 与 BQ 的斜率乘积为常数 λ(λ<0)，试判断直线 PQ 是否经过定点．若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．21. （2020·上海黄浦区·模拟）对于数列 {a n }，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 {a n } 为 P 数列．(1) 若 {a n } 的前 n 项和 S n =3n +2，试判断 {a n } 是否是 P 数列，并说明理由．(2) 设数列 a 1，a 2，a 3，⋯，a 10 是首项为 −1，公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数列，求 d 的取值范围．(3) 设无穷数列 {a n } 是首项为 a ，公比为 q 的等比数列，有穷数列 {b n }，{c n } 是从 {a n } 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 T 1，T 2，求 {a n } 是 P 数列时 a 与 q 所满足的条件，并证明命题“若 a >0 且 T 1=T 2，则 {a n } 不是 P 数列”．答案1. 【答案】(−1,3)【解析】因为A={x∣ −1<x<2}，B={1<x<3}，所以A∪B=(−1,3)．【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】−1【解析】因为z=(a−i)(1+i)=(a+1)+(a−1)i为纯虚数，所以{a+1=0, a−1≠0,即a=−1．【知识点】复数的乘除运算3. 【答案】4【解析】抛物线x2=8y，所以p=4，抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是：4．【知识点】抛物线的概念与方程4. 【答案】−56【解析】(x2−1x )8的展开式通项为T r+1=C8r(x2)8−r(−1x)r=(−1)r C8r x16−3r，令16−3r=1，可得r=5，所以在(x2−1x )8的展开式中，x的系数是(−1)5C85=−56．【知识点】二项式定理的通项5. 【答案】−247【解析】因为θ为第二象限的角，sinθ=35，所以cosθ=−√1−sin2θ=−45，所以tanθ=sinθcosθ=−34，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−247．【知识点】二倍角公式6. 【答案】2π3【解析】由题意知扇形的弧长为圆锥底面周长2π，半径为圆锥的母线长为3，由弧长公式有圆心角为 2π3， 故所求扇形的圆心角为 2π3．【知识点】弧度制7. 【答案】 43【解析】根据题意，设等比数列 {a n } 的公比为 q ，若 a 2a 3=a 4，a 5=16，则有 {a 1q ×a 1q 2=a 1q 3a 1q 4=116.解可得 a 1=1，q =12，则数列 {a 2n−1} 的首项为 a 1=1，其公比为 q 2=14， 则数列 {a 2n−1} 的所有项和 S =11−14=43；故答案为：43．【知识点】等比数列的前n 项和8. 【答案】 144【解析】根据题意，分 2 步进行分析：①、将 2 名女生全排列，有 A 22=2 种情况，排好后，有 3 个空位，②、从 4 位男生中选 2 位，看成一个整体，考虑其顺序，有 C 42A 22=12 种情况，再将这个整体与其他 2 名男生全排列，安排在女生的 3 个空位中，有 A 33=6 种情况， 则一共有 2×12×6=144 种排法． 【知识点】条件排列模型9. 【答案】 90°【解析】设双曲线的方程为 x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)， 设 M (m,n ) 在第一象限，A (−a,0)，B (a,0)， 由题意可得 ∣AB ∣=∣BM ∣=2a ，∠MBA =120∘， 则 m =2acos60∘+a =2a ，n =2asin60∘=√3a ， 即 M(2a,√3a)，可得4a 2a 2−3a 2b 2=1，即为 a =b ，则双曲线的渐近线方程为 y =±x ， 可得两条渐近线的夹角为 90∘． 【知识点】双曲线的简单几何性质10. 【答案】(0,log215)【解析】因为函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，f(x)=x+log2(2x+2)，设y=x+log2(2x+2)，则y−x=log2(2x+2)，所以2y−x=2x+2，所以2y=22x+2x+1，所以2x=−2+√4+4×2y2=√1+2y−1，x=log2(√1+2y−1)．互换x，y，得g(x)=log2(√1+2x−1)，因为f(x)>log23>g(x)，所以x+log2(2x+2)>log23>log2(√1+2x−1)，解得0<x<log215．所以满足f(x)>log23>g(x)的x的取值范围是(0,log215)．故答案为：(0,log215)．【知识点】反函数11. 【答案】②③【解析】对于①，f(x)=x3−x的值域为R，则当f(x1)=0时，不存在x2，使得f(x1)⋅f(x2)=1，故①不正确；对于②，f(x)=3x+5x∈(0,+∞)，所以f(x2)=1f(x1)=13x1+5x1∈(0,+∞)，故对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f(x1)⋅f(x2)=1，故②正确；对于③，当x∈[0,t]时，y∈[13,log8(t+2)]，若满足f(x1)⋅f(x2)=1，则13×log8(t+2)=1，则log8(t+2)=3，解得t=510，故③正确；对于④，若y=3sinx+a4∈[a−34,a+34]，值域必须满足对称性，且不包含0，则a−34⋅a+34=1，解得a=±5；故④不正确．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质12. 【答案】[30,36]【解析】建立直角坐标系，如图所示：所以A1(0,0)，A2(2,0)，A3(3,√3)，A4(2,2√3)，A5(0,2√3)，A6(−1,√3)，设点P(x,y)，所以A1P=(x,y)，A2P=(x−2,y)，A3P=(x−3,y−√3)，A4P=(x−2,y−2√3)，A5P= (x,y−2√3)，A6P=(x+1,y−√3)，所以σ=A 1P ⋅A 2P +A 2P ⋅A 3P +A 3P ⋅A 4P +A 4P ⋅A 5P +A 5P ⋅A 6P +A 6P ⋅A 1P=x (x −2)+y 2+(x −2)(x −3)+y(y −√3)+(x −3)(x −2)+(y −√3)(y −2√3)+x (x −2)+(y −2√3)2+x (x +1)+(y −2√3)(y −√3)+x (x +1)+y(y −√3)=6x 2+6y 2−12x −12√3y +36=6[(x −1)2+(y −√3)2+2],因为正六边形的中心 Q(1,√3)，所以 S =(x −1)2+(y −√3)2表示点 P (x,y ) 与点 Q(1,√3) 之间距离的平方， 所以由图可知 S 的最大值为 4，最小值为 3， 所以 σ 的最大值为 36，最小值为 30， 所以 σ 的取值范围是 [30,36]．【知识点】平面向量数量积的坐标运算13. 【答案】B【解析】根据题意得 2x 2−3=5，解得 x =±2． 【知识点】二阶行列式14. 【答案】A【解析】将函数 y =sin (4x +π3) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，可得函数 y =sin (2x +π3) 的图象；再向右平移 π3 个单位，可得函数 y =sin (2x −π3) 的图象．令 2x −π3=kπ+π2，求得 x =kπ2+5π12，k ∈Z ，再令 k =−1，可得所得函数图象的一条对称轴的方程为 x =−π12． 【知识点】三角函数的图象变换、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】C【解析】根据题意，若 f (x ) 是偶函数，当 x ≥0 时，有 f (∣x ∣)=f (x )，当 x <0时，f (∣x ∣)=f (−x )=f (x )，综合可得：f (∣x ∣)=f (x ) 对切 x ∈R 恒成立，故“f (x ) 是偶函数”是“f (∣x ∣)=f (x ) 对切 x ∈R 恒成立”的充分条件；若 f (∣x ∣)=f (x )，而函数 f (∣x ∣) 为偶函数，则函数 f (x ) 是偶函数， 故“f (x ) 是偶函数”是“f (∣x ∣)=f (x ) 对切 x ∈R 恒成立”的必要条件； 综合：“f (x ) 是偶函数”是“f (∣x ∣)=f (x ) 对切 x ∈R 恒成立”的充分必要条件． 【知识点】抽象函数、函数的奇偶性16. 【答案】D【解析】不妨设 m >0，n >0，则 S 四边形ABCD =4mn ， 因为 1=4m 2+9n 2≥2⋅2m ⋅3n ， 所以 mm ≥12，从而 S 四边形ABCD =4mn ≥48，故①对；设四边形 ABCD 外接圆半径为 r ，则 r 2=m 2+n 2=(4m2+9n 2)(m 2+n 2)=13+4n 2m 2+9m 2n 2≥25，所以四边形 ABCD 外接圆的面积 ≥25π，故②对． 【知识点】椭圆中的弦长与面积17. 【答案】(1) 在三棱锥 P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直， 因为 PB =3，PC =4，且三棱锥 P −ABC 的体积为 10． 所以 V P−ABC =V A−PBC =13×12×3×4⋅PA =10，解得 PA =5， 过 P 作 PO ⊥BC ，交 BC 于 O ，连接 PO ， 由三垂线定理得 AO ⊥BC ， 因为 12⋅PB ⋅PC =12⋅BC ⋅PO ，所以 PO =PB⋅PC BC=√32+42=125，所以点 A 到直线 BC 的距离：AO =√PA 2+PO 2=√25+14425=√7695． (2) 以 P 为原点，PB 为 x 轴，PC 为 y 轴，PA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A (0,0,5)，P (0,0,0)，B (3,0,0)，C (0,4,0)，D (32,2,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,2,−5)，设异面直线 PB ，AD 所成角的大小为 θ，则 cosθ=∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=923√1254=3√525． 所以异面直线 PB ，AD 所成角的大小为 arccos3√525． 【知识点】线面角、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）18. 【答案】(1) 因为 acosC =(2b −c )cosA ，所以由正弦定理可得 sinAcosC =(2sinB −sinC )cosA ， 可得 sinAcosC +sinCcosA =sin (A +C )=sinB =2sinBcosA ， 因为 B 为三角形内角，sinB ≠0， 所以 cosA =12， 又因为 A ∈(0,π)， 所以 A =π3，因为 AB ⋅AC =bccosA =12bc =3，可得 bc =6，所以 S △ABC =12bcsinA =12×6×√32=3√32． (2) 因为 ∠B <∠C ，C =2π3−B ，可得 B ∈(0,π3)，所以 2B +π6∈(π6,5π6)，所以 cos (2B +π6)∈(−√32,√32)， 所以2cos 2B +cos 2C =1+cos2B +1+cos2C 2=32+cos2B +12cos2(2π3−B)=32+cos2B −14cos2B −√34sin2B =32+√32cos (2B +π6)∈(34,94),所以 2cos 2B +cos 2C 的取值范围 (34,94)． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理19. 【答案】(1) 由 y =40(0.6x −0.62x )(x ∈[0,12])， 令 0.6x =t ，t ∈[0.612,1]，则 y =40(0.6x −0.62x )=40(−t 2+t )，所以当t=12∈[0.612,1]，即0.6x=12，x=−lg2lg2+lg3−1≈1.36时，y有最大值为10．故药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；由图象可知，注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低．(2) 在y=40(0.6x−0.62x)中，取y=5，得40(0.6x−0.62x)=5，即−8t2+8t−1=0，解得t=2−√24或t=2+√24（舍），即0.6x=2−√24≈0.147，得x=lg0.147lg0.6≈3.72，故血药浓度的半衰期为3.72−1.36=2.36小时．【知识点】函数模型的综合应用20. 【答案】(1) 由题意设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1，由题意知：2a=8，12a2+1b2=1，解得：a2=16，b2=4，所以椭圆的方程为：x 216+y24=1；(2) 由（1）得B(0,2)显然直线BP的斜率存在且不为零，设直线BP为：y=kx+2，与椭圆联立整理得：(1+4k2)x2+16kx=0，x=−16k1+4k2，所以P(−16k1+4k2,2−8k21+4k2)；直线BQ:y=−1kx+2，代入椭圆中：(4+k2)x2−16kx=0，同理可得Q(16k4+k2,2k2−84+k2)，足3PD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得，所以3(x D−x P)=2(x Q−x D)，所以5x D=2x Q+3x P=32k4+k2−48k1+4k2，由于D在y轴上，所以x D=0，所以32k4+k2=48k4+k2，解得：k2=2，所以k=±√2，所以直线BP的方程为：y=±√2x+2；(3) 由（2）得，当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程：x=t，P(x,y)，Q(xʹ,yʹ)，与椭圆联立得：4y2=16−t2，yyʹ=t2−164，xxʹ=t2，k BP ⋅k BQ =y−2x ⋅yʹ−2xʹ=yyʹ−2(y+yʹ)+4xxʹ=1,要使是一个常数 λ，λ<0，所以不成立．当直线 PQ 斜率存在时，设直线 PQ 的方程为：y =kx +t ，设 P (x,y )，Q (xʹ,yʹ)， 与椭圆联立整理得：(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−16=0，x +xʹ=−8kt1+4k 2，xxʹ=4t 2−161+4k 2，所以 y +yʹ=k (x +xʹ)+2t =2t1+4k 2， 所以k BP ⋅k BQ =y−2x ⋅yʹ−2xʹ=yyʹ−2(y+yʹ)+4xxʹ=t−24(t+2),所以由题意得：t−24(t+2)=λ，解得：t =1+8λ1−4λ， 所以不论 k 为何值，x =0 时，y =1+8λ1−4λ， 综上可知直线恒过定点 (0,2+8λ1−4λ)．【知识点】直线与椭圆的位置关系、抛物线中的动态性质证明21. 【答案】(1) 因为 S n =3n +2，所以 a n =S n −S n−1=2⋅3n−1(n ≥2)， 当 n =1 时，a 1=S 1=5， 故 a n ={5,n =12⋅3n−1,n ≥2， 那么当 k ∈N ∗ 时，a k+1−S k =2⋅3k −3k −2=3k −2>0，符合题意， 故数列 {a n } 是 P 数列．(2) 由题意知，该数列的前 n 项和为 S n =−n +n (n−1)2d ，a n+1=−1+nd ，由数列 a 1，a 2，a 3，⋯，a 10 是 P 数列，可知 a 2>S 1=a 1，故公差 d >0，S n −a n+1=d2n 2−(1+32d)n +1<0 对满足 n =1,2,3⋯⋯,9 的任意 n 都成立，则d 2⋅92−9(1+32d)+1<0，解得 d <827，故 d 的取值范围为 (0,827)．(3) ①若 {a n } 是 P 数列，则 a =S 1<a 2=aq ，若 a >0，则 q >1，又由 a n+1>S n 对一切正整数 n 都成立，可知 aq n >a ⋅q n −1q−1，即 2−q <(1q )n对一切正整数 n 都成立，由 (1q )n>0，lim n→∞(1q)n=0，故 2−q ≤0，可得 q ≥2，若 a <0，则 q <1，又由 a n+1>S n 对一切正整数 n 都成立，可知 aq n>a ⋅q n −1q−1，即(2−q )q n <1 对一切正整数 n 都成立，又当 q ∈(−∞,−1] 时，(2−q )q n <1 当 n =2 时不成立， 故有 {q ∈(0,1),(2−q )q <1 或 {q ∈(−1,0),(2−q )q 2<1,解得 q ∈(1−√52,0)∪(0,1)，所以当 {a n } 是 P 数列时，a 与 q 满足的条件为 {a >0,q ≥2 或 {a <0,q ∈(1−√52,0)∪(0,1);②假设 {a n } 是 P 数列，则由①可知，q ≥2，a >0，且 {a n } 中每一项均为正数，若 {b n } 中的每一项都在 {c n } 中，则由这两数列是不同数列，可知 T 1<T 2； 若 {c n } 中的每一项都在 {b n } 中，同理可得 T 1>T 2；若 {b n } 中至少有一项不在 {c n } 中且 {c n } 中至少有一项不在 {b n } 中，设 {b n ʹ}，{c n ʹ} 是将 {b n }，{c n } 中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为 {T 1ʹ}，{T 2ʹ}，不妨设 {b n ʹ}，{c n ʹ} 中最大的项在 {b n ʹ} 中，设为 a m (m ≥2)， 则 T 2ʹ≤a 1+a 2+⋯⋯+a m−1<a m ≤T 1ʹ，故 T 2ʹ<T 1ʹ， 故总有 T 1≠T 2 与 T 1=T 2 矛盾，故假设错误， 原命题正确． 【知识点】数列创新题。
2020年上海市宝山区高三上学期期末数学高考一模试卷含详解
上海市宝山区2020届高三一模数学试卷2019.12一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.若(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则||z =2.已知4251λλ-=-，则λ=3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6.在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为7.不等式22|2|36x x x x -->--的解集是8.已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =9.已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为10.有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是cm（钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =12.已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）A.01a << B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）A.2()log (41)x f x x=+- B.()||2cos f x x x =-C.2210()0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ D.|lg |()10x f x =15.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足的是（）A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<<，下列判断错误的是（）A.当0a >，0b >时，辅助角arctan b a ϕ=B.当0a >，0b <时，辅助角arctan b a ϕπ=+C.当0a <，0b >时，辅助角arctan b a ϕπ=+D.当0a <，0b <时，辅助角arctanb aϕπ=-三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18.已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=++.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.19.一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）20.已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于A 、B 两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M 、A 关于y 轴对称，当MAB 的面积最大时，求直线MB 的方程；（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P 、Q ，证明：||||OP OQ ⋅为定值.21.已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=，令ln n n b a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +>；（2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.上海市宝山区2020届高三一模数学试卷答案解析版2019.12一、填空题（本大题共12题，每题4分，127-每题5分，共54分）1.若i i z 2)1(=+（i 是虚数单位），则=||z .【答案】2【解析】i iiz +=+=112，得到2=||z 2.已知5124=--λλ，则=λ.【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ3.函数)1(31<=-x y x 的反函数是.【答案】1log 3+=xy ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，13-=y x ⇒1log 3+=xy ]1,0(∈x 4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛.【答案】66【解析】单循环66212=C 5.以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是.【答案】9)23(22=++y x 【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 6.在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为.【答案】9-【解析】335532359)(1xx C x C -=+-⋅7.不等式63|2|22-->--x x x x 的解集是.【答案】),4(-∞-【解析】63222-->+-x x x x ⇒4->x 8.已知方程)(022R k kx x ∈=+-的两个虚根为21,x x ，若2||21=-x x ，则=k .【答案】2±【解析】228||221±=⇒=-=∆-=-k k x x 9.已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=10.有一个空心钢球，质量为g 142，测得外直径为cm 5，则它的内直径是cm .【答案】5.4【解析】由题意得，142]3425(34[9.733=⋅-⋅x ππ⇒5.42≈x ，11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c .【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c 12.已知0>>b a ,那么，当代数式)(162b a b a -+取最小值时，点),(b a P 的坐标为.【答案】)2,22(【解析】22()()24b a b a b a b +--≤=Q 1664)(16222≥+≥-+∴aa b a b a 当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b 即⎩⎨⎧==222b a 时取等号，可求得点P 坐标二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）【A 】01a <<【B 】11a e<<【C 】1e -1<a <1【D 】1e +1<a <1【答案】C【解析】由零点存在性定理得：1(1)(1)0a a e -+-+<解得：111a e-<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）【A 】2()log (41)xf x x=+-【B 】()2cos f x x x=-【C 】221(0)0(0))(x x xf x x +≠=⎧⎪=⎨⎪⎩【D 】lg ()10xf x =【答案】A【解析】222411()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+,()()f x f x ∴-=∴是偶函数，由复合函数单调性知()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴选A15．已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβγ⊆⊆⊆,则直线,,a b c 不可能满足的是（）【A 】两两垂直【B 】两两平行【C 】两两相交【D 】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下:sin cos ),a x b x x ϕπϕπ+=+-<≤下列判断错误的是（）【A 】当0,0a b >>时，辅助角arctan b a ϕ=【B 】当0,0a b ><时，辅助角arctan ba ϕπ=+【C 】当0,0a b <>时，辅助角arctan ba ϕπ=+【D 】当0,0a b <<时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B【解析】sin cos )a xb x x x x ϕ⎫+=+=+⎪⎭其中cos b aϕϕϕ===；当0,0a b ><时，cos 0,sin 0,ϕϕϕ><∴∈Q 第四象限，所以B 错。
上海2020高三数学一模分类汇编-客观难题(详答版)
2020年一模汇编——客观难题一、填空题【浦东11】已知数列{}n a 中，111,(1)1n n a na n a +==++，若对于任意的[2,2]a ∈-、*n N ∈，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为_____________． 【答案】(],1-∞-【解析】111,(1)1n n a na n a +==++，则11111n n a a n n n n +=+-++，则利用累加法可得到11211n a n n +=-++，由1321t n a a n +<-⋅+，可得21ta ⋅≤，只需221221tt⎧-⋅≤⎨⋅≤⎩，得(],1t ∈-∞- 【宝山11】已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c _________. 【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c【长宁，嘉定，金山11】已知数列{}n a 满足：{}()11121,,,,n n n a a a a a a n N*+=-∈⋅⋅⋅∈，记数列{}n a 得前n 项和为n S ，若对所有满足条件的数列{}n a ，10S 的最大值为M.最小值为m ，则M+m=________. 【答案】1078【解析】21122a a a a -=⇒=，可知{}n a 一定是单调递增数列，则11n n n a a a a +≤-≤，即112n n n a a a +≤≤≤，当11,n n n n a a a n S +=+=时，取最小值此时101+1010m===552S ⨯（）当12n n a a +=时，12n n a -=，n S 取最大值此时()1010112102312M S ⋅-===- 1078M m ∴+=【徐汇11】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，1(1)32n n n nS a n =-++-且12()()0a p a p --<，则实数p 的取值范围是_________.【答案】311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意得，()()()()11111111311311+1222nn n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a ----⎡⎤=-=-++---++--=----⎢⎥⎣⎦当n 为偶数时，1112n n n n a a a -=+-+，即1112n n a -=-，所以1112n n a +=-（n 为奇数） 当n 为奇数时，1112n n n n a a a -=-+-+，即11132n n a --=-，所以132n n a =-（n 为偶数）于是可知奇数项11311,24n n a +⎛⎤=-∈-- ⎥⎝⎦，偶数项1113,324n n a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，所以可知311,44p ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【杨浦11】已知函数1()1(0)f x x x=->，若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 【答案】34(,]23m ∈-- 【解析】设()f x t =，则当(0,1)x ∈时，t 有两个解，当{}1[1,)x ∈⋃+∞时，t 有一个解，因为2230t mt m +++=有三个解，而一个一元二次方程最多两个解，因此这两个解一定一个在(0,1)，另一个在{}1[1,)⋃+∞，当另一个为1x =时，两根之积为0，此时32m =-，而两根之和不可能为32，矛盾，因此另一个在[1,)+∞，因此(0)0(1)0f f >⎧⎨≤⎩，即230340m m +>⎧⎨+≤⎩，所以34(,]23m ∈-- 【闵行11】若()|||3|f x x a x a =-⋅-，且[0,1]x ∈上的值域为[0,(1)]f ，则实数a 的取值范围是【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0a =时，符合，当0a >时必有14104a a ≤⇒<≤当0a <时，()f x 单调递增，值域为()()()20,13,1f f a f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，不符合【奉贤11】给出下列一组函数：()()212log +23f x x x =+、()()22ln 2+58f x x x =+、()()23lg 3+813f x x x =+、()()240.3log +7.46551713.931034f x x x =+，......，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式()2log a y Ax Bx C =++()0,1a a >≠：______________.【答案】()23log 4710y x x =++（答案不唯一） 【解析】()222,log 2610A CB y x x +==++【黄浦11】设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ，下列结论：① 函数3y x x =-具有性质M ；② 函数35x x y =+具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈具有性质M ，则510t =；④若3sin 4x ay +=具有性质M ，则5a =；其中正确结论的序号是 【答案】②③【解析】①函数3y x x =-，由于(0)0f =，故不成立 ②函数35x x y =+值域(0,)+∞，所以具有性质M ③函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈单调递增，1(0)3f =，故()3510f t t =⇒=④若3sin 4x ay +=具有性质M ，则5a =±，故不成立 【松江11】若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________. 【答案】22-【解析】法1（三角换元），令cos ,sin ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭代入得cos sin sin cos 1c θθθθ+=-，再设sin cos t θθ=+，可知(2t ∈所以222231312t t c t t t t ===----，在(2t ∈上单调递减，故2t =时c 最小，最小为22-法2. 根据对称式的形式，大胆猜测当22a b ==时c 最小，代入得22c =-【虹口11】如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，则双曲线C 的焦距12||F F 为【答案】334 【解析】由2F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r可知22||||,F A AB F A AB =⊥uuu r uu u r uuu r uu u r得A 为2F B 的中点，O 为12F F 的中点，所以OA 为三角形12F F B 的中位线，21222||||2OAF F BF OB OF OA BOF π∴∠=∠==∴∠，，平分Q渐近线为334231=⇒==c x x a y 【静安11】设双曲线222x y a a -=1+1的两个焦点为2F 1、F ，点P 在双曲线上，若2PF PF 1⊥，则点P 到坐标原点O 的距离的最小值为________. 【答案】32【解析】22c a a =++1,12a =-时，可知min 32c =【普陀11】设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN u u u u r u u u rg 的取值范围为____________.【答案】646,882⎡⎤-+⎣⎦【解析】构建平面直角坐标系，取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN ⋅=+⋅+uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r2224PC CM PC =-=-u u u r u u u r u u u r ，max ||22222PC OC =+=+u u u r ，min ||62PC OB OC =-=-uu u r ，∴2[1046,1282]PC ∈-+uu u r ，即[646,882]PM PN ⋅∈-+uuu r uuu r ，另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。
上海市2020〖浙教版〗高三数学复习试卷第一次全国大联考文科数学参考答案及评分标准
上海市2020年〖浙教版〗高三数学复习试卷第一次全国大联考文科数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.【命题意图】本题主要考查函数的定义域、集合的运算.容易题. 【答案】C【解析】由已知得1{|}2B x x =>-，所以}2,1,0{=B A ，选C.2. 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、向量的模.容易题. 【答案】B【解析】由已知得)2,5()5,3()3,2(--=--=-=AB AC BC ， 所以||BC =29)2()5(22=-+-，故选B.3. 【命题意图】本题主要考查复数运算.容易题. 【答案】D【解析】因为i i z 31)3(-=-，所以i iiz --=-=-3313，所以i z +=6，选D. 4.【命题意图】本题主要考查对立事件的概率.中等题. 【答案】D【解析】小红、小芳、小英、小丽四个同学相互发短信共有8134=种情况，小红给小英发短信只有一种情况，所以小红不给小英发短信的概率是81808111=-.选D. 5.【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的性质.中等题.【答案】B【解析】 因为抛物线cy x 22=的准线方程为2-=y ，所以22=c ，即4=c ， 因为31=e ，所以413a =，所以12=a .所以128161442=-=b ，所以椭圆的标准方程为112814422=+y x ，选B.6. 【命题意图】本题主要考查平面图形的折叠、扇形的弧长公式、圆锥的体积公式.中等题. 【答案】D【解析】 因为32120π=弧度，所以扇形的弧长为ππ2332=⨯=l ， 所以折成圆锥后底面周长为π2，底面半径1=r ，圆锥的高221322=-=h ，所以圆锥的体积ππ322221312=⋅⋅⋅=V ，选D.7.【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n 项和公式等知识，考查运算求解能力.中等题. 【答案】C【解析】因为数列}{n a 是等差数列，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-+⨯+=⨯+.8)4(2),2233(825661111d a d a d a d a 解得⎩⎨⎧-==421d a ， 所以74)4()120(220-=-⨯-+=a ，选C.8.【命题意图】本题主要考查程序框图、当型循环结构.容易题.【答案】B【解析】由程序框图知，当0=m ，执行0412y =+=，220=+=m ；当2=m ，执行24117y =+=，422=+=m ； 当4=m ，执行441257256y =+=>， 故判断框中应填2≤m .选B.9.【命题意图】本题主要考查根据)sin()(ϕω+=x A x f 的图象求解析式、)sin()(ϕω+=x A x f 的性质.考查考生的数形结合思想与运算求解能力.【答案】D【解析】由图知，2=A ，99421ππ-=T ，所以23T π=，故A 错误； 因为点)0,9(π在函数)(x f 的图象上，所以0)93sin(2=+⨯ϕπ，因为2||πϕ<，所以3πϕ-=，所以)33sin(2)(π-=x x f .所以函数)(x f 是非奇非偶的函数.故B 错误； 由)Z (233∈+=-k k x πππ得)Z (183∈-=k k x ππ， 所以函数)(x f 的图象不关于直线3π=x 对称.故C 错误；由)Z (223322∈+≤-≤-k k x k πππππ，即)Z (185321832∈+≤≤-k k x k ππππ， 令0=k ，则18518ππ≤≤-x ， 因为]185,18[]4,0[πππ-⊆，所以选项D 正确.10.【命题意图】本题主要考查分段函数、给定函数的值求参数的值.中等题.【答案】D【解析】由已知得⎩⎨⎧=+≤-.1110,01aa 或⎩⎨⎧=+>.1)2lg(,0a a由⎩⎨⎧=+≤-.1110,01aa 可知a 无解；由⎩⎨⎧=+>.1)2lg(,0a a 得8=a ，所以11110)0()8(01=+==--f a f ，故选D.11.【命题意图】本题主要考查几何体的三视图、球体的体积.中等题. 【答案】B【解析】由三视图知，原几何体是一个球体与一个正方体组合而成，其中球的直径等于正方体的棱长4， 所以原几何体的体积为33432246433ππ⋅+=+.选B.12．【命题意图】本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的零点.中等题. 【答案】D【解析】设6)(=m f ，则由6]log )([2=-x x f f 可得m x x f =-2log )(， 整理可得m x x f +=2log )(，则6log )(2=+=m m m f ，解得4=m ， 所以4log )(2+=x x f ，所以2ln 1)(x x f ='， 则方程4)()(='-x f x f 可化为42ln 14log 2=-+x x ，即02ln 1log 2=-x x ， 设2ln 1log )(2x x x g -=，由02ln 1)1(<-=g ，02ln 211)2(>-=g ，02ln 313log )3(2>-=g ， ⋅⋅⋅且)(x g 是增函数，可得)(x g 在)2,1(上存在零点，即方程4)()(='-x f x f 的解在区间)2,1(上， 所以1=a .故选D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.【命题意图】本题主要考查等比数列的性质、通项公式、前n 项和公式.中等题.【答案】100【解析】因为等比数列}{n a 满足5211-⋅=++n n m S ，所以n n n n n n m m m S S a 2)52(52111⋅=-⋅--⋅=-=+++，所以12-⋅=n n m a ， 因为404=a ，所以4023=⋅m ，所以5=m ， 所以=+53a a 10025251513=⋅+⋅--．14.【命题意图】本题主要考查导数的几何意义，通过切线经过点)1,0(求参数a 的值.中等题.【答案】1-【解析】因为11)(2++=x ax x f ，所以2222)1(12)1(1)1(2)(+-+=+--+='x ax ax x ax x ax x f ， 所以413)1(-='a f ，21)1(+=a f ，所以函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程为)1(41321--=+-x a a y ， 因为点)1,0(在切线)1(41321--=+-x a a y 上， 所以)10(413211--=+-a a ，解得1-=a . 15.【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.中等题. 【答案】5【解析】作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤.4,2,y x x y x y 表示的平面区域，得到如图的阴影△OAB（包括边界），易求得)34,38(A ，)2,2(B ，平移直线012=+-y x 可得当目标函数12+-=y x z 在点A 处取得最大值，所以5134382max =+-⨯=z .16.【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、性质、函数的最值.较难题. 【答案】3 【解析】因为)0(14222>=-b by x ，所以2=a ，由双曲线的定义得4||||21=-PF PF ，所以16||||2||||212221=⋅-+PF PF PF PF ，因为双曲线在第一象限一点P 满足||21||21F F OP =，所以21PF PF ⊥， 所以222214||||c PF PF =+， 所以82||||221-=⋅c PF PF ， 所以P y c PF PF ⋅⋅=⋅221||||2121， 所以cc y P 4-=，因为]2,1(∈e ，所以]2,1(2∈c ，即]4,2(∈c ， 因为函数xx y 4-=在),0(+∞上是增函数， 所以3444)(max =-=P y .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）【命题意图】本题主要考查三角恒等变换，考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式、三角形的面积公式及正弦定理.中等题. 【答案】（Ⅰ）2π，)Z )(0,164(∈+k k ππ；（Ⅱ）4c =. 【解析】（Ⅰ）()f x =21sin 2cos 2sin 22x x x +-，)4x π=-，（3分）所以函数()f x 的最小正周期为242ππ==T .由)(44Z ∈=-k k x ππ,解得)(164Z ∈+=k k x ππ， 所以函数()f x 的对称中心为)Z )(0,164(∈+k k ππ.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f )4x π=-，因为()42B f =，所以())4242B f B π=-=，所以sin()14B π-=，（8分）因为ππ<<B 2，所以34B π=.因为A C sin 2sin =，所以a c 2=，（10分） 因为422221=⋅⋅⋅=∆a a S ABC ， 所以22=a ， 所以4c =.（12分） 18.（本小题满分12分）【解题探究】本题主要考查空间中的线、面关系，四棱锥的体积.考查空间想象能力.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）3332. 【解析】（Ⅰ）因为在四边形ABCD 中，AB AD ⊥，AB DC //，DC AE =， 所以四边形AECD 是矩形，因为AE AD =，所以四边形AECD 是正方形，（3分） 所以AD EC //，因为⊂AD 平面MAD ，⊄EC 平面MAD ， 所以//EC 平面MAD . （6分）（Ⅱ）由图知三棱锥AMC B -的体积等于三棱锥ABC M -的体积.因为△MDC 是等边三角形，平面⊥MDC平面ABCD，4=DC ，所以三棱锥ABC M -底面ABC 上的高为32423=⨯，（8分） 因为四边形AECD 是边长为4的正方形， 所以AB CE ⊥，4=CE ， 又因为8=AB ，所以164821=⨯⨯=∆ABC S ，（10分） 所以三棱锥ABC M -的体积为=V 3332321631=⨯⨯， 即三棱锥AMC B -的体积为=V 3332321631=⨯⨯.（12分） 19.（本小题满分12分）【命题意图】本题主要考查线性回归方程求法及应用.考查运用数学知识解决实际问题的能力.中等题.【答案】（Ⅰ）y^13221.2x =+（Ⅱ）312.2kg . 【解析】（Ⅰ）由所给数据看出，每天需求量与年份之间是近似直线上升．为此对数据预处理如下：3-=x m 257-=y n 0=m ，2.3=n ，（3分）∧b 131013005210)1()2(2.3052921910)11()1()21()2(222222==⨯-+++-+-⨯⨯-⨯+⨯++-⨯-+-⨯-=，（6分）a ^＝-nb ^m ⋅2.30132.3=⨯-=.由上述计算结果知，所求回归直线方程为y ^=-2572.3)3(13+-x ， 即y^13221.2x =+.（10分） （Ⅱ）由（Ⅰ）y ^13221.2x =+，预测星期日的大米需求量为137221.2312.2⨯+=(kg)．（12分）20. （本小题满分12分）已知圆)0(:222>=+r r y x C 经过点)3,1(．【命题意图】本题主要考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系.较难题. 【答案】（Ⅰ）422=+y x ；（Ⅱ）02=+-y x .【解析】（Ⅰ）由圆222:r y x C =+，再由点)3,1(在圆C 上，得4)3(1222=+=r ，所以圆C 的方程为422=+y x .（3分）（Ⅱ）假设直线l 存在，设),(11y x A ，),(22y x B ， ①若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(1+=-x k y ，联立⎩⎨⎧=++=-4)1(122y x x k y ，消去y 得032)1(2)1(222=-+++++k k x k k x k ，由韦达定理得222112221)1(2k k k k k x x +-+-=++-=+，222211421132k k k k k x x +-+=+-+=， 所以3142)1())(1(222121221-++=+++++=kk k x x k k x x k y y ，（6分） 因为0=•， 所以02121=+y y x x ， 所以03142142122=-++++-+kk k k ，解得1=k ， 所以直线l 的方程为11+=-x y ，即02=+-y x .（8分）②若直线l 的斜率不存在， 因为直线l 经过点)1,1(-， 所以直线l 的方程为1-=x ， 此时)3,1(-A ，)3,1(--B ， 而2)3,1()3,1(-=--•-=•， 不满足0=•.综上可知，存在直线:l 02=+-y x 满足条件.（12分） 21. （本小题满分12分）设R ∈a ,函数()ln f x x ax =-.【命题意图】本题主要考查用导数法求函数的单调性与极值，函数的零点以及不等式的证明.考查分析转化能力、分类讨论思想.较难题. 【解析】（Ⅰ）由已知得∈x ()0,+∞，()11axf x a xx-'=-=， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数，无极值；（2分） ②若0a >，令()0f x '=，得1x a=，在区间)1,0(a上，()0f x '>，函数()f x 是增函数， 在区间),1(+∞a上，()0f x '<，函数()f x 是减函数，所以在区间()0,+∞上，()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a aa=-=--.（4分） 综上所述，①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值； ②当0a >时，函数()f x 的递增区间为)1,0(a，递减区间是),1(+∞a， 函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--.（6分） （Ⅱ）因为0)(=e f ，所以102-=，解得a =所以()lnf x x x =， 又323()022e f e =->，5225()022e f e =-<， 所以3522()()0f e f e ⋅<，（9分）由（Ⅰ）函数()f x 在),2(+∞e 递减，故函数()f x 在区间),(2523e e 有唯一零点，因此322x e >.（12分）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
上海2020高三数学一模分类汇编-集合、命题、不等式(详答版)
【解析】由题集合 ，集合 ，所以
【崇明1】已知集合 ， ，则 ．
-
【答案】
【青浦1】已知集合 ， ， ，则
【答案】
【解析】 ，所以
【解析】B集合里面的整数为1、2，所以
!
【浦东1】若集合 ，集合 ，则 ____________．
【答案】
【解析】考察集合的运算。
【闵行1】已知集合 ， ，则
【答案】
【松江15】已知 、 ，若 对任意的 恒成立，则（ ）
【A】 的最小值为1
：
【B】 的最小值为2
【C】 的最小值为4
【D】 的最小值为8
【答案】
【解析】
，故选
、
【普陀16】若直线 经过第一象限内的点 ，则 的最大值（）
【A】 【B】 【C】 【D】
【答案】B
【解析】对于基本不等式，应活用常数1， 代入
综上情形1、情形2公共解为 。
3、解答题
【虹口19】某企业接到生产 台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要 种部件的数量分别为 （单位：件），已知每个工人可生产甲部件 件，或乙部件 件，或丙部件 件，该企业计划安排 名工人分成三组分别生产这 种部件，生产乙部件的人与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为 （ 为正整数）。
2020年一模汇编——集合命题与不等式
1、填空题
【徐汇1】已知集合 ，集合 ，则
【答案】
【解析】考察集合的并集，易得
$
【长宁，嘉定，金山1】已知集合 ， ，则
【答案】
【解析】本题考察了集合的交集
【松江1】已知集合 ， ，则 .
【答案】
^
【解析】由 得到 ，又因为 ，所以
【黄浦1】设集合 ，集合 ，则
上海市青浦区2020年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试卷(逐题精解版)
（1）三角形 PCD 的面积； （2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.
r
r
rr
18. 已知向量 a ( 3 cosx,sinx) ， b (cosx,cosx) ，其中 0 ，记 f (x) a b .
（1）若函数 f (x) 的最小正周期为 ，求 的值；
（2）在（1）的条件下，已知△ ABC 的内角 A、 B 、 C 对应的边分别为 a 、 b 、 c ，
若 f ( A) 3 ，且 a 4 ， b c 5 ，求△ ABC 的面积. 2
19. 某企业生产的产品具有 60 个月的时效性，在时效期内，企业投入 50 万元经销该产品，
为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的 10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，
该企业在经销这个产品的第 n
个月的利润是
T4038＝a1a2•…•a4037•a4038 t ‴ ‴ ‴ ‴ ＞1， ∴使 Tn＞1 成立的最大自然数等于 4038，故④不正确． ∴正确结论的序号是①③． 答案：B． 17．（1）∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂底面 ABCD， ∴CD⊥PA． ∵矩形 ABCD 中，CD⊥AD，而 PA、AD 是平面 PAD 的交线． ∴CD⊥平面 PDA， ∵PD⊂平面 PDA，∴CD⊥PD，三角形 PCD 是以 D 为直角顶点的直角三角形．
9 16
uuur
uuur uur
OB (0,1) ，则 | OB OA | 的最大值为
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13. 使得 (3x 1 )n （ n N* ）的展开式中含有常数项的最小的 n 为（ ） xx
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1（2020闵行一模）. 已知集合{3,1,0,1,2}A =--，{|||1}B x x =>，则A
B = 1（2020青浦一模）. 已知集合{1,3,5,9}U =，{1,3,9}A =，{1,9}B =，则
()U A B = 1（2020松江一模）. 已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =
1（2020崇明一模）. 已知集合{0,1,2,3}A =，{|02}B x x =<≤，则A
B = 1（2020虹口一模）. 设全集U =R ，若21{|1}x A x x
-=>，则U A = 1（2020徐汇一模）. 已知集合{|2}M x x =>，集合{|1}N x x =≤，则M N = 1（2020嘉金一模）. 已知集合{1,2,3,4,5}A =，{2,4,6,8}B =，则A
B = 7（2020徐汇一模）. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:
q a x ≥（0a >），若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是
12（2020杨浦一模）. 向量集合{|(,),,}S a a x y x y ==∈R ，对于任意α、S β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有(1)S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”. 现有四个命题：
① 若S 为“C 类集”，则集合{|,}M a a S μμ=∈∈R 也是“C 类集”；
② 若S 、T 都是“C 类集”，则集合{|,}M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③ 若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；
④ 若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则1
2A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有
13（2020嘉金一模）. 已知x ∈R ，则“0x >”是“1x >”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
13（2020虹口一模）. 设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“24x <”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
13（2020普陀一模）.“{1,2}m ∈”是“ln 1m <”的成立的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
14（2020闵行一模）. 命题“若x a >，则10x x
->”是真命题，实数a 的取值范围是（ ） A. (0,)+∞ B. (,1]-∞ C. [1,)+∞ D. (,0]-∞
14（2020松江一模）. 设,x y ∈R ，则“2x y +>”是“x 、y 中至少有一个数大于1”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
14（2020普陀一模）. 设集合{|||1}A x x a =-=，{1,3,}B b =-，若A B ⊆，则对应的实数对(,)a b 有（ ）
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
16（2020松江一模）. 已知集合{1,2,3,,10}M =⋅⋅⋅，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S =（ ）
A. 45
B. 1012
C. 2036
D. 9217。