一 道 数 学 题 的 启 示
一道数学题引发的思考
一道数学题引发的思考假设有一个数列：1，11，21，1211，111221，312211，13112221，1113213211......请问下一个数是什么？这是一个著名的数学题目，也被称为“外观数列”。
这道题目引发了人们对于数学中模式和规律的思考，同时也涉及到了计算机科学中的一些概念，如字符串的处理和递归等。
首先让我们来分析这个数列。
观察数列中的每一个元素，我们可以发现，它是通过描述前一个元素的一种方式来生成的。
第二个元素（11）可以这样描述：1个1（11），第三个元素（21）可以这样描述：2个1（21）。
所以，我们可以得出一个结论：数列中的每一个元素都是通过描述前一个元素中的数字个数来生成的。
换句话说，如果前一个元素中有n个x（x为任意数字），那么当前的元素就是n个x。
以第三个元素为例，可以看到第二个元素是1个1，所以第三个元素就是2个1（21）；同理，第四个元素就是1个2和1个1（1211）。
按照这样的思路，我们来推导一下下一个元素：第五个元素应该是：1个1，1个2，2个1（111221）根据以上推导，我们成功地找到了下一个元素。
这个数列的规律其实非常简单，但是它的描述和生成过程非常复杂，给了我们很多思考。
通过这个题目，我们可以看到，数学中的模式和规律真的是无处不在，而我们只需要观察和思考，就能发现其中的奥妙。
这道题目也给了我们思考问题的一种思路，即从已知条件出发，通过观察和推导找到规律，并利用这个规律解决问题。
这道数学题目通过引发我们对于数学中模式和规律的思考，让我们体会到了在所谓的“数学游戏”中的乐趣和挑战。
这个数列虽然表面上看起来很复杂，但是其实隐藏的规律很简单，只需要观察和推导就能找到。
这样的题目不仅培养了我们的观察力和推理能力，也增强了我们对于数学的兴趣和热爱。
也让我们对于数学这门学科有了更深入的认识，明白了数学的魅力所在。
放飞思维,培养学生的数学学习力--一题多解带来的启示
放飞思维，培养学生的数学学习力--一题多解带来的启示“横看成岭侧成峰,远近高低各不同。
”这句诗蕴含的哲理是同一事物从不同角度审视可以得到不同感觉。
同样,对于一道数学试题而言,“一题多解”是从不同角度、通过不同方法去思考问题、分析问题和解决问题，把数学知识的“联”与思维方式的“变”有机结合起来,培养学生的创造性思维。
郝老师点评：方法一至方法四通过做辅助线，巧妙地构造平行线中的“三线八角”模型，灵活运用平行线的性质与判定，对于所学的知识融会贯通，重视建构知识间的纵横联系，形成了系统的数学知识网络。
郝老师点评：方法五通过做辅助线，巧妙地构造平行线中的“拐点”模型，抓住了数学问题的个性特征，寻找它与其他熟悉知识的联系,找到出人意料的新奇解法,视野更加开阔，思维更加活跃，思维多元化逐渐形成，而这常常是创新能力的起点。
郝老师点评：方法七与方法八，灵活运用知识，灵活转换角度，综合运用平行线的性质与判定和三角形的内角和为180°的知识解题，敞开思维的翅膀，在知识的空间尽情地翱翔，这大大体现了学生的创造性思维，它是数学解题的魅力所在。
同学们通过用多种方法解决一道题,感受颇多!初中数学，特别是几何部分，往往不只有一种解法。
一题多解，也就由此产生。
有人会说，一道题能解出来就好了，为什么还要研究其他的解法呢？这不是浪费时间吗？是的，从不同的思维角度探索一道题其他的解法，确实会消耗我们的时间。
但我们在思考一题多解的过程中，可以获得新的解题思路，锻炼自己的思维，是自己的思维具有开拓性，也有助于理解与运用多个知识点，达到了复习与巩固的目的。
七年级1班崔宸豪，七年级3班张文皓，孟凡博“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，自从学习了平面几何证明，我更加体会到了这句诗的真正意义。
一题多解，顾名思义，就是一道题可以有好几种做出答案的方法。
这样做有什么好处呢？最直观的，如果用两种以上方法解出同一个答案，那证明这道题你一定百分之百正确率了，增强了自信心。
一题多解,激活学生思维的有效性——记一堂数学习题课给我的反思和启示
Ａ ｐ直线解 析式 为
一
…
…
…
．
４— ２ ｔ
‘ 二 ｒ
一
８ ｔ
ｌ １＿二
ＯＨ ： ｔ ＋２ ｓ 御 ＝ｓ 舳 ｎ
＝ ２
：
‘ ８ ｔ ｆ ＋２
‘
２＋ ２
８ ｔ ｆ ２ ＋
’，
［ 命题 组解法 ］
（ ）由题 意得 ：Ｂ （ ，０ ，‘Ａ （一 ， 一 １ 一４ ） ． 。 ２ ４）．直线 Ａ ‘ ． Ｂ 的解析 式为 Ｙ ～ ２ ８ ｘ
一
［ 法 ３ 分 别过 点 Ａ、 解 ］ ０作 Ａ 轴 于点 Ｈ， Ｅ上直 线 Ｌ Ｏ上 Ａ
于点 Ｅ Ｇ上Ａ ，Ｏ Ｂ于点 Ｇ。
１ ２— ３
学 园 ｌ Ｃ Ｄ ＭＹ ＡＥ Ａ
解法 ：
上方、 轴下方两种情况。所以，在讲解前我并没有多加思索 ，
只 是按照命 题 组解法 去理解 解题思 路 ： 题 由于点 Ｐ的位 置不 确 本 定， 应该 有两 种情况 ， 以 Ｐ 所 Ｅ的长度 用Ｉ ｌ 示 ，从 而得 出两 一 表 解 。但在 讲解后 ， 生提 出 ：当点 Ｐ在 轴下 方时 ，ＡＡ Ｐ的面 学 Ｏ 积并 不能用 一Ｏ ・ Ｅ来表 示 。听了学 生 的话 ，我 重新思 考 了第 １Ｂ Ｐ
（ ） 以点 Ａ、Ｂ、 ３设 ０、Ｐ为顶 点的 四边 形 的面积 为 ｓ 点 Ｐ ， 的坐标 为 ，求 ｓ与 的 函数关 系式 ，并 求 当 Ｓ ２ ，点 Ｐ的 ＝１ 时
坐标 。
２） Ｐ在 ｚ 下方 ：见 图 ３ 点 轴 ，设 Ｐ（ ， 一 ｔ （ ＞ ） ｔ ２） ｔ ０
・ ． ‘
Ａ （一２， 一４）
题 目：见图 １ ，△Ａ Ｏ 中 ，Ａ Ｂ Ｂ＝Ａ Ｏ，点 Ａ （ ２ 一 ， 一 ， ４）
数的启发与感悟通过数学学习获得的一些启发和感悟
数的启发与感悟通过数学学习获得的一些启发和感悟数的启发与感悟数学，作为一门普遍被认为枯燥难懂的学科，实际上在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
除了在计算和逻辑推理方面给予我们帮助外，数学还能带给我们各种启发和感悟。
在数学学习的过程中，我逐渐发现了一些有趣的事实和深刻的思考，下面将分享一些从数学中获得的启发和感悟。
首先，数的奇妙性质令我深思不已。
在我们熟悉的自然数中，有一些数字拥有特殊的性质。
比如，素数是只能被1和自身整除的数字，例如2、3、5、7等等。
素数的分布一直是数学界的一个难题，其规律性与随机性的结合十分迷人。
另外，费马大定理及其相关数学问题也给了我很多的启示，这个定理的内容是关于数的n次方加上另一个数的n次方不等于第三个数的n次方。
数学家费马提出这个猜想后，耗费了无数的精力和智慧，但直到300多年后，才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
这个定理给了我很多的勇气和韧劲，让我明白到解决数学问题的道路上需要耐心和毅力。
这些奇妙的数学性质让我认识到数学的美妙之处，也激发了我对数学的热爱。
其次，数学的抽象思维能力让我受益匪浅。
在数学学习的过程中，我们常常需要进行抽象思维和逻辑推理。
通过解决各种数学问题，我逐渐培养了逻辑思维和抽象思维的能力。
数学能够帮助我们理清事物之间的关联性，并且洞察问题的本质。
例如，当我们推导一个定理时，需要运用数学符号和推理方法，将问题中繁杂的部分简化，提取出问题的关键要点。
这个过程让我们不断思考和挑战，锻炼了我们思维的敏捷性和逻辑推理的能力。
这种抽象思维的能力也不仅仅在数学中有用，它在其他学科和现实生活中都能发挥重要作用。
数学的抽象思维能力让我感受到了思维的深度和广度，对我日后的学业和职业发展有着积极的影响。
此外，数学的解决问题的方法和思路让我受益匪浅。
数学是一门能够培养我们解决问题能力的学科。
在解决一个数学问题时，我们需要找到一种合适的方法和思路。
有时候，我们需要运用归纳法，通过观察一些特殊情况，总结出一般规律。
一道中考数学压轴题的解法探究及教学启示
一道中考数学压轴题的解法探究及教学启示1. 引言中考数学作为学生升学的重要关卡，其中数学压轴题更是考查学生数学思维和解决问题能力的重要环节。
今天我将带你一起深入探究一道中考数学压轴题的解法，同时分析其教学启示，希望能为老师们提供一些有益的参考。
2. 题目概述这道压轴题是一道关于三角函数的应用题，涉及角度的变化、三角函数的性质和解三角形的相关知识。
题目要求学生计算一个特定角度下的三角函数值，并且利用得出的结论解决实际问题，是一道综合性很强的数学问题。
3. 解题过程我们需要通过数学关系和公式来得出特定角度下三角函数值的具体计算方法。
这一步需要考虑各种可能的情况，比如角度的范围、三角函数的定义等。
我们需要应用得出的三角函数值来解决实际问题，这就需要学生在运用数学知识的结合实际情境进行思考和分析，找出最合适的解决方案。
4. 解题思路在解题过程中，我们可以通过列出角度与对应三角函数值的表格来寻找规律，从而找到正确的解题思路。
利用图形辅助、代数运算等方法也是解题的常用手段，学生需要在解题过程中多角度思考，寻找最合适的解题方法。
5. 教学启示通过对这道压轴题的解题过程和思路的深入探究，我们可以得出一些教学启示。
我们要注重学生数学知识的系统性和逻辑性，只有建立起扎实的数学基础，学生才能更好地应对各种复杂的数学问题。
我们要培养学生的数学思维和解决问题能力，让他们能够从解题的过程中感受到数学的美妙和乐趣。
我们要注重引导学生进行多角度思考，让他们能够从不同的角度去解决问题，培养其灵活的数学思维。
6. 个人观点作为数学老师，我认为数学不仅仅是一门工具性学科，更是一门能够培养学生思维和创新能力的学科。
通过深入探究数学问题和解题思路，我能更好地感受到这种魅力。
我希望通过我的教学，能够激发学生学习数学的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
总结通过对一道中考数学压轴题的深入探究，我们不仅能够学习到更加全面、深刻的数学知识，同时也可以得出一些有益的教学启示。
一道浙江数学高考题引发的探究与教学启示
图1
&+y = m
+ 8kx + 4 - 4m二0,由韦达定理得xx + x2 =
FT乔g 滤 - 2%2,于是有I x2
丁,又由看=2岗得衍 1 + 4k
8丨 I 二
8
W
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1+4厂4山+缶
8 2
=2,当且仅当I k\ =*时等号成
处取得最大值4,即点B的横坐标的绝对值取得最大 值2.
点评：解法2主要由两点坐标间的关系代 入椭圆方程,通过“消元”思想把点B横坐标的平方 珂转化为关于参数m的一个二次函数，运用二次函 数性质快速求解出m以及丨靭丨的最大值，让人耳目
一新，瞬间觉得“山重水复疑无路，柳暗花明又一 村”.该解法有效地避免了分类讨论，巧妙地简化了 繁琐的代数运算，解法虽很优美，但难点是如何巧妙 “消元”、构造二次函数，基础一般的同学恐怕难以 想到这个思路.
3.换元法的视角（三角换元，快速突破） 解法3：由题意设点B坐标为（2 Jocose,
y/msinO）,于是由4P 二 2 PB 可得4（ - 40^cos&,3 2 v^sin^）,把力"两点坐标代入椭圆方程得
1.韦达定理模型的视角(韦达定理，凸显通法) 解法1：如图1分类讨论:①当直线的斜率不
2020年第2期
中学数学研究
・17・
存在时，由题知4（0, -伍）上（0,丽）,于是得TH =9 ,xB = 0.
②当直线AB的斜率存 在时，设AP方程为y =蠢+
方程组
1y = kx + 1, x*12 2 =（i 〃）/
解问题，使学生掌握一些合理设计算法形成简便运 算的方法,体会数学思想，培养核心素养.本教学片 段针对学生的运算困惑和解题思路给予了合理的指 导和点拨.
从一道国外数学题得到的启示-模板
从一道国外数学题得到的启示德国小学一年级数学练习题中，有一道10以内加法数学游戏。
游戏名称是“请你不要生气”（如图1）附图{图}其游戏规则是：1.甲执白棋子，乙执黑棋子，两人轮流在加法表格中放一枚棋子。
例如，甲先放，如图2，表示甲算出1+1 =2附图{图}由于甲算得答案是2，还要在答案栏上占据”2”这一格。
2.乙后算，可以在加法表格中（甲已占的格除外）任意放置棋子，如图3，表示乙算得0+2=2。
3.答案中由于”2”已被白棋先占据，所以后算得此答案者，可将前者的白棋子“驱逐”出去（如图3）。
附图{图}当所有的题做完后，检查答案栏中，哪种颜色的棋子多，执哪种颜色棋子的就获胜。
学生一开始游戏时，会偶然地获胜或输。
渐渐地，他们发现，有些答案只出现单数次，必须先占据答案栏中的此方格（如”3”和”10”）。
若出现双数次时，则让对方先占据此方格（如”2”）。
在游戏的氛围中，不仅10 以内口算练得滚瓜烂熟，而且提高了解题策略。
上例游戏，给予我国当今“问题解决”的数学教学极其深刻的启示：1.数学教学要重视“问题解决”的价值取向。
“问题解决”既看作数学活动的过程，又看作数学形式，其意义在于训练学生的数学素养，提高应用意识和培养创造能力。
因此，在数学教学中必须十分重视数学问题解决的智力训练价值。
即不论是课堂例题、作业，还是数学趣题或测验的试题等，都要选择那些既适合学生的认知发展水平，又有充分的智力训练价值，能促进其智力发展的问题来作为数学活动的素材。
要克服、防止对数学问题漫不经心、随意挑选的痼疾，以及转变一些人们认为问题解决就是培养解题技巧的错误观念。
强调数学问题的智力价值，在数学问题解决的教学过程中要做到两个“有利于”。
首先，要有利于加强学生的“双基”训练，使学生掌握数学思想方法。
我们在提倡问题解决教学模式时不能丢弃双基训练和勤于思考善于解题的好传统，要把数学思想、方法贯穿于教学的始终。
其次，要有利于培养学生的创造能力，有利于发展其智力。
数学学习的启示录数学教会我们的重要人生道理
数学学习的启示录数学教会我们的重要人生道理数学学习的启示录：数学教会我们的重要人生道理数学是一门抽象而又具体的学科，它运用逻辑思维和分析能力解决各种问题。
然而，数学学习不仅仅是为了掌握计算技巧和解题方法，更重要的是它教会了我们一些深刻的人生道理。
以下是数学学习给我们的一些启示：1. 坚持不懈是成功的关键在数学学习中，我们常常遇到难题和复杂的计算，需要付出大量的努力和耐心去解决。
正如数学家们所说，“数学问题没有捷径可走”。
只有坚持不懈地思考和练习，才能够取得突破和进步。
这个道理同样适用于我们的生活和事业。
无论是追求学术成就还是职业发展，只有坚持不懈地努力，才能最终取得成功。
2. 错误是成长的机会在数学学习中，错误是常见的。
每当我们在解题时出现错误，我们应该学会从中吸取经验教训，改正错误，争取更好的结果。
数学告诉我们，并非一帆风顺才能成功，而是要在失败中不断寻找问题所在，不断修正。
同样，生活中我们也会面临挫折和错误，但关键在于我们是否能够从中吸取教训，不断成长。
3. 思维的灵活性与创造力数学学习注重培养思维的灵活性和创造力。
在解决问题时，我们需要发散性思维去找到不同的方法和角度。
通过培养这种思维习惯，我们不仅能够更好地解决数学问题，还能在现实生活中找到创新的解决方案。
数学教会我们不要局限于传统的思维框架，而是要不断尝试和创造。
4. 探索与掌握知识的乐趣数学学习中的探索过程有时可能会令人沮丧，但当我们解决一个复杂的数学问题，或者理解一个抽象的数学概念时，带来的成就感是无可比拟的。
数学教会我们享受知识的乐趣，激发我们终身学习的动力。
同样，生活中也有许多未知和困难需要我们去探索和解决。
如果我们能够以探索的心态面对生活，就能够享受到其中的乐趣，并不断提升自己。
5. 严谨和逻辑思维数学学习要求我们时刻保持逻辑思维的清晰和严谨性。
任何一个环节出现错误都可能导致整个解题过程的失败。
数学告诉我们，事情的发展和结果需要建立在严密的逻辑推理上。
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一道数学题的启示
女儿今年8岁了，平常最喜欢吃垃圾食品：象饼干、薯片、可比克、口香糖、方便面等等一些没有营养的东西，屡教不改；而那些有营养的食品她不屑一顾，即使是每天要喝的牛奶，都要我喊上几次，才很不情愿的把它喝了。
可是今天晚上女儿喝牛奶没有要我喊、催，自己很主动积极的把牛奶喝完了，还吃了一个水果。
我忽然觉得很奇怪，又有点失落：每天必说的“把牛奶喝了，把水果吃了”，怎么今天就不要我喊了。
我正纳闷着，女儿拿着她的数学作业和数学日记给我欣赏，看完后我总算明白了女儿今天的“反常”。
女儿的数学作业是一道思考题，大概意思是这样的：题目里列出了一些食品每100克含钙量，比如100克虾米含钙量880多毫克，还有牛奶、蛋黄、紫菜、水果等有七、八种食品的含钙量，然后要做3个小题，（1）300克虾米含钙量是多少，500克牛奶含钙量是多少，等等，（2）你还能提出什么问题？（3）你还知道那些食品的含钙量，请写出来？最后写一篇数学日记。
我看了女儿做的题目，都做对了，再看她写的数学日记：标题是健康饮食健康身体，她的文章开头很有意思：小学生每天的钙摄入量为800-1000毫克，那么小学生的每天的饮食要注意搭配，一般来说，每个小学生每天要吃50 克虾米、一个鸡蛋、50克蔬菜、50克肉类、200克米饭或面食、一个水果，喝350克牛奶和3杯水，还可以吃一粒钙片。
只有摄入合适的钙，才能有健康的身体，长得高。
看完之后，我表扬女儿。
之后我问女儿怎么知道这么多食品的含钙量，又怎么知道小学生每天的钙摄入量为800-1000毫克？女儿说是上网找的，然后再通过计算得出那个饮食搭配的。
我又问你是做了这个题目就不要妈妈喊“叶子，把牛奶喝完”了？“对呀！”女儿开心的回应着，“以后我还要注意不挑食，健康饮食”。
听了女儿这么说，我心里很高兴：不仅仅是她把题目全部做对了，我更高兴的是做题后她的觉悟，她懂了怎样进行健康饮食。
而我也明白了一个道理：在教育孩子的过程中与其不断的唠叨，还不如让她自己亲自实践，让她自己明白该怎样做以及这样做的好处；让她自己去了解去探索，得到的知识会更牢固，懂得的道理会更多，受到的教育会更明显。
推开说去，在我教学过程中也应该一样：让我的学生自己明白该怎样做，以及这样做的好处，这样，我就少了一些空洞乏味的说教。
就这样，一道数学题既告诉了女儿该怎样进行健康饮食，又让我明白了许多道理。