Erlang_平稳二项过程模型结构可靠度一致最小方差无偏估计_柯俊斌
数理统计8：点估计的有效性、一致最小方差无偏估计（UMVUE）、零无偏估计法
数理统计8：点估计的有效性、⼀致最⼩⽅差⽆偏估计（UMVUE）、零⽆偏估计法在之前的学习中，主要基于充分统计量给出点估计，并且注重于点估计的⽆偏性与相合性。
然⽽，仅有这两个性质是不⾜的，⽆偏性只能保证统计量的均值与待估参数⼀致，却⽆法控制统计量可能偏离待估参数的程度；相合性只能在⼤样本下保证统计量到均值的收敛性，但却对⼩样本情形束⼿⽆策。
今天我们将注重于统计量的有效性，即⽆偏统计量的抽样分布的⽅差。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：⼀致最⼩⽅差⽆偏估计⾸先考虑这样的问题：如何刻画⼀个统计量的有效程度？注意到，⼀个统计量的取值既可能⾼于待估参数，亦可能低于待估参数，要综合考虑统计量对待估参数误差，需要⽤平⽅均衡这种双向偏差，因此，提出均⽅误差的概念：若\hat g(\boldsymbol{X})是g(\theta)的估计量，则\hat g(\boldsymbol{X})的均⽅误差定义为\mathrm{MSE}(\hat g(\boldsymbol{X}))= \mathbb{E}[\hat g(\boldsymbol{X})-g(\theta)]^2.对于确定的统计量\hat g(\boldsymbol{X})⽽⾔，\mathrm{MSE}(\hat g(\boldsymbol{X}))是\theta的函数。
显然，⼀个统计量的均⽅误差越⼩，它就越在待估参数真值附近环绕，由此，⽤统计量的⼀次观测值作为待估参数的估计就有着越⼤的把握。
如果对于g(\theta)的两个估计量\hat g_1(\boldsymbol{X})和\hat g_2(\boldsymbol{X})，恒有\mathrm{MSE}(\hat g_1(\boldsymbol{X}))\le \mathrm{MSE}(\hatg_2(\boldsymbol{X}))，且严格不等号⾄少在某个\theta处成⽴，就称\hat g_1(\boldsymbol{X})在均⽅误差准则下优于\hat g_2(\boldsymbol{X})。
平稳时序模型
第二章 平稳时序模型本章主要内容1．平稳序列的概念；2．线性记忆系统和ARMA 模型的记忆特征 3．基本分析工具4．平稳ARMA 模型的自相关函数； 5．平稳ARMA 模型的偏自相关函数； 6．平稳ARMA 模型的优选方法。
第一节 ARMA 模型的定义定义2.1 满足如下条件的序列称为严平稳序列 有，正整数，正整数τ∀∈∀∀T t t t m m ,,,,21L ： ),,,(),,,(21,21,2121m t t t m t t t x x x F x x x Fm mL L L L τττ+++=定义2.2 满足如下条件的序列称为宽平稳序列 Tt s k k s t t s k k s t Tt EX Tt EX t t∈−+∀−+=∈∀=∈∀∞<且，为常数，,,),(),()3,)2,)12γγμμ 定义2.3 满足如下条件的序列称为平稳高斯序列： 1）是正态分布；t Z 2）对任意的，概率密度函数m t t t k ,,,,21L ),,,(21m t t t z z z L ρ和),,,(21k t k t k t m z z z +++L ρ是相同的。
严平稳与宽平稳的关系 一般关系\ 严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，严平稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立，而宽平稳序列不能反推严平稳成立特例\ 不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件，例如服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列\ 当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出严平稳平稳时间序列的统计性质正确理解这个定义的确切含义和性质，从定义可知：密度函数不依赖于时间的起点，所有的都有相同的均值和相同的方差，如果的二阶矩存在，则的协方差只与时间间隔有关。
t Z }{t Z }{t Z第二节 ARMA 模型的记忆特性2.1 线性记忆系统；例1：假设某人犯有高血压，且正在服用一种特殊的药来控制血压水平，记{是指标序列，即}t x⎩⎨⎧=其他时服药如果在,0,1t x t 我们能认为是系统得激励或输入，记{}t x {}t y 是系统的响应或输出变量，假设在时刻时服用了药，可能有如下几种不同的响应。
二项式分布十大模型
二项式分布十大模型二项式分布是数学中常用的离散概率分布模型之一。
它描述了在进行一系列独立的二项试验时，成功事件发生的次数的概率分布。
本文将介绍二项式分布的十大模型。
1. 单次二项试验：当只进行一次独立的二项试验时，二项式分布模型简化为伯努利分布。
它描述了一个试验只有两个可能结果的概率分布。
2. 无偏估计：通过进行多次独立的二项试验，可以利用二项式分布模型来估计成功事件发生的概率。
无偏估计是指在多次试验中，估计值的期望等于真实值。
3. 区间估计：通过计算置信区间，可以利用二项式分布模型来估计成功事件发生的概率的范围。
置信区间是对参数的估计提供了一个可信的范围。
4. 假设检验：通过比较观察到的样本数据与基于二项式分布模型的假设，可以进行假设检验来判断某一假设是否成立。
5. 多次试验：当进行多次独立的二项试验时，可以利用二项式分布模型来描述成功事件发生的总次数的概率分布。
6. 成功次数分布：通过对成功事件发生的次数进行统计，可以得到成功次数的分布。
二项式分布模型描述了成功次数的概率分布。
7. 大数定律：根据大数定律，当进行大量的独立二项试验时，成功事件发生的频率会趋向于其概率。
8. 二项分布的期望和方差：二项式分布的期望数值表示每次二项试验中成功事件发生的平均次数。
方差表示每次试验的成功次数与期望数值之间的偏离程度。
9. 二项式系数：二项式系数是二项式分布模型中计算特定成功次数的概率的常数。
10. 二项分布的应用：二项式分布模型在概率统计、实验设计、风险评估等领域有广泛的应用。
它可以帮助分析和解决与二项试验相关的问题。
以上是二项式分布的十大模型，每个模型都有其特定的应用和用途。
了解这些模型可以帮助我们更好地理解和应用二项式分布在实际问题中。
第2章平稳时间序列模型
第二章 平稳时间序列模型本章将介绍Box-Jenkins 方法，主要包括一元平稳时间序列的识别、估计、诊断和预测方法。
2．1 平稳性时间序列t y 的均值和协方差 ()t t E y μ=,cov(,)[()()]t s t t s s t s y y E y y μμγ=--=一个随机过程的线性性质可由均值和协方差来描述。
如果这个过程是正态过程， ,,t t s μγ可以完全刻画这个随机过程的分布性质。
如果没有正态性质，但生成过程是线性的，则在它的均值和方差中可获得关于这个过程的更多的重要特征。
下面的问题是如何来估计t μ，对于一些过程我们可以得到大量的实现（反复做观测）,1,2,,.1,2,,.jt y t n j k ==那么，t μ的估计是11ˆkt jt j y k μ==∑但对大多数过程来说，得不到更多的实现。
如，不可能把经济停下来，然后重新开始观测。
对一个实现，不可能估计出t μ。
为了克服这个困难，时间序列分析要做如下的假设：均值和方差不随时间而改变。
如果对任何t, t-s, 都有μ==-)()(s t t y E y E222)()(y s t t y E y E σμμ=-=--s s j t j t s t t y y y y γ==----),cov(),cov(这里 2,y μσ都是常量，与时间无关，s γ是依赖于s 的常量。
这样的随机过程称为协方差平稳。
可以简单地说，如果一个时间序列的均值和协方差不受时间变化影响，则称这个时间序列是协方差平稳。
在一些文献中，协方差平稳的过程也称为弱平稳，二阶矩平稳或宽平稳过程。
（注意一个强平稳过程不一定有有限的均值和方差）。
一个更进一步的假设是遍历性（ergodic ）。
这是一个较难理解的一个概念。
遍历性是指，按时间平均11nn t t y y n ==∑是总体均值μ的无偏、一致估计。
即(),()0,()n n E y Var y n μ=↓→∞。
稳健估计
3、稳健估计的发展历史
• 薄克斯（G.E.P.Box）于1953年提出了稳健估计（Robust Estimation）概念 • 1964年胡倍尔（P.J.Huber）发表了“位置参数的稳健估计”，才 使稳健估计真正步入到研究与应用阶段 • 1968年，荷兰的巴尔达（W.Baarda）教授利用数理统计方法建立 了测量粗差的“数据探测”（Data-Snooping）和可靠性理论 • 周江文（1989）、李德仁（1988）等系统研究了粗差统计学 （Robust statistics），形成了具有特色的抗差最小二乘估计理论 • 1991年杨元喜提出了相关观测估计方案，建立了相关观测抗差估 计理论，进一步完善了抗差估计的理论与应用
P
Q P I
最小二乘： ˆ AT P A 1 AT P l Q AT P l , X XX
V AQ A P
T XX
I l QVV P l Rl
QVV Q AQXX AT R QVV P I AQXX AT P V R
ˆ x 5.0625
其他估计法： 1.中位数法 观测值按大小排列，取中，偶数取中间两数平均：
4.993，4.997，4.998，5.001，5.002，5.008，5.500，
ˆ x 5.001
2 ．切尾法：去掉一个最小值和一个最大值，期于平均。
ˆ x 5.0012
随机误差——最小二乘 系统误差——附有参数的 粗差 粗差是一种异常大误差 (2 4 ) 不能用最小二乘 其他方法见“实用测量数据处理”P52例1 粗差估计：1）识别法——数据探测 探测粗差数据的位置，剔除，保干净数据 2）调节法——稳健估计 采用抗干扰性强的估计法，削弱粗差对平差结果的影响
应力为滤过复合Erlang更新过程时结构的可靠度
学的观 点来看 ，可变荷载必须用 随机过程来描述 。文献 ｆ 根据我 国四条 国道 交通荷载观测 数 １ １ 据 ，指 出车重荷载可用滤过 Ｐ ｉ ｏ ｏ ｓｎ过程描述 。文献 『 根据 国道 １０ 的现状车辆荷载统计分 ｓ ２ １ １上 析，采用滤过复合 Ｅ ｌｎ 更新过程描述 车辆荷载随机过程，并且使用两个正态分布加 权和 的双 ｒ ｇ ａ 峰型概率分布描述车辆荷载 。文献 『４ 讨论 了两类 半随机过程模型 （ 数一 ３１ ， 指 复合 Ｗｅｂ ｌ ｉｕｌ 过程模 型 、正态一 平稳 二项过 程模 型） 的结构可靠度 ，其主要方法是采用最小变换方法 ，把半随机过程 结构可靠性模型转化为随机变量结构可靠性模型，再利用当量正态法 获得模型 的结构可靠度 。 本文 首先建立 强度 为随机变量 ，应力为滤 过复合 Ｅ ｌｎ 更新过 程的半 随机 过程结构可靠性 模 ｒ ｇ ａ
型 ，再利用 Ｅ ｌｎ 更新过程的母 函数 ，给 出结构在任 一时刻 ｔ ｒ ｇ ａ 的可靠度 Ｒ（ 。 ｔ ）
２ 预 备 知 识
定义 １ ］ 称车辆荷载随机过程 ｛ ｔ ０ 为滤过复合 Ｅ１ ｇ 【 （ ， ） ） ｒ ｎ 更新过程，如果它可以表 ａ
示 为
Ⅳ（） ｔ
第２卷 第５ ７ 期
２ １ 年 １ 月 ００ ０
工
程
数
学
学
报
ｖ １２ ｏ ５ ０ ７ ． ． Ｎ
Ｏｃ．２ １ ｔ ００
ＣＨＩ ＮＥＳ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＪ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
文章编￣： ０—０５２１）５０８—６ － ０５３８（０００—７９０ １
关 键 词 ：随机 荷 载 ；滤 过 复 合 Ｅ ｌｎ 更 新 过 程 ；母 函 数 ； 结 构 可靠 度 ｒａ ｇ
9-0时间序列的平稳性及其检验
因此任一rk(k>0)的95%的置信区间都将是 [ Z 0 . 0 • 2 , Z 0 . 0 5 • ] 2 [ 1 . 9 5 1 / 1 , 1 6 . 9 1 9 / 1 ] 6 [ 0 . 4 9 , 0 . 4 4 ]
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。
Randomቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 自相关系数
Q LB
Q LB
rk (k=0,1,…17)
rk (k=0,1,…17)
1 -0.031 2 0.188 3 0.108 4 -0.455 5 -0.426 6 0.387 7 -0.156 8 0.204 9 -0.340 10 0.157 11 0.228 12 -0.315 13 -0.377 14 -0.056 15 0.478 16 0.244 17 -0.215 18 0.141 19 0.236
n
P lim x i2/n Q
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
第二章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF
第⼆章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF⾃相关函数/⾃相关曲线ACFAR(1)模型的ACF：模型为：当其满⾜平稳的必要条件|a1|<1时（所以说，⾃相关系数是在平稳条件下求得的）：y(t)和y(t-s)的⽅差是有限常数，y(t)和y(t-s)的协⽅差伽马s除以伽马0，可求得ACF如下：由于{rhoi}其在平稳条件|a1|<1下求得，所以平稳0<a1<1则⾃相关系数是直接收敛到0-1<a1<0则⾃相关系数是震荡收敛到0对于AR(2)模型的ACF：（略去截距项）两边同时乘以y(t)，y(t-1)，y(t-2)......得到yule-Walker⽅程，然后结合平稳序列的⼀些性质（yule-Walker⽅程法确确实实⽤了协⽅差只与时间间隔有关的性质），得到⾃相关系数如下：rho0恒为1（⼆阶差分⽅程）令⼈惊喜的是，这个⼆阶差分⽅程的特征⽅程和AR(2)模型的是⼀致的。
所以，我们的rho本就是在序列平稳的条件下求得，所以{rhoi}序列也平稳。
当然，其收敛形式取决于a1和a2MA(1)模型的ACF:模型为：由于y(t)的表达式是由⽩噪声序列中的项组成，所以不需要什么平稳条件，就可以求得rho的形式如下：对于MA(p)模型，rho(p+1)开始，之后都为0.所以说，到了p阶之后突然阶段，变为0了。
ARMA(1,1)模型的ACF：模型为：还是使⽤yule-Walker⽅程法（⽤到了序列平稳则协⽅差只与时间间隔有关的性质）得到：所以有：ARMA(p,q)模型的ACF：ARMA(p,q)的⾃相关系数满⾜：（式1）前p个rho值（rho1，rho2...rhop）可以看做yule-Walker⽅程的初始条件，其他滞后值取决于特征⽅程。
（其实是这样的，rho1，rho2...rhop实际上能写出⼀个表达式，⽽rho(p+1)开始，就满⾜⼀个差分⽅程，⽽这个⽅程对应的特征根（即式1）⽅程和AR(p)对应的⼀模⼀样），所以，他会从之后q期开始衰减。
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Ux e- Ux dx = Γ(T )
∑C
i= 0
i N
( - 1)i
∫
利用
∫g ( x ,T,U) dx =
0 ∞ 0
∞
1,知 Γ(T ) T = U
∫x
0 N i= 0
∞
T - 1 -U x
e
dx , U T . λ i+ U
( 1)
则
∫
T T U x - 1 - (λ e i+ U) x dx = Γ(T )
nU e- Unr -)nT- 1 , 当 r -> 0时 . ( nr Γ( nT ) nT
-条件下 R1 的条件密度函数为 因此 ,在 r r1 -) p (r1, r Γ( nT ) p ( r1| r) = p (r = -) Γ(T )Γ [ ( n - 1)T] 式中 , n ≥ 2, 0 < r 1 ≤ nr . 作与 p ( r1| r ) 类似计算 ,可得 -) = m - 1 ( s -) 1- m s -- s1 p ( s1| s m m 建立统计量 S1 , i i = 1, 2, … , N . S1 0, R1 ≤ , i ( - 1) Qi ( R 1 , S1 ) =
1 ,a 2 , … ,a N 互相独立 ,服从同一分布 . ( 3)a
假定荷载随机过程 S ( t ) 为平稳二项过程 , 其截口分布为 F ( x ) , 那么其最大值 SM 的概率分布为 FM ( x ) = P ( S M ≤ x ) = P ( 0max S (t) ≤ x ) = ≤t ≤T P ( 0max S (t) ≤ x, x ∈ f 1 )… P ( max S ( t ) ≤ x , x ∈ f N ) = [p F ( x ) + ( 1 - p ) ]N , ≤ t≤ T 0 ≤ t≤ T 其中 N 为总时段数 , 当 S ( t ) 在每一时段上 f i 都不为零时 ,即 p = 1, 有 FM ( x ) = [ F( x ) ] . 定义 2 若连续型随机变量 a 的密度函数为 g ( x ,T ,U )= Ux - Ux Γ(T ) e , x ≥ 0, 0, x < 0, 其中 T > 0, U> 0为两个常数 , 这时称 a 是参数为 (T ,U ) 的 Γ分布的随机变量 . 特别地 , 当 T 为自然数时 , 称a 服从 Erlang 分布 . 定理 1 设应力随机过程 S ( t ) 为平稳二项过程 ,其截口分布为 F ( x ) = 1 - e 从参数为 (T ,U) 的 Erlang 分布 , 则 Erlang -平稳二项过程模型结构可靠度为
N -λ x T T - 1 N
, x > 0, 强度 R 服
pr =
∑
CiN ( - 1) i
i= 0
U . λ i+ U
T
证明 由上述讨论可知 ,当 S ( t ) 在每一时段 f i 上都不为零时 , 即 p = 1, 有 F M ( x ) = [F ( x ) ]N . 那 么 Erlang -平稳二项过程模型结构可靠度为 pr =
T ]. Co nsidering the pr ocess o f the str ess is sta tio na ry binomial pro cess and streng th o beys the distribution of Er lang , gives the dist ributio n of the ma ximum of stress and then obtains the U M V U E o f structura l r elia bility. Key words : sta tionar y bino mial process; str uc tur al reliability; U MV U E
工程结构可靠性设计与估计是可靠性理论的重要组成部分 . 在以前的研究中 , 结构荷载与强度大都 用随机变量来描述 , 也就是所谓的随机变量模型 . 但是 ,作用在结构上的荷载不但具有随机性 ,还随时间 而变化 , 是一类关于时间 t 的可变荷载 . 从统计数学的观点来看 , 可变荷载必须用非负随机过程 { S ( t , k) , t ∈ [ 0, T ] , k ∈ K} 来描述 . 结构所处状态可以用函数 Z ( t ) = R - S ( t ) , t ∈ [ 0, T ] 表示 ,它是一个 半随机过程模型 . 结构分析与设计的基本目标是使结构任一部分在设计基准期 [ 0, T ] 内保持可靠的概 率达到某一可接受的程度 . 或者说 ,失败状态的概率 pf ( T ) = P { Z ( t ) < 0, t∈ [ 0, T ] } 低到人们可以接 受的水平 . 在一般情况下 ,探讨极限状态过程 { Z ( t ) , t ∈ [ 0, T ] } 的统计特征是一个相当复杂的问题 . 从 实用的角度出发 , 普遍采用最小变化模型 , 即 ZM = 0≤ mi n Z ( t ) = R - 0≤ max S ( t ) = R - SM . t≤ T t≤ T 式中 SM = 0max S ( t ) 为荷载在 [ 0, T ] 上的最大值 . 林升光在 [ 1 - 4 ], 林忠民在 [ 5] 中对几类常见的随机 ≤t≤ T 过程模型给出相当完善的结论 . 本文将在此基础上 , 考虑应力为平稳二项过程 , 强度服从 Erlang 分布的 半随机过程模型 , 给出应力随机过程的样本函数的最大值分布 , 并获得其相应的模型结构可靠度的最小 方差无偏估计 .
nT U - U( u+ v ) T - 1 ( n - 1)T - 1 e u v , u > 0, v > 0, )Γ [ ( n - 1)T] p ( u , v ) = Γ(T 0, 其它 . 由于 U = R 1 , V = nR - R 1 , 利用雅可比变换 ,得到 ( R1 , R ) 的联合密度函数为 n m n
平稳二项过程模型结构可靠度一致最小方差无偏估计 Erlang柯俊斌 , 林升光
1 2
( 1. 福建师范大学数学与计算机科学学院 , 福建 福州 350007; 2. 闽 江学院数学系 , 福建 福州 350108) 摘要 : 讨论结构 在设计基准期 [ 0, T ] 内应力变动 规律 ,考虑 应力为平稳二项过 程 、强度服 从 Er lang 分布 的半随机过程模 型 ,给出 应力随机过程的样 本函数的最大值分布 ,并获得 其相应的模型结构可 靠度最小方差 无偏估计 . 关键词 : 平稳二项过程 ; 结构可靠度 ; 最小方差无偏估计 中图分类号 : O 213. 2 文献标识码 : A
TT - 1
∑
利用 ( 1) 式 , 得
i= 1
( - 1) i+ 1CiN U Γ(T )
∫r
0 + 1 i N
∞
T - 1 -U r 1 1
e
- 1 - (U - rT 1 e + λi ) r 1 dr 1.
EQ ( R 1 , S1 ) =
N
∑
N
( - 1)
CN
i
i= 1
U Γ(T ) Γ(T ) T T = Γ(T ) U (U+ λ i) ( - 1) i CiN U U+ λ i
UMVUE of Structural Reliability for Erlang-stationary Binomial Process Model
-bin1 , LIN Sheng-guang2 KE Jun
( 1. School of Mathematics and Computer Science , Fujian N ormal University , Fuzhou 350007, China; 2. Department of Mathematics , Minjiang University , Fuzhou 350108, China ) Abstract : Discusses th e law of str uctura l str ess va ria nce during the standa rd period of the design of [0,
∫
0 i N
∞
F M ( x ) g ( x ,T ,U ) dx =
T T - 1
∫
0
∞
x N ( 1 - e- λ ) N
T T U x - 1 - Ux e dx = Γ(T ) ∞ 0 T T U x - 1 - (λ e i+ U) x dx . Γ(T )
∫∑ C
0 i= 0
∞
N
λ ix ( - 1) i e
U T . 因此 pr = λ i+ U
∑C
i N
( - 1) i
2 Erlang 平稳二项过程模型结构可靠度的最小方差无偏估计
当T 已知 , λ ,U未知时 ,需要对 R , S 作抽样观测 ,获得两个样本: R1 , … , Rn ; S1 , … , Sm ,它们的均值分 1 1 Ri , S= Si . R, S 分别是参数 λ ,U 的充分完备统计量 . 令 U = R 1 , V = ∑ Ri , 已 n∑ m∑ i= 1 i= 1 i= 2 知 U 服从参数为 T ,U 的 Erla ng 分布 , 由于 Erlang 分布有可加性 , V 服从参数为 (n - 1)T ,U 的 Erlang 分 别记为 R= 布 . 由独立性可知 , 随机向量 ( U , V ) 的联合密度函数为
N
EQ ( R 1 , S1 ) =
பைடு நூலகம்
∑
EQi ( R 1 , S 1 ) =
i= 1
∑∫ ∫( 1