最大字段和
最大子段和-分治法
k k n 2 1
a (n 2 1 j n) ，则s1+s2为情况③的最大子段和。
j
k i
（ 3 ）合并：比较在划分阶段的三种情况下的最大子段和， 取三者之中的较大者为原问题的解。
a1 … … ai … amid amid+1… aj … … an
划分
(mid n 2)
leftsum
rightsum
递归处理 合并解 不能递归处理
max{leftsum, sum, rightsum} sum
a1 … … ai … amid amid+1… aj … … an
最大子段和横跨两个子序列
算法——最大子段和问题 int MaxSum(int a[ ], int left, int right) { sum=0; if (left= =right) { //如果序列长度为1，直接求解 if (a[left]>0) sum=a[left]; else sum=0; } else { center=(left+right)/2; //划分 leftsum=MaxSum(a, left, center); //对应情况①，递归求解 rightsum=MaxSum(a, center+1, right); //对应情况②，递归求解
分析算法的时间性能，对应划分得到的情况①和②， 需要分别递归求解，对应情况③，两个并列 for 循环的时 间复杂性是O(n)，所以，存在如下递推式：
1 T (n) 2T (n 2) n
n 1 n 1
根据有关定理(详细见下页ppt)，算法的时间复杂性为 O(nlog2n)。
T ( n) 2T ( n / 2) n 令n 2 t ，t log2 n 则T ( 2 t ) 2T ( 2 t 1 ) 2 t 2[ 2T ( 2 t 2 ) 2 t 1 ] 2 t 2 2 T (2t 2 ) 2t 2t 2 t T (1) 2 t 2 t 2 t (共有t个) (t 1) 2 t (log2 n 1) n ( n log2 n)
动态规划-最大子段和
动态规划-最⼤⼦段和2018-01-14 21:14:58⼀、最⼤⼦段和问题问题描述：给定n个整数(可能有负数)组成的序列a1，a2，...，an，求该序列的最⼤⼦段和。
如果所有整数都是负数，那么定义其最⼤⼦段和为0。
⽅法⼀、最⼤⼦段和的简单算法显然可以在O（n^2）的时间复杂度上完成这个问题。
但是是否可以对算法进⾏优化呢？答案是肯定的。
⽅法⼆、分治算法朴素的分法是⼆分，问题就是如何merge，在merge的时候，因为已经确定了会包含边界点，所以可以在O（n）的时间复杂度上完成merge 时的最⼤⼦段和。
因此分治公式是：T（n） = 2T（n/2）+O（n）根据主定理可以算得，分治算法的时间复杂度为O（nlgn）。
int maxSubSum(int[] a,int L,int R){if(L == R) return a[L] > 0 ? a[L] : 0;else {int mid = L + (R - L) / 2;int sumL = maxSubSum(a, L, mid);int sumR = maxSubSum(a, mid + 1, R);int tmpL = 0;int tmpR = 0;int sum = 0;for (int i = mid; i >=0 ; i--) {sum += a[i];if(sum>tmpL) tmpL = sum;}sum = 0;for (int i = mid+1; i <=R ; i++) {sum += a[i];if(sum>tmpR) tmpR = sum;}return Math.max(sumL,Math.max(sumR,tmpL+tmpR));}}⽅法三、动态规划这种两端都是变化的问题是很难优化的，最好可以让⼀端固定，这样就会⼤⼤简化分析难度。
于是将j暂时从原式⼦中提取出来，将剩下的命名为b[j]。
最大子段和问题的简单算法
最大子段和问题的简单算法一、引言最大子段和问题（Maximum Subarray Sum Problem）是计算机科学中一个经典的问题，旨在寻找数组中的连续子数组，使得该子数组中所有元素的总和最大。
这个问题的解决方法有多种，其中包括暴力解法、分治法、动态规划等。
本篇文章将介绍一种简单且高效的解决方法——Kadane算法。
二、算法描述Kadane算法是一种基于动态规划的贪心算法，其基本思想是对于给定的数组，不断选择以当前元素结尾的最大子段和，然后将这个最大子段和更新为全局最大子段和。
算法的主要步骤如下：1. 初始化两个变量，一个是局部最大和max_ending_here，初值为数组的第一个元素；另一个是全局最大和max_global，初值为数组的第一个元素。
2. 遍历数组中的每个元素，对于当前元素，计算以当前元素结尾的最大子段和max_ending_here，然后更新全局最大和max_global。
3. 在遍历过程中，对于每个元素，都会计算出一个以该元素结尾的最大子段和，因此遍历结束后，全局最大和就是最大的子段和。
三、算法复杂度分析Kadane算法的时间复杂度为O(n)，其中n是数组的长度。
因为我们需要遍历数组中的每个元素一次。
在空间复杂度方面，Kadane算法只需要常数级别的额外空间来存储两个变量，因此其空间复杂度为O(1)。
四、算法实现下面是一个用Python实现的Kadane算法：def max_subarray_sum(arr):max_ending_here = max_global = arr[0]for i in range(1, len(arr)):max_ending_here =max(arr[i], max_ending_here + arr[i])max_global =max(max_global, max_ending_here)return max_global五、结论Kadane算法是一种简单且高效的解决最大子段和问题的方法，其时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。
线段树【p1115】最大子段和
线段树【p1115】最⼤⼦段和题⽬描述-->虽然是⼀个普及-的题,但我敲了线段树 qwq数组定义lsum[]代表该区间左端点开始的最⼤连续和.rsum[]代表该区间右端点开始的最⼤连续和.ssum[]代表区间内最⼤连续和.sum[] 代表区间和.Que and AQ:已知⼀个区间的左右区间的最⼤连续和,如何合并?A:这个区间的最⼤连续和要么是左⼦区间的最⼤连续和,要么是右⼦区间的最⼤连续和.要么是左⼦区间的最⼤右起⼦段和+右⼦区间的最⼤左起字段和.code：ssum[o]=max(max(ssum[lson],ssum[rson]),rsum[lson]+lsum[rson])Q:如何更新区间最⼤左起⼦段和.A:新区间的最⼤左起⼦段和.要么是其左⼦区间最⼤连续和,要么是其左⼦区间和+右⼦区间的左起⼦段和.最⼤右起⼦段和同理code：lsum[o]=max(lsum[lson],sum[lson]+lsum[rson]) rsum[o]=max(rsum[rson],sum[rson]+rsum[lson])更新操作类似单点修改贴⼀下代码 qwq.#include<bits/stdc++.h>#define IL inline#define int long long#define RI register int#define N 200008#define ls o<<1#define rs o<<1|1using namespace std;IL void in(int &x){int f=1;x=0;char s=getchar();while(s>'9' or s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while(s>='0' and s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}x*=f;}int tr[N<<2],ssum[N<<2],lsum[N<<2],rsum[N<<2],n;IL void up(int o){tr[o]=tr[ls]+tr[rs];ssum[o]=max(max(ssum[ls],ssum[rs]),rsum[ls]+lsum[rs]);lsum[o]=max(lsum[ls],tr[ls]+lsum[rs]);rsum[o]=max(rsum[rs],tr[rs]+rsum[ls]);}IL void build(int o,int l,int r){if(l==r){in(tr[o]);ssum[o]=lsum[o]=rsum[o]=tr[o];return;}int mid=(l+r)>>1;build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);up(o);}IL int query(int o,int l,int r,int x,int y){if(x<=l and y>=r)return ssum[o];int mid=(l+r)>>1;int ret=-2147483647;if(x<=mid)ret=max(query(ls,l,mid,x,y),ret);if(y>mid)ret=max(query(rs,mid+1,r,x,y),ret);return ret;}main(void ){in(n);build(1,1,n);printf("%lld",query(1,1,n,1,n));}Processing math: 100%。
最大字段和问题描述
最大字段和问题描述一、什么是最大字段和哎呀，最大字段和这个东西呢，其实还挺有趣的。
简单来说呀，就是在一组数里面，找到一个连续的子序列，让这个子序列里的数加起来的和最大。
就像是在一堆宝藏里，找出一块最大价值的宝藏堆一样。
比如说，有这么一组数，1， -3， 5， -2， 4。
我们就得想办法从这里面找出连续的几个数，加起来得到最大的和。
这可不是随便乱找就行的哦。
二、最大字段和的计算方法这里面有好几种计算的方法呢。
有一种比较简单的想法，就是暴力破解法。
啥叫暴力破解法呢？就是把所有可能的连续子序列都找出来，然后一个一个计算它们的和，最后找出最大的那个和。
但是这种方法可有点笨笨的，要是数很多的话，那得计算好久好久呢。
还有一种聪明点的方法，就是动态规划的方法。
这个动态规划可就有点高大上啦。
我们可以定义一个数组，这个数组的每个元素都表示以这个位置结尾的最大子段和。
然后通过一定的规律去计算这个数组里的元素。
比如说，对于一个数a[i]，它的最大子段和要么就是它自己，要么就是包含前面的数的最大子段和加上它自己。
这样一步一步算下来，就能很快地找到整个序列的最大子段和啦。
三、最大字段和在生活中的应用你可别小看这个最大字段和哦，它在生活中有好多用处呢。
比如说，在投资领域。
假如你有一支股票，它每天的涨跌幅度就可以看作是一组数。
那你想找到哪一段时间内你的收益最大，这就可以用最大字段和的方法来计算啦。
再比如说，在安排工作任务的时候。
每个任务都有一个收益值，但是任务之间有先后顺序，而且有些任务必须要在其他任务完成之后才能开始。
这时候，我们可以把每个阶段完成任务的收益看作是一组数，然后用最大字段和的方法来找出最优的任务安排顺序，让总的收益最大。
四、最大字段和的一些变化和扩展最大字段和还有一些变化呢。
比如说，二维的最大字段和。
就像是一个矩阵一样，我们要在这个矩阵里找出一个矩形区域，让这个矩形区域里的数加起来的和最大。
这个可比一维的要复杂多啦。
C语言程序设计100例之（13）：最大子段和
C语⾔程序设计100例之（13）：最⼤⼦段和例13 最⼤⼦段和题⽬描述给出⼀段序列，选出其中连续且⾮空的⼀段使得这段和最⼤。
例如在序列2,-4,3,-1,2,-4,3中，最⼤的⼦段和为4，该⼦段为3,-1,2。
输⼊格式第⼀⾏是⼀个正整数N，表⽰了序列的长度。
第⼆⾏包含N个绝对值不⼤于10000的整数Ai ，描述了这段序列。
输出格式⼀个整数，为最⼤的⼦段和是多少。
⼦段的最⼩长度为1。
输⼊样例72 -43 -1 2 -4 3输出样例4（1）编程思路。
可以从长度为n的数列的最左端（设为数组元素a[1]）开始扫描，⼀直到最右端（设为数组元素a[n-1]）为⽌，记下所遇到的最⼤总和的⼦序列。
程序中定义变量maxsum保存最⼤连续⼦段和，cursum保存当前连续⼦段和。
初始时，cursum=a[0]、maxsum=a[0]。
⽤循环for (i=1;i<n;i++)对序列中的每⼀个元素a[i]进⾏扫描处理。
在这⼀扫描过程中，从左到右记录当前⼦序列的和（即cursum= cursum+a[i]），若这个和不断增加（即当前a[i]为正，从⽽使cursum+a[i]>maxsum成为可能），那么最⼤⼦序列的和maxsum也增加，从⽽更新maxsum。
如果往右扫描中遇到负数，那么当前⼦序列的和cursum会减⼩，此时cursum将会⼩于maxsum，maxsum也就不更新；如果扫描到a[i]时，cursum降到0时，说明前⾯已经扫描的那⼀段就可以抛弃了，这时需要将cursum置为0。
这样，cursum将从i之后的⼦段进⾏分析，若有⽐当前maxsum⼤的⼦段，需要更新maxsum。
这样⼀趟扫描结束后，就可以得到正确结果。
（2）源程序。
#include <stdio.h>int main(){int a[200001];int n,i,maxsum,cursum;scanf("%d",&n);for (i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);cursum=a[0];maxsum=a[0];for (i=1;i<n;i++){if (cursum+a[i]>maxsum){maxsum=cursum+a[i];}if (cursum+a[i]<0){if (a[i]<0) cursum=0;else cursum=a[i];}elsecursum= cursum+a[i] ;}printf("%d\n",maxsum);return 0;}习题1313-1 最⼤差值题⽬描述HKE最近热衷于研究序列，有⼀次他发现了⼀个有趣的问题：对于⼀个序列A1 ,A2 ⋯An ，找出两个数i,j，1≤i<j≤n，使得Aj −Ai 最⼤。
动态规划-最大子段和
动态规划-最⼤⼦段和最⼤⼦段和-动态规划输⼊格式：包含N个整数num[i]，描述了这段序列。
输出格式：⼀个整数，为最⼤的⼦段和是多少。
思考：若⼀个序列当中所有的数均为正数，那么最⼤字段和⼀定是这个序列当中所有的数的和。
但是如果这个数列当中存在着负数，那么情况就⼤不⼀样。
如果要解决负数那么就需要⽤到动态规划，也就是常说的DP。
动态规划必然要素：状态，转移⽅程，初值，最终结果。
状态：dp_temp[i]表⽰在num序列当中的 i 个数当中，必须是以num[i]这个数结尾的⼦段和。
转移⽅程：dp_temp[i] = num[i] + max(0,dp_temp[i-1]) 这⾥是两种情况的判断：若前dp_temp[i-1]⼩于等于0，换句话说就是以num[i-1]为结尾的字段和⼩于0，那么我们将这个字段和抛弃，直接取值为零，之后加上下⼀个数num[i]；若前dp_temp[i-1]⼤于0，那么我们可以再加上⼀个数，尝试着让他更⼤⼀些；初始值：dp_temp[0]=0;最终结果筛选：max(dp_temp[i])样例代码：dp_temp[0]=0;int maxArraySum(){int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){dp_temp[i]=num[i]+max(0,dp_temp[i-1]);ans=max(ans,dp_temp[i]);}return ans;}注：可能转移⽅程有些地⽅还是想不明⽩，下⾯我⽤例⼦来详细解释⼀下。
1. 若⼀个n为7的数列，那么他的⼦序列⼀共有7！个⽽这么多个⼦序列我们并不需要全部遍历计算，只有当⼦序列和⼤于0的时候我们才会对他进⾏进⼀步操作，也就是加上下⼀个值，尝试将他变得更⼤。
当然加上下⼀个值之前我们需要将当前的这个⼦序列的和与之前已经算出来的序列和相⽐取较⼤的值。
2. 当我们以num[i]为结尾构成状态序列时1. 若i=7，则dp_temp[7]就是num[7]结尾的序列和，换句话说7之前的所有⼦序列我们都已经遍历过了。
动态规划——最大子段和
动态规划——最⼤⼦段和⼀、最⼤⼦段和问题给定N个数A1, A2, ... An，从中选出k（k不固定）个连续的数字 Ai, Ai+1, ... Ai+k-1，使得∑i+k−1iAt 达到最⼤，求该最⼤值。
分析求最⼤⼦段和可以⽤多种算法来解决.（1）直接枚举max = 0;for i in [1...n]for j in [i....n]sum = 0;for k in [i...j]sum += A[k]if(sum > max)max = sum//时间复杂度为O(n^3)（2）求 sum[i...j]时，直接利⽤ sum[i...j] = sum[i...j-1] + A[j]来优化max = 0;for i in [1...n]sum = 0for j in [i....n]sum += A[j]if(sum > max)max = sum//时间复杂度为O(n^2)（3）分治法将A1...An⽤⼆分法分为左右两边，则A1...An中的最⼤连续⼦段和可能为三种情况：【1】是A1...An/2中的最⼤连续⼦段和【2】是An/2+1....An中的最⼤连续⼦段和【3】横跨左右两边int MaxSum(int* a, int beg, int end){if (beg == end){return a[beg] > 0? a[beg] :0;}int mid = (beg + end) / 2;int max_left = MaxSum(a, beg, mid);int max_right = MaxSum(a, mid + 1 ,end);int s1 = 0, s2 = 0, m_left = 0, m_right = 0;for(int i = mid; i <= beg; i --){s1 += a[i];if(s1 > m_left)m_left = s1;}for(int i = mid+1; i <= end; i ++){s2 += a[i];if(s2 > m_right)m_right = s2;}int max_sum = max_left;if(max_right > max_sum)max_sum = max_right;if(m_right + m_left > max_sum)max_sum = m_left + m_right;return max_sum;}//时间复杂度为 O(nlogn)（4）动态规划算法⽤动归数组 dp[i]表⽰以Ai结尾的若⼲个连续⼦段的和的最⼤值，则有递推公式：dp[i] = max{dp[i-1] + A[i], A[i]}int max = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++){if(dp[i-1] > 0){dp[i] = dp[i-1] + A[i];}else{dp[i] = A[i];}if(dp[i]> max){max = dp[i];}}//时间复杂度为O(n)⼆、最⼤⼦矩阵和问题给定MxN的矩阵，其⼦矩阵R{x1, y1, x2, y2} (x1, y1) 为矩阵左上⾓的坐标，(x2, y2)为矩阵右下⾓的坐标，S(x1,y1,x2,y2)表⽰⼦矩阵R中的数字的和，求所有⼦矩阵的和的最⼤值。
分治法求解最大子段和
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核心代码
int Divide_Conquer(int a[], int left, int right, int *begin, int *end) { int center; int left_left, left_right, leftSum; int right_left, right_right, rightSum; int cross_left, cross_right, crossSum; if (left == right) { *begin = left; *end = right; return a[left]; } center = (left+right)/2; //左边的最大子段和 leftSum = Divide_Conquer(a, left, center, &left_left, &left_right); //右边最大子段和 rightSum = Divide_Conquer(a, center+1, right, &right_left, &right_right); //中间最大子段和 crossSum = find_max_crossing_subarray(a, left, center, right, &cross_left, &cross_right);
返回目录
核心代码
int find_max_crossing_subarray(int a[], int left, int center, int right, int* cross_left, int* cross_right)//寻找跨越中间的最大子段和 { int i; int leftSum; int sum; int rightSum; sum = a[center]; leftSum = a[center]; *cross_left = center; for (i = center-1; i >= left; i--) { sum += a[i]; if (sum > leftSum) { leftSum = sum; *cross_left = i; } }
最大子段和问题
end.
注释①：
①：答案初始化 Ans:=-maxlongint; 这里不可以置为0或是不初始化。最大字段和求解的 数据中一定会有负数的数据（如果都是正数最大子段 和就是所有数字相加），所以置为0的错误的初始化， 比如下面的这种数字就过不了。 5 -1 -2 -3 -4 -5 这个数据的最大子段和是-1（单个-1一段），但如 果初始化为0或不初始化答案就会是0。
最大子段和问题解法多样，在这里只介绍三种。
解法(1)：
【算法概括】三重循环枚举实现
【算法分析】要在原数据中确定一个子段就需要知 道这个子段的“头”和“尾”，也就是这个子段的 起始点和终点。我们可以使用两重循环来分别枚举 “头”“尾”。因为要算最大子段和，所以还要用 一重循环进行求和，一共就是三重循环。
【时间复杂度】O(n³) 可以支持200以内的数据
模拟样例：
11
-2
-1
3
-2
3
2
0
3
模拟样例：
1 --22 3 1 -2
3
-1
2
1
-1
2
0
3
模拟样例：
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最大字段和
【实验目的】
1掌握动态规划法的设计思想并能熟练运用；
2分别用分治法和动态规划法设计最大子段和问题的算法；
【实验设备与环境】
1 PC机一台
2 Turbo C 或VC++
【实验内容：】
给定由n个整数（可能为负整数）组成的序列a1, a2, …, an，求该序列形如的子段和的最大值，当所有整数均为负整数时定义其最大子段和为0。
【实验方法步骤】
1用分治法求最大子段和
程序代码：
#include<stdio.h>
int MaxSum(int a[],int left,int right)
{
int i,sum=0;
if(left==right)
sum=a[left]>0?a[left]:0;
else
{
int center=(left+right)/2;
int leftsum=MaxSum(a,left,center);
int rightsum=MaxSum(a,center+1,right);
int s1=0,s2=0,lefts=0,rights=0;
for(i=center;i>=left;i--)
{
lefts+=a[i];
if(lefts>s1)
s1=lefts;
}
for(i=center+1;i<=right;i++)
{
rights+=a[i];
if(rights>s2)
s2=rights;
}
sum=s1+s2;
if(sum<leftsum) sum=leftsum;
if(sum<rightsum) sum=rightsum; }
return sum;
}
void main()
{
int i,s=0;
int a[6];
printf("输入六个整数：");
for(i=0;i<6;i++)
scanf("%d",&a[i]);
s=MaxSum(a,1,6);
printf("最大子段的和为:%d\n",s); }
运行结果：
2用动态规划法求最大子段和
程序代码：
#include<stdio.h>
int MaxSum(int n,int a[])
{
int i,sum=0,b=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(b>0)
b+=a[i];
else
b=a[i];
if(b>sum)
sum=b;
}
return sum;
}
void main()
{
int i,s=0;
int a[6];
printf("请输入六个整数：");
for(i=0;i<6;i++)
scanf("%d",&a[i]);
s=MaxSum(6,a);
printf("最大子段和是：%d\n",s); }
运行结果：。