第11次课 函数专题(老师版)

【教师寄语：昨天很残酷，明天很残酷，不要倒在今天晚上！】专题----二次函数综合运用一、考点、热点回顾（一）二次函数与三角形综合1、如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ 时，求m的值．考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）当x=0时，y=﹣2；∴A（0，﹣2）．设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得∴直线AB解析式为y=2x﹣2．∵点C为直线y=2x﹣2与抛物线y=x2﹣2的交点，则点C的横、纵坐标满足：，解得、（舍）∴点C的坐标为（4，6）．（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D．E两点．∴y D=4，y E=，∴DE=．∵FG=DE=4：3，∴FG=2．∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点．∴y F=2a﹣2，y G=a2﹣2∴FG=|2a﹣a2|=2，解得：a1=2，a2=﹣2+2，a3=2﹣2．（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=x2﹣2﹣m；∴0=﹣t2﹣2﹣m，∴﹣2﹣m=﹣t2．∴y=x2﹣t2，∴点P坐标为（0，﹣t2）．∵点N是直线AB与抛物线y=x2﹣t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：，解得、（舍）∴N（2﹣t，2﹣2t）．NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°．∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，∴MO=OT，HT=HN∴OT=4，NT=﹣，NH=（2﹣t），PT=﹣t+t2．∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT，∴﹣t+t2=（2﹣t），∴t1=﹣2，t2=2（舍）﹣2﹣m=﹣t2=﹣（﹣2）2，∴m=2．2、如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x 轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF 的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3、如图，拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A(-1，0)，C(2，23)两点，与x 轴交于另一点B ； (1) 求此拋物线的解析式；(2) 若拋物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ=45︒，设线段OP=x ，MQ=22y 2，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m ，x=n 分别与拋物线交于点E ，G ，与(2)中的函数图像交于点F ，H 。

问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由。

25. 解：(1) ∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A(-1，0)，C(0，23)两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴a= -21，b=23，∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23。

(2) 作MN ⊥AB ，垂足为N 。

由y 1= -21x 2+x +23易得M(1，2)，N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=22，∠MBN=45︒。

根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。

∴(22)2-22=PM 2= -(1-x)2… ，又∠MPQ=45︒=∠MBP ，∴△MPQ~△MBP ，∴PM 2=MQ ⨯MB=22y 2⨯22… 。

由 、 得y 2=21x 2-x +25。

∵0≤x<3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x<3)。

(3) 四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是 m +n=2(0≤m ≤2，且m ≠1)。

∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +23分别与直线x=m ，x=n 的交点，∴点E 、G 坐标为E(m ，-21m 2+m +23)，G(n ，-21n 2+n +23)。

同理，点F 、H 坐标为F(m ，21m 2-m +25)，H(n ，21n 2-n +25)。

PMQA B O yx∴EF=21m 2-m +25-(-21m 2+m +23)=m 2-2m +1，GH=21n 2-n +25-(-21n 2+n +23)=n 2-2n +1。

∵四边形EFHG 是平行四边形，EF=GH 。

∴m 2-2m +1=n 2-2n +1，∴(m +n -2)(m -n)=0。

由题意知m ≠n ，∴m +n=2 (0≤m ≤2，且m ≠1)。

因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n=2 (0≤m ≤2，且m ≠1)4、如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．25．解：（1） 抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，，(0C 404 4.a b a a --=⎧∴⎨-=⎩，解得13.a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为234y x x =-++．（2） 点(1)D m m +，在抛物线上，2134m m m ∴+=-++，即2230m m --=，1m ∴=-或3m =．点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，． 由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ． (04)C ，，CD AB ∴∥，且3CD =，45ECB DCB ∴∠=∠=°，E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==．1OE ∴=，(01)E ∴，．即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．由（1）有：445OB OC OBC ==∴∠=，°， 45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠ °，．(04)(34)C D ，，，，CD OB ∴∥且3CD =．45DCE CBO ∴∠=∠=°，DE CE ∴==4OB OC ==，BC ∴=，BE BC CE ∴=-=3tan tan 5DE PBF CBD BE ∴∠=∠==． 设3PF t =，则5BF t =，，(543)P t t ∴-+，．P 点在抛物线上，∴23(54)3(54)4t t t =--++-++， 0t ∴=（舍去）或2225t =，266525P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，． 方法二：过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于G ．45PBD QD DB ∠=∴= °，． QDG BDH ∴∠+∠90=°，又90DQG QDG ∠+∠=°，DQG BDH ∴∠=∠．QDG DBH ∴△≌△，4QG DH ∴==，． 由（2）知(34)D ，，(13)Q ∴-，． (40)B ，，∴直线BP 的解析式为31255y x =-+．解方程组23431255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，，得1140x y =⎧⎨=⎩，；222566.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，．5、如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联．（1）已知抛物线①y=x2+2x﹣1，判断下列抛物线②y=﹣x2+2x+1；③y=x2+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）抛物线C1：y=（x+1）2﹣2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1与C2关联，求抛物线C2的解析式．（3）A为抛物线C1：y=（x+1）2﹣2的顶点，B为与抛物线C1关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在y轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。

专题：代数几何综合题。

分析：（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；（2）首先求得抛物线C1的顶点坐标，则可得：点P在直线y=2上，则可作辅助线：作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则可求得：点N的坐标，利用顶点式即可求得结果；（3）分别从当A，B，C逆时针分布时与当A，B，C顺时针分布时分析，根据全等三角形的知识，即可求得点C的坐标，注意别漏解．解答：解：（1）∵①抛物线y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2的顶点坐标为M（﹣1，﹣2），∴②当x=﹣1时，y=﹣x2+2x+1=﹣1﹣2+1=﹣2，∴点M在抛物线②上；∵③当x=﹣1时，y=x2+2x+1=1﹣2+1=0，∴点M不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，﹣2），经验算：（1，﹣2）在抛物线①上，∴抛物线①、②是关联的；（2）抛物线C1：y=（x+1）2﹣2的顶点M的坐标为（﹣1，﹣2），∵动点P的坐标为（t，2），∴点P在直线y=2上，作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=3，∴点N的纵坐标为6，当y=6时，（x+1）2﹣2=6，解得：x1=7，x2=﹣9，①设抛物C2的解析式为：y=a（x﹣7）2+6，∵点M（﹣1，﹣2）在抛物线C2上，∴﹣2=a（﹣1﹣7）2+6，∴a=﹣．∴抛物线C2的解析式为：y=﹣（x﹣7）2+6；②设抛物C2的解析式为：y=a（x+9）2+6，∵点M（﹣1，﹣2）在抛物线C2上，∴﹣2=a（﹣1+9）2+6，∴a=﹣．∴抛物线C2的解析式为：y=﹣（x+9）2+6；（3）点C在y轴上的一动点，以AC为腰作等腰直角△ABC，令C的坐标为（0，c），则点B的坐标分两类：①当A，B，C逆时针分布时，如图中B点，过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为H，F，则△BCF≌△CAH，∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，点B的坐标为（c+2，c﹣1），当点B在抛物线C1：y=（x+1）2﹣2上时，c﹣1=（c+2+1）2﹣2，解得：c=1．②当A，B，C顺时针分布时，如图中B′点，过点B′作y轴的垂线，垂足为D，同理可得：点B′的坐标为（﹣c﹣2，c+1），当点B′在抛物线C1：y=（x+1）2﹣2上时，c+1=（﹣c﹣2+1）2﹣2，解得：c=3+4或c=3﹣4．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C点的坐标分别为：C1（0，1），C2（0，3+4），C3（0，3﹣4）．点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，全等三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．6、已知抛物线y＝ax2－2ax＋b与x轴交于点A(3，0)，与y轴相交于点B(0，－)(1)求抛物线的解析式；(2)如图(1)，P为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图(2)，C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．7、抛物线2(6)3y a x =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C ，D 为抛物线的顶点，直线DE x ⊥轴，垂足为E ，23AE DE =.（1）求这个抛物线的解析式；（2）P 为直线DE 上的一动点，以PC 为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x 轴上.若在x 轴上的直角顶点只有一个时，求点P 的坐标；（3）M 为抛物线上的一动点，过M 作直线MN DM ⊥，交直线DE 于N ，当M 点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E 三等分线段DN 的情况，若存在，请求出所有符合条件的M 的坐标，若不存在，请说明理由（二）二次函数与四边形1、如图1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （－1，0），C （3，2）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B 。