计算机图形学
计算机图形学教案
计算机图形学教案一、课程简介计算机图形学是一门涉及计算机图形、图像处理和计算机视觉等领域的重要课程。
本课程将介绍计算机图形学的基本概念、原理和应用，帮助学生掌握计算机图形学的基础知识，并提升他们在图形学领域的技能。
二、课程结构1. 计算机图形学基础- 介绍计算机图形学的历史发展和基本概念- 讨论计算机图形学的应用领域和未来发展趋势- 熟悉图像处理、图形学渲染和动画等基本技术2. 图形系统建模- 学习三维图形对象的建模和表示方法- 掌握光栅化和矢量化图形处理技术- 讨论图形系统的设计和实现3. 计算机视觉- 理解视觉系统的基本原理和功能- 学习计算机视觉的算法和应用- 探讨计算机视觉在人工智能领域的应用4. 图形学编程实践- 深入学习图形学编程语言和库- 完成实际项目，提升图形学编程能力- 探索图形学在多领域的应用案例三、教学目标1. 帮助学生全面了解计算机图形学的基本知识和技术2. 培养学生分析和解决计算机图形学问题的能力3. 提升学生在图形学领域的实际操作和应用能力4. 激发学生对计算机图形学研究的兴趣和热情四、教学方法1. 理论讲解：通过课堂讲解、案例分析等方式，向学生介绍计算机图形学的基本概念和原理2. 实践操作：组织学生参与实验、项目等实际操作，巩固理论知识并提升实践能力3. 课堂互动：鼓励学生提问、讨论，促进师生间的互动和交流4. 作业考核：布置不同形式的作业，检测学生对知识的掌握情况，促进学习效果的提升五、教材参考1. 《计算机图形学导论》2. 《OpenGL图形与游戏开发实践》3. 《计算机视觉：算法与应用》4. 《经典图形学算法实例详解》六、学习评价1. 课堂表现：出勤情况、课堂参与度等2. 作业考核：课后作业、实验报告等3. 期末考核：闭卷考试、项目实践等4. 综合评价：综合考虑以上因素，对学生进行综合评定七、总结计算机图形学作为一门新兴的学科，正逐渐成为信息技术领域的热门专业之一。
计算机图形学基础知识重点整理
计算机图形学基础知识重点整理一、图形学的概念计算机图形学简单来说，就是让计算机去生成、处理和显示图形的学科。
它就像是一个魔法世界，把一堆枯燥的数字和代码变成我们眼睛能看到的超酷图形。
你看那些超炫的3D游戏里的场景、超逼真的动画电影，那可都是计算机图形学的功劳。
这个学科就是想办法让计算机理解图形，然后把图形按照我们想要的样子呈现出来。
二、图形的表示1. 点点是图形里最基本的元素啦。
就像盖房子的小砖头一样，很多个点组合起来就能变成各种图形。
一个点在计算机里就是用坐标来表示的，就像我们在地图上找一个地方，用经度和纬度一样，计算机里的点就是用x和y坐标（如果是3D图形的话，还有z坐标呢）来确定它在空间里的位置。
2. 线有了点，就能连成线啦。
线有各种各样的类型，直线是最简单的，它的方程可以用我们学过的数学知识来表示。
比如说斜截式y = kx + b，这里的k就是斜率，b就是截距。
还有曲线呢，像抛物线、双曲线之类的，在图形学里也经常用到。
这些曲线的表示方法可能会复杂一点，但也很有趣哦。
3. 面好多线围起来就形成了面啦。
面在3D图形里特别重要，因为很多3D物体都是由好多面组成的。
比如说一个正方体，就有六个面。
面的表示方法也有不少，像多边形表示法，就是用好多条边来围成一个面。
三、图形变换1. 平移平移就是把图形在空间里挪个位置。
这就像我们把桌子从房间的这头搬到那头一样。
在计算机里，平移一个图形就是把它每个点的坐标都加上或者减去一个固定的值。
比如说把一个点(x,y)向右平移3个单位，向上平移2个单位，那这个点就变成(x + 3,y + 2)啦。
2. 旋转旋转就更有意思啦。
想象一下把一个图形像陀螺一样转起来。
在计算机里旋转图形，需要根据旋转的角度和旋转中心来计算每个点新的坐标。
这就得用到一些三角函数的知识啦，不过也不难理解。
比如说以原点为中心，把一个点(x,y)逆时针旋转θ度，新的坐标就可以通过一些公式计算出来。
3. 缩放缩放就是把图形变大或者变小。
计算机图形学
计算机图形学1. 简介计算机图形学是研究如何使用计算机来生成、处理和显示图像的一门学科。
它主要涉及图像的几何和物理特性的建模，以及图像的渲染和表示。
计算机图形学在各个领域中都有广泛的应用，包括游戏开发、电影制作、虚拟现实、医学成像等。
2. 图形学的基本概念图形学的基本概念包括点、线、多边形和曲线等基本元素，以及相应的数学方法和算法。
这些方法和算法用于描述和处理图像的几何特性，包括位置、方向、大小和形状等。
2.1 点和线在计算机图形学中，点是图像中最基本的元素，可以通过坐标系来表示。
线是由两个点之间的连接所形成的，可以通过直线方程或参数方程来描述。
2.2 多边形和曲线多边形是由多个线段连接而成的封闭图形，可以通过顶点的集合来描述。
曲线是由多个点按照一定规律连接而成的，可以通过控制点和插值方法来表示。
3. 图形的几何建模图形的几何建模是计算机图形学中的一个重要研究方向，它涉及如何使用数学模型来表示和描述物体的几何特性。
常用的几何建模方法包括点、线、面、体和曲面等。
3.1 点云和网格模型点云模型是一组离散的点的集合，它可以用于表示不规则形状的物体。
网格模型是一组由三角形或四边形面片组成的表面模型，它可以用于表示规则形状的物体。
3.2 曲面建模曲面建模是基于数学曲面的建模方法，它将物体表面抽象为由曲线和曲面组成的，可以通过控制点和插值方法来表示。
常用的曲面建模方法包括贝塞尔曲线和贝塞尔曲面等。
4. 图形的渲染和表示图形的渲染和表示是计算机图形学中的另一个重要研究方向，它涉及如何将图像的几何信息转化为可视的图像。
常用的渲染和表示方法包括光栅化、光线追踪和纹理映射等。
4.1 光栅化光栅化是将几何对象转化为像素的过程，它涉及将线段或多边形映射到屏幕上的像素点，并进行相应的着色和填充。
常用的光栅化算法包括Bresenham算法和扫描线算法等。
4.2 光线追踪光线追踪是一种以物理光线为基础的渲染方法，它从观察者的视角出发，沿着光线的路径跟踪物体的相交和反射，最终得到图像。
计算机图形学教案
计算机图形学教案第一章：计算机图形学概述1.1 课程介绍计算机图形学的定义计算机图形学的发展历程计算机图形学的应用领域1.2 图形与图像的区别图像的定义图形的定义图形与图像的联系与区别1.3 计算机图形学的基本概念像素与分辨率矢量与栅格颜色模型图像文件格式第二章：二维图形基础2.1 基本绘图函数画点函数画线函数填充函数2.2 图形变换平移变换旋转变换缩放变换2.3 图形裁剪矩形裁剪贝塞尔曲线裁剪多边形裁剪第三章：三维图形基础3.1 基本三维绘图函数画点函数画线函数填充函数3.2 三维变换平移变换旋转变换缩放变换3.3 光照与材质基本光照模型材质的定义与属性光照与材质的实现第四章：图像处理基础4.1 图像处理基本概念像素的定义与操作图像的表示与存储图像的数字化4.2 图像增强对比度增强锐化滤波4.3 图像分割阈值分割区域生长边缘检测第五章：计算机动画基础5.1 动画基本概念动画的定义与分类动画的基本原理动画的制作流程5.2 关键帧动画关键帧的定义与作用关键帧动画的制作方法关键帧动画的插值算法5.3 骨骼动画骨骼的定义与作用骨骼动画的制作方法骨骼动画的插值算法第六章：虚拟现实与增强现实6.1 虚拟现实基本概念虚拟现实的定义与分类虚拟现实技术的关键组件虚拟现实技术的应用领域6.2 虚拟现实实现技术头戴式显示器（HMD）位置追踪与运动捕捉交互设备与手势识别6.3 增强现实基本概念与实现增强现实的定义与原理增强现实技术的应用领域增强现实设备的介绍第七章：计算机图形学与人类视觉7.1 人类视觉系统基本原理视觉感知的基本过程人类视觉的特性和局限性视觉注意和视觉习惯7.2 计算机图形学中的视觉感知视觉感知在计算机图形学中的应用视觉线索和视觉引导视觉感知与图形界面设计7.3 图形学中的视觉错误与解决方案常见视觉错误分析避免视觉错误的方法提高图形可读性与美观性第八章：计算机图形学与艺术8.1 计算机图形学在艺术创作中的应用数字艺术与计算机图形学的交融计算机图形学工具在艺术创作中的使用计算机图形学与艺术的创新实践8.2 计算机图形学与数字绘画数字绘画的基本概念与工具数字绘画技巧与风格数字绘画作品的创作与展示8.3 计算机图形学与动画电影动画电影制作中的计算机图形学技术3D动画技术与特效制作动画电影的视觉艺术表现第九章：计算机图形学的未来发展9.1 新兴图形学技术的发展趋势实时图形渲染技术基于物理的渲染动态图形设计9.2 计算机图形学与其他领域的融合计算机图形学与的结合计算机图形学与物联网的结合计算机图形学与生物医学的结合9.3 计算机图形学教育的未来发展图形学教育的重要性图形学教育的发展方向图形学教育资源的整合与创新第十章：综合项目实践10.1 项目设计概述项目目标与需求分析项目实施流程与时间规划项目团队组织与管理10.2 项目实施与技术细节项目技术选型与工具使用项目开发过程中的关键技术项目测试与优化10.3 项目成果展示与评价项目成果的展示与推广项目成果的评价与反馈重点和难点解析一、图像的定义与图像的定义，图形与图像的联系与区别1. 学生是否能够理解并区分图像和图形的概念。
计算机图形学
第一章1.计算机图形学的主要研究内容是什么？答：计算机中图形的表示方法，以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法，构成了计算机图形学的主要研究内容。
图形硬件、图形标准、图形交互技术、光栅图形生成算法、曲线曲面造型、实体造型、真实感图形计算与显示算法，以及科学计算可视化、计算机动画、自然景物仿真、虚拟现实等。
2.列举三个以上图形学的应用领域。
答：计算机辅助设计与制造（CAD/CAM）、可视化、真实感图形实时绘制与自然景物仿真、计算机动画、用户接口、计算机艺术等。
3.一个图形系统通常由哪些图形设备组成？答：一个图形系统通常由图形处理器、图形输入设备和图形输出设备构成。
4.有哪些常用的图形输入设备？答：键盘、鼠标、光笔和触摸屏等。
第二章1.字符串裁剪可按哪三个精度进行？答：串精度，字符精度，笔画或像素精度。
2.简述裁剪方法和中点裁剪方法的思想，并指出中点裁剪方法的改进之处及这种改进的理由。
答：（1）裁剪就是确定图形中哪些部分落在显示区之内，哪些落在显示区之外，最后只需显示落在显示区内的那部分图形，以便提高显示效率的过程。
一般的裁剪方法是：先裁剪再扫描转换。
（2）中点裁剪方法的思想是首先对线段端点进行编码，并把线段与窗口的关系分为三种情况，即在全在窗口内、完全不在窗口内和线段与窗口有交。
对第一种情况，显示该线段；对第二种情况，丢弃该线段；对第三种情况，用中点分割法求出线段与窗口的交点，即从线段的一端的端点出发找出距该端点最近的可见点，并从线段的另一端点出发找出距该端点最近的可见点，两个可见点之间的连线即为线段的可见部分。
（3）中点裁剪方法改进之处：对第三种情况,不直接解方程组求交,而是采用二分法收搜索交点。
这样改进的理由是：计算机屏幕的像素通常为 1024×1024,最多十次二分搜索即可到像素级,必然能找到交点，而且中点法的主要计算过程只用到加法和除2运算,效率高,也适合硬件实现。
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应用领域
广泛应用于机械、电子、建筑、汽车等制造业领域。
计算机游戏设计与开发
游戏引擎
基于计算机图形学技术构建游戏引擎， 实现游戏场景、角色、特效等的渲染 和交互。
应用领域
广泛应用于娱乐、教育、军事模拟等 领域。
游戏设计
利用计算机图形学技术进行游戏关卡、 任务、角色等的设计，提高游戏的可 玩性和趣味性。
纹理映射与表面细节处理
纹理坐标
定义物体表面上的点与纹理图像上的点之间 的映射关系。
Mipmapping
使用多级渐远纹理来减少纹理采样时的走样 现象。
Bump Mapping
通过扰动表面法线来模拟表面凹凸不平的细 节。
Displacement Mapping
根据高度图调整顶点位置，实现更真实的表 面细节。
透明度与半透明处理
Alpha Blending
通过混合像素的颜色和背景颜 色来实现透明度效果。
Order-Independent Transparency
一种解决透明物体渲染顺序问 题的方法，可以实现正确的透 明效果叠加。
Depth Peeling
通过多次渲染场景，每次剥离 一层深度，来实现半透明物体 的正确渲染。
如中点画圆算法，利用圆 的八对称性，通过计算决 策参数来生成圆。
多边形的生成算法
如扫描线填充算法，通过 扫描多边形并计算交点来 生成多边形。
二维图形的变换与裁剪
二维图形的变换
包括平移（Translation）、旋转（Rotation）、 缩放（Scaling）等变换，可以通过变换矩阵来实 现。
二维图形的裁剪
后期制作
在影视制作后期，利用计算机图形学技术进行颜色校正、合成、剪 辑等处理，提高影片质量。
计算机图形学名词解释
*计算机图形学是指用计算机产生对象图形的输出的技术。
更确切的说，计算机图形学是研究通过计算机将数据转换为图形，并在专门显示设备上显示的原理、方法和技术的学科。
*图形学的主要研究内容：图形的生成和表示技术；图形的操作和处理方法；图形输出设备与输出技术的研究；图形输入设备、交互技术和用户接口技术的研究；图形信息的数据结构及存储、检索方法；几何模型构造技术；动画技术；图形软硬件的系列化、模块化和标准化的研究；科学计算的可视化*能够正确地表达出一个对象性质、结构和行为的描述信息，成为这个对象的模型。
*图像处理是指用计算机来改善图像质量的数字技术。
*模式识别是指用计算机对输入图形进行识别的技术。
*计算几何学是研究几何模型和数据处理的学科。
*交互式计算机图形学是指用计算机交互式地产生图形的技术。
*计算机图形系统的硬件包括五部分：计算机、显示处理器、图形显示器、输入设备、硬拷贝设备。
*CRT图形显示器工作方式有两种：随机扫描方式和光栅扫描方式。
*随机扫描方式的图形显示器通过画出一系列线段来画出图形。
*一帧：扫描过程所产生的图像。
*像素：在光栅扫描图形显示器中，屏幕上可以点亮或熄灭的最小单位。
*分辨率：显示屏上像素的总数。
*帧存储器：二维矩阵，帧存储大小=分辨率*单元字节，存储屏幕上每个像素对应的颜色或亮度值。
*屏幕上每个像素对应的颜色或亮度值要存储在帧存储器中。
*将图形描述转换成用像素矩阵表示的过程称为扫描转换。
*在光栅扫描显示方式中像素坐标是行和列的位置值，只能取整数。
*图形基元（输出图形元素）：图形系统能产生的最基本图形。
*区域是指光栅网络上的一组像素。
*区域填充是把某确定的像素值送入到区域内部的所有像素中。
*区域填充方法：一类方法是把区域看做是由多边形围成的，区域事实上由多边形的顶点序列来定义，相应的技术称为是以多边形为基础的；另一类方法是通过像素的值来定义区域的内部，这时可以定义出任意复杂形状的区域。
计算机图像学基础
计算机图像学基础——图形图像图素象素位图的概念一、计算机图形学（Computer Graphics）1、什么是计算机图形学？计算机图形学是研究怎样利用计算机来显示、生成和处理图形的原理、方法和技术的一门学科。
IEEE定义：Computer graphics is the art or science of producing graphical images with the aid of computer.2、计算机图形学的研究内容计算机图形学的研究内容非常广泛，如图形硬件、图形标准、图形交互技术、光栅图形生成算法、曲线曲面造型、实体造型、真实感图形计算与显示算法、非真实感绘制，以及科学计算可视化、计算机动画、自然景物仿真、虚拟现实等。
简单地说，计算机图形学的主要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。
图形通常由点、线、面、体等几何元素和灰度、色彩、线型、线宽等非几何属性组成。
从处理技术上来看，图形主要分为两类，一类是基于线条信息表示的，如工程图、等高线地图、曲面的线框图等，另一类是明暗图，也就是通常所说的真实感图形。
计算机图形学主要目的就是要利用计算机表达的真实感图形。
为此，必须建立图形描述的场景的几何表示，运用某种光照模型，计算出假想的光源、纹理、材质属性下的光照明效果。
所以计算机图形学与计算机辅助几何设计有着密切的关系。
图形学也把可以表示几何场景的曲线曲面造型技术和实体造型技术作为其主要的研究内容。
同时，真实感图形计算的结果是以数字图象的方式提供的，计算机图形学和图形图象处理有着密切的联系3、计算机图形学的主要应用领域1）.计算机辅助设计与制造（Computer Aided Design / Computer Aided Manufacture）机械结构、零部件、土木建筑工程、集成电路等的设计等，利用计算机图形学不仅可提高设计效率、缩短设计周期、改善设计质量、降低设计成本，而且可以为后续的计算机辅助制造建立起数据库，CAD/CAM一体化，生产的自动化奠定基础。
计算机图形学
计算机图形学计算机图形学是研究计算机生成、处理和显示图像的学科领域。
它是计算机科学的一个重要分支，与计算机视觉和图像处理相关。
计算机图形学的发展促进了许多领域的进步，包括动画、游戏开发、虚拟现实等。
一、引言计算机图形学是指通过计算机技术实现图像的生成、处理和显示。
它利用算法和数学模型来模拟和渲染图像，以生成逼真的图像或动画。
计算机图形学在多个领域有着广泛的应用，如电影、游戏、建筑设计等。
二、图形学的基本原理1. 坐标系统图形学中常用的坐标系统是笛卡尔坐标系，它由横轴X、纵轴Y和垂直于二者的Z轴组成。
通过坐标系统，可以定位和描述图像中的点、线和面。
2. 图形的表示图形可以通过几何图元来表示，常见的几何图元有点、线和面。
点由坐标表示，线由两个端点的坐标表示，面由多个点或线组成。
3. 变换和投影变换是指对图像进行平移、旋转和缩放等操作，通过变换可以改变图像的形状和位置。
投影是将三维图像映射到二维平面上的过程，常见的投影方式有平行投影和透视投影。
4. 着色模型着色模型用于为图像添加颜色和材质信息，常见的着色模型有平均着色模型和Phong着色模型。
平均着色模型通过计算图像的平均颜色来实现简单的着色效果，Phong着色模型考虑了光照的影响，能够产生更加逼真的效果。
三、图形学的应用1. 电影和动画计算机图形学在电影和动画领域有着广泛的应用。
通过计算机图形学技术，电影制作人能够创建逼真的特效，包括爆炸、碰撞和飞行等场景。
动画片的制作也离不开计算机图形学的技术支持，它能够实现角色的自由移动、表情的变化等特效效果。
2. 游戏开发计算机图形学是游戏开发中不可或缺的一部分。
游戏中的人物、场景和特效都是通过计算机图形学技术来实现的。
游戏开发人员利用图形学算法和引擎来创建游戏中的3D场景和角色，并通过渲染技术使其看起来逼真。
3. 虚拟现实虚拟现实是一种模拟真实世界的计算机生成环境。
计算机图形学在虚拟现实领域的应用可以让用户身临其境地感受到虚拟环境的存在。
计算机图形学知识点大全
计算机图形学知识点大全计算机图形学是计算机科学中的一个重要分支，涵盖了图像处理、计算机视觉、图形渲染等多个领域。
本文将介绍计算机图形学的一些重要知识点，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、基础概念1. 图形学概述：介绍计算机图形学的定义、发展历史以及应用领域。
2. 图像表示：探讨图像的表示方法，包括光栅图像和矢量图像，并介绍它们的特点和应用场景。
3. 坐标系统：详细介绍二维坐标系和三维坐标系，并解释坐标变换的原理和应用。
二、图像处理1. 图像获取与预处理：介绍数字图像的获取方式和常见的预处理方法，如去噪、增强和平滑等。
2. 图像特征提取：讲解图像特征提取的基本概念和方法，例如边缘检测、角点检测和纹理特征提取等。
3. 图像分割与目标识别：介绍常见的图像分割算法，如阈值分割、基于区域的分割和基于边缘的分割等，以及目标识别的原理和算法。
三、计算机视觉1. 相机模型：详细介绍透视投影模型和针孔相机模型，并解释摄像机矩阵的计算和相机标定的方法。
2. 特征点检测与匹配：讲解常用的特征点检测算法，如Harris 角点检测和SIFT特征点检测，并介绍特征点匹配的原理和算法。
3. 目标跟踪与立体视觉：介绍目标跟踪的方法，如卡尔曼滤波和粒子滤波，以及立体视觉的基本原理和三维重建方法。
四、图形渲染1. 光栅化：详细介绍光栅化的原理和算法，包括三角形光栅化和线段光栅化等。
2. 着色模型：介绍常见的着色模型，如平面着色、高光反射和阴影等，并解释经典的光照模型和材质属性。
3. 可视化技术：讲解常用的可视化技术，如体数据可视化、流场可视化和虚拟现实等，以及它们在医学、工程等领域的应用。
五、图形学算法与应用1. 几何变换：介绍图形学中的几何变换，包括平移、旋转、缩放和矩阵变换等，并解释它们在图形处理和动画中的应用。
2. 贝塞尔曲线与B样条曲线：详细介绍贝塞尔曲线和B样条曲线的定义、性质和应用，以及它们在曲线建模和动画设计中的重要作用。
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计算机图形学 图 学
唐慧
影像科学与技术实验室 东南大学计算机学院 corinna@ i @ d
第四章 几何对象与坐标变换
| 4.1 | 4.2 | 4.3 | 4.4
几何 何 几何表示 变换 OpenGL中的变换
4.1 几何
3
基本内容
| 介绍几何要素 介绍 何要素
y y y
标量 向量 点
| 给出这些要素间的与坐标无关的数学运算 | 定义基本几何体
y y
线段 多边形
4
与坐标无关的几何
| 在初等几何的学习中，主要应用的是直角
坐标系
y y
点在空间中的位置是 p=(x,y,z) 通过对坐标进行代数操作导出结果
| 这种方法不是基于物理的
y y
物理角度，点的存在性与坐标系无关 绝大多数几何结果不依赖于坐标系
5
几何要素 素
| 几何研究 何 究n维空间中对象之间的关系
y
在计算机图形学中，我们对三维空间中的对象感兴趣
| 希望得到一个几何形状的最小集合，根据这个集
合可以建立起非常复杂的对象 | 需要三个几何要素
y
标量、 向量、 点
6
标量
| 标量可以定义为集合中的成员，集合中具有两 标量可以定义为集合中的成员 集合中具有两
种运算(加法和乘法)，运算遵从一些基本的公 理(结合律、交换律、逆 结合律 交换律 逆)
| 例：实数或复数全体，通常的加法与乘法 例 实数或复数全体 通常的加法与乘法
| 单纯的标量没有几何性质
7
向量
| 物理定义：向量是具有如下两条性质的量 物 定义 向量是具有如 条性质的量
y y
方向 长度 力 速度 有向线段
这也是图形学中最重要的例子 | 可以对应到其它类型上
|
| 例：
y y y
v
8
向量运算
| 每个向量都有逆
y
同样长度但是指向相反的方向
v
-v
| 每个向量都可以与标量相乘 每个 标 | 有一个零向量
y
零长度，方向不定 三角形法则
αv v u w
| 两个向量的和为向量
y
| 组成线性空间
9
向量没有位置
| 下述向量是相等的 述向量是相等的
y
因为它们具有相同的方向与长度
| 对几何而言只有向量空间是不够的
y
还需要点
10
点
| 空间中的位置 | 点与向量之间可进行的运算
y y
点与点相减得到一个向量 等价地，点与向量相加得到新点
v = P- Q P = v +Q
11
向量与点的线性组合
| 给定n个向量
v1, v2 ,…, vn, 以及n个标量 α1,α2,…,αn, 则由归纳法可以证明 v = α1v1+ α2v2 +…+ αnvn 也是向量，称为这组向量的线性组合 向 称为 向 线性 P1, P2 ,…, Pn, 以及n 个标量α1,
| 给定n个点
α2,…,αn,则 P = α1P1+ α2P2 +…+ + + αnPn 是什么？
12
点的线性组合
| 固定坐标系，取定其中的两点，那么 固定坐标系 取定其中的两点 么P1
么？
y y y
+ P2是什
当 P1为原点时， P1 + P2等于 P2 当 P1 与 P2关于原点对称时， P1 + P2为原点 所以P1 + P2的位置与坐标系有关
| 组合系数不能是任意数
13
特殊组合
| α 1+
α2+…+ αn = 0时，点的线性组合为向量 时 点的线性组合为向量 | ½ P 1 + ½ P 2 = P 1 + ½ ( P 2 − P 1) = 点＋向量＝点 点＋向量 点
y
实际上， ½ P1 + ½ P2表示两点的中点，这是与坐标 无关的定义
| 当α1+
α2+…+ αn =1 时，点的线性组合为点，称 为给定点的仿射组合 | 除此之外，其它形式的线性组合没有与坐标无关 的意义
14
仿射空间
| 点加上向量构造的空间 | 运算：
y y y y y
向量与向量的加法→向量 标量与向量的乘法→向量 点与向量的加法→点 点与点的运算 点与点的 算→点或向量 上述运算均是与坐标无关的
| 对于任意点,
y y
定义
1·P=P 0 · P = 0 (零向量)
直线
| 考虑具有下述形式的所有点 考虑具有 述 式的所有点
y y
P(α) = P0 + α d 即所有过P0点，沿矢量d向两边延伸的点
16
射线与线段
| 如果限定α>
为d 的射线 | 如果采用两点定义向量d, 那么 P(α) = Q + α (R – Q) = (1 – α) Q + α R
| 当0
0 那么P(α)就是从P0出发，方向 0, 出发 方向
≤ α ≤1，那么就会得到 连接Q与R两点的线段
17
凸性
| 一个对象为凸的当且仅当在对象中任何两点的连
接线段也在该对象内
P P Q 凸 Q 非凸
18
仿射凸组合
| 考虑“和”式 考虑 式
P = α1P1+ α2P2 +…+ αnPn | 当α1+ α2+…+ αn =1时， 上述和式有意义，此时结果就称为 点P1, P2 ,…, Pn 的仿射和 | 另外，如果αi≥0，那么得到 P1, P2 ,…, Pn的凸包(convex hull)
19
凸包
| 最小的包含P1,
P2 ,…, Pn的凸体 | 可能用“收缩包装”的方式得到
20
曲线与曲面
| 曲线是形式为P(α)的单参数
定义的几何体，其中的函数 为非线性 | 曲面是由形式为P( (α, β)的两 个参数定义的几何体
y
P(α)
线性函数对应 线性函数对应于平面和多边形 面和多 形
P( (α, β)
21
平面
| 平面是由一个点与两个向量或者三个点确定的 面是由 个点与 个向量或者 个点确定的
P(α,β)=R+αu+βv
P(α,β)=R+α(Q-R)+β(P-Q)
22
三角形
S(α) 和 R的凸组合
P 和 Q的凸组合
当0≤α, β≤1时定义在三角形内的点
23
法向
| 每个平面都有一个垂直于自身
的向量 n | 在平面的点与二向量形式 P(α, β) = R + αu + βv 中，可以应用向量的 叉积得到 n=u×v
P
v
u
24
三维几何对象
| 适合于现有图形硬件和软件技术的三维几何对象
应该具有三个特征：
y y y
用对象的表面描述对象，对象的内部是非实心的。
对象可以用一组三维空间顶点定义。
对象或者是由凸性平面多边形组成，或者是由凸性平 面多边形近似表示。
。