线性代数-向量组的线性相关性-PPT精选文档

则存在不全为零的常数 k1 , k2 , , km 使
k k k 0 1 1 2 2 m m

k k i 1 i 1 k 1k 1 i i i i

k 1 i k i1 k m k i m
设 ki 0 ，则
其中至少有一个向量可由其余 m 1个向量
线性表示。
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9
证明 充分性：
设 1 , 2 , , m 中至少有一个向量 i 可由其余 m 1 个 向量线性表示，则

i
k k k k k 1 1 2 2 i 1 i 1 i 1 i 1 m m
a1m xm b1 a2 m xm b2 anm xm bn
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a1m a 2m x m a nm
a11 x1 a12 x2 a x a x 22 2 21 1 an1 x1 an 2 x2
1 T T T 线性相关性相同，且 r[ 1 2 m ] r 2 ， m 1 所以记 A 2 定理依然成立。 m
向量组 1 , 2 , , m 是向线性无关的充分必要条件是
方程组 k 11 k 22 k m m 0只有零解。
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定理 1
设 1 , 2 , , m 是向量组,则存在不全为零的常数
k , k , , k 1 2 m
使得 k11 k2 2 km m 0
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方程组的向量表示形式
=x11 x2 2
b1 a11 a12 b a a xm m 2 21 x1 22 x2 b a n n1 an 2 a1m xm a2 m xm anm xm
§2 向量组的线性相关性
本节主要内容: 向量组的线性相关性 向量组线性相关性的判定
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一 向量组线性相关的概念
定义 1：
1)一组同维的列（行）向量组称为向量组。
2）若向量 k11 k2 2 ks s ，
则称向量 可由向量 1 , 2 , , s 线性表示，
a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 an1 x1 an 2 x2
Anm X
4
1 2
x1 b1 x b 2 2 m xm bn
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定义 2’：
设 1 , 2 , , m 是向量组,如果存在不全为零的常数
k , k , , k 1 2 m
使得 k11 k2 2 km m 0
则称向量组 1 , 2 , , m 线性相关，否则称为线性无关。
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证明：
向量组 1 , 2 , , m 线性无关
方程 x1 1 x2 2 xm m 0只有零解
Ax 0只有零解
r ( A) m 。
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注
在上述定理中，若 1 , 2 , , m 为行向量组，
T T T 因为 1 , 2 , , m 的线性相关性与1 的 , 2 , , m
其中 k1 , k2 , , ks 是数，
k1 1 k2 2 ks s 称为 1 , 2 , , s 的线性组合。
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2
定义 2：
设 1 , 2 , , m 是向量组,若其中至少有一个向量可以 由其余向量线性表出，则称此向量组线性相关，否 则称为线性无关。
xm m 对应线性方程组
【注】 =x11 x2 2
Anm X ， Anm X 的解与此表达式中系数对应。即
无穷解、 无解 可由 i 们唯一表示、 Anm X 有唯一解、 多种不同方法表示、不能表示。
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2 3 0 1 1 。问 能否由1 , 2 线性表示？
k k k ( 1 ) k k 0 1 1 2 2 i 1 i 1 i i 1 i 1 m m
所以 1 , 2 , , m 线性相关。

即
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必要性：设 1 , 2 , , m 线性相关，
T
【例 1】 设 1 2 3 0 ， 1 1 2 1 0 ，
T T
1 3 1 2 0 2 解：设 x11 x2 2 ，则 x1 x2 ，即 1 1 3 0 1 0 1 3 1 2 0 x 2 1 ， 此方程组无解， 所以 不能由1 , 2 1 1 x2 3 0 1 0 线性表示。
所以至少有一个向量可由其余 m 1个向量线性表示。
其中 i 1,2,, m。
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二、线性相关性的判定
定理 1
设 1 , 2 , , m 为列向量组，记 A [1 2 m ]，
则 1 , 2 , , m 线性无关 r ( A) m 。