4.2.2线段大小的比较
4.2.2线段的比较
方法二：叠合法
将线段AB放到线段CD上，使点A与点C 重合，点B与点D在重合点的 同侧。
.
A C B
B D
.
(1) 如果点B与点D重合，就说线段AB 与线段CD相等，记作AB=CD
A C B D
方法二：叠合法
(2) 如果点B在线段CD上，就说线段 AB小于线段CD，记作AB＜CD
.
A C
B
.
D
.
C
D
B
3.已知：AB=8cm,BC=3cm,D是AB 的中点，则CD= 1 cm A D C B
跟踪训练
4.画出一条长度为6.8厘米的线段 AB,用刻度尺找出它的中点M,再找 出线段MB的中点N,求出线段AN的 长度。 N B A M
.
.
.
.
知识点归纳
线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短。
两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
注意：Leabharlann AB两点之间的距离指两点之间线段的长 度，而不是指这条线段。线段是图形， 线段的长度是数值。
跟踪训练
1.图中A、B两点间的距离是多 少？ 6cm
A 4cm B 5cm
跟踪训练 2. 小明家
（1） （2） （3）
学校
如图，从小明家到学校共有三 条路，小明为了尽快到学校，应选 择第 (2) 条路，用数学知识解释为 两点之间，线段最短 。
跟踪训练 7.
A C D
E
B
已知一条线段AB
(1)若C为AB上任意一点，则图中共有几条线段？
(2)若AB上有任意两点C、D,则图中共有几条线段？
（3）若AB上有任意三个点C、D、E，则图中共有 几条线段？ （4）若AB上有任意n个点，则图中共有几条线段？
4.2 第2课时 线段的大小比较
图4－2－19 2 cm或4 cm (6)综上所述，AC的长为________________ ．
4.2 直线、射线、线段
变式1
点A，B，C在同一直线上，AB＝3 cm，BC＝4 cm.若点
B在线段AB的延长线上，则AC＝_____cm ；若点B在线段AB的反 7
向延长线上，则AC＝1 _____cm. 变式2 已知AB＝15 cm，点P在直线AB上，且AP∶PB＝1∶4，
BC＝4(cm);
图4－2－23 (2)当点C在线段AB的延长线上时(如图4－2－2段AC的长是4 cm或8 cm.
图4－2－24
4.2 直线、射线、线段
[归纳总结] 解决此类问题的方法： 1．逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和差倍分展开． 若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解； 2．整体转化：巧妙转化是解题的关键，首先将线段转化为两条 线段的和，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知
则AP的长为______________ 3 cm或5 cm ．
4.2 直线、射线、线段
探 究 新 知 活动1 知识准备
如图4－2－20，已知A，B，C，D四点． (1)画直线AB；(2)画射线CD； (3)画线段BC；(4)连接AD. [答案] 略
图4－2－20
4.2 直线、射线、线段
活动2
教材导学
运用. 当然这一问题也可用刻度尺度量、计算后直接画出. [归纳总结] 画线段的和、差时均在一条射线上操作，前一条线 段的终点是后一条线段的起点．若两条线段的方向相同，则表示 它们的和；若两条线段的方向相反，则表示它们的差． 常见的作图用语：(1)作射线**；(2)在射线**上截取**＝**；
(3)在线段**上截取**＝**.则**就是所要求作的**. 注意：圆规的两脚相当于线段的两个端点，画图要保留作图
2024年湘教版七年级数学上册 4.2 第2课时 线段的长短比较(课件)
生活实例
1. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程 改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何 设计线路？请在图中画出，并说明理由.
B. A.
两点之间，线段最短
知识点3： 线段的和、差、倍、分
在直线上画出线段 AB = a，再在 AB 的延长线 上画线段 BC = b，线段 AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC = a + b. 如果在 AB 上画线段 BD = b，那么线段 AD 就是 a 与 b 的差，记作 AD = a - b .
第4章 图形的认识
4.2 线段、射线、直线
第 2 课时 线段的长短比较
教学目标
1. 会用度量法与叠合法来比较线段的长短. 2. 知道两点之间线段最短这一基本事实，并能简单运
用，感受数学与生活的联系. 3. 知道两点间的距离、线段的中点等概念，会按要求
画线段. 重点：掌握比较线段长短的方法,线段中点的概念及表
叠合法 实际 如何在线段 CD 上画出线段 AB，并且一端端
点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧？
A
B
C(A)
BD
归纳总结 叠合法比较线段的大小：
AB C
A C A C
图形
线段AB 与CD的关系 记作
D B D
B D
AB 小于 CD
AB＜CD
AB 等于 CD AB 大于 CD
AB = CD AB＞CD
a
AC 分成相等的两条线段 AB 与 BC， A 这时 B 叫作 AC 的中点.
B
C
几何语言：因为 B 是线段 AC 的中点，
所以 AB = BC = 1 AC (或 AC = 2AB = 2BC ).
(内蒙古满洲里市第五中学) 4.2.2 线段的比较课件 (新人教版七年级上册)
（1）
小明家A
（2）
C
（3）
B 学校
若小明走到路线（2） 的中点C时，刚好走 了 250米，请问小明家到学校的距离是多少 路，小明为了尽快到学校，应选择第 米，为什么？试着说一说。 条路，用数学知识解释为 (2) 解：因为AC=250，C是线段AB的中点，
如图，从小明家到学校共有三条
两点之间，线段最短 所以AB=2AC=500米
A
O B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
3.2直线、射线、线段（2）
你知道为什么有人横穿马路时，不 走人行横道（斑马线）吗？
探索一： 这里有三条路，我应该选择 哪条路去捉那只兔子呢？有 没有更近的路呢？
A
B
A
B
线段AB的长度 叫做A、B两点 间的距离!!
线段公理：
两点之间的所有连线中，线段最短。 也可以简单说成：两点之间，线段最短。 两点之间线段的长度，叫做这两点之间 的距离。
2、线段的比较
3、线段的平分 4、线段的运算
如图，有一只蚂蚁，沿长方体的表面 由C点爬到B点，怎样画出最短的路线？
C A B 由C点爬到A点，又该怎样画出最短 的路线？ A
读读、画画、算算
• 在一条直线上顺次截取A、B、C三点，使 AB=5cm，BC=3cm，并且取线段AC的中 点O，求线段OB的长。
C
B
若B是线段AC的中点，C是BD的中点，你能从 中找出哪些相等的线段？ AB＝ BC＝ CD AC= BD A B C D 在这里，我们把点B、点C叫做线 段AD的三等分线
角平分线
若B是线段AC的中点，C是线段BD的中点，你 能从中找出哪些相等的线段？ AB＝ BC＝ CD AC= BD A B C D 在这里，我们把点B、点C叫做线 段的三等分点
数学《4.2.2 线段长短的比较与运算教学设计》
4.2.2 线段长短的比较与运算观察图形，你能比较出每组图形中线段 a 和b 的长短吗？很多时候，眼见未必为实. 准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法.作一条线段等于已知线段已知：线段a，作一条线段AB，使AB=a.第一步：用直尺画射线AF第二步：用圆规在射线AF 上截取AB = a.∴ 线段AB 为所求.在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.（教师动画演示叠合的过程，呈现三种情况）设计意图在总结生活经验的基础上，引导学生归纳两人身高的比较方法以及需要注意的问题，再将方法迁移到“线段的长短比较”的数学问题中来，促进学生理解，锻炼学生几何语言的表达、概括能力，感受数学的严谨性，逐步培养学生用数学的眼光观察世界的能力，用数学的语言表达世界的能力.问题1 如图1（几何画板显示），当点C是线段AB 上一点时，图中有几条线段，它们的大小关系呢？生：有3条，分别是线段AC、CB、AB问题2：如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能从图中观察出其他线段间的和、差关系吗？答案：AB＜ACAB＋BC＝ACAC－AB＝BCAC－BC＝AB师：如果点C在线段AB 上移动（不与A、B两点重合），以上不等量关系和等量关系还成立吗？生：不等量关系中 AC<AB,CB<AB成立，而 AC＞CB 不一定成立了；而等量关系都成立.师：利用几何画板的度量功能，可以把线段的长度都度量出来，请观察动画，当点C在线段AB上移动时，这3条线段的长度如何变化？（动画演示）生：当C刚开始移动时，有AC>CB，随着点C向点A方向移动，线段AC的长度越来越小，线段CB的长度越来越大，而线段AB 的长度保持不变.师：在点C移动的过程中，线段AC 和线段CB 的长度有没有可能相等？能找出相等时刻点C的位置吗？生1：有可能相等（上台演示）．生2：如果能够折叠，将 AB=8.18厘米线段折叠，使点 A 与点B 重合AC=4.09厘米CB=4.09厘米重合，折痕与线段的交点就是点C.师：我们把这时的点C叫做线段AB 的中点，你能说说什么是线段的中点吗？生：线段AB上有一点C ，将线段AB 分成相等的两条线段AC 和CB ，就说点C是线段AB 的中点.强调：点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点.符号语言：∴M是AB的中点∴AM＝BM＝12 AB想一想：什么是三等分点？四等分点呢？设计意图：利用直观图形，由线段的大小关系过渡到线段的和差关系，自然合理.利用多媒体动画及度量工具，揭示线段中点的含义.线段中点的表示采用两种表示法，渗透线段的倍分关系，为以后学习线段的三等分点、四等分点以及线段的几倍与几分之一打下基础.在概念的学习中，让学生体会一般与特殊的关系，通过不断逼近中点的演示，渗透极限思想，培养学生用数学的思维思考世界的能力.问题3：如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短路线.强调1：两点的所有连线中，线段最短.简单地说:两点之间，线段最短.过关练习 1.如图，下列关系式中与图不符的是( )A.AD－CD＝ACB. AB＋BC＝ACC.BD－BC＝AB＋BCD. AD－BD＝AC－BC答案：C2.若AB = 6 cm，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 的中点，问：线段AD 的长是多少?3.如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝12，BC＝8，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；根据上面的计算过程与结果，设AC＋BC＝a，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？用简练的语言表述你发现的规律．解：（1）因为MC＝12AC，NC＝12BC，所以MN＝12AC＋12BC＝12×12＋12×8＝10Aa aM B（2）因为MC ＝12AC ，NC ＝12BC ，所以MN ＝12AC ＋12BC ＝12×12＋12×8＝10如图，A ，B ，C 三点在一条直线上，线段4. AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，若点 D 为线段 AB 的中点，点 E 为线段 BC 的中点，求线段 DE 的长.课堂小结设计意图 通过师生共同回顾本节课的学习内容和探究历程，构建知识框架，梳理知识的发生、发展过程，总结知识获得的方法，加深学生对所学知识的理解，感受数学的逻辑性和严密性.鼓励学生大胆发表自己的见解，培养语言表达和与人交流的能力.四、达标测评 检测小卷五、布置作业A 层作业：数学书128页练习1-3题B 层作业：练习卷C 层作业：拓展训练A DB E C线段长短的比较与运算 线段长短的比较基本事实线段的和差度量法叠合法中点两点之间线段最短 思想方法方程思想 分类思想基本作图。
人教版数学七年级上册4.2.2比较线段的大小教案
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过观察和分析线段的大小关系，提高学生对图形的认识和判断能力。
2.培养学生的度量观念，学会使用工具进行实际测量，并准确比较线段长度，增强学生的量化思维能力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，将线段比较的方法应用于生活场景，提高学生的数学应用意识。
实践活动中的分组讨论非常热烈，学生们提出了很多有趣的问题，这让我感到很欣慰。但在实验操作环节，我注意到有些小组在测量线段长度时不太熟练，可能是因为平时缺乏这方面的练习。以后，我应该在课堂上增加更多这样的实际操作机会，让学生们能够更好地掌握测量技巧。
学生小组讨论时，我尽量让自己成为一个引导者和协助者，而不是一个评判者。我发现这样的角色让学生们更敢于表达自己的观点，也更愿意参与到讨论中来。不过，时间上可能有些紧张，有些小组的讨论并没有完全展开，下次我应该预留更多的时间给学生们进行交流。
-线段比较方法的掌握：包括直接比较法、度量比较法和倍数关系法，这些是本节课的核心知识，需引导学生熟练运用。
-实际问题中的应用：将线段比较的方法应用于生活情境，培养学生学以致用的能力。
举例解释：
-直接比较法：通过比较线段AB和线段CD的直观图形，让学生理解如何一眼判断线段长短。
-度量比较法：使用直尺测量线段长度，并准确读取数据，进行比较，如AB=5cm，CD=8cm，从而确定AB<CD。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《比较线段的大小》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要比较两条线段长短的情况？”比如，比较两根铅笔、两条绳子等的长度。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索比较线段大小的奥秘。
4.2.2线段的比较和画法(课案)
学科：数学年级：七年级备课人：张丽芬课题：4.2.2线段的画法和线段中点课时数：1课时教学目标1．学会画一条线段等于已知线段的方法；2．掌握线段的中点、三等分点、四等分点等有关概念；3．熟悉并掌握基本的几何语言，培养几何语言的规范表达和图形识别的能力。
教学重难点重点：①用尺规作图画线段的和、差②线段中点及等分点的意义教学辅工具电子白板，大白板教学流程师生活动体现“自能”的关键点设计意图课前自能感知一、课前预习，自能感知学习内容：阅读课本P125-126页知识导学：1、复习线段长短的比较和画法：试比较线段AB，CD的长短.有两种方法：（1）_____________；（2）_____________；将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较. 即尺规作图：叠合法结论：(1)叠合法：将点A与点C重合，再进行比较：①若点A 与点C 重合，点B 落在C，D之间，那么AB_____CD.②若点A 与点C 重合，点B 与点D________，那么AB = CD.③若点 A 与点 C 重合，点 B 落在CD 的延长线上，那么AB_________CD.学生活动：利用复习线段长短的比较导入新课，引出尺规作图.确定本节课的学习任务。
在活动中教师注重关注：复习用叠合法比较线段长短时，学生能否准确进行比较。
检查学习成果时，教师应注意及时点评并鼓励学生，让其获得学习新知识的信心.学生课前完成复习及预习，整理相关知识点.课堂上小组代表展示预习成果.教师活动：在小组代表展示预习成果的同时，教师以课件的形式呈现知识点，关注全体学生学习情况.课中自能发现二、课中探究，自能发现【探究一】尺规作图：尺规作图的定义：___________________________________________________画一画：1、如图，作一条线段等于已知线段a2、如图，已知线段,a b，且a b>.用圆规和直尺画线段：（1）a b+；（2）a b-（3）2a b-跟踪训练：1、四位学生画线段x=a-b+c，如下，其中只有一位的答案是正确的，这位学生所画的图是().A B C D【探究二】线段的中点观察与思考：在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？要点归纳：(1) 线段中点的意义如图，点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM，点M 叫做线段AB 的中点.几何语言：∵点M 是线段AB 的中点∴AM = MB = AB，通过对作一条线段等于已知线段的画法探究，关注学生的思维方式，注重在解决问题之后学生能否正确掌握用尺规作图画线段和、差，以此培养学生举一反三的能力.通过跟踪训练来发现学生对本知识点的掌握情况。
《4.2 第2课时 线段长短的比较与运算》教案、同步练习、导学案(3篇)
《第2课时线段长短的比较与运算》教案【教学目标】1．会画一条线段等于已知线段，会比较线段的长短；2．体验两点之间线段最短的性质，并能初步应用；(重点)3．知道两点之间的距离和线段中点的含义；(重点)4．在图形的基础上发展数学语言，体会研究几何的意义．【教学过程】一、情境导入比较两名同学的身高，可以有几种比较方法？向大家说说你的想法．二、合作探究探究点一：线段长度的比较和计算【类型一】比较线段的长短为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则( )A．AB<CD B．AB>CDC．AB＝CD D．以上都有可能解析：由点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，得AB>CD，故选B.方法总结：比较线段长短时，叠合法是一种较为常用的方法．【类型二】根据线段的中点求线段的长如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，如MC比NC长2cm，AC比BC长( )A．2cm B．4cm C．1cm D．6cm解析：点M是AC的中点，点N是BC的中点，∴AC＝2MC，BC＝2NC，∴AC －BC＝(MC－NC)×2＝4cm，即AC比BC长4cm，故选B.方法总结：根据线段的中点表示出线段的长，再根据线段的和、差求未知线段的长度．【类型三】已知线段的比求线段的长如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，点E是线段AD的中点，EC＝2cm，求：(1)AD的长；(2)AB∶BE.解析：(1)根据线段的比，可设出未知数，根据线段的和差，可得方程，根据解方程，可得x的值，根据x的值，可得AD的长度；(2)根据线段的和差，可得线段BE的长，根据比的意义，可得答案．解：(1)设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x，由线段的和差，得AD＝AB＋BC＋CD＝9x.由E为AD的中点，得ED＝12AD＝92x.由线段的和差得CE＝DE－CD＝92x－4x＝x2＝2.解得x＝4.∴AD＝9x＝36(cm)；(2)AB＝2x＝8(cm)，BC＝3x＝12(cm)．由线段的和差，得BE＝BC－CE＝12－2＝10(cm)．∴AB∶BE＝8∶10＝4∶5.方法总结：在遇到线段之间比的问题时，往往设出未知数，列方程解答．【类型四】当图形不确定时求线段的长如果线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，D是AC的中点，那么A、D两点间的距离是( )A．5 B．2.5 C．5或2.5 D．5或1解析：本题有两种情形：(1)当点C在线段AB上时，如图：AC＝AB－BC，又∵AB＝6，BC＝4，∴AC＝6－4＝2，D是AC的中点，∴AD＝1；(2)当点C在线段AB的延长线上时，如图：AC＝AB＋BC，又∵AB＝6，BC＝4，∴AC＝6＋4＝10，D是AC的中点，∴AD ＝5.故选D.方法总结：解答本题关键是正确画图，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．探究点二：有关线段的基本事实如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的根据是( )A．两点之间，直线最短B．两点确定一条线段C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短解析：把弯曲的河道改直缩短航程的根据是：两点之间，线段最短．故选D.方法总结：本题考查了线段的性质，熟记两点之间线段最短是解题的关键．三、板书设计1．线段的比较与性质(1)比较线段：度量法和叠合法．(2)两点之间线段最短．2．线段长度的计算(1)中点：把线段AB分成两条相等线段的点．(2)两点间的距离：两点间线段的长度．【教学反思】本节课通过比较两个人的高矮这一生活中的实例让学生进行思考，从而引出课题，极大地激发了学生的学习兴趣；并通过动手操作，亲身体验用叠合法比较线段的长短．教师要尝试让学生自主学习，优化课堂教学中的反馈与评价．通过评价，激发学生的求知欲，坚定学生学习的自信心．《第2课时线段长短的比较与运算》同步练习能力提升1.如图所示,要在直线PQ上找一点C,使PC=3CQ,则点C应在( )A.P,Q之间B.点P的左边C.点Q的右边D.P,Q之间或在点Q的右边2.如果线段AB=5 cm,BC=3 cm,那么A,C两点间的距离是( )A.8 cmB.2 cmC.4 cmD.不能确定3.C为线段AB的一个三等分点,D为线段AB的中点,若AB的长为6.6 cm,则CD的长为( )A.0.8 cmB.1.1 cmC.3.3 cmD.4.4 cm4.如图所示,C是线段AB的中点,D是CB上一点,下列说法中错误的是( )A.CD=AC-BDB.CD=BCC.CD=AB-BDD.CD=AD-BC5.下面给出的4条线段中,最长的是( )A.dB.cC.bD.a6.已知A,B是数轴上的两点,点A表示的数是-1,且线段AB的长度为6,则点B表示的数是.7.已知线段AB=7 cm,在线段AB所在的直线上画线段BC=1 cm,则线段AC= .8.如图所示,设A,B,C,D为4个居民小区,现要在四边形ABCD内建一个购物中心,试问把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?请说明理由.9.如图所示,点C是线段AB上一点,点M是线段AC的中点,点N是线段BC的中点.(1)如果AB=20 cm,AM=6 cm,求NC的长;(2)如果MN=6 cm,求AB的长.10.在桌面上放了一个正方体的盒子,如图所示,一只蚂蚁在顶点A处,它要爬到顶点B处找食物,你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗?要是食物在顶点C处呢?★11.已知线段AB=12 cm,直线AB上有一点C,且BC=6 cm,M是线段AC的中点,求线段AM的长.创新应用★12.在同一条公路旁,住着5人,他们在同一家公司上班,如图,不妨设这5人的家分别住在点A,B,D,E,F所示的位置,公司在点C处,若AB=4 km,BC=2 km,CD=3 km,DE=3 km,EF=1 km,他们全部乘出租车上班,车费单位报销.出租车收费标准是:起步价6元(3 km以内,包括3 km),超过3 km超出的部分每千米1.5元(不足1 km,以1 km计算),每辆车能容纳3人.(1)若他们分别乘出租车去上班,公司应支付车费多少元?(2)如果你是公司经理,你对他们有没有什么建议?参考答案能力提升1.D 注意本题中的条件是在直线PQ上找一点C,所以C可以在P,Q之间,也可以在点Q的右侧.2.D A,B,C三点位置不确定,可能共线,也可能不共线.3.B如图,AD=AB=3.3cm,AC=AB=2.2cm,所以CD=AD-AC=3.3-2.2=1.1(cm).4.B5.A6.-7或5 点B可能在点A的左侧,也有可能在点A的右侧.若点B在点A的左侧,则点B表示的数比点A表示的数小6,此时点B表示的数为-7;若点B在点A的右侧,则点B表示的数比点A表示的数大6,此时点B表示的数为5.7.8 cm或6 cm 分两种情况:①点C在线段AB内,②点C在线段AB的延长线上.8.解:连接AC,BD,交点P即为购物中心的位置.理由:根据公理“两点之间,线段最短”,要使购物中心到A,B,C,D的距离和最小,购物中心既要在AC上,又要在BD上.9.解:(1)因为M为AC的中点,所以MC=AM.又因为AM=6cm,所以AC=2×6=12(cm).因为AB=20cm,所以BC=AB-AC=20-12=8(cm).又因为N为BC的中点,所以NC=BC=4(cm).(2)因为M为AC的中点,所以MC=AM.因为N为BC的中点,所以CN=BN.所以AB=AC+BC=2(MC+CN)=2MN=2×6=12(cm).10.解:如图所示,是该正方体的侧面展开图.食物在B处时的最短路线为线段AB,食物在C处时的最短路线为线段AC.11.解:(1)当点C在线段AB上时,如图①,图①因为M是AC的中点,所以AM=AC.又因为AC=AB-BC,AB=12cm,BC=6cm,所以AM=(AB-BC)=×(12-6)=3(cm).(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图②,图②因为M是AC的中点,所以AM=AC.又因为AC=AB+BC,AB=12cm,BC=6cm,所以AM=AC=(AB+BC)=×(12+6)=9(cm).故AM的长度为3cm或9cm.创新应用12.解:(1)在A处乘车的车费为6+(4+2-3)×1.5=10.5(元);在B处乘车的车费为6元;在D处乘车的车费为6元;在E处乘车的车费为6+(3+3-3)×1.5=10.5(元);在F处乘车的车费为6+(1+3+3-3)×1.5=12(元),合计45元.(2)A,B同乘一辆车,从A开出,D,E,F同乘一辆车,从F开出,合计22.5元.第四章几何图形初步4.2 直线、射线、线段《第1课时直线、射线、线段》导学案【学习目标】：1. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短.2. 理解线段等分点的意义.3. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.5. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.【重点】：作一条线段等于已知线段，理解线段的和、差，掌握线段中点的概念，理解“两点之间，线段最短”的线段性质.【难点】：利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差，利用线段的和、差、倍、分求线段的长度，“两点之间，线段最短”的实际运用.【课堂探究】一、要点探究探究点1：线段长短的比较合作探究：问题1 做手工时，在没有刻度尺的条件下，如何从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长？问题2 画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，如何再画一条与它相等的线段？要点归纳：尺规作图：作一条线段（AB）等于已知线段（a）的作法：1.画射线AC；2.在射线AC上截取AB=a.问题3 若要比较两个同学的身高，有哪些办法？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？试一试：比较线段AB，CD的长短.(1)度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较：AB=_________;BC=_______,________>_______,所以_______>_______;(2)叠合法：将点A与点C重合，再进行比较：①若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB_____CD.②若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D________，那么 AB = CD.③若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB_________CD.探究点2：线段的和、差、倍、分画一画：在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是与的和，记作AC= . 如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是与的差，记作AD= .观察与思考：在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？要点归纳：如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点.几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点∴ AM = MB = AB，或 AB = AM = MB例1 若AB = 6cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求：线段AD的长是多少?例2 如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长．变式训练：如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=13AB=14CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长方法总结：求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.例3 A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（）A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对变式训练：已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（）A．21cm或4cm B．20.5cm C．4.5cm D．20.5cm或4.5cm方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：①点在某一线段上；②点在该线段的延长线.针对训练1.如图，点B ，C 在线段AD 上则AB +BC =____；AD －CD =___；BC ＝ ___ －___= ___ － ___.第1题图 第2题图 第3题图2.如图，点C 是线段AB 的中点，若AB =8cm ，则AC = cm.3.如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的中点的是 ( )A. AC =CBB. AB =2ACC. AC +CB =ABD. CB =21AB 4. 如图，已知线段a ，b ，画一条线段AB ，使AB =2a －b .5.如图，线段AB =4cm ，BC =6cm ，若点D 为线段AB 的中点，点E 为线段BC 的中点，求线段DE 的长.探究点3：有关线段的基本事实议一议：如图：从A 地到B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从A 地到B 地的最短路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.想一想：1.如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B 两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由.2. 把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？第1题图第2题图要点归纳：1.两点的所有连线中，_____最短.简称：两点之间，_____最短.2.连接两点间的线段的_______，叫做这两点的距离.针对训练1.如图，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+AC BC(填“>”“<”或“=”). 其中蕴含的数学道理是 .2.在一条笔直的公路两侧，分别有A，B两个村庄，如图，现在要在公路l 上建一个汽车站C，使汽车站到A，B两村庄的距离之和最小，请在图中画出汽车站的位置.二、课堂小结1. 基本作图：作一条线段等于已知线段.2. 比较两条线段大小 (长短) 的方法：度量法；叠合法.3. 线段的中点.因为点M 是线段AB 的中点，所以AM =BM =21AB . (反过来说也是成立的) 4. 两点之间的所有连线中，线段最短；两点之间线段的长度 ，叫做这两点之间的距离．【当堂检测】1. 下列说法正确的是 ( )A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段B. 两点之间的距离是指两点之间的直线C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度2. 如图，AC =DB ，则图中另外两条相等的线段为_____________.第2题图 第3题图3.已知线段AB = 6 cm ，延长AB 到C ，使BC =2AB ，若D 为AB 的中点，则线段DC 的长为_____________.4.点A ，B ，C 在同一条数轴上，其中点A ，B 表示的数分别是-3，1，若BC=5，则AC=_________．5. 如图：AB =4cm ，BC =3cm ，如果点O 是线段AC 的中点．求线段OB 的长度．6.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．。
4.2-直线、射线、线段-(2)——线段大小的比较
A
M
B
因为点M是线段AB的中点，所以 AM=BM=
1
2 AB
（反过来说也是成立的。）
线段的和、差、倍、分。
练习
1、如图①，AD＝AB－ BD ＝AC＋ CD 。
2、如图②，下列说法不能判断点C是线段
的中点的是（ C ）
A、AC＝CB
B、AB＝2AC
C、AC＋CB＝AB 图①
D、CB＝ AB
图②
2021
A
MB
几何语言：∵点M是线段AB的中点
1
∴ AM=MB= AB
2
或AB＝２ AM＝２ MB
1
反之也成立 ∵
AM=MB= AB
2
或AB＝２ AM＝２ MB
∴点M是线段AB的中点
类似地，还有线段的三等分点、四等分点等。
几何语言：∵点M、N是线段AB的三等分点
∴ AM MN NB 1 AB 3
或AB＝3 AM＝3MN=3NB
A
BC
(1) AB＜AC
(2) AC－AB＝BC AC－BC＝AB BC＋AB＝AC
二、概念延伸，思维提升
问题4: 如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图
得到a与b的和、a与b的差呢？
a
a
b
b a
A
B
CP
A
C
B
P
AC＝a＋b
b CB＝a－b
练习
如图，已知线段a，b。作一条线段，使它等于2a-b。 （书128a面第2题）
A
MB
练习：书128面第3题
解: (1)∵点M是线段AB的中点
1
∴ AM=MB= AB = × 6= 3
2
4.2.2线段、射线、直线(二)——尺规作图
度量法； 用刻度尺分别量出线段AB、线段CD的长度，再比较线段AB、
线段CD的长短（大小）。 （近似值）
叠合法。 将一条线段放在另一条线段上，使它们的一个端点重合，观
察另一个端点的位置关系。
基本作图1：作一条线段等于已 知线段
a 已知：线段a, 作一条线段AB，使AB=a
怎样的点是线段的中点？
操作：把纸条对折，找出它的中点。
定义：把线段分成相等的两条线段的点，叫做这条 线段的中点。
A
M
B
因为点M是线段AB的中点，
所以 AM=BM= 1 AB 2
说明：
线段的中点必须在线段上。 把线段分成相等的三条线段的点，叫做这条线段的三等分点。
1、已知线段AB = 4cm，延长AB到C，使BC = 2AB，若D为
让两个同学站在同一平地上脚底平齐观看两让两个同学站在同一平地上脚底平齐观看两人的头顶直接比出高矮
直线性质1 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
（两点确定一条直线。）
直线、线段、射线的表示 用两个大写字母表示； 用一个小写字母表示。
直线的表示
A
B
直线AB
线段的表示
A
B
线段AB
射线的表示
O
A
射线OA
1.若点A与点C重 2.若点A与点C重 3.若点A与点C
合,点B落在C、D之 合,点B与点D重__合_,那 重合,点B落在CD
间,那么AB_＜__CD. 么AB=CD.
的延长线上,那么
AB _＞__ CD.
比较线段长短的两种方法
叠合法——从“形”的角度比较. 度量法——从“数值”的角度比较.
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C
E
B
1 解：AC=BC= 2 AB=4cm， 1 1 DC= 2 AC=2cm,EC= CB=2cm, 2
DE=DC+CE=2cm+2cm=4cm
3、如图,点B、C在线段AD上。（1）图中以 A为端点的线段有哪些？以B为端点的线段有 哪些？
A
B
C
D
（2）图中共有多少条线段？请分别 说出这些线段.
解:以A为端点的线段有:线段AB,线段AC,线 段AD.以B为端点的线段有:线段BA,线段BC, 线段BD.
解:图中共有6条线段,分别是线段AB,线段AC, 线段AD,线段BC,线段BD,线段CD.
1.认识并会用符号表示线段、 射线、直线。 2. 掌握两点间的距离概念,知 道”两点之间的所有连线中,线段 最短”， 知道”经过两点有一条 直线,并且只有一条直线”。 3.了解线段中点的概念,并能简 单运用它来解决问题。
课题:
线段 射线 直线
第二课时
学习目标：
• 1.会用尺规画一条线段等于已知线段，会比 较两条线段的长短。 • 2.理解线段等分点的意义，理解两点间距离 的意义，了解“两点之间，线段最短”的 线段性质。
复习：
1. 每年的3月12日是植树节，为了使植的
树在一条直线上，往往先在两端先栽两 两点确定一条直线 棵树的道理是______________________
a
解：
A B D C
b
ι
线段AD就是所求的线段。
如图,已知线段AB,延长 线段AB到C,使BC=AB.
A
想一想
如果点B为线段AC的中点, 在所画图中,我们把点B叫做线段AC的中点
B
C
1 那么AC= 2 AB= 2 BC;AB=BC = 2 AC
类似地，还有线段的三等分点、四等分点等。
A M N B
一个人看不到自己的远方是很可怕的， 有了远方也就有了人生追求的高度， ---而人一旦有了追求， ---远方也就不再遥远。
教者---胡安伟与大家共勉
例:如图,线段AB=8cm，点C是AB的中点， 点D在CB上且DB=1.5cm，求线段CD的长度。
A
C
D
B
1 解：CB= 2 AB=4cm，
CD=CB-DB =4cm-1.5cm=2.5cm.
如图,线段AB=8cm，点C是AB的 中点，点D是AC的中点，点E是 CB的中点，求线段DE的长度。
A
D
如图，要从甲地到乙地去，有３ 条路线，请你选择一条相对近一 些的路？
①
②
乙地
③
甲地
从甲地到乙地能否修一条最近的路？ 如果能，你认为这条路应该怎样修？ ①
②
乙地
生活常识告诉我们：
③
甲地
结论 两点之间的所有连线中，线段最短。 长度 定义 两点之间线段的长度叫做两点之间的距离
请你做裁判
过A、B、C三个点中的任两 点作直线，小明说有三条；小林 说有一条；小王说不是一条，就 是三条；你认为他们三人谁的说 法对？为什么？
A A P B A B A P B P C B P B D A
P
答案：C
选一选
5、如图所示的直线、射线、线段能相交的是（
C C D
）
D
A B B A
A B A
A
B
D
C C D D
B
C
答案：C
创设情景：
怎样比较两条线段的长短 呢？你能从比较身高上得 到一些启发吗？ 你能再举出一些比较线段 长短的实例吗？
1 AM MN NB AB 3
B
A
M
N
P
1 AM MN NP PB AB 4
1、如图，点C是线段AB的中点
（1）若AB=6cm，则AC= （2）若AC=6cm，则AB=
3 12
B
cm。 cm。
A
C
2、已知：AD=4cm,BD=2cm,C为
AB的中点，则BC=_____cm. 3
A
C
D
B
1 在同一条直线上依次有A、B、C三点，取AB中 3 点 M,取BC中点N,如果AC=6cm,则MN=______cm 2 点C是AB延长线上的一点,点D是AB中点,如果点 B 恰好是DC的中点,设AB=2cm，则 AC=______cm 3 3 点A、B、C 、 D是直线上顺次四个点，且 AB:BC:CD=2:3:4, 6 如果AC=10cm,那么BC=__________
比较线段的长短
A
B
C （A）
B
D
点A与点C重合，点B落在C、D之间，这时我们说线段AB小 于CD，记作AB＜CD。
想一想，什么情况下线段AB大于线段CD，线段AB等 于线段CD？
线段的和与差 a
A
a
B
b
C
ι
AC=a+b
b
A
D b B a
ι
AD=a-b
课本第128页练习第1、2题
试一试
如图，已知线段a，b。画一条线段，使它等于2a-b。
复习：
2、如图下列说法错误的是（ ）
A、点A在直线m上
B、点A在直线 l 上
C、点B在直线 l 上
D、直线m不经过B点 答案：C
B A
l
m
选一选
3、下列说法正确的是（ ） A、两点确定两条直线 B、三点确定一条直线 C、过一点只能作一条直线 D、过一点可以作无数条直线
答案：D
选一选
4、如图，射线PA与PB是同一条射线，则 符合题意的图为（ ）