人教版八年级数学暑期同步提高课程 第十讲 整式及乘法公式 讲义(word版无答案)

第十讲整式及乘法公式教学目标：1．会推导乘法公式，了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法计算。

2．掌握整式的混合运算，能灵活的运用运算律与乘法公式的简化运算。

3．熟悉整式的乘除的转化，深化对相关性质和公式的理解。

重点难点：1．同底数幂的乘法，幂的乘方法则和积的乘方法则。

2．单项式乘法法则，单项式与多项式及多项式与多项式的乘法法则。

3．平方差公式和完全平方差公式的运用。

知识导航：一、基本概念1．同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a m ⋅a n =a m+n （m、n 都是正整数）2．幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。

即(a m )n =a mn （m、n 都是正整数）3．积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)n =a n b n （n 为整数）二、整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每第59页/共6页一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．考点/易错点1（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即a m ⋅a n ⋅a p =a m+n+p （m, n,p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即a m+n =a m ⋅a n （m,n 都是正整数）.（4）公式(a m )n =a mn 的推广：((a m )n )p =a mnp ( a≠ 0 ，m, n, p 均为正整数)（5）逆用公式：a mn =(a m )n =(a n )m ，根据题目需要常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. （6）公式(ab)n =a n ⋅b n 的推广：(abc)n =a n ⋅b n ⋅c n ( n为正整数).（7）逆用公式：a n b n =(ab)n逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：10101011()2(2)1 22⨯=⨯=（8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并 . 特殊的二项式相乘，(x+a)(x+b)=x2 +(a +b)x +ab .典型例题：【例1】阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a相乘a ⋅a⋯a 记为a n，记为a n．如2×2×2=23=8，此时，3 叫做以2为底8的对数，记为l og28（即l og28=3）．一般地，若a n=b（a＞0 且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为l og a b （即l og a b=n）．如34=81，则4叫做以3为底81 的对数，记为l og381（即l og381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24= ，log216= ，log264= ．（2）观察（1）中三数4、16、64 之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264 之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N= ；（a＞0 且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m 以及对数的含义证明上述结论．【答案】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设l og a M=b1，log a N=b2，则a b1 =M，a b2 =N，∴MN=a b1 · a b2 = a b1+b2 ，∴b1+b2=log a（MN）即l og a M+log a N=log a（MN）．【解析】首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a （MN）；（4）首先可设l og a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m 以及对数的含义证明结论．【例2】设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小。

小明想到了如下方法：m= 2100 =(24 )25 = 1625 ，即25 个16 相乘的积；n=375=（33）25=2725，即25 个27 相乘的积，显然m＜n，现在设x=430，y=340，请你用小明的方法比较x与y的大小。

【答案】解：由阅读材料知：x=（43）10=6410，y=（34）10=8110，又∵64＜81，∴x＜y．故答案为x＜y．【解析】本题考查了幂的乘方的性质的运用，确定指数是关键，两个底数不同，指数相同的数比较大小，底数大的值比底数小的值要大．根据题意先把x、y 分别写成（43）10、（34）10，然后比较底数的大小即可．【例3】已知（x+a）（x2﹣x+c）的积中不含x2 项和x项，求（x+a）（x2﹣x+c）的值是多少？【答案】解：∵（x+a）（x2﹣x+c）=x3﹣x2+cx+ax2﹣ax+ac，=x3+（a﹣1）x2+（c﹣a）x+ac，又∵积中不含x2 项和x项，∴a﹣1=0，c﹣a=0，解得a=1，c=1．又∵a=c=1．∴（x+a）（x2﹣x+c）=x3 1．第61页/共6页【解析】考查了多项式乘以多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为 0．要灵活掌握立方和公式．先根据多项式乘多项式的法则计算，再让x2 项和x项系数为0，求得a，c 的值，代入求解．【例4】老师在黑板上写出三个算式：52﹣328×2，92﹣72=8×4，152﹣328×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．【答案】解：（1）112﹣928×5，132﹣112=8×6．（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．（3）证明：设m，n 为整数，两个奇数可表示2m+1 和2n+1，则（2m+1）2﹣（2n+1）2=4（m﹣n）（m+n+1）．当m，n 同是奇数或偶数时，m﹣n 一定为偶数，所以4（m﹣n）一定是8的倍数．当m，n﹣奇﹣偶时，则m+n+1 一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．【解析】通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是8乘以一个数．根据平方差公式，把等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于8的倍数．【例5】已知a=2019，b=2019，c=2019，求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc 的值．【答案】解：∵2(a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc)=(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c)2=(2019-2019) 2+(2019-2019) 2+(2019-2019)2= =1+4+1=6，∴a +b +c ﹣ab﹣ac﹣bc=3．【解析】本题考查了完全平方式，对原式扩大2倍求解是解答本题的关键，也渗透了分组和配方法的思想．题中出现两个数的平方和及两个数积时，考虑把它们组合整理为完全平方的形式，以简便运算．【例6】已知多项式6a2+mab﹣ab﹣10b2 除以3a﹣2b，得商为2a+5b，求m的值．【答案】解：∵（3a﹣2b）（2a+5b）=6a2+11ab﹣10b2，∴mab﹣ab=11ab，∴m﹣1=11，解得m=12．第63页/共6页【解析】本题主要考查了整式的乘法和除法互为逆运算，根据对应项的系数相同列出等式是解题的关键．根 据整式的乘法和除法是互逆运算，把（3a ﹣2b ）（2a +5b ）展开再利用对应项系数相等即可求解．课堂检测：1.若 248-1能被 60 或 70 之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A ．61，63B ．63，65C ．61，65D ．63，67 2.乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910----K 应等于（）A ．512B ．12C ．23D ．11203．若 (2a m b n )3= 8a 9b 15 成立，则（ ）． A . m ＝3， n ＝5 B . m ＝3， n ＝12 C . m ＝6， n ＝12D . m ＝6， n ＝5 4．1993 + 9319的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．若 x 为任意实数时，二次三项式 x 2 - 6x + c 的值都不小于 0，则常数 c 满足的条件是（ ）A . c ≥ 0B . c ≥ 9C . c > 0D . c > 9课后作业：1．若多项式 x 2 +ax +8 和多项式 x 2 -3x +b 相乘的积中不含 x 2 x 3项，求（a -b ）3-（a 3 -b 3 ）的值．2．设 m 2＋m －2＝0，求 m 3＋3m 2＋2019 的值．3．已知 x 2m = 5 ，求15x 6 m - 5 的值．4．已知 x a = 2 ， x b= 3 ．求 x 3a +2b 的值．5．（1）计算（x +1）（x +2）= ，（x ﹣1）（x ﹣2）= ，（x ﹣1）（x +2）= ，（x +1）（x ﹣2）= ．（2）你发现（1）小题有何特征，会用公式表示出来吗？（3）已知 a 、b 、m 均为整数，且（x +a ）（x +b ）=x 2+mx +12，则 m 的可能取值有多少个？ 6．阅读下列解答过程，并回答问题．在（x 2+ax +b ）（2x 2﹣3x ﹣1）的积中，x 项的系数为﹣5，x 2项的系数为﹣6，求 a ，b 的值．解：（x 2+ax +b ）•（2x 2﹣3x ﹣1）= 2x 4﹣3x 3+2ax 3﹣3ax 2﹣3bx =①2x4﹣（3﹣2a）x3﹣（3a﹣2b）x2﹣3bx ②根据对应项系数相等，有325326aa b-=-⎧⎨-=-⎩，解得49ab=⎧⎨=⎩回答：（1）上述解答过程是否正确？．（2）若不正确，从第步开始出现错误，其他步骤是否还有错误？．（3）写出正确的解答过程．7．已知多项式x2﹣mx﹣n 与x﹣2 的乘积中不含x2 项和x项，求这两个多项式的乘积．8．已知6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a=（2x﹣3y+b）（3x+y+c），试确定a、b、c 的值．。