非线性动力学复习参考
非线性动力学导论讲义02(二阶系统简介)-岳宝增 (1)
的单参数曲线族；称为系统的相图，这些曲线称为相轨线。
此外，(5b)式还表示系统有如图所示的2 π 周期性；还有
.
轨线的方向性(后面讨论)。给定一对值（x,y）或（x,x ） 则对应相图上的某一点P,称为系统的一个状态。某一状态 给出了某一特定摆角为x时其角速度为x =y，这两个变量 正是我们某一特定时刻观察摆的摆动时所感知的对象的量 化表示。对给定的一对值（x,x ）亦可以作为微分方程的 初始时刻；因此，任一给定的状态可以确定所有其后续的 状态,而这些状态都位于通过P（x,y)点（初始状态）的相 轨线上。上图中用箭头标定了随着时间的变化，轨线应行 进的方向；该方向可由方程（5a）确定： 当y>0时，则x >0,所以x必然随着t的增加而增大；这表明 在上半平面轨线的方向必须是从左到右；同理，在下半平
关于x积分得：
2 2
2
cos x C x
（3）
其中C是任意的常数。注意到，上面的方程表示系统任 一特定运动的能量守恒关系；这是因为，如果将（3） 两端乘以mʟ2，则： 1 2 2
2
mgl cos x E ml x
其中E是另一任意的常数，上式符合如下形式： E=m的动能+m的势能； 并且任意特定的E值对应于一特定的自由（单摆）运动。 由（3）式中的x 可由x表出：
.
2 x 2(C cos x)
（4）
这是关于x(t)的一阶微分方程。该方程的解不能用初等 直接揭示其解的特性。引入新的变量y，定义如下：
函数表示；我们下面将不通过求解方程而是由方程（4）
yy sin x x
2
（5a） （5b）
则由方程（4）可表示为：
y 2(C 2 cos x）
课程名称非线性动力学
课程名称：非线性动力学一、课程编码：0100016课内学时：32学分：2二、适用学科专业：动力学与控制、航空及航天学科相关专业三、先修课程：理论力学，非线性振动力学，积分变换四、教学目标通过本课程的学习使学生理解非线性动力学中的平衡点、稳定性、分岔、混沌等基本概念和基础理论；掌握非线性动力系统的几何分析原理和计算机数值仿真的基本方法；提升学生对复杂非线性动力学系统的建摸和动力学分析能力。
五、教学方式课堂讲授与课堂讨论六、主要内容及学时分配1.绪论6学时1.1非线性动力学学科的发展及其与经典力学的关系1.2非线性动力学系统的基本特征和工程应用1.3非线性系统研究的基本方法2.线性系统动力学简介4学时2.1二阶系统中状态方程2.2平衡点的基本概念及分类2.3相平面与几何方法2.4单摆动力学初步3.保守系统动力学4学时3.1保守系统基本特征3.2首次积分与能量方法3.3典型的几种保守系统4.分岔的基本理论4学时4.1稳定性及分岔的基本概念4.2基本分岔类型4.3极限环与霍夫分岔4.4倍周期分岔5.混沌动力学8学时5.1混沌的基本概念5.2连续系统及离散系统混沌简介5.3李亚普诺夫指数5.4受外激励的单摆系统非线性动力学6.分形动力学2学时6.1分形的基本概念6.2分形的特征6.3分形维度7.非线性动力学系统动的控制4学时7.1非线性控制的基本理论和方法7.2分岔的控制与切换7.3混沌的控制与同步7.4同宿环及异宿环动力学与控制七、考核与成绩评定成绩以百分制衡量。
成绩评定依据:平时作业成绩占10%，专题讨论20%，期末笔试成绩占80%。
八、参考书及学生必读参考资料参考书1.刘秉正.《非线性动力学》[M].北京：高等教育出版社，20042.Nayfeh A H.Applied Nonlinear Dynamics.New York,1995必读参考资料：3．胡海岩.《应用非线性动力学》[M].北京：航空工业出版社，20004.龙运佳.《混沌振动研究》[M].北京：清华大学出版社，1996九、大纲撰写人：岳宝增。
非线性动力学讲义02(绪论2)-2-岳宝增
限制性三体问题
三体问题的特殊情况。当所讨论的三个天体中 ﹐有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比 ﹐ 小到可以忽略时 ﹐这样的三体问题称为限制性三体 问题。一般地把这个小质量的天体称为无限小质量 体 ﹐或简称小天体﹔把两个大质量的天体称为有限 质量体。
Байду номын сангаас
把小天体的质量看成无限小﹐就可不考虑它对
两个有限质量体的吸引 ﹐也就是说 ﹐它不影响两个 有限质量体的运动。于是 ﹐对两个有限质量体的运 动状态的讨论 ﹐仍为二体问题 ﹐其轨道就是以它们
尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把 他们列进他的问题清单。但是在整整一百年后回顾，这两 个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比 希尔伯特提出的 23 个问题中任何一个都大。费尔马猜想经
过全世界几代数学家几百年的努力，终于在 1994 年被美国
普林斯顿大学(Princeton University)怀尔斯(Andrew Wiles) 最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展 之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决 问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题 解决后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。
Lagrange ， 1736 ， 1 ， 25 － 1813 ， 4 ， 11) 是数学和 力学史上的一位重要人物
。他的一生可分为三个时
期，即早期在意大利的都 灵（ 1736 － 1766 ），中期 在普鲁士的柏林（ 1766 － 1787 ），后期在法国的巴
黎（1787－1813〕。
用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，
它们会怎样在空间中运动。
三体问题
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运 动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不记， 所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其 他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作
第六章 非线性动力学
现代物化 非线性动力学
第13页
2015年5月5日星期二
FKN机理
现代物化 非线性动力学
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2015年5月5日星期二
铈离子起催化剂作用，在反应过程中并无消耗，也不出现在总的 反应式中。由于BrO3-并不和有机酸直接反应，因此在B—Z反应过程中 ，包含着若干中间反应步骤，FkN机理包括的主要中间反应步骤列在表 1．1中，其中ki是第i个反应步骤的速率系数，vi是第i个反应步骤的 速率，M代表摩尔浓度，s代表秒，MA和BrMA分别为CH 2(COOH)2和 BrCH(COOH)2的缩写。按照FKN机理解释、引起反应体系呈现振荡行为 的关键组分是中间化合物HBrO2，Br-和Ce4+。其中，Br-起到控制过程 的作用，HBrO2起到切换开关的作用，而Ce4+起到再生Br—的作用。
主要技术
曲 线 参 数
促进
抑制
应用体系
物资浓度
优点
现代物化 非线性动力学
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2015年5月5日星期二
应用举例 • 金属离子的检测
有人提出机理认为条件
Ru(Ⅲ) 和Ru(Ⅳ) 的硫酸盐可增加B-Z振荡的频率， 是金属离子必须有两个 Ru浓度与振荡周期的减少呈线性关系;Hg(Ⅱ)和Ti 稳定氧化态，且只能转 ( Ⅰ)可以通过增加B-Z反应的诱导期而能被测得； 移一个电子。 其他金属离子原理类似。
过程中,如CO的气相氧化，烃类燃烧中的热振荡等。有人认为爆炸反应亦
属此类。 尤其值得注意的是振荡现象发生在许多生物化学反应系统中。在
这里细胞起着化学反应器的作用。例如，振荡反应保持着心跳的节奏，振
荡反应出现在葡萄糖转化为ATP(三磷酸腺甙)的糖解循环中等等。因而更 加引起人们的关注。 现代物化 非线性动力学 第22页 2015年5月5日星期二
第一章 非线性动力学分析方法
第一章非线性动力学分析方法（6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；2、掌握线性稳定性的分析方法；3、掌握奇点的分类及判别条件；4、理解结构稳定性及分支现象；5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。
二、教学重点1、线性稳定性的分析方法；2、奇点的判别。
三、教学难点线性稳定性的分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。
六、教学过程本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。
1.1相空间和稳定性一、动力系统在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。
再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。
然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。
研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。
假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。
有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r的函数。
如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。
这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。
),,,(2111n X X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ ),,,(2122n X X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ (1.1.1)…),,,(21n n nX X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ 其中λ代表某一控制参数。
对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。
由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。
若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组(1.1.1)为非自治动力系统。
第五章非线性药物动力学(药物代谢动力学)
非线性药动学的定义
• 临床上某些药物存在非线性的吸收或分布（如抗坏血酸，甲氧萘丙 酸）；还有一些药物以非线性的方式从体内消除，过去发现有水杨酸、 苯妥英钠和乙醇等。这主要是由于酶促转化时药物代谢酶具有可饱和 性，其次肾小管主动转运时所需的载体也具有可饱和性，所以药物在 体内的转运和消除速率常数呈现为剂量或浓度依赖性（dose dependent），此时药物的消除呈现非一级过程，一些药动学参数如 药物半衰期、清除率等不再为常数，AUC、Cmax等也不再与剂量成 正比变化。上述这些情况在药动学上被称之为非线性动力学 （nonlinear pharmacokinetics）
研究目的与意义
• 非线性药物动力学的研究对临床上一些治 疗指数较窄的药物（如苯妥英等）来说意 义非常重大，了解它们的药动学特征，有 利于避免出现药物不良反应和保证临床疗 效。目前新药的药动学研究中规定，必须 对药动学性质的进行研究，即研究不同剂 量下药物的药动学行为是否发生变化，有 时还需研究药物在中毒剂量下的药动学性 质。
浓度与消除速度的关系
• 1．当剂量或浓度较低时，C《Km, 此时米氏方程
•
• 分母中的C可以忽略不计，则上式可简化为
•
dC/dt = k´C
• 此时相当于一级过程。由图7-1可见，低浓度时logC-t为一直线。
• 2．当剂量或浓度较高时，C》Km
• 分母中的Km可以忽略不计，则米氏方程可简化为：
•
比例，MRT也随剂量增加而延长，类似的情况也在抗微生
物药voriconazole，抗老年痴呆症药rivastigmine, 降血脂
药氟伐他汀(fluvastatin), 抗癌药表皮生长因子抗体
非线性动力学
t∈R
x∈ Rn
的解，则显然它是不仅是时间的函数，而且也是初值的函数，即解随着初值的改变而改变， 可以将解记为
φ(t, x0 )
当 x0 是 R n 中的某一点时，φ (t, x0 ) 代表了 1 条解轨线，而
{φ(t, x0 ) x0 ∈ D}
则代表了一族轨线。将φ看成是一个映射，即
φ : R× Rn → Rn
运动行为，它在物理上对应了这样的一个观点：在系统的最初阶段，系统由于外界的初始干 扰，将呈现相当复杂的运动形式，但随着时间的延续，运动将进入平稳状态，而这种平稳状 态体现了动态系统的本质结构。
微分方程解的最终形态通常有： (1) 平衡点 (2) 周期解 (3) 拟周期解 (4) 混沌解
6.4.1 平衡点
图 6-7 所示是 2 维线性系统的相轨线，坐标原点是系统的平衡点，图 6-7a、b 中的平衡 点是稳定的，称为稳定结点，图 6-7c 中的平衡点是不稳定的，称为鞍点。
图 6-7 2 维线性系统的相轨线
6.5.2 任意解的稳定性
设 x = ψ (t)是微分方程 x& = F(t, x)
第 6 章 非线性动力学
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
图 6-2 例 1 相图
例2
如图 6-3 所示是微分方程
&y& + 0.2 y& + y = 0
在相平面 (x1, x2 ) ，
x1 = y
x2 = y&
上的轨线图，平衡点为 (0,0)，当 t → ∞ 时，解轨线趋于平衡点。
0.6 0.4 0.2
-0.6
-0.4
-0.2 -0.2
第七章 非线性动力学及混沌 讲义
i (t ) fi ( x10 1, x20 2 x j 0 j ) x
n
f f i ( x10 , x20 , , xn 0 ) ( i ) 0 j j 1 x j (t ) i 0 (t ) x i
f i i ( )0 j j 1 x j
1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。 （香烟） 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）从动力系统 和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混沌特征。 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流 动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间 的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应” ：一只蝴蝶在巴 西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。
1 x2 x 2 x x1 2 0
2 x12 x2 1 2 2 A ( A0 )
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
阻尼弹簧振子
通解
2x x 0 x
2 0
x Aet
2 0
2 2 0
1 x2 x 2 x 0 x1 2 x2 2
第七章 非线性动力学与混沌 Chapter 7 Nonlinear Dynamics and Chaos
宋若龙 songrl@ 吉林大学物理学院
参考书
刘秉正， 《非线性动力学与混沌基础》， 东北师范大学出版社，1994
林振山，《非线性力学与大气科学》，南 京大学出版社，1993 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
第十一章 非线性动力学
可饱和的代谢过程；酶诱导；较高剂量时 的肝中毒；肝血流的变化；代谢物的抑制 作用
二、非线性药物动力学特点与识别
特点：
药物消除为非一级动力学，遵从米氏方程 AUC与剂量不成正比 消除半衰期随剂量增大而延长，剂量增加至一定 程度时，半衰期急剧增大 动力学过程可能会受到合并用药的影响 代谢物的组成比例受剂量的影响
当C0>>Km时, t1/2=C0/(2Vm) 当Km>>C0时, t1/2=0.693Km/Vm
清除率Cl
dX dt Cl C VmC dX dt ( dC dt ) V V Km C Vm V Cl Km C
当C>>Km时, Cl与C成反比：CL=Vm*V/C 当Km>>C时, Cl与C无关： CL=Vm*V/Km
线性动力学
血药浓度与剂量呈正比 ； AUC与剂量呈正比；t1/2、k、 V、Cl与剂量无关
非线性动力学
Dose-dependant PK 动力学参数与剂量有关 存在饱和现象
k
AUC
t1/2
X0
X0
X0
注：图中实线表示非线性，虚线表示线性非线性药代动力学主要见于：
与药物代谢有关的可饱和的酶代谢过程； 与药物吸收、排泄有关的可饱和的载体转 运过程； 与药物分布有关的可饱和的血浆/组织蛋白 结合过程； 酶诱导及代谢产物抑制等其他特殊过程。
五、非线性动力学参数的求算
1. Km及Vm的求算：根据-dC/dt 求算
dC Vm C dt K m C
Lineweaver-Burk方程式： Hanes-Woolf方程式： Eadie-Hofstee方程式：
12 第七章 非线性药物动力学
非线性动力学的原因?
药物在吸收、分布、生物转化过程中， 有些过程与酶或载体传递系统有关
吸收过程主动转运系统的饱和 分布过程中药物与血浆蛋白结合部位
的饱和 排泄过程中肾小管重吸收的饱和 病理变化而呈现出非线性动力学，如
氨基糖甙类药物
药物呈现剂量依赖动力学的吸收原因举例
原因 肠壁的可饱和转运
药物浓度，单位为浓度。
dC dt
1 2
Vm
1 2 Vm
VmC km C
km =C
当C<<km时， dC VmC dt km
令 Vm =k km
dC kC dt
在低浓度或小剂量时，由米氏方程可用一级动力学过程来描述
当C>>km时，
dC dt
Vm
消除速度与药物浓度无关，即属零级过程
药浓度对消除速度和速度常数的影响
原因 主动分泌 主动重吸收 尿pH的变化 可饱和的血浆蛋白结合 较高剂量时的肾中毒 利尿作用
药物 青霉素G 抗坏血酸 水杨酸 水杨酸 氨基糖甙类 茶碱，乙醇
药物呈现剂量依赖动力学的肾外消除原因举例
原因 容量—限制代谢，酶 饱和或协同因素的限制 可饱和的胆汁排泄
酶诱导 较高剂量时的肝中毒 可饱和的血浆蛋白结合
的影响。
100
血
浆
A
水
平
10
B
1 时间
显示非线性过程（静脉注射）血药浓度-时间曲线 A：高剂量呈非线性过程 B：低剂量呈线性过程
三、非线性药物动力学方程（米氏方程）
米氏方程（Michaelis-Menten）
dC VmC dt km C
式中Vm为该过程的最大速度，单位为浓度时间-1; km为米氏常数，相当于该过程最大速度一半时的
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非线性动力学复习参考
1、简述绘制相轨线的原理及其作用。
解：单自由度机械系统的自由振动，其动力学方程的一般形式为
(,)0x f x x +=& (1)
引入新的变量y 表示速度x
（2）
则系统的运动状态由位置x 及速度y 所体现,x 和y 构成系统的状态变量，方程(1)可写为状态变量的一阶微分方程组：
,(,)x y y
f x y ==-&& (3) 设状态变量的初始条件为
(4)
方程(3)的满足初始条件(4)的解x(t) 和y(t) 完全确定系统的运动过程。
以x 和y 为直角坐标建立(x,y)平面，称为系统的相平面。
与系统的运动状态一一对应的相平面上的点称为系统的相点。
系统的运动过程可以用相点在相平面上的移动过程来描述。
相点移动的轨迹称为相轨迹。
不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族。
现在我们来推导，如何利用该微分方程组得到相轨迹族。
绘制相轨迹线的作用：
相轨迹线可以帮助我们定性地了解系统在不同初始条件下的运动全貌。
当系统是强非线性振动的时候，近似解析法（如小参数摄动法，多尺度法）不再适用，此时可以采用相轨迹法来研究。
相轨迹的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期运动分析。
奇点和极限环的类型可以判断平衡状态和周期运动的稳定性，以及受扰动后可能具有的振动特性。