【初中数学】江苏省南通市教研室2012年中考数学全真模拟试卷(6份) 通用3

南通市教研室2012年数学全真模拟试卷四试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知数集{}1 0 2M x =--，，中有3个元素，则实数x 不能取的值构成的集合为 ▲ ． 2． 在△ABC 中， AB =1，AC=πABC ∠=，则ACB ∠= ▲ ．3．10(30.5)k k =+=∑ ▲ ．4． 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd ，若第二子代的D ，d 的基因遗传是等可能的（只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为 ▲ ．5． 蒸汽机飞轮的直径为1.2米，以320（转/分）的速度作逆时针旋转，则飞轮上一点1秒内所经过的路程为 ▲ 米．6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1 2)=，a ，1(2 1)5-=-，a b ，则⋅=a b ▲ ． 7． 在一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数1~5个的5句，字数6~10个的27句，字数11~15个的32句，字数16~20个的21句，字数21~25个的9句，字数26~30个的6句．利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为 ▲ ． 8． 在△ABC 中，若tan tan tan A B C ++=1，则tan tan tan A B C = ▲ ．9． 下面的流程图中，能实现数据A ，B 互相交换的有 ▲ ．（把符合条件的图形序号全填上）10．已知x y 、为正实数，满足26x y xy +=+，则xy 的最小值为 ▲ ．11．已知存在实数a ，满足对任意的实数b ，直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．线所成角的余弦值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线 (44)x t t =-<<与椭圆221169y x +=交于两点11( )P t y ，、22( )P t y ，，且10y >、20y <，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，则直线12A P 与21A P 的交点所在的曲线方程为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 的直线与函数8log y x =的图象交于A 、B 两点（A在B 的左侧），分别过A 、B 作y 轴的平行线分别与函数2log y x =的图象交于C 、D 两点，若BC //x 轴，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知函数()sin() f x A x x ωϕ=+∈R ，（其中π0 0 0<)2A ωϕ>><，，的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为()2π 23M -，．（1）求()f x 的解析式； （2）当ππ122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()f x 的最大值及相应的x 的值．（第18题）16．（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AF AC λ=．（1）若EF ∥平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．17．（本题满分15分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆柱，且该仓库的总高度为5m元/2m ，18．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>，右顶点为A ，直线BC 过原点O ，且点B 在x 轴上方，直线AB 与AC 分别交直线l ：1x a =+于点E 、F . （1）若点B，求△ABC 的面积；（2）若点B 为动点，设直线AB 与AC 的斜率分别为1k 、2k . ①试探究：12k k ⋅是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由； ②求△AEF 的面积的最小值.（第17题图）（第16题图）EABDF19．（本题满分16分）已知等比数列{}n a 的首项为1a 1(0)a >，公比为q (01)q <<，且51121ii a==∑，511121ii a==∑．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次抽取的一个无穷等比数列，满足其所有项的和落在区间15 ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内，试求出所有这样的等比数列．（参考公式：首项为a 1，公比为q （0< | q | <1）的无穷等比数列的各项的和11a S q =-.）20．（本题满分16分）定义在正实数集上的函数()f x 满足下列条件：①存在常数a ）（10<<a ，使得1)(=a f ； ②对任意实数m ，当0x >时，恒有()()m f x mf x =．（1）求证：对于任意正实数x y 、，()()()f xy f x f y =+； （2）证明：()f x 在(0)+∞，上是单调减函数；（3）若不等式()()()28log 42log (4)3a a f x f x -+--≤恒成立，求实数a 的取值范围．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中．．．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（几何证明选讲）如图，已知两圆交于A 、B 两点，过点A 、B 的直线分别与两圆 交于P 、Q 和M 、N ．求证：PM //QN ． B ．（矩阵与变换）已知矩阵A 的逆矩阵1A -1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A ． C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆221124y x +=在第一象限处的一点( )P x y ，分别作x 轴、y 轴的两条垂线，垂足分别为M N 、，求矩形PMON 周长最大值时点P 的坐标． D ．（不等式选讲）已知关于x 的不等式10x a x -+->的解集为R ，求实数a 的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AD =，12D D =，点P 在棱1CC 上，且1AP B π∠=2． （1）求PC 的长；（2）求钝二面角1A A B P --的大小．23．某品牌设计了编号依次为1 2 3 n ⋅⋅⋅，，，，()*4 n n ∈N ≥，且的n 种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择 (0 )i j i j n i j ∈N ≤≤，，，且，种款式用来拍摄广告． （1）若2i j ==，且甲在1到m (m 为给定的正整数，且22)m n -≤≤号中选择，乙在1m +（）到n 号中选择．记P st (1 1)s m m t n +≤≤≤≤，为款式（编号）s 和t 同时被选中的概率，求所有的P st 的和；（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．AQNBPM （第21—A 题）PA BCD1A1B1C1D（第22题图）南通市教研室2012年数学全真模拟试卷四参考答案1. {}1 2，；2. π6；3. 121；4. 3；5. 32π5；6. 25；7. 14；8.1； 9. ①②③； 10. 18； 11. 13a <； 12.； 13. 221169y x -=；14. 23．答案解析1．根据集合元素的互异性，21x -≠-且20x -≠，所以实数x 不能取的值构成的集合为{}1 2，；2. 由正弦定理知1sin sin C =π1sin 2C =1，所以3B π>，故C π=6；3.10011101121(30.5)113222k k =⨯+=⨯+⨯=∑；4. 第二子代的一对基因的所有等可能情形为DD ，Dd ，dD ，dd ，其中高茎的有DD ，Dd ，dD共3种，则所求概率为34；5. 飞轮上一点1秒内所经过的路程为32032π1.2605⨯π=；6. 由(1 2)=，a ，1(2 1)5-=-，a b 得(15 5)b =，，所以⋅=a b 25； 7. 利用组中值得平均每个句子所包含的字数为358271332182123928614100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；8. 由tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B +-=+=-及tan tan tan 1A B C ++=得，tan tan tan 1A B C =；9. 易得①符合题意；对于②：因为A A B ←+，所以()B A B A B B A ←-=+-=，进而 ()A A B A B A B ←-=+-=，符合题意；同理可得③符合题意；10. 因为x y 、为正实数，所以266x y xy +=+≥，解得18xy ≥（当且仅当3 6x y ==，时等号成立）11. 易得2331x a -=-解无实数，即213a x =+解无实数，所以13a <；12.出现六条棱共面的情形，这与假设矛盾）．故根据余弦定理得较长棱所在直线所成角的余=；13. 直线12A P的方程为2(4)4yy xt=++，21A P的方程为1(4)4yy xt=--，两式左右分别相乘得22122(16)16y yy xt=--，因为点11()P t y，、22()P t y，在椭圆221169yx+=上，所以2211169yt+=，2221169yt+=，即()2219116ty=-，()2229116ty=-，又1y>、2y<，所以()2129116ty y=-，代入22122(16)16y yy xt=--得221169yx-=；14.设()181logA x x，，()282logB x x，，则()121logC x x，，()222logD x x，，因为BC//x轴，所以8221log logx x=，即321x x=，①又A、B、O三点共线，故818212log logx xx x=，②由①②得12x x=故四边形ABCD的面积为(((28log log log log⎡⎤⨯+=⎣⎦23．15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质，考查运算求解的能力．解：（1）由题意得2A=，周期2Tωπ==π，得ω=2，（4分）此时()2sin(2)f x xϕ=+，将()2π2M-，代入上式得()422sinϕπ-=+，即()4sin1ϕπ+=-，π0<2ϕ<，解得π6ϕ=，所以()f x＝()π2sin26x+；（8分）（2）因为ππ122x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以ππ7π2366x+≤≤，（10分）所以，当且仅当ππ2x=+，即πx=时，()πsin216x+=，即有()f x的最大值为2．（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．解：（1）因为EF∥平面ABD，易得EF⊂平面ABC，（第16题图）EABDF8x2x（第18题图）平面ABC 平面ABD AB =， 所以//EF AB ，（5分）又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AF λ=得12λ=；（7分）（2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，（9分）又AE DE E =，AE DE ⊂、平面AED ，所以BC ⊥平面AED ，（12分） 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED ．（14分）17．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为θ，且()π0 4θ∈，，（2分） 则该仓库的侧面总造价[]152π55(1tan )1002π54002cos y θθ⎡⎤=⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦()2sin 50π3+cos θθ-=，（8分） 由22sin 150π0cos y θθ⎛⎫-'== ⎪⎝⎭得1sin 2θ=，即π6θ=，（13分） 经检验得，当π6θ=时，侧面总造价y m ．（15分）（法二）设圆锥的高为x m ，且()0 5x ∈，，（2分）则该仓库的侧面总造价[]12π55(1)1002π54002y x ⎡=⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⎢⎣()150π+10πx =，（8分）由)10π10y '==得x ，（13分）经检验得，当x 时，侧面总造价y m ．（15分）18．命题立意：本题主要考查直线的方程、椭圆的方程及其简单性质等基础知识，考查灵活运用数解：（1）由题意得22231 a b ⎪+=⎪⎩，解得2228a b ==，（3分）则△ABC 的面积S122AOB S a ∆==⨯⨯=（5分）（2）① 12k k ⋅为定值，下证之：证明：设00( )B x y ，，则00()C x y --，，且2200221x y a b+=，（7分） 而()220222000122222200001x b y y y b a k k x a x a x a x a a-⋅=⋅===--+--由（1）得222a b =， 所以121k k ⋅=-；（10分）② 易得直线AB 的方程为1()y k x a =-， 直线AC 的方程为2()y k x a =-，令1x a =+得，1E y k =，2F y k =，则△AEF 的面积2111122AEF S EF k k ∆=⨯⨯=-，（13分）因为点B 在x 轴上方，所以120 0k k <>，， 由1212k k ⋅=-得2111()22AEF S k k ∆=-⨯≥（当且仅当21k k =-时等号成立）所以，△AEF.（15分）19．命题立意：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量、有限与无限的数学思想进行运算求解、探索分析的综合能力. 解：（1）因为51121i i a ==∑，511121i i ==∑， 所以319a =，（2分）()()22133312181a q q a a q q --++++=， 解得1103q q -+=，又01q <<，所以1q =，（4分） 此时，()113n n a -=；（6分）（2）设无穷等比子列的首项为()13m，公比为()13k，且*m k ∈N 、，则其所有项和()()1315 11m k⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-，，（9分） 即()()()11151111233243kmk⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤≤， 故()11518324m≤≤，所以2m =，（12分）此时()1173315k-≤≤， 所以*k ∈N ，（14分）所有满足题意的等比子列是以19为首项，()1k（*k ∈N ）为公比的等比数列．（16分）20．命题立意：本题主要考查指数函数、对数函数以及抽象函数的性质等，考查灵活运用函数性质进行探索求解、推理论证的综合能力．解：（1）证明：令n m a y a x ==，，则()()()()()()()m n m n f a m n f a mf a nf a f a f a +=+=+=+， 所以)()()(y f x f xy f +=，即证；（5分） （2）证明：设120x x ∀<<，则必0s ∃>，满足12s x a x =， 而()1122()()()()0sx f x f x f f a sf a s x -====>，即12()()f x f x >，所以()f x 在(0)+∞，上是单调减函数.（10分） （3）令log (4)0a t x =->，则()()2283f t f t +-≤，故()()232t f f a +≤，即()312a t +≤，所以3a 01a <<，故0a <<．（15分）21．A ．命题立意：本题主要考查圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解：连结AB ，易得ABN APM ∠=∠，ABN AQN ∠+∠=π，(6分) 所以APM AQN ∠+∠=π，又点 P A Q ，，三点共线， 故//PM QN .(10分)B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的逆矩阵，考查运算求解能力．解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则由1-=AA E 得10100201a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，(5分) AQNBPM （第21—A 题）解得1 0 0 1 2a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，所以10102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A .(10分)C ．命题立意：本题主要考查椭圆的参数方程的应用，考查运算求解能力．解：设 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数），(4分)则矩形PMON周长为()2sin 4sin αααπ+=+3，(8分)所以，当απ=6时，矩形PMON 周长取最大值4，此时，点(3P .(10分)D ．命题立意：本题主要考查解绝对值不等式的基本方法，考查运算求解的能力． 证明：若10x -<，则R a ∈；(2分)若10x -≥，则()()221x a x ->-对任意的[)1 x ∈+∞，恒成立，即()()1120a a x -+->⎡⎤⎣⎦对任意的[)1 x ∈+∞，恒成立， (4分) 所以10 12 a a x ->⎧⎨+<⎩，，或10 12 a a x -<⎧⎨+>⎩，对任意的[)1 x ∈+∞，恒成立，(8分) 解得1a <.(10分)22．命题立意：本题主要考查空间向量的应用，考查运算求解能力．解：（1）如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD , , 分别为x y z , , 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()000D ,, ，()110B , , ，()1102A , , ， 设()01P λ,, ，其中[]02λ∈, ， 因为1A PB π∠=2，所以10A P BP ⋅=，即()()112100λλ--⋅-=,, , , ，得1λ=， 此时()011P ,, ，即有1PC =； （2）易得平面1AA B 的一个法向量为()100m DA ==, , ，（第22题图）y设平面1A BP 的一个法向量为()n x y z =, , ，则10 0 n n A P BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即0 0 x y z x z -+-=⎧⎨-+=⎩，，不妨取1x =，则0y =，1z =-，即()101n =-, , ，所以cos m n m n >m n ⋅<===，所以，钝二面角1A A B P --的大小为3π.(10分)23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．解：（1）甲从1到m (m 为给定的正整数，且22)m n -≤≤号中任选两款，乙从1m +（）到n 号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为22C C m n m -，记“款式s 和t (1 1)m s m t n +≤≤≤≤，同时被选中”为事件B ，则事件B 包含的基本事件的种数为1111111(1)C C C C m n m --+⋅，所以()P B =1111111(1)22C C C C 4()C Cm n m st m n mP m n m --+-⋅==-， 则所有的st P 的和为：114C C 4()m n m m n m -⋅=-；(4分) （2）甲从n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：012C C C C nn n n n +++⋅⋅⋅+=2n ，同理得，乙从n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为2n ， 据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：224n n n ⋅=， 记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为：“没有一个款式为甲和乙共同认可”， 而事件A 包含的基本事件种数为：0012C (C C C C )n n n n n n ⋅+++⋅⋅⋅++101211111C (C C C C )n n n n n n -----⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+10111C (C C )n n -⋅+0+C (C )n n ⋅01110C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅(12)n =+3n =，所以()()3()114nP A P A =-=-.(10分)。