第12讲 反比例函数的图象和性质

第12讲 反比例函数的图象和性质【知识要点】1、反比例函数的主要性质： （1）、位置：①当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；②当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。

（2）、增减性：①当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________；②当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。

（3）、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 （4）、对称性：①对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；②对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6-）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。

3、反比例函数y kx=（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是： 过双曲线y x=（0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为|k|。

【典型例题】（一）反比例函数的图象和性质： 例1、（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （2）若反比例函数22)12(--=m xm y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）A 、 －1或1;B 、小于12的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）已知0k >，函数y kx k =+和函数ky x=在同一坐标系内的图象大致是（ ）（2xx的图象有个交点． （5）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象相交于点A （1，a ），则a ＝ ．例2、（1）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ）xxxxA ．34y x =-+B ．123y x =--C ．4y x=- D ．12y x =．（2）已知反比例函数2y x-=的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <， 则12y y -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．不能确定 （3）若点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2y x=-的图象上，且1230x x x <<<，则下列判断中正确的是（ ）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．231y y y <<D ．321y y y << （4）在反比例函数xk y 1+=的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是 ．（5）正比例函数y=k 1x(k 1≠0)和反比例函数y=2k x(k 2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________.（6）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: .（二）反比例函数与三角形面积结合题型。

例3、（1）矩形的面积为6cm 2，那么它的长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系用图象表示为（ ）（2）反比例函数y=kx(k>0)在第一象限内的图象如图,点M(x,y)是图象上一点, MP 垂直x 轴于点P, MQ 垂直y 轴于点Q ；① 如果矩形OPMQ 的面积为2，则k=___; ② 如果△MOP 的面积=____________.（3）．老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数(0)k y k x=≠的图象以及正比例函数2y x =-的图象，请同学观察有什么特点。

甲同学说：双曲线与直线2y x =-有两个交点；乙同学说：双曲线上任意一点到两坐标轴的距离的积都是5．请你根据甲、乙两位同学的说法，写出这个反比例函数的解析式 ． (4)、如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x=的图象相交于A 、C 两点， 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC ．则ΔABC 的面积等于（ ）o y xy xo y xo yxoABCD y xOA PM （x,y ）Oyx第7题A ．1B ．2C ．4D ．随k 的取值改变而改变．(5)、如图，Rt ΔABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线y x m =-+ 在第二象限的交点，AB 垂直x 轴于B ，且S △ABO ＝32，则反比例函数的解析式 ．(6).如图,在平面直角坐标系中，直线2k y x =+与双曲线ky x =在第一象限交于点A ，与x 轴交于点C ，AB ⊥x 轴，垂足为B ，且AOB S Λ＝1．求： （1）求两个函数解析式； （2）求△ABC 的面积．【经典练习】1、已知-2与成反比例，当=3时，=1，则与间的函数关系式为 ；2、已知反比例函数的图象经过点（3，2）和（m ，－2），则m 的值是＿＿＿3、在直角坐标系中，O 是坐标原点.点P （m ,n ）在反比例函数y =kx 的图象上.若m =k ,n =k －2,则k = ；若m +n =2k ,OP =2,且此反比例函数y =kx 满足：当x >0时，y 随x 的增大而减小，则k = . 4、三个反比例函数(1)y=1k x （2）y=2kx （3）y=3k x在x 轴上方的图象如图所示，由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系5. 如图，在xy 1=（x >0）的图象上有三点A ，B ，C ，过这三点分别向x 轴引垂线， 交x 轴于A 1，B 1，C 1三点，连OA ，OB ，OC ，记△OAA 1，△OBB 1，△OCC 1的面积分别为S 1，S 2，y x x y y x （第（5）题）S 3，则有（ ）A. S 1=S 2=S 3B. S 1<S 2<S 3C. S 3<S 1<S 2D. S 1>S 2>S 3 6、已知函数y=-kx （k ≠0）和y=-4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则S △BOC =_________．7、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A 、B 两点 （1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标； （2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值8、如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线与直线在第二象限的交点， AB ⊥轴于B 且S △ABO=（1）求这两个函数的解析式（2）A ，C 的坐标分别为（-1，3）和（3，-1）求△AOC 的面积。

9、如图，已知反比例函数y =的图象经过点A （1，- 3），一次函数y = kx + b 的图象经过点A 与点C （0，- 4），且与反比例函数的图象相交于另一点B. 试确定这两个函数的表达式；y kx b =+my x=x xky =)1(+--=k x y x 23xmOy xB AC【课后作业】 姓 名 成 绩 家长签名1、若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（ ）A 、－1或1B 、小于的任意实数 C 、－1 Ｄ、不能确定 2、正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为（ ） A B C D3、在函数y=(k<0)的图像上有A(1,y )、B(－1,y )、C(－2,y )三个点，则下列各式中正确的是（ ）(A) y <y <y (B) y <y <y (C) y <y <y (D) y <y <y 4、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（ ） A <0，>0 B >0，<0C 、同号D 、异号5、若点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）是反比例函数x 1＜x 2＜0，则下列各式中正确的是 （ ） A 、y 1＜y 2 B 、y 1 >y 2 C 、y 1= y 2 D 、不能确定 6、如图，已知双曲线（）经过矩形的边的 中点，且四边形的面积为2，则 ．7、如果y 与x 成反比例，z 与y 成正比例，则z 与x 成__________。

8、如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线y kx=与直线y x k =-++()1在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，且S ABO ∆=32，（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A ，22)12(--=m x m y m 21kx y =xky =xk123123132321231x k y 1=xk y 2=1k 2k 1k 2k 1k 2k 1k 2k 1k 2k xy 1-=ky x=0x >OABC AB BC ，F E ，OEBF k =y xoy x oy xoyx o y xOFAB ECC 的坐标和△AOC 的面积。

yC O B xA9、D 为反比例函数：(0)ky k x=<图象上一点.过D 作DC ⊥y 轴于C, DE ⊥x 轴于E,一次函数m x y +-=与233+-=x y 的图象都过C 点,与x 轴分别交于A 、B 两点。

若梯形DCAE 的面积为4，求k 的值.10、如图，已知反比例函数xy 12=的图像与一次函数y ＝kx ＋4的图像相交于P 、Q 两点，并且P 点的纵坐标是6． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求△POQ 的面积．yxE D CB AO。