2014-2015年重庆市南开中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)
2014-2015年重庆市南开中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)
2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）复数z=的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．（5分）命题“∀x∈（0，+∞），x+＞2”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x+≤2 B．∀x∈（0，+∞），x＜2C．∃x∈（0，+∞），x+≤2 D．∃x∈（0，+∞），x+＜23．（5分）抛物线y+x2=0的准线方程为（）A．y= B．x= C．y=2 D．x=24．（5分）“直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切”是“k=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知=（1，0，﹣1），则下列向量中与所成夹角为120°的是（）A．（1，0，1）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，﹣1） D．（﹣1，1，0）6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=17．（5分）已知斜率为1的直线l与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±x C．y=± D．y=±x8．（5分）三棱锥O﹣ABC的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是O（0，0，0），A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1），则点C到平面OAB的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的乘积的最小值为（）A．B．C．D．210．（5分）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球为球O，P为球O 的球面上动点，DP⊥BC1，则点P的轨迹的周长为（）A．πB．C．π D．2π二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡II上相应位置（只填结果，不写过程）11．（5分）i+i2+i3+i4=．12．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与抛物线A，B两点，若AB中点M 的横坐标为，则|AB|=．13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，该三棱柱的体积为．14．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣1）2=1和椭圆+=1上的动点，则|PQ|的最大值为．15．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|=b，则该双曲线的离心率为．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（12分）已知m∈R，复数z=m2+m﹣2+i．（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面中所对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．17．（15分）已知实数m＞0，命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：y=x+m与圆x2+y2=2有两个交点，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1（1）求证：直线BC1∥平面ACD1（2）求直线AB与平面ACD1所成角的正弦值．19．（13分）已知动圆过定点F（1，0），且与直线l：x=﹣1相切（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）过点P（2，0）作直线交C的轨迹于A，B两点，交l于点M，若点M的纵坐标为﹣3，求|AB|的长．20．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是线段PC上一点．（1）若PC⊥平面BDE，求的值；（2）若二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣，求线段BD的长．21．（11分）设椭圆C：+（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知p为非零常数，若过点P（p，0）的直线l与椭圆C相交于不同于椭圆长轴顶点的两点M，N，且=，问在x轴上是否存在定点Q，使与x轴垂直？若存在，求定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）复数z=的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：复数z===1﹣i．∴复数z=的虚部为：﹣1．故选：B．2．（5分）命题“∀x∈（0，+∞），x+＞2”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x+≤2 B．∀x∈（0，+∞），x＜2C．∃x∈（0，+∞），x+≤2 D．∃x∈（0，+∞），x+＜2【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈（0，+∞），x+＞2”的否定为：∃x∈（0，+∞），x+≤2．故选：C．3．（5分）抛物线y+x2=0的准线方程为（）A．y= B．x= C．y=2 D．x=2【解答】解：抛物线y+x2=0，即：x2=﹣2y．准线方程：y=．故选：A．4．（5分）“直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切”是“k=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则，则（k2+1）x2+4kx+3=0，∴△=16k2﹣12（k2+1）=0，解得：k=±，∴直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切”是“k=”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知=（1，0，﹣1），则下列向量中与所成夹角为120°的是（）A．（1，0，1）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，﹣1） D．（﹣1，1，0）【解答】解：对于D：设=（﹣1，1，0），∴=﹣1，=，∴==﹣，∴=120°．故选：D．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：由已知得，解得a=3，b=2，∴椭圆C的方程为．故选：C．7．（5分）已知斜率为1的直线l与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±x C．y=± D．y=±x【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减可得：﹣=0，∵斜率为1的直线l与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，A、B的中点为M（1，3），∴k•k OM==3，∴y=x=±x．故选：B．8．（5分）三棱锥O﹣ABC的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是O（0，0，0），A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1），则点C到平面OAB的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵O（0，0，0），A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1），∴=（1，0，1），=（1，1，0），=（0，1，1），设=（x，y，z），平面ABO的法向量，∴，令x=1，y=﹣1，z=﹣1，∴=（1，﹣1，﹣1），=﹣2，||=∴点C到平面OAB的距离为：==，故选：A．9．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的乘积的最小值为（）A．B．C．D．2【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，则：在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=+﹣∴化简得：，该式可变成：，∴≥∴e1e2≥，故选：B．10．（5分）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球为球O，P为球O 的球面上动点，DP⊥BC1，则点P的轨迹的周长为（）A．πB．C．π D．2π【解答】解：∵DP⊥BC1，∴点P在过点D且于BC1垂直的平面上，故点P在平面CDA1B1内，故点P在平面CDA1B1与球的交线上，又∵平面CDA1B1与球的交线是球的大圆，又∵内切球的半径为1，∴点P的轨迹的周长为2π，故选：D．二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡II上相应位置（只填结果，不写过程）11．（5分）i+i2+i3+i4=0．【解答】解：i+i2+i3+i4=i﹣1+i2•i+i2•i2=i﹣1﹣i+1=0．故答案为：0．12．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与抛物线A，B两点，若AB中点M 的横坐标为，则|AB|=5．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=4x，∵2p=4，p=2，∵|AB|=x A++x B+=x A+x B+p=x A+x B+2，∵若线段AB的中点M的横坐标为，∴（x A+x B）=，∴x A+x B=3，∴|AB|=3+2=5．故答案为：5．13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，该三棱柱的体积为．【解答】解：因为CC1∥AA1．所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C=．在Rt△BC1C中，BC=CC1tan∠BC1C=6×=2，=BC2=3，从而S△ABC因此该三棱柱的体积为V=S×AA1=3×6=18，△ABC故答案为：18．14．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣1）2=1和椭圆+=1上的动点，则|PQ|的最大值为5．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣1）2=1的圆心为（0，1），半径为1，∴椭圆上的点与圆心的距离为==≤4，∴P，Q两点间的最大距离是4+1=5．故答案为：515．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|=b，则该双曲线的离心率为．【解答】解：∵F1，F2是双曲线的左右焦点，延长F2A交PF1于Q，∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴PQ=PF2，∵P在双曲线上，∴PF1﹣PF2=2a，∴PF1﹣PQ=QF1=2b，∵O是F1F2中点，A是F2Q中点，∴OA是F2F1Q的中位线，∴QF1=2a=2OA=2，∴a=1，c=，∴双曲线的离心率e=．故答案为：．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（12分）已知m∈R，复数z=m2+m﹣2+i．（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面中所对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵复数z=m2+m﹣2+i为纯虚数，∴，解得m=﹣2．（2）∵复数z在复平面中所对应的点位于第四象限，∴，解得﹣3＜m＜﹣2．∴实数m的取值范围是（﹣3，﹣2）．17．（15分）已知实数m＞0，命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：y=x+m与圆x2+y2=2有两个交点，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：由命题p知m＞3；由命题q知方程组有两个解；∴x2+（x+m）2=2，即2x2+2mx+m2﹣2=0有两个不同实数根；∴△=4m2﹣8（m2﹣2）＞0，解得：﹣2＜m＜2；又m＞0，∴0＜m＜2；∴若p或q为真命题，p且q为假命题，则p，q一真一假；①p真q假时，，∴m＞3；②p假q真时，，∴0＜m＜2；∴实数m的取值范围为（0，2）∪（3，+∞）．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1（1）求证：直线BC1∥平面ACD1（2）求直线AB与平面ACD1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵几何体为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AB∥C1D1，AB=C1D1，∴AD1∥BC1，∵AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1∴直线BC1∥平面ACD1；（2）解：以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D为x，y，z轴作空间直角坐标系，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，∴D1（0，0，0），A（1，0，1），C（0，2，1），B（1，2，1）∴=（0，2，0），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，﹣1），设平面ACD1的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1，则=（2，1，﹣1），∴直线AB与平面ACD1所成角的正弦值等于|cos＜＞|==．19．（13分）已知动圆过定点F（1，0），且与直线l：x=﹣1相切（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）过点P（2，0）作直线交C的轨迹于A，B两点，交l于点M，若点M的纵坐标为﹣3，求|AB|的长．【解答】解：（1）如图，设M为动圆圆心，F（1，0），过点M作直线x=﹣1的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|即动点M到定点F与到定直线x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（1，0）为焦点，x=﹣1为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为y2=4x．（2）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），则y=k（x﹣2）过点（﹣1，﹣3），解得k=1，∴直线AB的方程为y=x﹣2，联立，得x2﹣8x+4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，x1x2=4，∴|AB|==4．20．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是线段PC上一点．（1）若PC⊥平面BDE，求的值；（2）若二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣，求线段BD的长．【解答】解：（1）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，则P（0，0，2），C（0，2，0），设B（b，，0），D（﹣b，，0），（b＞0），设EC=x，则在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2，PC=2，则ECsin∠PCA=x，ECcos∠PCA=x，即E（0，2﹣x，x），则=（0，2，﹣2），=（﹣2b，0，0），=（﹣b，，）．由于PC⊥平面BDE，则PC⊥BD，PC⊥BE，则=0，=0，则，解得，x=，则PE=2﹣=，则=2；（2）由（1）得，=（0，0，2），=（b，，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取=（﹣，b，0），由于=（0，2，﹣2），=（﹣b，，0），设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则，取=（），由于二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣，即有|cos＜＞|=，即有||=||=，解得，b=．则线段BD的长为．21．（11分）设椭圆C：+（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知p为非零常数，若过点P（p，0）的直线l与椭圆C相交于不同于椭圆长轴顶点的两点M，N，且=，问在x轴上是否存在定点Q，使与x轴垂直？若存在，求定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，=，=1，∴a=2，b=1，∴椭圆C的方程为；（2）设在x轴上存在定点Q（t，0），使与x轴垂直．设直线l的方程为x﹣p=ky，M（x1，y1），N（x2，y2）．由=，得y1+λy2=0．即λ=﹣①∵=（4，0），=（x1﹣t﹣λx2+λt，y1﹣λy2），∴x1﹣t﹣λx2+λt=0，∴x1﹣t=λ（x2﹣t），即ky1+p﹣t=λ（ky2+p﹣t）②①代入②得2ky1y2+（p﹣t）（y1+y2）=0③把x=p+ky代入椭圆，消去x可得（k2+4）y2+2kpy+p2﹣4=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=，代入③化简可得pt=4，当t=时，上式恒成立，因此，在x轴上存在定点Q（，0），使与x轴垂直．。
【数学】重庆市南开中学2013-2014学年高二上学期期末考试(文).docx
AE⊥面BCFE，且AE=BE，G、M分别是BC、AG的中点．
(1)求证：CF⊥平面BMF；
(2)求三棱锥B-MFG的体积．
20．（本小题满分12分）
如图，已知离心率为
3的椭圆
C
:x
2
y2
1(
a b
0)过点M
，O为坐标原点，
2
a
2
b2
(2,1)
平行于OM的直线，交椭圆C于不同的两点A、B．
(1)求椭圆C的方程；
q
x
x
A．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C．充要条件
D.
既不充分也不必要条件
3．若命题p : x0
[ 3,3], x02
2x0
1
1，则对命题p的否定是( )
A．
x0
[
3,3], x02
2x01
0
B.
x0
(
,3)
(3, ), x02
2x0
1
0
C.
x0
(
,3)
(3,
), x02
2x0
1
0
D.x0[ 3,3], x022x01 0
ax 1 0对任意x∈R恒成立；命题q:函数
f ( x)
1x3
x2
ax 2在x
[ 1,1]上是增函数，若“p∨q留”为真命题，
3
“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
17.（本小题满分13分）
已知直三棱柱ABC–A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，
∠BAC= 90°，且AB= AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．
ln x 1
重庆市南开中学2015-2016学年高二上学期期中测试数学理试题 Word版含答案
9、已知曲线 C1 , C2 的方程分别为 f1 x, y 0, f 2 x, y 0 ，则“ f1 x0 , y0 f 2 x0 , y0 ” 是“点 M x0 , y0 是曲线 C1与C2 的交点”的 A、充分不必要条件 C、充要条件 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
2
13、抛物线 y 2 x 上的点 A 到其焦点的距离为 1，则点 A 到 y 轴的距离为____________。
x2 y 2 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ， P 为该椭圆上异于顶点的一点，且 14、已知椭圆 9 5
PF1F2 是等腰三角形，则 PF1F2 的面积为____________。
2
C、 2
D、 2
8、已知点 A 0, 1 ，抛物线 C : y 2 px
p 0 的焦点为 F ，直线 AF 与抛物线 C 在第一
象限交于 M 点， AF FM ， O 为坐标原点，则 OAM 的面积为
Go the distance
A、1
B、
2 2
C、
1 2
D、2Βιβλιοθήκη 421、 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2 2 ，左顶点和上、下顶点连成的三角形 为正三角形。 （I）求椭圆 E 的方程；
（II）若对于点 M m, 0 ，存在 x 轴上的另一点 ．．．N ，使得过 N 点的任意直线 l ，当 l 与椭圆 E 交于相异两点 P 、 Q 时， MP MQ 为定值，求 m 的取值范围。
15、 已知双曲线 C :
x2 y2 1 a 0, b 0 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 ， 由 F2 向双曲线 C a 2 b2
重庆南开中学2014—2015学年度下高二期末试题数学(文)
重庆南开中学2014—2015学年度下期高二期末试题数学(文)(I 卷)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．集合{1,0,1}P =-，{|cos ,}Q y y x x R ==∈，则P Q =（ ）A ．PB ．QC ．{1,1}-D ．[0,1]2．若点(,27)t 在函数3y x =的图像上，则tan9t π的值为（ ）A ．0B ．1 CD3．函数y =的定义域为（ ）A ．(4,1)--B ．(1,1)-C ．(4,1)-D ．(1,1]-4．函数2sin(2)2y x π=-是（ ）A ．最小正周期为万的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为万的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数5．已知“x k >”是“21xx -+”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．(1,)-+∞D ．(,1]-∞-6．设α为第二象限角，若3tan 4α=-，则cos()4πα+=（ ）A ． BC ． D7．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若A=2B ，a =，则cos B =（ ）A B C D8．函数228,0()2,0x x x f x x x ⎧+->=⎨--<⎩，()31xg x =-则使不等式(())0f g x ≥成立的区间为（ ）A ．[1,)+∞B ．[ln 3,)+∞C ．[1,ln 3]D ．[1,ln 3)-9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，||2πϕ<）的图像如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图像，则只需将()f x 的图像（ ） A ．向左平移12π个长度单位 B ．向左平移6π个长度单位 C ．向右平移12π个长度单位D ．向右平移6π个长度单位10．若曲线()cos sin f x a x x =+与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线，则a b +=（ ）A ．﹣lB ．0C ．1D ．211．己知cos 46cos14sin 46sin14a =-，1tan 351tan 35b +=-，2ln 4c c =-则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b12．已知,x y 均为正数，(,)42ππθ∈，且满足sin cos x yθθ=，222222cos sin 102()x y x y θθ+=+，则xy=（ ）ABCD (II 卷)二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
重庆南开中学高2015级高二(上)期末测试数学试题(理科)(20201104085530)
的斜率为 __
__
三、解答题： （本大题 6 个小题，共 75 分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上
16. （本小题满分 13 分）已知命题 p：函数 _y=lg(x2 - ax+l) 的定义域为 R；
命题 q：函数 y ( a 2 2 a 2) x 。在 x∈R 上是增函数．若“ p∨ q”为真命题，
“p∧ q”为假命题，求实数 a 的取值范围．
方程 ( )
A． ( x 1)2 y 2 64 B ． x2 ( y 1)2 64
25
25
C． ( x 1)2 y 2 1 D.
x2 ( y 1) 2 1
7、右图是一个多面体的三视图，则其外接球表面积为
()
A． 12
14
C.
3
B. 20 3
D ．6
8．已知正四面体 A-BCD 棱长都为 2， M 为 AC 中点， N 为 CD 中点，求异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值 ( )
1
EF=BE= BC= 2，∠ BEF =90°，点 A 是平面 BEF 外一点， AE⊥
2
： 面 BCFE ，且 AE =BE ，若 G、 M 分别是 BC、AG 的中点． (1) 求证： AE // 平面 BMF ； (2) 求二面角 G - MF -C 的平面角 .
19. （本小题满分 12 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 右焦点、右准线的距离依次成等差数列． (1) 求椭圆的离心率；
2． 2
(1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若存在直线 l： y=kx ，使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A， B 两点，与圆 M 分别交于 G， H 两点，点 G 在线段 AB 上，且 | AG| = | BH | ，求圆 M 半径 r 的取值范围．
2014-2015学年重庆市南开中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)
2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≤0 B．∀x∈R，cosx≤0 C．∃x∈R，cosx＞0 D．∀x ∈R，cosx＜02．（5分）直线x+y=5和圆O：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心3．（5分）已知双曲线方程为，则此双曲线的右焦点坐标为（）A．（1，0） B．（5，0） C．（7，0） D．（，0）4．（5分）已知椭圆的方程为2x2+3y2=6，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）从点P（3，3）向在圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长为（）A．5 B．6 C．4 D．76．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（2）x+m，（m∈R），则（）A．f（0）＜f（5）B．f（0）=f（5）C．f（0）＞f（5）D．无法确定8．（5分）已知椭圆（0＜b＜2）与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．89．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜110．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为（）A．.B．.C．D．.二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是．12．（5分）设曲线f（x）=在点（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=．13．（5分）已知双曲线方程是x2﹣=1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P（2，1）为P1P2的中点，则此直线方程是．14．（5分）从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段PP′，交y轴于P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是．15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=1，那么的取值范围是．三、解答题（共75分）16．（12分）已知集合A是不等式x2﹣8x﹣20＜0的解集，集合B是不等式：（x ﹣1﹣a）（x﹣1+a）≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若a=2时，求A∩B；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求a的范围．17．（12分）已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．18．（12分）设函数f（x）=﹣9x﹣1（a＞0），直线l是曲线y=f（x）的一条切线，当l斜率最小时，直线l与直线10x+y=6平行．（1）求a的值；（2）求f（x）在x=3处的切线方程．19．（12分）已知椭圆E：（a＞）的离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）斜率k=1的直线交椭圆于A、B，交y轴于T（0，t），当弦|AB|=，求t 的值．20．（13分）已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）在x∈（0，+∞）时的最大值；（2）若直线y=﹣x+2a是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．21．（14分）已知抛物线y2=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．（1）若m=1，k1=时，求弦|AB|的长度；（2）若k1+k2=1，判断直线MN是否过定点？并说明理由．2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≤0 B．∀x∈R，cosx≤0 C．∃x∈R，cosx＞0 D．∀x ∈R，cosx＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是：∃x∈R，cosx≤0．故选：A．2．（5分）直线x+y=5和圆O：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心【解答】解：将圆O的方程化为标准方程得：x2+（y﹣2）2=4，可得：圆心O（0，2），半径r=2，∵圆心O到直线x+y=5的距离d==＞2=r，∴直线与圆O的位置关系是相离．故选：A．3．（5分）已知双曲线方程为，则此双曲线的右焦点坐标为（）A．（1，0） B．（5，0） C．（7，0） D．（，0）【解答】解：因为双曲线方程为，所以a2=4，b2=3．且焦点在x轴上∴=．故双曲线的右焦点坐标为：（，0）．故选：D．4．（5分）已知椭圆的方程为2x2+3y2=6，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆的方程化为，∴a2=3，b2=2，∴c2=a2﹣b2=3﹣2=1，∴此椭圆的离心率为e===．故选：B．5．（5分）从点P（3，3）向在圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长为（）A．5 B．6 C．4 D．7【解答】解：由题意可得圆心C（﹣2，﹣2），圆的半径r=1，∴|PC|==5，∴切线长为=7故选：D．6．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线kx2﹣y2=1为，它的一条渐近线方程为直线2x+y+1=0的斜率为﹣2∵直线与直线2x+y+1=0垂直∴即a=2∴故选：A．7．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（2）x+m，（m∈R），则（）A．f（0）＜f（5）B．f（0）=f（5）C．f（0）＞f（5）D．无法确定【解答】解：∵f（x）=x2+2f′（2）x+m，∴f′（x）=2x+2f′（2），∴f′（2）=2×2+2f′（2），∴f′（2）=﹣4．∴f（x）=x2﹣8x+m，其对称轴方程为：x=4，∴f（0）=m，f（5）=25﹣40+m=﹣15+m，∴f（0）＞f（5）．故选：C．8．（5分）已知椭圆（0＜b＜2）与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵已知椭圆（0＜b＜2）∴a=2，c=则△ABF面积S=AB×OF=2b×c=b当且仅当b=取等号．则△ABF面积的最大值为2故选：B．9．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜1【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣4），由消去y，得（3﹣k2）x2+8k2x﹣16k2﹣12=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线AB与双曲线的右支有两个不同的交点，∴，化简此不等式组可得k2＞3，即|k|＞．故选：B．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为（）A．.B．.C．D．.【解答】解：Rt△OF1B中，|OF1|=c，|OB|=b∴|BF1|==a，得cos∠F1BO=∵∴2•（）2﹣1=，解之得=设D（m，n），得，∴k BD•k CD=∵D（m，n）在椭圆上，∴，得n2=b2（1﹣）由此可得k BD•k CD==﹣=﹣又∵=﹣=﹣=﹣=﹣∴k CD==，即直线CD的斜率等于故选：B．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是4．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，而焦点到准线的距离就是p．故答案为：4．12．（5分）设曲线f（x）=在点（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=﹣1．【解答】解：f（x）=，可得f′（x）=x2﹣2，当x=1时，f′（1）=1﹣2=﹣1，∵曲线在点P（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0互相垂直，∴﹣1•（﹣a）=﹣1∴a=﹣1．故答案为：﹣113．（5分）已知双曲线方程是x2﹣=1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P（2，1）为P1P2的中点，则此直线方程是4x﹣y﹣7=0．【解答】解：设y=kx﹣2k+1．代入x2﹣=1，消y并化简，得（2﹣k2）x2+2k （2k﹣1）x﹣4k2+4k﹣3=0．设直线与双曲线的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．当2﹣k2≠0即k2≠2时，有x1+x2=又点P（2，1）是弦P1P2的中点，∴=4，解得k=4．当k=4时△=4k2（2k﹣1）2﹣4（2﹣k2）（﹣4k2+4k﹣3）=56×5＞0，当k2=2即k=±时，与渐近线的斜率相等，即k=±的直线l与双曲线不可能有两个交点，综上所述，所求直线方程为y=4x﹣7．故答案为：4x﹣y﹣7=0．14．（5分）从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段PP′，交y轴于P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是4x2+y2=1．【解答】解：由题意可得已知圆的方程为x2+y2=1．设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），∵M是线段PP′的中点，∴由中点坐标公式得2x=x0，y=y0，∵P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，∴（2x）2+y2=1①即4x2+y2=1．∴点M的轨迹是一个椭圆．故答案为：4x2+y2=1．15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=1，那么的取值范围是[，+∞）．【解答】解：设k=，则y=kx﹣（k+3）表示经过点P（1，﹣3）的直线，k 为直线的斜率，∴求的取值范围就等价于求同时经过点P（1，﹣3）和圆上的点的直线中斜率的最大最小值，从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为k PB和k PA，其中k PB不存在，由圆心C（2，0）到直线y=kx﹣（k+3）的距离=r=1，解得：k=，则的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）三、解答题（共75分）16．（12分）已知集合A是不等式x2﹣8x﹣20＜0的解集，集合B是不等式：（x ﹣1﹣a）（x﹣1+a）≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若a=2时，求A∩B；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求a的范围．【解答】解：（1）由已知条件得：A=（﹣2，10），B=（﹣∞，1﹣a]∪[1+a，+∞）；当a=2时，B=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）则：A∩B=（﹣2，﹣1]∪[3，10）；（2）由题意：p：﹣2＜x＜10，￢q：1﹣a＜x＜1+a；因为p是￢q的充分不必要条件，则，解得：a≥9；∴a的范围为[9，+∞）．17．（12分）已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．【解答】解：（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2代入点，得，解得a=2，b=2，r=，∴圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，即：，解得：．18．（12分）设函数f（x）=﹣9x﹣1（a＞0），直线l是曲线y=f（x）的一条切线，当l斜率最小时，直线l与直线10x+y=6平行．（1）求a的值；（2）求f（x）在x=3处的切线方程．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣9x﹣1，可得f′（x）=x2+2ax﹣9=（x+a）2﹣9﹣a2∴斜率的最小值为﹣9﹣a2，直线l与直线10x+y=6平行．∴﹣9﹣a2=﹣10．得：a=1．（2）则，f′（x）=x2+2x﹣9则f（3）=﹣10，f′（3）=6，切点坐标为：（3，﹣10），切线为：y+10=6（x﹣3）．即：y=6x﹣28．19．（12分）已知椭圆E：（a＞）的离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）斜率k=1的直线交椭圆于A、B，交y轴于T（0，t），当弦|AB|=，求t 的值．【解答】解：（1）由e==得：a=2 则椭圆方程为；（2）设直线为y=x+t，代入椭圆方程得：，化简得：7x2+8tx+4t2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴|AB|=，解得t2=1，则t=±120．（13分）已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）在x∈（0，+∞）时的最大值；（2）若直线y=﹣x+2a是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【解答】解：（1）当a=1时，≤，当x=1时取“=”；（2）设切点（x0，y0），则，则，得∴…①又由切线，则f（x0）=﹣x0+2a则：…②由将①代入②得若则：得，解得a=2若则：得，解得a=即a=2或a=21．（14分）已知抛物线y2=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．（1）若m=1，k1=时，求弦|AB|的长度；（2）若k1+k2=1，判断直线MN是否过定点？并说明理由．【解答】解：（1）当m=1，则E（1，0）为抛物线焦点，即AB为抛物线的一条焦点弦，+x2+p=x1+x2+2设AB：，则|AB|=x联立：得：3x2﹣10x+3=0∴则|AB|=x1+x2+2=（2）设AB：y=k1（x﹣m）联立：得：，则M为（）同理：N为（）若k1+k2=1，则M为（）N为（），k MN=直线MN为：化为：y=k1k2（x﹣m）+2，显然直线恒过点（m，2）。
重庆一中高二数学上学期期中试题 文
2014年重庆一中高2015级高二下学期考试数 学 试 题 卷（文科）数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、若全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}M =，{3,4,5}N =，则=)(N M C U I ( )A ．{2}B ．{1，2}C ．{1，2，4}D ．{1，3，4，5} 2、函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－1，1)∪(1，＋∞)3、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） A.:,2p x A x B ⌝∃∈∈ B.:,2p x A x B ⌝∃∉∈ C.:,2p x A x B ⌝∃∈∉ D.:,2p x A x B ⌝∀∉∉4、（原创）201452i i=- ( ) A.2i -+ B.2i -- C.12i -- D. 12i -+ 5、执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，2b =，那么输出的a 值为（ ）A.3log 16B.256C.16D.46、过点)1,0(P 与圆22(1)4x y -+=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（ ）A ．01=-+y xB ．01=+-y xC ．0=xD ．1=y 7、已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为1V ； 直径为2的球的体积为2V 。
重庆市南开中学2014-2015学年高二(下)期中数学试卷(文科)
2014-2015学年重庆市南开中学高二（下）期中数学试卷（文科）一．选择题（共12题．每题5分，总分60）1．（2015春•重庆校级期中）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，集合B={（x，y）|y=x}，则A∩B=的元素个数为（）A．0 B． 1 C． 2 D． 3考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解不等式组求出元素的个数即可．解答：解：由，解得：或，∴A∩B的元素的个数是2个，故选：C．点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．（2015春•重庆校级期中）已知命题P：∃x0∈R，tanx0≥1，则它的否定为（）A．∀x∈R，tanx≥1 B．∃x0∈R，tanx0＞1C．∀x∈R，tanx＜1 D．∃x0∈R，tanx0＜1考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．解答：解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题为：∀x∈R，tanx＜1，故选：C点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（2015春•重庆校级期中）“m=1”是“函数f（x）=（m2﹣4m+4）x2”为幂函数的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的定义进行判断即可．解答：解：若“函数f（x）=（m2﹣4m+4）x2”为幂函数，则m2﹣4m+4=1，即m2﹣4m+3=0，解得m=1或m=3，则“m=1”是“函数f（x）=（m2﹣4m+4）x2”为幂函数的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合幂函数的定义是解决本题的关键．4．（2015春•重庆校级期中）已知函数f（x）=，那么f（f（））=（）A．B．C．D．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中的函数解析式f（x）=，将x值代入由内向外计算即可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（f（））=f（）=，故选：B．点评：本题考查的知识点是分类函数求值，难度不大，属于基础题．5．（2011•辽宁）若函数为奇函数，则a=（）A．B．C．D． 1考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：利用奇函数的定义得到f（﹣1）=﹣f（1），列出方程求出a．解答：解：∵f（x）为奇函数∴f（﹣1）=﹣f（1）∴=∴1+a=3（1﹣a）解得a=故选A点评：本题考查利用奇函数的定义：对定义域内任意的自变量x都有f（﹣x）=﹣f（x）成立．6．（2012•蓝山县校级模拟）函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）＜0，f（10）＞0，由此得出结论．解答：解：由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）=lg9﹣1＜0，f（10）=1﹣=＞0，f（9）•f（10）＜0，故函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（9，10），故选D．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．7．（2015春•重庆校级期中）已知函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3），则使f（x）为减函数的x的区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣∞，﹣l）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由x2﹣2x﹣3＞0求出函数的定义域，在根据对数函数和二次函数的单调性，由“同增异减”法则求出原函数的减区间．解答：解：由x2﹣2x﹣3＞0解得，x＞3或x＜﹣1，则函数的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），令y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即函数y在（﹣∞，﹣1）是减函数，在（3，+∞）是增函数，∵函数y=log2x在定义域上是增函数，∴函数f（x）的减区间是（﹣∞，﹣1）．故选：D．点评：本题的考点是对数型复合函数的单调性，应先根据真数大于零求出函数的定义域，这是容易忽视的地方，再由“同增异减”判断原函数的单调性．8．（2014•南宁一模）已知y=f（）的定义域为，则y=f（x）的定义域为（）A．B．C．D．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（）的定义域知x的取值范围，从而求出的取值范围，即得y=f（x）的定义域．解答：解：∵y=f（）的定义域为，∴﹣≤x≤2，∴0≤x2≤8，∴0≤≤2；∴y=f（x）的定义域为．故选：C．点评：本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应根据y=f（）的定义域中x的取值范围，求出函数的定义域，是基础题．9．（2015春•重庆校级期中）若方程log2=m在x∈上有解，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得=2m，再由≤≤可得≤2m≤；从而解得．解答：解：∵log2=m，∴=2m，又∵=1﹣，又∵x∈，∴≤≤；∴≤2m≤；∴m∈，故选B．点评：本题考查了对数运算与指数运算的应用，属于基础题．10．（2015春•重庆校级期中）若函数f（x）=在区间上的最大值为1，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由分段函数知，当x=0时，e0=1，故只需a﹣2≤1即可．解答：解：当x≤0，e x≤e0=1，当x＞0时，a﹣x﹣=a﹣（x+）≤a﹣2；（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）故a﹣2≤1；故a≤3；故选C．点评：本题考查了分段函数的应用及基本不等式的应用，属于基础题．11．（2014•呼和浩特一模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）=﹣f（x）（其中e为自然对数的底），且在区间上是减函数，又a=lg6，b=log23，（）c﹣2＜1且lnc＜1，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（c）＜f（b）＜f（a）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，得到函数的对称性，利用a，b，c的大小关系结合函数的单调性即可得到结论．解答：解：由（）c﹣2＜1且lnc＜1得2＜c＜e，∵f（x）是奇函数，∴f（x+2e）=﹣f（x）=f（﹣x），∴函数f（x）关于x=e对称，∵f（x）在区间上是减函数，∴f（x）在区间上是增函数，∵0＜lg6＜1，1＜log23＜2，∴0＜a＜b＜c，∵f（x）在区间上是增函数，∴f（a）＜f（b）＜f（c），故选：A．点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．12．（2015春•重庆校级期中）已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣1在﹣6，6﹣6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和，求出（6，+∞）上所有零点，可得答案．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．又∵函数g（x）=xf（x）﹣1，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）﹣1=（﹣x）﹣1=xf（x）﹣1=g（x），∴函数g（x）是偶函数，∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数g（x）在上所有的零点的和为0，∴函数g（x）在上的值域为，当且仅当x=2时，f（x）=1．又∵当x＞2时，f（x）=f（x﹣2），∴函数f（x）在（2，4，上的值域为，函数f（x）在（6，8，上的值域为，当且仅当x=10时，f（x）=，故f（x）＜在（8，10上无零点，同理g（x）=xf（x）﹣1在（10，12﹣6，+∞）上的所有零点之和为8，故选：B．点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找（6，+∞）上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二．填空题（共4题，每题5分，总分20）13．（2009•浦东新区校级三模）不等式的解集是（1，7．故答案为：（1，7﹣2，2x﹣（a﹣1）x﹣（a+1）x﹣（a﹣1）x﹣（a+1）﹣1，+∞）若原不等式的解集为空集，则（*）的解集为空集，那么（a﹣1，a+1）与值域的交集为空集所以a+1≤﹣1所以a≤﹣2．故答案为：a≤﹣2．点评：本题考查了由一元二次不等式的解集求参数的范围，属于中档题．三．解答题17．（2014秋•莲湖区校级期末）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数y=c x在R上单调递减，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，知q：0＜c≤，￢q：c＞且c≠1．由“p或q”为真，“p且q”为假，知p真q假，或p假q真，由此能求出实数c的取值范围．解答：解∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．（2分）即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．（3分）又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．（6分）①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．（8分）②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．综上所述，实数c的取值范围是{c|}．点评：本题考查复合命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意指数函数和二次函数的性质的灵活运用．18．（2015春•重庆校级期中）设f（x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈时，f（x）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：由已知条件得，m＜f（x），x∈，只要m＜f（x）min即可，所以求f′（x），根据极小值的概念，求f（x）在上的极小值，并比较端点值得到f（x）在上的最小值f（x）min=﹣1，所以m＜﹣1，所以实数m的取值范围便是（﹣∞，﹣1）．解答：解：由已知条件得，x∈时，m＜f（x）恒成立，∴m＜f（x）min，x∈；f′（x）=3x2﹣x﹣2，令f′（x）=0得，x=﹣，或1；∴时，f′（x）＞0，x时，f′（x）＜0，x∈（1，2﹣2，2﹣2，21，2ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b1，21，21，e1，e1，e1，e1，e．（Ⅱ）f（x）定义域为（0，+∞），，①当a＞1时，令f'（x）＞0，结合f（x）定义域解得0＜x＜1或x＞a，∴f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减，此时，若f（x）在（0，e）内有极小值，则1＜a＜e，但此时矛盾．②当a=1时，此时f'（x）恒大于等于0，不可能有极小值．③当a＜1时，不论a是否大于0，f（x）的极小值只能是，令，即a=﹣1，满足a＜1．综上所述，a=﹣1．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分离参数法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本方法，属于难题．22．（2015春•重庆校级期中）已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a＞0，b＞0．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点p（2，c）处有相同的切线（p为切点），求实数a，b的值．（2）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调减区间为；①求函数h（x）在区间（﹣∞，﹣1﹣2，0﹣，﹣﹣2，0﹣，﹣﹣，﹣时，最大值为h（﹣1）=a﹣；当a∈（2，+∞）时，最大值为h（﹣）=1．②由①知，函数h（x）在（﹣∞，﹣）单调递增，在（﹣，﹣）单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增；故h（﹣）为极大值，h（﹣）=1；h（﹣）为极小值，h（﹣）=﹣+1；∵|h（x）|≤3，在x∈上恒成立，又h（0）=1．∴，∴a的取值范围：4﹣2≤a≤6．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数和应用分类讨论的方法．。
【精品】2014年重庆市南开中学高二上学期期中数学试卷带解析答案
2013-2014学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）双曲线的焦距为（ ）A ．4B ．8C ．D ．2．（5分）若抛物线y 2=2px 的焦点为（2，0），则p 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2C ．4D ．﹣43．（5分）已知圆：（x ﹣1）2+y 2=2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为（ ） A ．x ﹣y ﹣1=0 B ．2x +y ﹣5=0 C ．x=2 D ．x +y ﹣3=04．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知双曲线x 2﹣y 2=2，过定点P （2，0）作直线l 与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l 的条数为（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（5分）如果椭圆上一点P 到左准线的距离为，则点P 到右焦点的距离为（ ） A ．10 B ．6 C ．12 D ．147．（5分）方程表示椭圆，则双曲线的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，P ，Q 为抛物线上两点，若△PQF 为边长为2的正三角形，则p 的值是（ ）A．B．C．D．9．（5分）过双曲线的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．610．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若，则弦长|AB|等于（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知椭圆方程为，则椭圆的右准线方程为．12．（5分）已知圆，圆，则圆C1与圆C2相交的弦长为．13．（5分）已知点M（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P在该抛物线上移动，则|PM|+|PF|的最小值是．14．（5分）已知椭圆的中心为坐标原点，斜率为1且过椭圆右焦点F（2，0）的直线交椭圆于A，B两点，与共线，则该椭圆的长半轴长为．15．（5分）已知椭圆，圆x2+y2=4．直线y=2x与椭圆交于点A，过A 作椭圆的切线交圆于M，N两点（M在N的左侧），则|MF1|•|NF2|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）已知圆与圆外切（2）若a＞0，求经过点P（﹣1，4）且与圆C1相切的直线l的方程．17．（13分）已知双曲线，双曲线C2与双曲线C1有相同的渐近线且经过点（1）求双曲线C2的标准方程；（2）若直线y=x﹣1与双曲线C2的两渐近线相交于A，B，求的值．18．（13分）已知抛物线C的顶点是椭圆的中心，焦点F与该椭圆的右焦点F重合，抛物线C与椭圆的交点为P，延长PF交抛物线C交于Q，（1）求抛物线C的方程；（2）求|PQ|的值．19．（12分）已知点P为椭圆上一动点，椭圆C左，右顶点分别为A，B，左焦点为F，若|PF|最大值与最小值分别为4和2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l过点A且倾斜角为30°，点M为椭圆C长轴上一动点，且点M的最到直线l的距离等于|MB|，若连接PM并延长与椭圆C交于点Q，求S△APQ大值．20．（12分）已知直线y=﹣4上有一动点Q，过点Q作垂直于x轴的直线l1，动点P在直线l1上，若点P满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C （1）求曲线C的方程（2）过点A（﹣4，0）作直线l2与曲线C交于M，N两点，若与y轴交于点R，且，求直线l2的方程．21．（12分）在平面直角坐标系中，定义以原点为圆心，以为半径的圆O为椭圆的“准圆”．已知椭圆的离心率为，直线l：2x﹣y+5=0与椭圆C的“准圆”相切．（2）P为椭圆C的右准线上一点，过点P作椭圆C的“准圆”的切线段PQ，点F 为椭圆C的右焦点，求证：|PQ|=|PF|（3）过点的直线与椭圆C交于A，B两点，为Q椭圆C的左顶点，是否存在直线l使得△QAB为直角三角形？2013-2014学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）双曲线的焦距为（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：由双曲线，可得=4，故其焦距2c=8．故选：B．2．（5分）若抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【解答】解：∵由已知可知抛物线焦点为（2，0），又可知抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），∴=2，解得p=4故选：C．3．（5分）已知圆：（x﹣1）2+y2=2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为（）A．x﹣y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x=2 D．x+y﹣3=0【解答】解：由题意可得：（2﹣1）2+12=2，故可得点（2，1）在圆（x﹣1）2+y2=2上，由斜率公式可得点（2，1）与圆心（1，0）连线的斜率k==1，故切线的斜率为﹣1，可得方程为y﹣1=﹣（x﹣2），化为一般式可得：x+y﹣3=0故选：D．4．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选：B．5．（5分）已知双曲线x2﹣y2=2，过定点P（2，0）作直线l与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l的条数为（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：如图所示．由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立，化为（1﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣2=0，①当1﹣k2=0时，解得k=±1，得到直线l：y=±（x﹣2），分别与渐近线y=±x 平行，因此与双曲线只有一个交点，满足题意；②当1﹣k2≠0时，由△=16k4﹣4（1﹣k2）（﹣4k2﹣2）=0，解得．得到直线l：，此时直线l分别与双曲线的左支相切，而与右支由一个交点，故此时有两个交点，不满足条件．综上可知：过定点P（2，0）作直线l与双曲线有且只有一个交点的这样的直线l只有2条．故选：B．6．（5分）如果椭圆上一点P到左准线的距离为，则点P到右焦点的距离为（）A．10 B．6 C．12 D．14【解答】解：根据椭圆的第二定义可知P到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率，依题意可知a=10，b=6，∴c==8，∴离心率e==，设P到左、右焦点的距离分别为d和d′，则有=，解得d=6，再由椭圆的第一定义可得d+d′=2a=20，解得d′=14故选：D．7．（5分）方程表示椭圆，则双曲线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：∵方程表示椭圆，∴，解之得3＜k＜5且k≠4，因此，双曲线化成，可得c===，∴双曲线的焦点坐标为（，0）．故选：B．8．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，P，Q为抛物线上两点，若△PQF为边长为2的正三角形，则p的值是（）A．B．C．D．【解答】解：y2=2px的焦点F（，0），（p＞0）∵正三角形PQF的一个顶点位于抛物线的焦点F，另外两个顶点在抛物线上，∴正三角形PQF关于x轴对称，∴P（x0，1），由P（x0，1）在抛物线上可得1=2px0，∴x0=，∴焦点F到直线AB的距离|﹣|=，解得p=故选：A．9．（5分）过双曲线的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：如图所示，∵PF2⊥OP，∴PF2的斜率为．∴直线PF2的直线方程为．联立解得．∴P．联立，解得．∴Q．∴=，=．∵，∴c2=4a2．∴=2．故选：A．10．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若，则弦长|AB|等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴2p=4，p=2，可得抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣1），由消去y，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1x2=1，∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，∴设P的坐标为（x0，y0），可得y0=（y1+y2），∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=k•﹣2k=，得到y0==，所以x0==，可得P（，）．∵，∴=，解之得k2=2，因此x1+x2==4，根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=4+2=6．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知椭圆方程为，则椭圆的右准线方程为x=6．【解答】解：由题意可得a2=6，b2=5，∴c==1，∴右准线的方程为：x==6，故答案为：x=612．（5分）已知圆，圆，则圆C1与圆C2相交的弦长为．【解答】解：圆，即（x﹣1）2+y2=2，表示以C1（1，0）为圆心，半径等于的圆．圆，即（x﹣2）2+y2=4，表示以C2（2，0）为圆心半径等于2的圆．把两个圆的方程相减，可得公共线所在的直线方程为x=，再把x=代入圆，求得y=±，故圆C1与圆C2相交的弦长为，故答案为．13．（5分）已知点M（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P在该抛物线上移动，则|PM|+|PF|的最小值是．【解答】解：设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，只有当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，且最小值为3﹣（﹣）=（准线方程为x=﹣）故答案为：14．（5分）已知椭圆的中心为坐标原点，斜率为1且过椭圆右焦点F（2，0）的直线交椭圆于A，B两点，与共线，则该椭圆的长半轴长为．【解答】解：设椭圆方程为（a＞b＞0）∵直线AB的斜率为1且过椭圆右焦点F（2，0），∴直线AB的方程为y=x﹣2，代入椭圆方程消去y，化简得（a2+b2）x2﹣4a2x+4a2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=．∵=（x 1+x2，y1+y2），与共线，∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，结合y1=x1﹣2且y2=x2﹣2，化简得3（x1+x2﹣4）+（x1+x2）=0，解之得x1+x2=3．即=3，解之得a2=3b2．又∵a2﹣b2=c2=4，∴a2﹣a2=4，解之得a=，即该椭圆的长半轴长为．故答案为：15．（5分）已知椭圆，圆x2+y2=4．直线y=2x与椭圆交于点A，过A 作椭圆的切线交圆于M，N两点（M在N的左侧），则|MF1|•|NF2|=3．【解答】解：由，解得x2=，y2=．直线y=2x与椭圆交于点A，设A为第一象限的交点，如图所示则A（，），设椭圆经过A点的切线为：y﹣=k（x﹣），与椭圆联解，消去y得（3+4k2）x2﹣8（k2+2k）x+（k+2）2﹣12=0．由△=64×（k2+2k）2﹣4（3+4k2）[（k+2）2﹣12]=0，解得k=﹣．∴切线方程为y﹣=﹣（x﹣），即y=﹣x+由消去y，得x2﹣x﹣=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=﹣．∴结合x1＜x2，得x2﹣x1==．∵F1（﹣1，0），F2（1，0），∴（|MF1|•|NF2|）2=[（x1+1）2+y12]•[（x2﹣1）2+y22]=[（x12+y12）+2x1+1][（x22+y22）﹣2x1+1]=（5+2x1）（5﹣2x2）=25﹣10（x2﹣x1）﹣4x1x2=25﹣10×+4×=9．因此|MF1|•|NF2|=3．故答案为：3三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）已知圆与圆外切（1）求实数a的值；（2）若a＞0，求经过点P（﹣1，4）且与圆C1相切的直线l的方程．【解答】解：（1）圆，可化为x2+（y﹣a）2=1，圆心为（0，a），半径为1；圆的圆心为（3，﹣2），半径为4∵两圆外切，∴∴a=2或a=﹣6；（2）由题意，a=2，圆C 1的方程为x2+（y﹣2）2=1，圆心为（0，2），半径为1，则斜率不存在时，x=﹣1，满足题意；斜率存在时，设方程为y﹣4=k（x+1），即kx﹣y+k+4=0∴圆心到直线的距离为d==1，∴k=﹣∴直线方程为3x+4y﹣13=0综上，所求直线方程为：x=﹣1或3x+4y﹣13=0．17．（13分）已知双曲线，双曲线C2与双曲线C1有相同的渐近线且经过点（1）求双曲线C2的标准方程；（2）若直线y=x﹣1与双曲线C2的两渐近线相交于A，B，求的值．【解答】解：（1）设与有共同渐近线的双曲线方程为，把点代入可得3﹣1=λ，即λ=2，∴双曲线C2的标准方程为，即；（2）可得双曲线C2的两渐近线为：y=±x=±2x联立可解得，同理联立可解得，故可得点A、B分别为（1，2）（，），故=1×=18．（13分）已知抛物线C的顶点是椭圆的中心，焦点F与该椭圆的右焦点F重合，抛物线C与椭圆的交点为P，延长PF交抛物线C交于Q，（1）求抛物线C的方程；（2）求|PQ|的值．【解答】解：（1）由椭圆的方程可得a2=4，b2=3，∴c==1，故椭圆的右焦点为F（1，0），即抛物线C的焦点为（1，0），故可得=1，解得p=2，故2p=4，∴抛物线C的方程为：y2=4x；（2）联立，解得，或，由对称性不妨取P（，），则可得PF的斜率为k=﹣，故直线PF的方程为：y﹣0=﹣（x﹣1），即y=﹣（x﹣1），联立，解得，或，可知Q（，﹣），故|PQ|==19．（12分）已知点P为椭圆上一动点，椭圆C左，右顶点分别为A，B，左焦点为F，若|PF|最大值与最小值分别为4和2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l过点A且倾斜角为30°，点M为椭圆C长轴上一动点，且点M 到直线l的距离等于|MB|，若连接PM并延长与椭圆C交于点Q，求S的最△APQ大值．【解答】解：（1）设c是此椭圆的半焦距，∵|PF|最大值与最小值分别为4和2，∴，解得a=3，c=1，∴b2=a2﹣c2=8．∴椭圆C的标准方程是．（2）如图所示，由（1）可知A（﹣3，0），B（3，0）．又．∴直线l的方程为，化为．设M（m，0），（﹣3≤m≤3），则点M到直线l的距离d==，又|BM|=3﹣m，d=|MB|，∴，解得m=1．∴M（1，0）．设直线PQ的方程为：my=x﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（8m2+9）y2+16my﹣64=0，显然△＞0．∴，．∴|PQ|===．点A到直线l的距离d=．∴S===．△APQ令，g（t）=S（m）=．，因此g（t）在[1，+∞）上单调递减，∴S（m）=g（t）≤g（1）==．当且仅当m=0即PQ⊥x轴时取等号．的最大值为．∴当PQ⊥x轴时，S△APQ20．（12分）已知直线y=﹣4上有一动点Q，过点Q作垂直于x轴的直线l1，动点P在直线l1上，若点P满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C （1）求曲线C的方程（2）过点A（﹣4，0）作直线l2与曲线C交于M，N两点，若与y轴交于点R，且，求直线l2的方程．【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，﹣4）．∵OP⊥OQ，∴k OP•k OQ=﹣1．当x≠0时，得•=﹣1，化简得x2=4y．当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．综上所述，曲线C的方程为x2=4y（x≠0）；（2）设直线l2的方程为y=k（x+4），（k＞0）由消去x，得y2﹣（）y+16=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=4k2+8k，y1y2=16k2．设直线l2的倾斜角为α，则|AM|=，|AN|=，|AR|==∵，∴，化简得=，即=，解之得k=1，因此，直线l2的方程为y=x+4．21．（12分）在平面直角坐标系中，定义以原点为圆心，以为半径的圆O为椭圆的“准圆”．已知椭圆的离心率为，直线l：2x﹣y+5=0与椭圆C的“准圆”相切．（1）求椭圆C的方程；（2）P为椭圆C的右准线上一点，过点P作椭圆C的“准圆”的切线段PQ，点F 为椭圆C的右焦点，求证：|PQ|=|PF|（3）过点的直线与椭圆C交于A，B两点，为Q椭圆C的左顶点，是否存在直线l使得△QAB为直角三角形？【解答】解：（1）∵直线l：2x﹣y+5=0与椭圆C的“准圆”相切，∴==，化为a2+b2=5，联立，解得a2=3，b2=2，c=1．∴椭圆C的方程为；（2）如图所示，∵椭圆C的准线方程为x==3，可设P（3，t）．∵椭圆C的焦点F（1，0），∴|PF|2=（3﹣1）2+（t﹣0）2=4+t2．∵PQ与椭圆C的准圆x2+y2=5相切于点Q，∴|PQ|2=|OP|2﹣r2=32+t2﹣5=4+t2，∴|PQ|2=|PF|2，∴|PQ|=|PF|．（3）假设存在直线l使得△QAB为直角三角形，可能∠AQB=90°，∠QAB=90°，或∠QBA=90°设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为：my=x+，联立化为（75+50m2）y2﹣120my﹣78=0．∴y1+y2=，．①由===+=++=0，化为=，无解，此时不存在直线l满足条件．②令=====0，∵＞0，∴此时存在两个A 点满足条件；同理存在两个B 点满足条件．综上可知：存在四条直线l 满足条件．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
重庆市南开中学高二期中考试(数学文).doc
重庆市南开中学高二上学期半期考试试题(数学文)(一卷)一、选择题(每小题5分，共50分)1．曲线22139x y -=的离心率为( )A ．3B ．3C ．2D ．22．过曲线用2y x =与2x y =交点的直线方程为( )A ．0x y +=B ．0x y -=C ．0x y +=或10x y -+=D ．0x y -=或 10x y ++=3．椭圆22189x y k +=+的焦距为4，则k 的值是( ) A ．5或-3 B ．-5或3 C ．5 D ．-34．过点(2，1)的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦最长的直线方程为( )A ．30x y +-=B ．370x y +-=C ．350x y +-=D ．10x y --=5．已知动点P 在曲线26y x =上，若以P 为圆心的圆与直线32x =-相切，则该圆恒过定点( )A ．(3,04)B ．(3,02) C ．0) D ．(3，0) 6．已知圆22P :40x y x +-=，若直线4x y +=交圆P 于M N 、两点，则|MN |为( )A ．2B ．C ．D ．47．过点(1，3)且与双曲线2214y x -=只有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8．已知椭圆222212x y a b+=与双曲线222212x y a b -=有公共焦点，则椭圆的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．69. 已知动点P(,)x y 在椭圆2244x y +=上，则1x y ++的最大值为( )A. 1B. 4C.D. 110. 已知双曲线22221x y a b-=的左顶点A ，右焦点F ，M 在双曲线上，FM x ⊥轴，以F 为圆心，FM 为半径作圆P ，过A 作圆P 的两条切线，两切线段的夹角3π，则该双曲线的离心率为( )D.32(二卷)二、填空题(每小题5分，共25分)11. 抛物线2y x =的准线方程为 。
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2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≤0 B．∀x∈R，cosx≤0 C．∃x∈R，cosx＞0 D．∀x ∈R，cosx＜02．（5分）直线x+y=5和圆O：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心3．（5分）已知双曲线方程为，则此双曲线的右焦点坐标为（）A．（1，0） B．（5，0） C．（7，0） D．（，0）4．（5分）已知椭圆的方程为2x2+3y2=6，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）从点P（3，3）向在圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长为（）A．5 B．6 C．4 D．76．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（2）x+m，（m∈R），则（）A．f（0）＜f（5）B．f（0）=f（5）C．f（0）＞f（5）D．无法确定8．（5分）已知椭圆（0＜b＜2）与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．89．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜110．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为（）A．.B．.C．D．.二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是．12．（5分）设曲线f（x）=在点（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=．13．（5分）已知双曲线方程是x2﹣=1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P（2，1）为P1P2的中点，则此直线方程是．14．（5分）从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段PP′，交y轴于P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是．15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=1，那么的取值范围是．三、解答题（共75分）16．（12分）已知集合A是不等式x2﹣8x﹣20＜0的解集，集合B是不等式：（x ﹣1﹣a）（x﹣1+a）≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若a=2时，求A∩B；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求a的范围．17．（12分）已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．18．（12分）设函数f（x）=﹣9x﹣1（a＞0），直线l是曲线y=f（x）的一条切线，当l斜率最小时，直线l与直线10x+y=6平行．（1）求a的值；（2）求f（x）在x=3处的切线方程．19．（12分）已知椭圆E：（a＞）的离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）斜率k=1的直线交椭圆于A、B，交y轴于T（0，t），当弦|AB|=，求t 的值．20．（13分）已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）在x∈（0，+∞）时的最大值；（2）若直线y=﹣x+2a是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．21．（14分）已知抛物线y2=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．（1）若m=1，k1=时，求弦|AB|的长度；（2）若k1+k2=1，判断直线MN是否过定点？并说明理由．2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≤0 B．∀x∈R，cosx≤0 C．∃x∈R，cosx＞0 D．∀x ∈R，cosx＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是：∃x∈R，cosx≤0．故选：A．2．（5分）直线x+y=5和圆O：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心【解答】解：将圆O的方程化为标准方程得：x2+（y﹣2）2=4，可得：圆心O（0，2），半径r=2，∵圆心O到直线x+y=5的距离d==＞2=r，∴直线与圆O的位置关系是相离．故选：A．3．（5分）已知双曲线方程为，则此双曲线的右焦点坐标为（）A．（1，0） B．（5，0） C．（7，0） D．（，0）【解答】解：因为双曲线方程为，所以a2=4，b2=3．且焦点在x轴上∴=．故双曲线的右焦点坐标为：（，0）．故选：D．4．（5分）已知椭圆的方程为2x2+3y2=6，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆的方程化为，∴a2=3，b2=2，∴c2=a2﹣b2=3﹣2=1，∴此椭圆的离心率为e===．故选：B．5．（5分）从点P（3，3）向在圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长为（）A．5 B．6 C．4 D．7【解答】解：由题意可得圆心C（﹣2，﹣2），圆的半径r=1，∴|PC|==5，∴切线长为=7故选：D．6．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线kx2﹣y2=1为，它的一条渐近线方程为直线2x+y+1=0的斜率为﹣2∵直线与直线2x+y+1=0垂直∴即a=2∴故选：A．7．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（2）x+m，（m∈R），则（）A．f（0）＜f（5）B．f（0）=f（5）C．f（0）＞f（5）D．无法确定【解答】解：∵f（x）=x2+2f′（2）x+m，∴f′（x）=2x+2f′（2），∴f′（2）=2×2+2f′（2），∴f′（2）=﹣4．∴f（x）=x2﹣8x+m，其对称轴方程为：x=4，∴f（0）=m，f（5）=25﹣40+m=﹣15+m，∴f（0）＞f（5）．故选：C．8．（5分）已知椭圆（0＜b＜2）与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵已知椭圆（0＜b＜2）∴a=2，c=则△ABF面积S=AB×OF=2b×c=b当且仅当b=取等号．则△ABF面积的最大值为2故选：B．9．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜1【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣4），由消去y，得（3﹣k2）x2+8k2x﹣16k2﹣12=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线AB与双曲线的右支有两个不同的交点，∴，化简此不等式组可得k2＞3，即|k|＞．故选：B．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为（）A．.B．.C．D．.【解答】解：Rt△OF1B中，|OF1|=c，|OB|=b∴|BF1|==a，得cos∠F1BO=∵∴2•（）2﹣1=，解之得=设D（m，n），得，∴k BD•k CD=∵D（m，n）在椭圆上，∴，得n2=b2（1﹣）由此可得k BD•k CD==﹣=﹣又∵=﹣=﹣=﹣=﹣∴k CD==，即直线CD的斜率等于故选：B．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是4．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，而焦点到准线的距离就是p．故答案为：4．12．（5分）设曲线f（x）=在点（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=﹣1．【解答】解：f（x）=，可得f′（x）=x2﹣2，当x=1时，f′（1）=1﹣2=﹣1，∵曲线在点P（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0互相垂直，∴﹣1•（﹣a）=﹣1∴a=﹣1．故答案为：﹣113．（5分）已知双曲线方程是x2﹣=1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P（2，1）为P1P2的中点，则此直线方程是4x﹣y﹣7=0．【解答】解：设y=kx﹣2k+1．代入x2﹣=1，消y并化简，得（2﹣k2）x2+2k （2k﹣1）x﹣4k2+4k﹣3=0．设直线与双曲线的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．当2﹣k2≠0即k2≠2时，有x1+x2=又点P（2，1）是弦P1P2的中点，∴=4，解得k=4．当k=4时△=4k2（2k﹣1）2﹣4（2﹣k2）（﹣4k2+4k﹣3）=56×5＞0，当k2=2即k=±时，与渐近线的斜率相等，即k=±的直线l与双曲线不可能有两个交点，综上所述，所求直线方程为y=4x﹣7．故答案为：4x﹣y﹣7=0．14．（5分）从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段PP′，交y轴于P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是4x2+y2=1．【解答】解：由题意可得已知圆的方程为x2+y2=1．设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），∵M是线段PP′的中点，∴由中点坐标公式得2x=x0，y=y0，∵P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，∴（2x）2+y2=1①即4x2+y2=1．∴点M的轨迹是一个椭圆．故答案为：4x2+y2=1．15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=1，那么的取值范围是[，+∞）．【解答】解：设k=，则y=kx﹣（k+3）表示经过点P（1，﹣3）的直线，k 为直线的斜率，∴求的取值范围就等价于求同时经过点P（1，﹣3）和圆上的点的直线中斜率的最大最小值，从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为k PB和k PA，其中k PB不存在，由圆心C（2，0）到直线y=kx﹣（k+3）的距离=r=1，解得：k=，则的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）三、解答题（共75分）16．（12分）已知集合A是不等式x2﹣8x﹣20＜0的解集，集合B是不等式：（x ﹣1﹣a）（x﹣1+a）≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若a=2时，求A∩B；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求a的范围．【解答】解：（1）由已知条件得：A=（﹣2，10），B=（﹣∞，1﹣a]∪[1+a，+∞）；当a=2时，B=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）则：A∩B=（﹣2，﹣1]∪[3，10）；（2）由题意：p：﹣2＜x＜10，￢q：1﹣a＜x＜1+a；因为p是￢q的充分不必要条件，则，解得：a≥9；∴a的范围为[9，+∞）．17．（12分）已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．【解答】解：（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2代入点，得，解得a=2，b=2，r=，∴圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，即：，解得：．18．（12分）设函数f（x）=﹣9x﹣1（a＞0），直线l是曲线y=f（x）的一条切线，当l斜率最小时，直线l与直线10x+y=6平行．（1）求a的值；（2）求f（x）在x=3处的切线方程．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣9x﹣1，可得f′（x）=x2+2ax﹣9=（x+a）2﹣9﹣a2∴斜率的最小值为﹣9﹣a2，直线l与直线10x+y=6平行．∴﹣9﹣a2=﹣10．得：a=1．（2）则，f′（x）=x2+2x﹣9则f（3）=﹣10，f′（3）=6，切点坐标为：（3，﹣10），切线为：y+10=6（x﹣3）．即：y=6x﹣28．19．（12分）已知椭圆E：（a＞）的离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）斜率k=1的直线交椭圆于A、B，交y轴于T（0，t），当弦|AB|=，求t 的值．【解答】解：（1）由e==得：a=2 则椭圆方程为；（2）设直线为y=x+t，代入椭圆方程得：，化简得：7x2+8tx+4t2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴|AB|=，解得t2=1，则t=±120．（13分）已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）在x∈（0，+∞）时的最大值；（2）若直线y=﹣x+2a是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【解答】解：（1）当a=1时，≤，当x=1时取“=”；（2）设切点（x0，y0），则，则，得∴…①又由切线，则f（x0）=﹣x0+2a则：…②由将①代入②得若则：得，解得a=2若则：得，解得a=即a=2或a=21．（14分）已知抛物线y2=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．（1）若m=1，k1=时，求弦|AB|的长度；（2）若k1+k2=1，判断直线MN是否过定点？并说明理由．【解答】解：（1）当m=1，则E（1，0）为抛物线焦点，即AB为抛物线的一条焦点弦，+x2+p=x1+x2+2设AB：，则|AB|=x联立：得：3x2﹣10x+3=0∴则|AB|=x 1+x2+2=（2）设AB：y=k1（x﹣m）联立：得：，则M为（）同理：N为（）若k1+k2=1，则M为（）N为（），k MN=直线MN为：化为：y=k1k2（x﹣m）+2，显然直线恒过点（m，2）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。