圆周运动加速度推导微积分
圆周运动加速度的矢量法推导
圆周运动加速度的矢量法推导
作者：董雯雯李江林
来源：《新教育时代·教师版》2016年第23期
摘要：对圆周运动的加速度进行推导，以期帮助广大学生对此有深入的理解。
关键词：圆周运动；加速度
一、加速度的概念
瞬时速度的引入是为了精细地反映物体的运动情况，而为了描述速度变化的快慢和方向，物理学中提出了加速度的概念。
设某物体在 t时刻的速度为 v
2.非匀速圆周运动
小球沿圆周做非匀速运动，顾名思义即速度的大小发生变化且速度的方向也发生变化，可以做出非匀速圆周运动的速度矢量图，如图 2。
三、结论
文章对圆周运动从匀速圆周运动和非匀速圆周运动的加速度进行推导。
对匀速圆周运动通过矢量分析，得出向心加速度的大小与运动速率有关，方向始终指向圆心。
对非匀速圆周运动，主要运用极限思想和数学思想，得出非匀速圆周运动的加速度是由切向加速度和法向加速度合成，切向加速度反映速度大小改变的快慢，而法向加速度表示速度方向改变的快慢。
用微积分推导匀速圆周运动向心力公式
用微积分推导匀速圆周运动向心力公式在中学阶段，大部分同学对圆周运动的认识都停留在运动的惯性与加速度之间，就是对这个公式深信不疑。
而其实，数学中还有一个重要的向心力公式，它在我们平常的学习中会经常用到。
但是需要说明的是，它适用于所有圆周运动。
比如速度为零，距离为零的圆周运动，我们可以用最小公倍数进行求解；再比如一个物体在静止状态下所受到的向心力大于它受到了外力（最小公倍数）的合力。
只要有一定数量的物体围绕一个点或一条直线进行转动，我们就可以利用向心力公式求解。
比如一个物体从高处往下掉，如果重力是匀速地往下落，角度有1/2就可以用到向心力公式求解：速度为零(1/2):向吸引力=(重力加速度-圆周半径）÷速度为0 (速度与向心力无关）。
我们只需要在做题时学会借助微积分方程进行推导即可。
1.根据牛顿第二定律，物体离圆周周长一定，且该物体的运动轨迹为 y轴。
问：该物体的运动轨迹如图，在一条线段上，其半径为1,且直线段向两端成45度角，如图，其速度为0。
如果该物体在圆周运动中受到一定的向心力，其向心力等于该运动本身在圆周中向外运动时产生的向心力乘以该物体的自身重力加速度。
分析：这道题是一个有规律可循的题目，也是一个典型的例题，大家会发现在做这道题时，除了利用牛顿第二定律外，还可以利用向心力公式来分析物体自身的向心力大小问题。
在做此题时，大家都知道了这个公式是可以推导出来的（注意：微积分只能说明所要求解的向心力大小问题),而且这个“向心力公式”也适用于所有圆周运动。
这也就意味着我们可以用“向心发力”和“向心力合力”作为推导出向心力公式；不过需要注意，这里“向心发力”指得是向力合力，而非外力；而“向心力合力”指得是向心力合力与向力合力相乘后得到得出来（注意：微积分可忽略这一条件，但是我们要记住向外力大小与向心性无关）。
2.由方程1可知，如图, A点位于 A点的位置与 D点处于 B点位置的位置相同。
这道题的关键在于它要学会利用微积分方程求出 A点所受的向心力，然后求出圆周上的最小公倍数。
圆周运动的速度和加速度
圆周运动的速度和加速度圆周运动是物体在圆周轨道上运动的一种形式。
它具有一定的速度和加速度，这些物理量对于描述和分析圆周运动非常重要。
速度是物体在单位时间内所走过的距离。
在圆周运动中，由于物体沿着圆周轨道运动，所以速度的方向也在不断变化。
我们可以用线速度来描述圆周运动的速度，线速度是物体沿着圆周轨道的路径长度与所用时间的比值。
假设物体在时间 t 内沿圆形轨道运动一周，圆的半径为 r，圆的周长为2πr，则物体所走过的距离就是圆的周长，即S=2πr。
因此，圆周运动的速度 v 可以表示为：v = S / t = （2πr）/ t加速度是物体速度变化的快慢程度。
在圆周运动中，由于速度的方向不断变化，所以加速度的方向也在不断变化。
我们称这种加速度为向心加速度，它的方向指向圆心，大小与速度的变化量有关。
根据物理学原理，向心加速度 a 的大小可以表示为：a = v^2 / r = (（2πr）/ t)^2 / r = 4π^2r / t^2其中，v 是圆周运动的速度，r 是圆的半径，t 是运动所用的时间。
通过以上公式，我们可以计算出圆周运动的速度和加速度。
在实际应用中，这些物理量的计算是非常重要的，它们可以帮助我们了解和分析物体在圆周运动中的行为。
在工程领域，圆周运动的速度和加速度在机械设计和动力学分析中扮演着重要的角色。
比如在车辆运动中，我们需要计算车轮的速度和加速度，来确定车辆的行驶性能和操控性。
总结：圆周运动的速度和加速度是描述物体在圆周轨道上运动的两个重要物理量。
速度是物体在单位时间内所走过的距离，而加速度是速度变化的快慢程度。
通过运用相关的公式，我们可以计算出圆周运动的速度和加速度，进而分析和了解物体在圆周运动中的行为。
在工程应用中，这些物理量对于机械设计和动力学分析具有重要意义。
介绍一种推导圆周运动加速度的新方法
目前普通物理教科书中 ,在推导圆周运动加速 度公式时一般采用的方法是 , 首先利用速度矢量三 角形与位置矢量三角形的相似关系 ,计算当时间 △ t 趋于零时 △v / △ t的极限 , 由此得出匀速圆周运动的 加速度 , 然后利用矢量合成与等量代换等比较复杂 的技巧再进一步求出变速圆周运动的加速度 。 用这种方法求圆周运动的加速度需要花很多时 间才能给学生讲清楚 , 它涉及到矢量加法 、 小角度的 三角函数以及有限差的极限等问题 , 这对于初学普 通物理的学生来说显得过于复杂了些 , 甚至会引起 学生对此推导过程的精确性产生怀疑 。 根据几年的 教学经验总结出一种计算周运动加速度的简单方法 以供大家参考 。 将做变速圆周运动的速度 v沿轴 ox和轴 oy分 解得如图 1。 θ = - vy /R V x = - vsin θ = vx /R V y = vcos 加速度沿轴 ox 的分量为
dt
R
此为变速圆周运动加速度的一般公式 。由此可 见切向加速度和法向加速度分别为
京 : 高等教育出版社 , 2003.
[ 2 ] (美 ) C. 基特尔等 . 伯克利物理学教程 (第一卷 ) . 力
学 . 陈秉乾等译 . 北京 : 科学出版社 , 1979.
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Abstract The article introduced a new method to calculate acceleration of circular motion, which combined rectangular coordinate system with natural system of coordinates . Key words Circular motion; acceleration
圆周加速度公式推导
圆周加速度公式推导圆周运动是一种常见的运动形式，而圆周加速度则是描述圆周运动速度变化的物理量。
在探讨圆周加速度公式推导之前，我们首先需要理解一些基础概念。
首先，圆周运动的线速度v是指物体在单位时间内所经过的圆周长度。
公式表示为：v = 2πr/T，其中r是圆的半径，T是圆周运动的周期。
其次，角速度ω是描述物体绕圆心转动的快慢的物理量，其定义是：ω = 2π/T。
这意味着物体在单位时间内转过的角度即为角速度。
现在，我们来推导圆周加速度公式。
首先，加速度是速度的变化率，对于圆周运动来说，加速度即为线速度的变化率。
根据线速度的定义，我们有：dv/dt = 2πr/T × dT/dt。
化简得：dv/dt = 2πr × dω/dt。
这就是线速度对时间的导数，表示线速度随时间的变化率。
进一步推导，我们得到：a = dv/dt = 2πr × dω/dt = 2πr × (dω/dr) × (dr/dT) × (dT/dt)。
由于dT/dt = ω（角速度的定义），dr/dT = v（线速度的定义），我们可以继续化简为：a = 2πr × (dω/dr) × v = 2πr × (d ω/dr) × 2πr/T = 4π^2r × (dω/dr)。
最后一步，我们需要求出(dω/dr)。
根据角速度的定义，我们有：dω/dr = -ω^2/r。
代入上面的式子得：a = -4π^2 × r × (ω^2/r) = -4π^2 ×ω^2 × r。
这就是圆周加速度的公式。
值得注意的是，这个公式只适用于匀速圆周运动的情况。
对于变速圆周运动，我们需要考虑更多的因素来推导加速度公式。
此外，圆周加速度公式还可以通过向心加速度公式推导得出。
向心加速度公式为：an = v^2/r。
圆周运动加速度大小公式
圆周运动加速度大小公式圆周运动是我们在物理学习中常常会碰到的一个重要概念，而其中圆周运动加速度大小的公式更是理解这一运动的关键。
咱们先来说说啥是圆周运动。
想象一下，你骑着自行车，车轮在不停地转动，车轮上的每一个点都在做圆周运动。
或者游乐场里的旋转木马，上面的木马也是在绕着中心转圈，这都是圆周运动的例子。
圆周运动加速度有两种，一个是向心加速度，另一个是切向加速度。
咱们今天重点说说向心加速度。
向心加速度的大小公式是：$a_n =\frac{v^2}{r}$ ，这里的$v$ 表示线速度，$r$ 表示圆周运动的半径。
为了让大家更好地理解这个公式，我给大家讲个事儿。
有一次我在公园里散步，看到一个小朋友在玩溜溜球。
溜溜球在小朋友的手下，快速地绕着绳子的一端做圆周运动。
小朋友甩得越快，溜溜球转得就越快，这就相当于线速度$v$ 增大了。
同时，如果他把绳子缩短，也就是让圆周运动的半径$r$ 变小，溜溜球的转动看起来就更加急促。
这就很直观地体现了线速度和半径对圆周运动的影响。
咱们再深入一点，假如一个物体做圆周运动的线速度是 5 米每秒，运动半径是 2 米，那它的向心加速度大小就是：$a_n = \frac{5^2}{2} = 12.5$ 米每二次方秒。
这意味着物体在做圆周运动时，每秒钟速度的方向改变得相当快呢。
在实际生活中，圆周运动加速度大小的公式应用可广泛啦。
比如说汽车在弯道上行驶，为了保证安全，弯道的设计就得考虑汽车行驶的速度和弯道的半径，从而计算出合适的向心加速度，不然车子很容易失控打滑。
还有像卫星绕地球转动，卫星的速度和它到地球中心的距离，决定了卫星所受到的向心加速度大小，这对于卫星的稳定运行至关重要。
再比如，我们常见的离心机，也是利用了圆周运动加速度的原理。
通过高速旋转，不同密度的物质会受到不同大小的向心加速度，从而实现分离。
总之，圆周运动加速度大小公式虽然看起来简单，但它却蕴含着丰富的物理知识，在我们的生活中有着广泛的应用。
圆周运动公式推导过程
圆周运动公式推导过程匀速圆周运动证明：先把匀速圆周运动的运动轨迹用参数方程表示出来：（圆周运动圆心在坐标系原点）\begin{equation} \left\{ \begin{aligned}x(t)&=r\cos\theta \\ y(t)&=r\sin\theta \\ \end{aligned} \right. \end{equation}其中角度 \theta 为线性变化， \omega=\frac{\theta}{t}为常数，将此关系式代入参数方程求其质点运动速度，对参数方程求对时间的导数：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} v_x(t)&=-ωr\sinωt \\ v_y(t)&=ωr\cosωt \\ \end{aligned}\right. \end{equation}求其加速度，同理：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_x(t)&=-ω^2r\cosωt \\ a_y(t)&=-ω^2r\sinωt \\ \end{aligned} \right. \end{equation}那么匀速圆周运动的加速度就出来了：a_n=\sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2}=ω^2r=\frac{v^2}{r}\rightarrowf_n=mω^2r=m\frac{v^2}{r}可以证明变速圆周运动也满足上式变速圆周运动证明：继续使用参数方程的方法证明，仅仅增加复合函数求导（链式法则）和乘法求导的内容先把变速圆周运动的运动轨迹用参数方程的形式表示出来：\begin{equation} \left\{\begin{aligned}x(t)&=r\cos[θ(t)]\\ y(t)&=r\sin[θ(t)]\\ \end{aligned} \right. \end{equation}（注意：这是复合函数的形式）写成质点位置矢量的坐标形式：\vec{r(t)}=\{x(t),y(t)\} ，模长为 r不同于匀速圆周运动，现在需要对非线性变化的角度\theta(t) 求时间的导数，因此角速度 \omega(t) 现在为变量，需要增加一个瞬时角速度定义ω(t)=\lim_{δt→0}{\frac{δθ}{δt}=\frac{\mathrm{d}θ}{\mathrm{d}t}}=\theta'(t) ，即对角度求时间的导数等于瞬时角速度对参数方程求时间的导数：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} v_x(t)&=-rω(t)\sin[θ(t)] \\ v_y(t)&=rω(t)\cos[θ(t)] \\\end{aligned} \right. \end{equation}写成速度矢量的坐标形式：\vec{v(t)}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\{v_{ x}(t),v_{y}(t)\} ，模长为 v(t)=r\omega(t)（由曲线运动的性质可知，速度总是沿着曲线的切线方向）继续对时间继续导数，出现了要对角速度求导数，增加了一个角加速度定义\alpha(t)=\lim_{δt→0}{\frac{δ\omega}{δt}}=\frac{\m athrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=\omega'(t) ，即角速度对时间的导数等于角加速度求导可得变速运动的合加速度分量表达式：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_x(t)&=-(rα(t)\sin[θ(t)]+rω^2(t)\cos[θ(t)]) \\ a_y(t)&=rα(t)\cos[θ(t)]-rω^2(t)\sin[θ(t)] \\ \end{aligned} \right. \end{equation}写成矢量的坐标形式：\vec{a(t)}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\{a_{ x}(t),a_{y}(t)\}最后一步，要将合加速度向垂直于速度方向和半径方向进行分解才能分别得到切向加速度和法向加速度，可以利用矢量（向量）标量积（数量积）的几何意义，将加速度向两个互相垂直的单位矢量进行投影，可得：切向加速度：（数值）\begin{equation} \begin{aligned} a_{τ} &=\vec{a}·\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\\&=a_{x}\frac{v_{x}}{v}+a_{y}\frac{v_{y}}{v}\\ &=-a_{x}\sin(\theta)+a_{y}\cos(\theta)\\ &=\alpha(t) r\\ \end{aligned} \end{equation}法向加速度：（数值）\begin{equation} \begin{aligned} a_{n} &=\vec{a}·\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\\&=a_{x}\frac{x_{x}}{r}+a_{y}\frac{x_{y}}{r}\\&=a_{x}\cos(\theta)+a_{y}\sin(\theta)\\ &=-\omega^2(t) r\\ \end{aligned} \end{equation}（出现负号代表法向加速度方向与位置矢量方向相反，指向圆心）至此可以看出和匀变速圆周运动下的公式相同再补一个用矢量微积分来证明的方法：利用矢量叉乘求导公式：\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{a}×\vec{b})=\frac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}t}×\vec{b}+\vec{a}×\frac{\mathrm{d}\vec{b}}{\mathrm{d}t}\vec{a}×(\vec{b}× \vec{c})=\vec{b}(\vec{a} ·\vec{c})-\vec{c}(\vec{a} ·\vec{b}) ，可以简单的记成back-cab原则在圆周运动中： \vec{v}= \vec{ω}×\vec{r} ，\vec{ω}·\vec{r}=\vec{r}·\vec{ω} =0下面开始证明：\begin{equation} \begin{aligned}\vec{a}&=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\\&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{ω}×\vec{r}) \\&=\frac{\mathrm{d}\vec{ω}}{\mathrm{d}t}×\vec{r}+ \vec{ω}×\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\\&=\vec{α}×\vec{r}+\vec{ω}×\vec{v}\\&=\vec{a_{τ}}+\vec{a_{n}} \end{aligned}\end{equation}可得：切向加速度：\vec{a_{τ}}= \vec{α}×\vec{r}\begin{equation} \begin{aligned} 法向加速度：\vec{a_{n}}&= \vec{ω}×\vec{v} \\&=\vec{ω}×(\vec{ω}×\vec{r}) \\&=\vec{ω}(\vec{ω} ·\vec{r})-\vec{r}(\vec{ω} ·\vec{ω}) \\&=-ω^2\vec{r} \end{aligned} \end{equation}。
匀速圆周运动推导加速度的公式
匀速圆周运动推导加速度的公式英文版Title: Derivation of Acceleration Formula for Uniform Circular MotionUniform circular motion, a fundamental concept in physics, refers to the movement of an object along a circular path with a constant speed. This motion is characterized by the object's constant angular velocity and the resulting acceleration, known as centripetal acceleration, which acts towards the center of the circle. In this article, we will derive the formula for centripetal acceleration in uniform circular motion.Let's consider an object moving in a circular path with a radius r and a constant speed v. The object completes one revolution in a time period T, resulting in an angular velocity ω (omega) given by ω = 2π/T. The linear speed v is related to the angular velocity and the radius by the formula v = ωr.Now, let's focus on the acceleration of the object. Since the speed is constant, the tangential acceleration is zero. However, there is a radial or centripetal acceleration acting towards the center of the circle. This acceleration is responsible for keeping the object in circular motion.To derive the formula for centripetal acceleration, we need to consider the change in velocity over time. In uniform circular motion, the velocity vector changes direction but not magnitude. Let's consider a small change in the velocity vector Δv after a time Δt. This change in velocity is perpendicular to the original velocity vector and指向圆心。
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圆周运动加速度的微积分推导
1. 引言
圆周运动是物体在一个固定半径的圆轨道上做匀速或变速运动。
在圆周运动中，我们经常关注物体的加速度，即物体在圆周轨道上的改变速度。
本文将通过微积分的方法来推导圆周运动的加速度公式。
我们将首先回顾一些基本概念，然后介绍如何用微积分来描述和推导圆周运动的加速度。
2. 圆周运动基本概念回顾
在开始推导之前，我们先回顾一些与圆周运动相关的基本概念。
•角度：角度是描述物体在圆周轨道上位置的量。
通常用弧度（radian）来表示，1弧度等于圆心角所对应的弧长等于半径长度。
•角速度：角速度是描述物体在单位时间内绕圆心转过的角度量。
通常用符号ω表示，单位为弧度/秒。
•线速度：线速度是描述物体在单位时间内沿着轨道移动的距离量。
对于圆周运动，线速度与角速度和半径有关系：v = ω * r，其中v为线速度，ω为角速度，r为半径。
3. 圆周运动的加速度
在圆周运动中，物体的加速度可以分为两个部分：切向加速度和径向加速度。
•切向加速度：切向加速度是描述物体在圆周轨道上改变线速度的量。
它的方向与物体在轨道上运动的方向相切，并且大小与线速度的变化率有关。
•径向加速度：径向加速度是描述物体在圆周轨道上改变半径距离的量。
它的方向指向圆心，并且大小与线速度和角速度之间的关系有关。
我们将重点研究径向加速度，因为它对于圆周运动来说更为重要。
4. 微积分推导
步骤1：定义问题
我们从一个简单的问题开始：一个物体以角速度ω绕半径为r的圆周轨道匀速运动。
我们想要推导出物体在任意时刻t时的径向加速度。
步骤2：建立坐标系
我们建立一个以圆心O为原点、x轴沿着切线方向、y轴沿着法线方向的直角坐标系。
在该坐标系下，物体的位置可以用向量r(t) = x(t)i + y(t)j表示。
步骤3：求解速度向量
根据圆周运动的定义，我们知道线速度与角速度和半径之间有关系：v = ω * r。
因此，我们可以得到物体的速度向量v(t) = ωr(t)。
将向量r(t)展开为x和y的分量形式，即 r(t) = x(t)i + y(t)j，则速度向量可以表示为v(t) = ω(x(t)i + y(t)j)。
步骤4：求解加速度向量
我们已经得到了速度向量v(t)，现在我们需要求解加速度向量a(t)，即物体在任意时刻t时的径向加速度。
由于加速度是速度的变化率，我们可以通过对时间t求导来获得加速度。
对于x分量来说，aₓ = d(vₓ)/dt；对于y分量来说，aᵧ = d(vᵧ)/dt。
首先，我们计算x分量的加速度：
aₓ = d(vₓ)/dt
= d(ωx)/dt （根据步骤3）
= ω * dx/dt （常数倍法则）
= ω * vₓ/r （由于dx/dt等于vₓ）
同理，计算y分量的加速度：
aᵧ = d(vᵧ)/dt
= d(ωy)/dt （根据步骤3）
= ω * dy/dt （常数倍法则）
= ω * vᵧ/r （由于dy/dt等于vᵧ）
将x和y分量的加速度合并起来，得到加速度向量a(t) = aₓi + aᵧj：
a(t) = (ω * vₓ/r)i + (ω * vᵧ/r)j
= (ω²x/r)i + (ω²y/r)j （根据步骤3）
步骤5：化简加速度公式
我们可以进一步化简加速度公式。
由于物体在圆周轨道上运动，所以有一个重要的几何关系：x² + y² = r²。
将该几何关系代入加速度公式中，得到：
a(t) = (ω²x/r)i + (ω²y/r)j
= (ω²(r² - y²)/r)i + (ω²y/r)j
= ω²r(i - y²/(r*r)) + ω²y(j/r)
= ω²r(cosθi - sinθj)
其中，θ是物体相对于x轴的角度。
步骤6：总结结果
最终，我们得到了物体在任意时刻t时的径向加速度公式：
a(t) = ω²r(cosθi - sinθj)
这个公式描述了物体在圆周轨道上的加速度，它的方向指向圆心，并且大小与角速度、半径和物体相对于x轴的角度有关。
5. 结论
通过微积分的方法，我们成功推导出了圆周运动的加速度公式。
这个公式可以帮助我们理解和计算物体在圆周运动中的加速度情况。
需要注意的是，本文仅介绍了圆周运动加速度的微积分推导过程，并未涉及具体应用。
在实际问题中，我们可以利用这个公式来解决与圆周运动相关的各种问题，如飞行器、车辆等在转弯时的加速度计算等。
希望本文对读者理解圆周运动加速度的微积分推导过程有所帮助！。