高二第六章计数原理知识点
2022年秋高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数课件新人教A版选择性
区别,组合数为C10
=45.
3
(3)是组合问题,因为去开会的 3 个人之间没有顺序的区别,组合数为C10
=120.
(4)是排列问题,因为 3 个人担任哪一科的课代表是有区别的,排列数为
A310 =720.
规律方法 1.组合的特点是只选不排,即组合只是从n个不同的元素中取出
m(m≤n)个不同的元素.
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1 组合的相关概念
1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个组合.
可类比集合元素的无序性
2.相同组合:两个组合只要 元素相同
的.
,不论元素的顺序如何,都是相同
名师点睛
排列与组合的区别与联系
学以致用•随堂检测全达标
1.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有(
A.A310 种
3
B.C10
种
3 3
C.C10
A10 种
D.30 种
答案 B
3
C
解析 三张票没区别,从10人中选3人即可,即 10 .
)
2
2.若A2 =3C-1
,则 n 的值为(
A.4
B.5
C.6
D.7
答案 C
2
解析 因为A2 =3C-1
提示 “组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同的元素中
取出m(m≤n)个元素作为一组”,它不是一个数,而是具体的一组对象;组合
数是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它
是一个数.
知识点3 组合数的性质
新教材2023年高中数学第六章计数原理6
第二步：从占据首位以外的 6 个元素中选 4 个排在除首位以外的其 他 4 个位置上，有 A46种排法．
由分步乘法计数原理，可得共有 A61·A64＝2 160(种)排法． 解法三(间接法)：即先不考虑限制条件，从 7 人中选出 5 人进行排列， 然后把不满足条件的排列去掉． 不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有 A57种，甲在首位的情况有 A64种，所以符合要求的排法有 A75－A46＝2 160(种)．
(2)(把位置作为研究对象，先满足特殊位置)第一步：从甲以外的 6 个元素中选 2 个排在首末两个位置上，有 A62种方法；第二步：从未排上 的 5 个元素中选 3 个排在中间 3 个位置上，有 A35种排法；
根据分步乘法计数原理，有 A26·A35＝1 800(种)排法． (3)(把位置作为研究对象)第一步：从甲、乙以外的 5 个元素中选 2 个排在首末两个位置，有 A25种排法； 第二步：从未排上的 5 个元素中选出 3 个排在中间 3 个位置上，有 A53种排法． 根据分步乘法计数原理，共有 A52·A53＝1 200(种)排法．
第二类：女生乙不站在正中间，完成这件事可分为三步． 第一步：女生乙有 4 个位置可选择，有 4 种站法； 第二步：女生丙不能站在正中间(可站在两端)，有 5 个位置可选择， 有 5 种站法； 第三步：其余 5 人可自由选择，有 A55种站法． 根据两个计数原理得，不同的站法共有 A66＋4×5×A55＝3 120 种．
共有 A55·A22＝240 种不同的排法，选 C． (2)先将 6 个歌唱节目排好，其不同的排法为 A66种，这 6 个歌唱节目 的空隙及两端共七个位置中再排 4 个舞蹈节目有 A74种排法，由分步乘法 计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为 A47·A66＝604 800(种)．
高中数学选择性必修-第6章-计数原理-教案
y = 1, 2,3, 4 ；当 x = 3 时， y = 1, 2,3．根据分类加法计数原理可知，有序数对共有
5 + 4 + 3 = 12 个．
答案 B 知识 2 分步乘法计数原理
1.基本原理 若完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方
法，那么完成这件事共有 N = m n 种不同的方法. 2.推广
种取法．
解析 由于要取两本书，所以可以分两步完成.第一步，从装有 5 本不同的小说的书包内取
出一本书，有 5 种不同的取法；第二步，从装有 6 本不同学科的教材的书包内取出一本书，
有 6 种不同的取法.根据分步乘法计数原理，总共的取法有 5 6 = 30 种.
答案 30
要点释义
1）用两个计数原理解决计数问题时，首先要确定完成这项工作的流程，需要分类还是 分步，或者两者兼有.
有 m2 中不同的方法……在第 n 类方案中有 mn 种不同方法，那么完成这件事一共有
N = m1 + m2 + … + mn 种不同的方法.
特点：分类加法计数原理中各类方案必须相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，用 任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例如从北京去天津可以选择飞机和 高铁两类方案，其中飞机有 5 趟航班，即 5 种不同的方法；高铁有 8 个班次，即 8 种不同的 方法.于是北京去天津共有 5 + 8 = 13 种方法，每种都可以单独完成“从北京到天津”这件事.
答案 C
6.2 排列与组合
知识 4 排列 1.排列的定义
一般地，从 n 个不同的元素中取出 m（ m n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 2.排列数和排列数公式 （1）排列数
计数原理必备知识点总结
计数原理必备知识点总结一、计数原理的基本概念1.1 事件和样本空间在概率论中，事件是指可能发生的结果，样本空间是指所有可能的结果的集合。
在计数原理中，我们通常需要计算在一定条件下事件发生的次数，因此需要对事件和样本空间进行分析和计算。
1.2 事件的互斥和独立在计数原理中，我们需要考虑事件之间的互斥和独立关系。
互斥事件是指两个事件不能同时发生，而独立事件是指两个事件之间没有相互影响。
1.3 条件概率和联合概率在计数原理中，我们需要考虑事件的条件概率和联合概率。
条件概率是指在给定某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；联合概率是指两个事件同时发生的概率。
1.4 达成事件的概率在计数原理中，我们需要计算事件发生的概率。
达成事件的概率是指在一定条件下事件发生的可能性，通常通过计数原理来进行计算。
二、排列组合2.1 排列在计数原理中，排列是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行排列，排列中元素的顺序是重要的。
在计算排列时，通常使用阶乘的方法进行计算。
2.2 组合在计数原理中，组合是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行组合，组合中元素的顺序是不重要的。
在计算组合时，通常使用二项式系数的方法进行计算。
2.3 组合公式在计数原理中，我们可以使用组合公式来计算组合的数量。
组合公式是指C（n，k）=n!/(k!(n-k)!)，其中n表示元素的总数，k表示选取的元素的数量。
2.4 排列组合的应用在计数原理中，排列组合的方法具有广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要考虑元素的排列和组合，例如在排列组合中考虑位置的排列和顺序的组合等。
三、二项式系数3.1 二项式定理在计数原理中，二项式定理是指一个式子的平方等于两个式子相乘的和。
例如，（a+b）^2=a^2+2ab+b^2，这就是一个二项式定理的例子。
3.2 二项式系数的计算在计数原理中，我们可以使用二项式系数来计算二项式的展开式。
二项式系数是通过排列组合的方法进行计算的，通常使用组合公式来计算。
2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理 章末知识梳理
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第六章 计数原理
数学（选择性必修·第3册 RJA）
3．排列数公式：Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)＝(nn－！m)． 4．全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，称为n个 不同元素的一个全排列． 5．排列数的性质：Amn ＝nAmn－－11＝mAmn－－11＋Amn－1．
[解析] 从数字1,2,3,4,5中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各
位数字之和等于6，
可分为三类情况：
(1)当三个数为1,1,4时，共有C
1 3
＝3(种)排法；(2)
当三个数为1,2,3时，具有A
3 3
＝6(种)排法；(3)当三个数为2,2,2时，只有1
种排法．由分类加法计数原理可得，共有3＋6＋1＝10(种)不同排法，即
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第六章 计数原理
数学（选择性必修·第3册 RJA）
要点专项突破
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第六章 计数原理
数学（选择性必修·第3册 RJA）
要点一
两个计数原理的应用
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理很少单独命题，多与排 列、组合等问题相结合，以选择题或填空题的形式考查，难度适中，属 中档题．
2．应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成 还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完 成事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既 要分类又要分步，此时，应注意层次分明，不重不漏．
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第六章 计数原理
数学（选择性必修·第3册 RJA）
[解析] (1)第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6
高二数学计数原理知识点总结归纳
高二数学计数原理知识点总结归纳1. 排列与组合在数学中，排列与组合是计数原理的基本概念。
排列表示对给定的一组元素进行有序的安排，而组合则表示选取给定集合中的若干元素的无序集合。
2. 排列排列是从一个给定的元素集合中选取出一些元素按照一定的顺序进行排列的算法。
根据排列的性质，可以分为两种类型：有重复元素的排列和无重复元素的排列。
2.1 有重复元素的排列设有 n 个元素中，其中有 m1个元素相同，m2个元素相同，...，mk 个元素相同。
则排列数 P 的计算公式为：P = n! / (m1! * m2! * ... * mk!)2.2 无重复元素的排列设有 n 个不同的元素要进行排列，选取其中 r 个元素进行排列的方式，计算排列数的公式为：P = n! / (n - r)!3. 组合组合是从一个给定的元素集合中选取出若干元素的无序集合。
与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
根据组合的性质，可以分为两种类型：有重复元素的组合和无重复元素的组合。
3.1 有重复元素的组合设有 n 个元素中，其中有 m1 个元素相同，m2 个元素相同，...，mk 个元素相同。
则组合数 C 的计算公式为：C = (n + 1)! / (m1! * m2! * ... * mk! * (n - m1 - m2 - ... - mk)!)3.2 无重复元素的组合设有 n 个不同的元素要进行组合，选取其中 r 个元素进行组合的方式，计算组合数的公式为：C = n! / (r! * (n - r)!)4. 二项式定理二项式定理是数学中一个重要的公式，它描述了两个数的二次方的展开式中，各个项的系数与指数之间的关系。
二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, r) *a^(n-r) * b^r + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, r) 表示了 n 中取 r 的组合数。
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
高二数学第6章知识点归纳总结
高二数学第6章知识点归纳总结高二数学的第6章主要涉及复数的运算、幂次运算和虚数。
下面将对这些知识点进行详细的归纳总结。
1. 复数及其表示法复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面直角坐标系表示，实部在实轴上，虚部在虚轴上。
复数的共轭是指实部相等、虚部互为相反数的两个复数，可以用求实部取负或者虚部取负的方法得到。
2. 复数的运算复数的加法和减法都是将实部和虚部分别相加或相减。
复数的乘法可以使用分配律展开计算，然后利用i^2=-1简化。
复数的除法可以将分子和分母同乘以分母的共轭，然后利用复数的乘法求解。
需要注意的是，复数的运算结果仍然是复数。
3. 幂次运算复数的幂次运算可以通过展开求解，然后利用i^2=-1简化。
实际计算中，可以利用欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ简化计算。
对于复数的幂次根，可以先将复数转化为三角形式，然后利用求根公式求解。
4. 虚数单位i的性质虚数单位i的一些性质有：i^0=1，i^1=i，i^2=-1，i^3=-i，i^4=1，以此类推。
利用这些性质，可以简化复数运算和幂次运算中的计算过程。
5. 复数的模、辐角及其性质复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数的辐角表示复数与实轴正方向之间的夹角，可以用三角函数计算。
复数可以转化为三角形式，即z=|z|(cosθ+isinθ)，其中|z|为复数的模，θ为复数的辐角。
复数的模和辐角有一些性质，如模的乘法和辐角的加法。
综上所述，高二数学的第6章主要掌握了复数的运算、幂次运算和虚数的相关知识。
通过对复数的表示法、运算性质以及模、辐角的计算，可以更好地理解和应用复数的概念。
同时，在实际问题中，可以利用复数的性质来简化计算过程。
对于复数的幂次运算和根的求解，可以通过展开、使用欧拉公式和求根公式来解决。
掌握这些知识，能够更好地理解数学中的抽象概念，提升解题能力。
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高二第六章计数原理知识点
计数原理是离散数学的一部分，用于研究和探索计数的方法和
技巧。
在高二的数学学习中，计数原理作为重要的知识点之一，
在组合数学、概率论和图论等领域中都有广泛的应用。
本文将介
绍高二第六章计数原理的相关知识点和常见应用。
一、排列与组合
1. 排列
排列是指从一组元素中按一定顺序取出若干个元素，形成不同
的顺序。
排列可以分为有重复元素的排列和没有重复元素的排列。
在计数原理中，排列问题常用的计算方法是利用阶乘。
2. 组合
组合是指从一组元素中无序地取出若干个元素，形成一个子集。
组合问题也可以分为有重复元素的组合和没有重复元素的组合。
在计数原理中，组合问题的计算方法是利用组合数公式。
二、二项式定理
1. 二项式的展开
二项式定理是计算二项式的重要工具，它可以将一个二项式展开成一系列项的和。
二项式定理的公式为：
(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n
其中C(n,k)表示从n个不同元素中选出k个元素的组合数。
2.应用举例
通过二项式定理，我们可以计算多项式的展开式，从而得到多项式的各个系数。
比如，我们可以计算(a + b)^3的展开式：
(a + b)^3 = C(3,0) * a^3 * b^0 + C(3,1) * a^2 * b^1 + C(3,2) * a^1 * b^2 + C(3,3) * a^0 * b^3
= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
三、鸽巢原理
鸽巢原理是指如果有n只鸽子进入m个巢，其中n > m，那么
至少有一个巢中会有两只或两只以上的鸽子。
鸽巢原理在图论、
密码学等领域有着广泛的应用，尤其是在处理极端情况和求解最
优解问题时。
四、容斥原理
容斥原理是一种计算基数的方法，用于解决多个集合的交、并、补的计数问题。
容斥原理的核心思想是通过对各个集合的计数进
行加减交替操作，以得到所求的总数。
容斥原理常常用于解决组
合数学和概率论中的问题。
五、计数问题的应用
计数原理在实际问题中有着广泛的应用。
比如在排队问题中，
我们可以利用排列的原理计算不同的排队方式；在宴会座位问题中，我们可以利用组合的原理计算不同的座位安排方式；在密码
学中，我们可以利用计数原理计算可能的密码组合等等。
综上所述，高二第六章计数原理是离散数学中的重要知识点，
包括排列与组合、二项式定理、鸽巢原理、容斥原理等内容。
计
数原理的掌握对于解决实际问题和拓宽数学思维有着重要的作用。
在学习计数原理时，我们应该掌握基本原理和公式，并通过大量
的例题进行练习，以提升自己的计数能力和解题技巧。